小波變換在信號處理中的應(yīng)用

1、 小波分析是近小波分析是近15年來發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻年來發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時(shí)域分析和分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時(shí)域分析和頻域分析。頻域分析。時(shí)域分析的基本目標(biāo)：時(shí)域分析的基本目標(biāo)：- 邊緣檢測和分割；邊緣檢測和分割；- 將短時(shí)的物理現(xiàn)象作為一個(gè)瞬態(tài)過程分析。將短時(shí)的物理現(xiàn)象作為一個(gè)瞬態(tài)過程分析。頻域分析的基本目標(biāo)：頻域分析的基本目標(biāo)：區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換一、從傅里葉變換到小波變換（1 1）傅立葉變換的定義

2、）傅立葉變換的定義1. 1. 連續(xù)傅立葉變換對連續(xù)傅立葉變換對 離散傅立葉變換對離散傅立葉變換對 :1:2j tj tFT Fjf t edtIFTf tFjed 210210:0,1,.,11:0,1,.,1knNjNnnnknNjNnkDFT X kFff ekNIDFTfX k enNN2. 2. 傅立葉變換的實(shí)質(zhì)傅立葉變換的實(shí)質(zhì)傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù)的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對原函數(shù)f(t)的研究的研究轉(zhuǎn)化為對其權(quán)系數(shù)，及傅里葉變換轉(zhuǎn)化為對其權(quán)系數(shù)，及傅里

3、葉變換F()的研究。從傅里葉的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及高次諧波組成變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。3. 3. 傅立葉變換的局限性傅立葉變換的局限性 由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明顯的看出信號的頻率特性。顯的看出信號的頻率特性。 雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r(shí)域特征和頻域雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時(shí)域和頻域觀察，特征

4、聯(lián)系起來，能分別從信號的時(shí)域和頻域觀察，但不能把兩者有機(jī)的結(jié)合起來。但不能把兩者有機(jī)的結(jié)合起來。 在實(shí)際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號在實(shí)際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重的處理中，信號在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。要。（2）短時(shí)傅立葉變換）短時(shí)傅立葉變換 基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時(shí)平基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時(shí)平穩(wěn)信號的疊加，這個(gè)過程是通過加時(shí)間窗來實(shí)現(xiàn)穩(wěn)信號的疊加，這個(gè)過程是通過加時(shí)間窗來實(shí)現(xiàn)的。一般選用能量集中在低頻處的實(shí)的偶函數(shù)作的。一般選用能量集中在低頻處的實(shí)的偶函數(shù)作為窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實(shí)現(xiàn)時(shí)間域的局部為

5、窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實(shí)現(xiàn)時(shí)間域的局部化性質(zhì)。其表達(dá)式為：化性質(zhì)。其表達(dá)式為： *,j tRSf t gtedt 其中其中“”表示復(fù)共軛，表示復(fù)共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，是有緊支集的函數(shù)，f(t)是被分析的信號，在這個(gè)變換中，是被分析的信號，在這個(gè)變換中， 起著頻起著頻限的作用，限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間 的的變化，變化，g(t)所確定的所確定的“時(shí)間窗時(shí)間窗”在在t軸上移動，使軸上移動，使f(t)“逐漸逐漸” 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。j te g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)，往往被稱之為窗口函數(shù)， 大致反映了大致反映了f(t)在在 時(shí)刻時(shí)刻頻率處頻率

6、處“信號成分信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為的展開就可以表示為 在這一區(qū)域內(nèi)的在這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， 和和 分別稱為窗口的時(shí)寬分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然就越高。很顯然 和和 都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但果，但 和和 相互制約的。相互制約的。 （2）短時(shí)傅立葉變換）短時(shí)傅立葉變換 ,S , 、 （3）小波變換）小波變換 小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方

