材料力學II—能量法方喻飛

1、131 概述132 應(yīng)變能 余能133 卡氏定理134 用能量法解超靜定問題135 虛位移原理及單位力方法 1. 彈性體2. 功能原理：3. 能量法：受力作用要發(fā)生變形，同時載荷作用點要產(chǎn)生位移，因此，外力在相應(yīng)的位移上要作功，而彈性體由于變形要積蓄一定的變形能。外力所作功 W 在數(shù)值上等于彈性體的變能U，即W=U用功能原理計算和分析構(gòu)件及結(jié)構(gòu)的位移、變形和內(nèi)力等問題。一、能量原理： U = W二、線彈性體的應(yīng)變能的計算1、軸向拉壓桿的變形能計算：LdxEAxNU2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能2、扭轉(zhuǎn)桿的變形能計算：LPdxGIxTU2)( 2niPiiiiIGLTU1

2、22 或21:u比能3、彎曲桿的變形能計算：LdxEIxMU2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能4、組合變性桿的變形能計算： 小變形時，各基本變形的變形能可單獨計算，然后相加，得到組合變性桿的總變形能。即：LLPLdxEIxMdxGIxTdxEAxNU2)( 2)( 2)( 222 注意:變形能是力的二次函數(shù)，因此，引起同一基本變形的一組外力在桿內(nèi)所產(chǎn)生的變形能，并不等于各力分別作用時產(chǎn)生的變形能之和。例如：21PP EA1PEA2PEA 21212221221222)(UUEALPPEALPEALPEALPPU結(jié)論：變形能與加載次序無關(guān)三、三、 非線性彈性體的應(yīng)變能表達式非

3、線性彈性體的應(yīng)變能表達式對圖(a)的拉桿,)關(guān)系如圖(其bFF在在d 上所作微功為上所作微功為 dW = F d F作的總功為作的總功為：1100ddFWW（F- 曲線與橫坐標軸間的面積）曲線與橫坐標軸間的面積）AFl(a)FF1FdO1(b)由能量守恒得應(yīng)變能：由能量守恒得應(yīng)變能：10dFWV(此為由外力功計算應(yīng)變能的表達式此為由外力功計算應(yīng)變能的表達式）類似，可得其余變形下的應(yīng)變能：類似，可得其余變形下的應(yīng)變能：wwFV0d而彎曲：梁受F0edMVMe而彎曲：梁受0 xd MVMx而扭轉(zhuǎn)：圓軸受 若取各邊長為單位長的單元體，則作用于上、下若取各邊長為單位長的單元體，則作用于上、下表面上的力

4、為表面上的力為: :F = 11 = 其伸長量為：其伸長量為： 1 則作用于此單元體上的外力功為：則作用于此單元體上的外力功為：10dW 注意到此單元體注意到此單元體的體積為單位值，從的體積為單位值，從而此時的應(yīng)變能而此時的應(yīng)變能( (數(shù)數(shù)值上等于上式中的值上等于上式中的W) ) 為應(yīng)變能密度為應(yīng)變能密度: :10dv( - - 曲線與橫坐標軸間曲線與橫坐標軸間的面積的面積）Od11(c) 若取邊長分別為若取邊長分別為dx、dy、dz 的單元體，則此的單元體，則此單元體的應(yīng)變能為：單元體的應(yīng)變能為：zyxvVdddd整個拉桿的應(yīng)變能為：整個拉桿的應(yīng)變能為：VvVVvvdd(此為由應(yīng)變能密度計算

5、應(yīng)變能的表達式此為由應(yīng)變能密度計算應(yīng)變能的表達式) )為常量積內(nèi)特別地，在拉桿整個體vAlvVvV所以有說明：線彈性體的說明：線彈性體的v 、V 可作為非線性體的可作為非線性體的v 、 V 的的特例。由于線彈性的特例。由于線彈性的F與與 或或 與與 成正比，則成正比，則F 曲曲線或線或 曲線與橫坐標軸圍成一個三角形，其面積曲線與橫坐標軸圍成一個三角形，其面積等于應(yīng)變能等于應(yīng)變能V 和應(yīng)變能密度和應(yīng)變能密度v 。lEAEAlFFWV2221212111EEv22121d21211101同理，可得純剪時的同理，可得純剪時的應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度v 為：為：GGv22121d21211101例例11-

