大學物理經(jīng)典ppt系列之簡諧振動

1、如：如：機械振動機械振動、電磁振動電磁振動、分子振動分子振動、原子振動原子振動。 任一物理量在某任一物理量在某一定值一定值附近往復變化均稱為附近往復變化均稱為振動振動. . 機械振動機械振動 物體圍繞一固定物體圍繞一固定位置位置往復運動往復運動. . 如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及原子的振動等如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及原子的振動等. .機械振動的特點：機械振動的特點：（1 1）有平衡點。有平衡點。 （2 2）且具有重復性。即具有周期性振動。且具有重復性。即具有周期性振動。 機械振動的分類：機械振動的分類： （1）按振動規(guī)律分：按振動規(guī)律分： 簡諧、非簡諧、隨機振動。簡諧、非

2、簡諧、隨機振動。（2）按產(chǎn)生振動原因分：按產(chǎn)生振動原因分： 自由、受迫、自激、參變振動。自由、受迫、自激、參變振動。（3）按自由度分：按自由度分： 單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。（4）按振動位移分：按振動位移分： 角振動、線振動。角振動、線振動。（5）按系統(tǒng)參數(shù)特征分：按系統(tǒng)參數(shù)特征分： 線性、非線性振動。線性、非線性振動。 簡諧振動簡諧振動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分解 一一 彈簧振子的振動彈簧振子的振動 彈簧振子彈簧振子若彈簧本身的質量和摩若彈簧本身的質量和摩擦力忽略不計，即只有擦力忽略不計

3、，即只有彈性恢復力作用下的質彈性恢復力作用下的質點的模型稱為點的模型稱為彈簧振子彈簧振子 平衡位置平衡位置物體所受合力為零，物體所在位置稱為物體所受合力為零，物體所在位置稱為平衡位置平衡位置。kl0 xmoAA自然長度自然長度 l0平衡位置平衡位置( (原點）原點）00FxxxFmoAA任意位置任意位置makxFkaxm mk2令令xa2xtx222dd222d0dxxt 即簡諧振動即簡諧振動的微分方程的微分方程該微分方程的通解該微分方程的通解)cos(tAx簡諧振動的簡諧振動的運動學方程運動學方程A,為求解時的積分常量，由初始條件決定。km 是由諧振子本身的性質決定的，是由諧振子本身的性質決

4、定的，稱為振動系統(tǒng)的稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率固有角頻率。 A簡諧振動的加速度A簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度AAA最大最大最大AAA彈簧振子在彈性恢復力作用下的振動是彈簧振子在彈性恢復力作用下的振動是簡諧振動簡諧振動。 （1）運動學定義：）運動學定義：物體位移隨時間按余弦函數(shù)（或物體位移隨時間按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律變化的運動稱為簡諧振動。正弦函數(shù)）規(guī)律變化的運動稱為簡諧振動。 x = A cos(t + )（2）動力學定義：）動力學定義：物體僅受下式的合力作用的振動物體僅受下式的合力作用的振動稱為簡諧振動。稱為簡諧振動。 F = - k x（3）簡諧振動的簡諧振動的運動微分方程運動微分

5、方程 d2x / dt2+ 2 x = 0 簡諧振動定義簡諧振動定義 討論討論: 豎直方向的彈簧振子的運動是否簡諧振動？豎直方向的彈簧振子的運動是否簡諧振動？ 試證明，若選取受力平衡點作為位置坐標原點，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學方程和振動方程相同。平衡點在受力平衡點小球受彈性力大小選取受力平衡點作為位置坐標原點小球在為置坐標 處所受彈性力合外力振動方程A動力學方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結果相同例二三三 描寫簡諧振動的三個特征量描寫簡諧振動的三個特征量 從描寫簡諧振動的運動學方程從描寫簡諧振動的運動學方程 中可看出，一個簡諧振動系統(tǒng)，若確定了中可看出，一個簡諧振動系統(tǒng)，若確定了A