7、是，它在時(shí)域小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。 小波變換提出了變化的時(shí)間窗。當(dāng)需要精確的小波變換提出了變化的時(shí)間窗。當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí)，采用長的時(shí)間窗，頻率分辨率高，當(dāng)?shù)皖l信息時(shí)，采用長的時(shí)間窗，頻率分辨率高，當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗，時(shí)間分需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗，時(shí)間分辨率高。辨率高。 由此可知，小波變換采用的不是時(shí)間由此可知，小波變換采用的不是時(shí)間-頻率域，頻率域，而是時(shí)間尺度域。尺度越大，采用越大的時(shí)間窗，而是時(shí)間尺度域。尺度越大，采用越大的時(shí)間窗，尺度越小，采用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻

8、率成反尺度越小，采用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻率成反比。比。（3）小波變換）小波變換(4) 小波的時(shí)間和頻率特性小波的時(shí)間和頻率特性 運(yùn)用小波基，可以提取信號中的運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間指定時(shí)間”和和“指定頻率指定頻率”的變化。的變化。l時(shí)間：提取信號中時(shí)間：提取信號中“指定時(shí)間指定時(shí)間”（時(shí)間（時(shí)間A A或時(shí)間或時(shí)間B B）的變化。顧）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動。名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動。l頻率：提取信號中時(shí)間頻率：提取信號中時(shí)間A A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時(shí)間提取信號中時(shí)間B B的比較快速變化，

9、稱較高頻率成分。的比較快速變化，稱較高頻率成分。 時(shí)間A時(shí)間B(5) 小波的小波的3 個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn)l小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）換只具有頻率分析的性質(zhì)）l小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）l小波變換比快速小波變換比快速FourierFourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級。信變換還要

10、快一個(gè)數(shù)量級。信號長度為號長度為M M時(shí)，時(shí)， FourierFourier變換（左）和小波變換（右）變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式： MOMMOwf,log2(6) 小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率FourierFourier變換的基（上）小波變換基（中）變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）和時(shí)間采樣基（下）傅里葉變換傅里葉變換(Fourier)(Fourier)基基小波基小波基時(shí)間采樣基時(shí)間采樣基二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換)()(2RLt d2)( )(t)( )(t設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)，如果滿足：，如果滿足：則稱則稱

11、為一個(gè)基本小波和小波母函數(shù)，式中為一個(gè)基本小波和小波母函數(shù)，式中為函數(shù)為函數(shù)的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。 1. 1. 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換)()(21,abtatbaRb0 Ra)(tba,ab)(,tba令：令：， 稱為基本小波或母小波稱為基本小波或母小波(Mother Wavelet) 依賴于依賴于生成的連續(xù)小波。式中生成的連續(xù)小波。式中為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀；為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀；為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波在時(shí)域空間和頻域空間上都具有局部性，其作用等同于在時(shí)域空間和

12、頻域空間上都具有局部性，其作用等同于短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換因此函數(shù)因此函數(shù)f(t)的小波變換為：的小波變換為：RbafdtabttfafbaW)()(,),(21,)(t)(t式中式中為函數(shù)為函數(shù)的復(fù)共軛，由可容性條件得：的復(fù)共軛，由可容性條件得：0)(dtt)(baWf，的逆變換為：的逆變換為： 2,)()(1)(adadbtbaWctfbaRfR，式中：式中： dC2)( 像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個(gè)信號分解為將像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個(gè)信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波母小波經(jīng)

13、過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。變換的結(jié)果。 圖圖4表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的，的， 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平的函數(shù)，其平均值為均值為0， 小

14、波趨于不規(guī)則、不對稱。小波趨于不規(guī)則、不對稱。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換(a)(b) 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換傅立葉變換過程傅立葉變換過程18 基本小波函數(shù)基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下：的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡單地講，縮放。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮縮放系數(shù)越小，放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖則小波越窄，如圖6所示。所示。 圖6 小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)

15、；scale0.25小波變換過程小波變換過程19 (2) 平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，上， 函數(shù)函數(shù)f(t)延遲延遲k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f(t-k)，如圖，如圖7所示。所示。 圖7 小波的平移操作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot(t)Ot(t k)(a)(b)20 CWT計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟：計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟： 第一步：第一步： 取一個(gè)小波，取一個(gè)小波， 將其與原始信號的開始一節(jié)進(jìn)行比將其與原始信號的開始一節(jié)進(jìn)行比較。較。 第二步：第二步： 計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)值C， C表示小波與所取