6、、，則則簡諧振動系統(tǒng)的振動就完全確定了，因此稱這三個量為簡諧振動系統(tǒng)的振動就完全確定了，因此稱這三個量為簡諧振動的三個特征量。簡諧振動的三個特征量。 )cos(tAx1 振幅振幅A 物體的運動范圍物體的運動范圍為：為： ，將，將物體離開平衡位置物體離開平衡位置的最大位移的的最大位移的絕對絕對值值稱為振動的稱為振動的振幅振幅。AxA平衡位置平衡位置X-AA2 2 周期和頻率周期和頻率 （1） 周期周期完成一次振動需時間-振動的周期振動的周期。)()(Ttxtx)(cos)cos(TtAtA（2）頻率）頻率 每秒內振動的次數(shù)稱為每秒內振動的次數(shù)稱為頻率頻率，單位：赫茲（，單位：赫茲（HZ） 2T2

7、TmkkmT2對彈簧振子對彈簧振子：T122T角頻率角頻率 tx圖圖AAxT2TtoglT22周期和頻率僅與振動系統(tǒng)周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身本身的物理性質有關的物理性質有關3 相位相位 )cos(tAxAA相位 ：是界定振子在時刻 的運動狀態(tài)的物理量運動狀態(tài)要由位置 和速度 同時描述，而 和 的正負取決于 ，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂時質點的運動狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時，振子的相位。tx圖圖AAxT2TtoX20( ( 取取 或或 ) )22020vxA4 4 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av)sin(

8、tAv)cos(tAxkm 00tanx v 0, 0, 0vxt已知已知 求求2 0 2 0sin 取取例四某物體沿 X 軸作簡諧運動， 振幅 A = 0.12周期周期 T = 2 s，t = 0 時x0 = 0.06 m處初相 , ,t = 0 .5 s 時的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點移動到位置A = 0.12 m，T = 2 s , = 2 / / T = rad s - -1 , 將 = / 3 / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動的 x, v, a 定義式得x A cos ( t ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.0

9、3 ( m s - -2 )x = A cos ( t ) )由簡諧振動方程t = 0 時0.06 = 0.12 cos 得 = / 3 / 3再由題意知 t = 0 時物體正向運動，即A0且 = / 3 / 3，則 在第四象限，故取例一0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 / / T T = (rad /s )0.04 2SI0cos0 xA0sin0vA t=0時時2 在不能延伸的輕線下端懸一小球在不能延伸的輕線下端懸一小球m m，小球，小球在重力和拉力作用下，在鉛直平面內作在重力和拉力作用下，在鉛直平面內作往復運動，這樣

10、的振動系統(tǒng)稱為往復運動，這樣的振動系統(tǒng)稱為單擺單擺。 懸線與鉛直方向之間的角度懸線與鉛直方向之間的角度作為小球作為小球位置的變量，稱為位置的變量，稱為角位移角位移，規(guī)定懸線在，規(guī)定懸線在鉛直線鉛直線右方右方時，角位移為時，角位移為正正 。 懸線的張力和重力的合力沿懸線的垂直方向指向平衡位置。懸線的張力和重力的合力沿懸線的垂直方向指向平衡位置。 sinmgF二二 單擺的振動單擺的振動 模型模型 平衡位置平衡位置-鉛直方向鉛直方向0F 任意位置任意位置當當很小時很小時 sin sin ( ( 5 5 ) )mgF 符合簡諧振動的動力學定義符合簡諧振動的動力學定義由牛頓第二定律由牛頓第二定律mgma

11、tmgdtdml22lg2令令0222dtd)cos(tmsinmgFglT22)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復力是線性回復力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學意義）（振幅的動力學意義）總機械能總機械能振幅不變振幅不變簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin

12、21均隨時間而變且能量相互轉換均隨時間而變且能量相互轉換變到最大時變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r例例 如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)k=24N/m，重物的質量，重物的質量m=6kg，重物靜止在平衡位置，重物靜止在平衡位置上。設以一水平恒力上。設以一水平恒力F=10N向左作用于物體（不計摩向左作用于物體（不計摩檫），使之由平衡位置向左運動了檫），使之由平衡位置向左運動了0.05m，此時撤去，此時撤去力力F。當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物。當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物體的運動方程。體的運動方程。解解:JE5 . 00

13、5. 010mkEA204. 0245 . 022)/1 (2624smk)2cos(204. 0 tx,0Axt時 例例 質量為質量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 .