16、一節(jié)信號的相表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀，似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀， 如圖如圖8所示。所示。 第三步：向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整第三步：向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個(gè)信號，如圖個(gè)信號，如圖9所示。所示。 第四步：第四步： 伸展小波，伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步，重復(fù)第一步至第三步， 如圖如圖10所示。所示。 圖8 計(jì)算系數(shù)值C 原 始 信 號小 波 信 號C 0.0102二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換圖9 計(jì)算平移后系數(shù)值C 原始信號小波信號二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換圖10 計(jì)算尺度后系數(shù)值C 原始信號小

17、波信號C0.2247二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換 第五步：對于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。第五步：對于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。 小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號的細(xì)節(jié)變化，表越小，表示小波越窄，度量的是信號的細(xì)節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子示信號頻率越高；縮放因子scale越大，越大， 表示小波越寬，度表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。 二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換二、連續(xù)小波變換結(jié)論：結(jié)論：尺度

18、因子尺度因子a a越小，越小， 的波形變窄，的波形變窄， 的頻譜向高頻端擴(kuò)展；的頻譜向高頻端擴(kuò)展；a a越大，越大， 波形變寬，波形變寬， 的頻譜的頻譜 向低頻端擴(kuò)展，從而實(shí)現(xiàn)過了向低頻端擴(kuò)展，從而實(shí)現(xiàn)過了時(shí)間頻率窗的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。時(shí)間頻率窗的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。連續(xù)小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)連續(xù)小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù) 的形式把的形式把信號信號f(t)分解為不同頻帶的子信號，實(shí)現(xiàn)信號在不同分解為不同頻帶的子信號，實(shí)現(xiàn)信號在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離，也可以視為一個(gè)濾波頻帶、不同時(shí)刻的合理分離，也可以視為一個(gè)濾波器器。 , a bt , a b ,a bt ,a b , a bt一維連續(xù)小波變換一維

19、連續(xù)小波變換Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,plot)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE,XLIM) 在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大，其計(jì)算量相當(dāng)大， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j0且為且為整數(shù)）的倍

20、數(shù)，整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算， 就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Transform），它是離散小波變換（），它是離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一種形式。通常離散小波）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。變換就是指雙尺度小波變換。 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)小波變換就

21、是將小波變換就是將 “ 原始信號原始信號 s ” 變換變換 成成 “ 小波小波 系數(shù)系數(shù) w ” ， w=wa , wd （ 近似系數(shù)近似系數(shù)wa與細(xì)節(jié)系數(shù)與細(xì)節(jié)系數(shù)wd )則則原始信號原始信號s s可分解成小波近似可分解成小波近似a a與小波細(xì)節(jié)與小波細(xì)節(jié)d d之和。之和。 s = a+ds = a+d小波系數(shù)小波系數(shù) w = ww = wa a , w , wd d 的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解：解：小波近似系數(shù)小波近似系數(shù)w wa a 基函數(shù)基函數(shù)A=A=近似分解近似分解 a -a -平均平均小波細(xì)節(jié)系數(shù)小波細(xì)節(jié)系數(shù)w wd d 基函數(shù)基函數(shù)D=D=細(xì)節(jié)

22、分解細(xì)節(jié)分解 d-d-變化變化 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 小波基小波基D小波基小波基A A原始信號原始信號小波系數(shù)小波系數(shù)wd小波系數(shù)小波系數(shù)wa正變換：原始信號在小波基上，獲得正變換：原始信號在小波基上，獲得 “小波系數(shù)小波系數(shù)”分量分量反變換：所有反變換：所有“小波分解小波分解” 合成原始信號合成原始信號 例如：例如： 小波分解小波分解 a=小波系數(shù)小波系數(shù) wa 小波基小波基A三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)離散小波變換公式離散小波變換公式正變換正變換反變換反變換 其中：其中： 是小波基函數(shù)是小波基函數(shù)l信號信號 s 有有M個(gè)樣本，個(gè)樣本，