14、23（4）pkEE 時，時，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x描述諧振動的方法描述諧振動的方法：2. 曲線法：曲線法：3. 旋轉矢量法：旋轉矢量法：1. 函數(shù)法：函數(shù)法：cos()xAtoAx cos()xAtx t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t ) )oAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )0)02t 物體正越過物體正越過原點原點, 以最大以最大速率速率運動運動.下個時刻

15、要向下個時刻要向x 軸的軸的負負方向運動方向運動.oAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t ) ) A物體在負向物體在負向位移位移極大處極大處, 速度速度為零為零.下個時刻要向下個時刻要向x 軸的軸的正正方向運動方向運動. toAx cos()xAt t+ t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )0)032t 物體正越過物體正越過原點原點, 以最大以最大速率速率運動運動.下個時刻要向下個時刻要向x 軸的軸的正正方向運動方向運動.oAx cos()xAt t+

16、t = t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AAx = A cos ( t )A)A0t 物體在正向物體在正向位移位移極大處極大處, 速度速度為零為零.下個時刻要向下個時刻要向x 軸的軸的負負方向運動方向運動.oAx cos()xAt t : 初相位初相位 t+ ：相位相位11t = 0AA循環(huán)往復循環(huán)往復A旋轉一周，投影點作一次全振旋轉一周，投影點作一次全振動，所需時間為諧振周期。動，所需時間為諧振周期。 2ToAx x t+ t = t 11t = 0AAx = A cos ( t ) )旋轉矢量的模旋轉矢量的模 A A 振幅振幅旋轉角速度旋轉角速度逆時針逆時針 角頻率角頻

17、率與與x軸的軸的0時刻夾角時刻夾角 初相位初相位t 時刻與x軸的夾角( t ) )相位相位矢量矢量 畫法小結畫法小結續(xù)上旋轉矢量端點 M 作勻速圓周運動振子的運動速度（與 X 軸同向為正）A其 速率AtAXAAXOtO 旋轉矢量端點 M 的加速度為法向加速度，其大小為A振子的運動加速度（與 X 軸同向為正）At和任一時刻的 和 值，其正負號僅表示方向。同號時為加速異號時為減速xx vxxvxxvxxv振動質點位移、速度與特征點振動質點位移、速度與特征點 (t=0(t=0時對應的時對應的)x00時時在在1,4象限象限v00時時在在3,4象限象限例例1. 一物體沿一物體沿 x 軸作簡諧振動，軸作簡

18、諧振動，A= 12cm, T = 2s 當當t = 0時時, x0= 6cm, 且向且向x正方向運動。正方向運動。解：解：（1）由旋轉矢量圖看）由旋轉矢量圖看cm()x0t 121 1 3 2 3 （2）t =0.5s 時時, 物體的位置物體的位置、速度速度、加速度。加速度。2cos()xAtT sin()vAt 2cos()aAt 212cos(0 5)23 10.4(cm) 118.9(s ) 2103(cm s ) 2 求（求（1） 初位相初位相 。0 ?（2）t =0.5s 時時例一0.040.0412簡諧振動的曲線完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2

19、 / / T T = (rad /s )0.04 2A = / 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時針旋轉時，A矢端的投影從x=0向X軸的負方運動，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡諧振動方程v0km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知 相應的旋轉矢量圖為20.2(SI)v0AAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：表示兩個振動狀態(tài)相位之差相位差：表示兩個振動狀態(tài)相位之差 . . 1 1）對對同一同一簡諧運動，相

20、位差可以給出兩運動狀簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間態(tài)間變化所需的時間. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它的簡諧運動，相位差表示它們間們間步調步調上的上的差異差異. .（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相例例 已知振動曲線求初相位及相位。已知振動曲線求初相位及相位。 如圖所示的如圖所示的xt振動曲線，已知振動曲線，已知振

21、幅振幅A、周期、周期T、且、且t=0 時時 ，求：，求：2Ax (1)該振動的初相位；該振動的初相位； (2)a、b兩點的相位；兩點的相位； (3)從從t=0到到a、b兩態(tài)所用的時間是多少兩態(tài)所用的時間是多少? 方法二，用旋轉矢量法方法二，用旋轉矢量法 由已知條件可畫出由已知條件可畫出t=0時振幅矢量，同時可畫出，時刻時振幅矢量，同時可畫出，時刻的振幅矢量圖如圖所示。由圖可知，的振幅矢量圖如圖所示。由圖可知，(3)(1)3(2)0at2bt623TTta TTtb125/23/2/2/ 例例 已知振動曲線求初相位及相位。已知振動曲線求初相位及相位。 如圖所示的如圖所示的xt振動曲線，已知振動曲