23、J 級小波變換：級小波變換： nDnAnDwnAwndnansJjnDnswnAnswwwwwMnjJJjjjdJJaJjiJjjdJJadJdJaJ,1 ,., 1111小波分解小波系數(shù)三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 該方法該方法是是Mallat于于1988年提出的，稱為年提出的，稱為Mallat算法。這種方法實(shí)算法。這種方法實(shí)際上是一種信號分解的方法，際上是一種信號分解的方法， 在數(shù)字信號處理中常稱為雙在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。通道子帶編碼。 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如

24、圖用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖11所示。所示。S表表示原始的輸入信號，示原始的輸入信號， 通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組，通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組， 其中一其中一個(gè)濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似個(gè)濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值值A(chǔ)（Approximations），另一個(gè)為高通濾波器，），另一個(gè)為高通濾波器， 通過通過該濾波器可得到信號的細(xì)節(jié)值該濾波器可得到信號的細(xì)節(jié)值D（Detail）。）。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換圖11 小波分解示意圖SAD濾波器組低通高通三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 在小波分析中，近似值是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)

25、，在小波分析中，近似值是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計(jì)算的表示信號的低頻分量，而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實(shí)際應(yīng)用中，信號的低頻系數(shù)，表示信號的高頻分量。實(shí)際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣，如同一個(gè)人的聲音一樣， 把高頻分量去掉后，聽起來聲把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。低頻分量刪除后，就會什么

26、內(nèi)容也聽不出來了。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 由圖由圖11可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補(bǔ)的濾波和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補(bǔ)的濾波器組進(jìn)行的分解稱為一級分解，信號的分解過程也可以不斷器組進(jìn)行的分解稱為一級分解，信號的分解過程也可以不斷進(jìn)行下去，也就是說可以進(jìn)行多級分解。如果對信號的高頻進(jìn)行下去，也就是說可以進(jìn)行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解，就可以得到信分量不再分解，而對低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解，就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量，

27、號不同分辨率下的低頻分量， 這也稱為信號的多分辨率分這也稱為信號的多分辨率分析。如此進(jìn)行下去，析。如此進(jìn)行下去， 就會形成圖就會形成圖12所示的一棵比較大的分所示的一棵比較大的分解樹，解樹， 稱其為信號的小波分解樹（稱其為信號的小波分解樹（Wavelet Decomposition Tree）。實(shí)際中，）。實(shí)際中， 分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。征及用戶的具體需要。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換35圖圖12 多級信號分解示意圖多級信號分解示意圖（a） 信號分解；信號分解； (b) 小波分?jǐn)?shù)；小波分?jǐn)?shù)； （c）小波分解樹）小波

28、分解樹 cA3cD3cA2cD2SLo_DHi_DA1D1Lo_DHi_DA2D2Lo_DHi_DA3D3Lo_D：低通濾波器；Hi_D：高通濾波器(a)ScA1cD1(b)(c)ScA1cD1cA2cD2cA3cD3 對于一個(gè)信號，如采用圖對于一個(gè)信號，如采用圖11所示的方法，理論上產(chǎn)生所示的方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（Nyquist）采樣定理，）采樣定理， 可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個(gè)通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)取一即在每個(gè)通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個(gè)樣本數(shù)

29、據(jù)取一個(gè)，個(gè)， 便可得到離散小波變換的系數(shù)（便可得到離散小波變換的系數(shù)（Coefficient），）， 分別分別用用cA和和cD表示，如圖表示，如圖13所示。圖中表示下采樣。所示。圖中表示下采樣。 三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換圖圖13 小波分解下采樣示意圖小波分解下采樣示意圖 SDA1000個(gè) 采 樣 點(diǎn)1000個(gè) 采 樣 點(diǎn)1000個(gè) 采 樣 點(diǎn)ScDcA1000個(gè) 采 樣 點(diǎn)約 500個(gè) DWT系 數(shù)約 500個(gè) DWT系 數(shù)三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 在在Matlab中，離散小波變換分解算法主要使中，離散小波變換分解算法主要使用如下幾個(gè)常用命令：用如下幾個(gè)常用命