22、線，已知振幅振幅A、周期、周期T、且、且t=0 時時 ，求：，求：2Ax (1)該振動的初相位；該振動的初相位； (2)a、b兩點的相位；兩點的相位； (3)從從t=0到到a、b兩態(tài)所用的時間是多少兩態(tài)所用的時間是多少? 解：方法一解：方法一 (1) 由題圖可知，由題圖可知， t=0時，時， 2cosAAx21cos30sinAdtdxv3)3cos(tAx(2) 由題圖由題圖a點，點，cos()aaxAtA則則a點的相位點的相位0at 由題圖由題圖b點，點， cos()0bbxAt 2bt 0)sin(tAdtdxv故故b點的相位為點的相位為 :2bt (3) 設從設從t=0到兩態(tài)所用的時間

23、為到兩態(tài)所用的時間為ta、tb 0at2bt623TTtaTTtb125/23/2/2/第三節(jié) 振動合成且 相同同在 X X 軸合成振動用旋轉矢量法可求得合成振動方程與計時起始時刻有關合成初相分振動初相差與計時起始時刻無關，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用解析法推導：解析法推導： )cos()cos(221121tAtAxxxtAtAtAtAsinsincoscos sinsincoscos22221111()()tAAtAAsinsinsincoscoscos22112211tAtAsinsincoscos()tAcos其中，其中， 2211coscoscosAAA2211sins

24、insinAAA解之可得：解之可得： ()12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtgxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論討論相互加強相互加強xxtoo21AAA)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k若為其它值，則 處于與之間相互削弱相互削弱振動合成二為了突出重點，設兩分振動的振幅相等且初相均為零。合振動此合振動不是簡諧振動，一般比

25、較復雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：頻率為 的簡諧振動頻率為 的簡諧振動若與較大且相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方向同方向簡諧運動的簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動1 秒秒9 Hz8 Hz（包絡線）兩分振動的頻率1 Hz合振動頻率8.5 Hz合振幅每變化一周叫做合振幅每變化一周叫做一拍，一拍，單位時間出現(xiàn)的拍次數(shù)叫單位時間出現(xiàn)的拍次數(shù)叫拍頻拍頻。拍的頻率為兩個分振動的頻率之差。拍的頻率

26、為兩個分振動的頻率之差。385 Hz383 Hz聽到的音頻384 Hz強度節(jié)拍性變化2 Hz)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質點運動軌跡質點運動軌跡1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （橢圓方程）（橢圓方程） 討論討論yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao簡簡諧諧運運動動的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差4. 振動方向垂直、不同頻

27、率的諧振動的合成振動方向垂直、不同頻率的諧振動的合成 軌跡曲線稱為軌跡曲線稱為李薩如圖形李薩如圖形。一般軌跡曲線復雜，且不穩(wěn)定。一般軌跡曲線復雜，且不穩(wěn)定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xy4:26:410:8:xyN N 由切點數(shù)之比及已知頻率可測未知頻率。由切點數(shù)之比及已知頻率可測未知頻率。yxyxNN 2:13:25:4可以證明：可以證明：兩振動的頻率之比兩振動的頻率之比 成整數(shù)時成整數(shù)時, 合成軌跡穩(wěn)定。合成軌跡穩(wěn)定。yx 圖形形狀還與位圖形形狀還與位相差及振幅有關相差及振幅有關46振動合成四其合

28、運動一般較復雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當 為兩個簡單的整數(shù)之比時可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形例如小議鏈接2（1 1）0 ；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。結束選擇結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案 兩個同方向同頻率的諧振動，振動方程為兩個同方向同頻率的諧振動，振動方程為x1= =610-2 cos (5t + ), x2= =210-2 sin ( 5 t )2 則其合振動的振幅為諧振動則其合振動的振幅為諧振動（3 3）4 cm；用用旋旋轉轉矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖 任意形狀的剛體懸掛后繞一固任意形狀的剛體懸掛后繞一固定軸作小角度擺動，稱為定軸作小角度擺動，稱為復擺復擺。 設質心到轉軸距離為設質心到轉軸距離為L，則當其，則當其擺角為擺角為時剛體受到的重力矩為時