30、令： dwt 用于信號的單層分解用于信號的單層分解 wavedec 用于信號的多層分解用于信號的多層分解 wmaxlev 在多層分解前求最大的分解層數(shù)在多層分解前求最大的分解層數(shù)三、一維離散小波變換三、一維離散小波變換 將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號恢復(fù)出來，也就是利用信號的小波分解的據(jù)需要把信號恢復(fù)出來，也就是利用信號的小波分解的系 數(shù) 還 原 出 原 始 信 號 ， 這 一 過 程 稱 為 小 波 重 構(gòu)系 數(shù) 還 原 出 原 始 信 號 ， 這 一 過 程 稱 為 小 波 重 構(gòu)（Wavelet Reconstruct

31、ion）或叫做小波合成（）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散小波）。這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散小波變換（變換（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。）。 三、一維離散小波重構(gòu)三、一維離散小波重構(gòu)圖圖14 小波重構(gòu)算法示意圖小波重構(gòu)算法示意圖 SHLHL三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 1）重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號）重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號 由圖由圖14可知，由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重可知，由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)

32、分別重構(gòu)構(gòu)出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號的近似值或細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)出信號的近似值或細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。置為零即可。 圖圖15是對第一層近似信號或細(xì)節(jié)信號進(jìn)行重構(gòu)的示意是對第一層近似信號或細(xì)節(jié)信號進(jìn)行重構(gòu)的示意圖。圖。 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖圖15 重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號示意重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號示意（a） 重構(gòu)近似信號；重構(gòu)近似信號； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號重構(gòu)細(xì)節(jié)信號 A1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)0約 500個(gè) 0cA1約 500個(gè) 近 似 分 量(a)D1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)(b)約 500個(gè) 0約

33、500個(gè) 近 似 分 量0cD1三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 2）多層重構(gòu)）多層重構(gòu) 在圖在圖15中，重構(gòu)出信號的近似值中，重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值與細(xì)節(jié)值D1之后，則之后，則原信號可用原信號可用A1D1S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖解，小波的多層重構(gòu)如圖16所示。由圖所示。由圖16可見重構(gòu)過程為：可見重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。 信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。低通分解濾波器（出滿意的原始信號。低通

34、分解濾波器（L）和高通分解濾波）和高通分解濾波器（器（H）及重構(gòu)濾波器組（）及重構(gòu)濾波器組（L和和H）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)， 這個(gè)系這個(gè)系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)，系統(tǒng)， 如圖如圖17所示。所示。 三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖16 多層小波重構(gòu)示意圖A3D3A2D2SA1D1三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)圖圖17 多層小波分解和重構(gòu)示意圖多層小波分解和重構(gòu)示意圖 S1000HL500250250DWT小波系數(shù)S1000LIDWTHHLLH三、一維離散小波

35、變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu)用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個(gè)：用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個(gè)： idwt 用于單層小波重構(gòu)用于單層小波重構(gòu) waverec 用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù)用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù) 同小波分解得到結(jié)果的格式一致同小波分解得到結(jié)果的格式一致 wrcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)⒂糜谥貥?gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)?數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致 upcoef 用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分 解得到結(jié)果的格式一致解得

36、到結(jié)果的格式一致用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個(gè)：用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個(gè)： detcoef 求得某一層次的細(xì)節(jié)系數(shù)求得某一層次的細(xì)節(jié)系數(shù) appcoef 求得某一層次的近似系數(shù)求得某一層次的近似系數(shù) upwlev 重構(gòu)組織小波系數(shù)的排列形式重構(gòu)組織小波系數(shù)的排列形式三、一維離散小波變換與重構(gòu)三、一維離散小波變換與重構(gòu) 二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣，二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣， 其實(shí)其實(shí)質(zhì)上是將二維信號在不同尺度上的分解，質(zhì)上是將二維信號在不同尺度上的分解， 得到原始信號的得到原始信號的近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是

37、二維的。近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為：分解的結(jié)果為： 近似分量近似分量cA、 水平細(xì)節(jié)分量水平細(xì)節(jié)分量cH、 垂直垂直細(xì)節(jié)分量細(xì)節(jié)分量cV和對角細(xì)節(jié)分量和對角細(xì)節(jié)分量cD。同樣也可以利用二維小波。同樣也可以利用二維小波分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過程如圖程如圖18所示。所示。 四、二維離散小波變換與重構(gòu)四、二維離散小波變換與重構(gòu)48圖圖18 二維小波分解和重構(gòu)過程示意圖二維小波分解和重構(gòu)過程示意圖（a） 二維二維DWT； (b) 二維二維IDWT (b)Lo_R21Lo_R12Hi_

38、R12行列列cAj1cHj1Hi_R21Lo_R12Hi_R12行列列cVj1cDj1cAjwkeepLo_D21Lo_D12Hi_D12行列列cAj1cHj1Hi_D21Lo_D12Hi_D12行列列cVj1cDj1cAj(a)五、幾種常用小波五、幾種常用小波1. Haar小波小波2. Daubechies小波小波3. Symlet小波小波4. 雙正交小波（雙正交小波（biorNr.Nd）5. Coiflet小波小波6. Morlet小波小波7. Mexico草帽小波草帽小波8. Meyer小波小波l具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像處理中非常有用。具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像

39、處理中非常有用。l具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像。具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像。l小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時(shí)有用。小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時(shí)有用。六、舉例六、舉例1. GUI用法簡介用法簡介2. 基于小波變換的圖像壓縮和去噪基于小波變換的圖像壓縮和去噪dwt和和dwt2：用于單尺度一維和二維信號的離散小波變換；用于單尺度一維和二維信號的離散小波變換；idwt和和idwt2：實(shí)現(xiàn)單尺度一維和二維信號的離散小波反變換；實(shí)現(xiàn)單尺度一維和二維信號的離散小波反變換；wavedec和和wavedec2：分別用于多尺度一維和二維信號的

40、小波分解，即分別用于多尺度一維和二維信號的小波分解，即 為多分辨率分析函數(shù)；為多分辨率分析函數(shù)；appcoef和和appcoef2：分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu)分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu) 中提取信號的低頻系數(shù)；中提取信號的低頻系數(shù)；detcoef和和detcoef2：分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu)分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu) 中提取信號的高頻系數(shù)。中提取信號的高頻系數(shù)。壓縮或去噪原理系數(shù)值百分比TT3T3信號去噪的基本步驟信號去噪的基本步驟信號去噪的信號去噪的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 小波分析在圖象處理中的應(yīng)用小波分析在圖象處理中的應(yīng)

41、用 圖象是二維信號，其小波變換相當(dāng)于二次一圖象是二維信號，其小波變換相當(dāng)于二次一維信號的小波變換：。維信號的小波變換：。 （1）第一次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象）第一次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象的行變換。的行變換。 （2）第二次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象）第二次一維信號的小波變換相當(dāng)于圖象的列變換。的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。 小波變換用于圖象特征抽取第1級斜線細(xì)節(jié)第1級水平細(xì)節(jié)第1級垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié) 第1級 L1斜線細(xì)節(jié)第1級 L1水平細(xì)節(jié)第1級 L1垂直細(xì)節(jié)第2級 L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級 L3小波系數(shù)分級方塊表示法 第 3 級 L3分辨率第 2 級 L2分辨率第 1 級 L1分辨率 小波系數(shù)分級樹形表示法小波變換用于信號壓縮的基本步驟小波變換用于信號壓縮的基本步驟小波變換用于圖象壓縮小波變換用于圖象壓縮l采用采用小波小波進(jìn)行壓縮。作進(jìn)行壓縮。作“小波變換小波變換”后，后，統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)特性有改善，特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。l有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系有損壓縮：根據(jù)視覺原理