6、1 彎曲剛度為彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載的簡支梁受均布荷載q作用，作用，如圖所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能如圖所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能 。解：梁的撓曲線方程為：解：梁的撓曲線方程為：lxlxlxEIlqw44334224荷載所作外力功為：荷載所作外力功為：wxqWld210將前一式代入后一式得：將前一式代入后一式得：EIlqWV24052wxlyABqx例例11-2 11-2 原為水平位置的桿系如圖原為水平位置的桿系如圖a 所示，試計算在所示，試計算在荷載荷載F1作用的應(yīng)變能。兩桿的長度均為作用的應(yīng)變能。兩桿的長度均為l，橫截面面，橫截面面積均為積均為A，其材料相同，彈性模量為其材料相同，彈性模量

7、為E，且均為線彈，且均為線彈性的。性的。解：設(shè)兩桿的軸力為解：設(shè)兩桿的軸力為FN ，則兩桿的伸長量均為：則兩桿的伸長量均為：EAlFlN兩桿伸長后的長度均為：兩桿伸長后的長度均為：EAFlllN1F111ll(a)EAFllllllllllllllNl22 2112222由圖由圖a的幾何關(guān)系可知：的幾何關(guān)系可知：F111ll(a)22tan2sin2FllFFFFN代入前一式得：代入前一式得：lEAF3或：或：EAlF3（幾何非線性彈性問題幾何非線性彈性問題）其其F- 間的非線性關(guān)系曲線為：間的非線性關(guān)系曲線為：應(yīng)變能為：應(yīng)變能為：1134103104141dd1FEAlEAlFVFF= ()

8、EA 3O/l2. 余能余能 設(shè)設(shè)圖圖a為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的F- 曲線如圖曲線如圖b 。“余功余功Wc”定義為：定義為：FCFW10d 與余功相應(yīng)的能稱為余能與余功相應(yīng)的能稱為余能Vc，余功余功Wc與余能與余能Vc 在數(shù)值上相等。在數(shù)值上相等。F(a)FOdF 1F1 (b)FCcFWV10d（代表代表F- 曲線曲線與縱坐標軸間的面積與縱坐標軸間的面積）即：即：FOdF 1F1 (b)另外，也可由余能密度另外，也可由余能密度vc計算余能計算余能V c：VvVcccd其中，余能密度其中，余能密度vc為：為：10dcv（代表圖代表圖c中中 - 與

9、縱坐標軸間的面積與縱坐標軸間的面積）Od1(c)對線彈性材料，余能和應(yīng)變能僅在數(shù)值上相等，對線彈性材料，余能和應(yīng)變能僅在數(shù)值上相等，其概念和計算方法卻截然不同。其概念和計算方法卻截然不同。注意：注意：對非線性材料，則對非線性材料，則余能余能V c與應(yīng)變能與應(yīng)變能V 在數(shù)值上在數(shù)值上不一定相等。不一定相等。余功、余能、余能密度都沒有具體的物理概余功、余能、余能密度都沒有具體的物理概念，僅是具有功和能的量綱而已。念，僅是具有功和能的量綱而已。例例11-3 11-3 試計算圖試計算圖a 所示結(jié)構(gòu)在荷載所示結(jié)構(gòu)在荷載F1 1作用下的余能作用下的余能Vc c 。結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為。結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為

10、l，橫截面面積均為，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖材料在單軸拉伸時的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖b所示。所示。解：解：兩桿軸力均為：兩桿軸力均為：cos21FFN兩桿橫截面上的應(yīng)力為：兩桿橫截面上的應(yīng)力為：cos211AFAFNO111)(n / 1nK(b)F1CBD(a)11cos) 1()2()(2nnnccFnKAllAvV所以所以余能為余能為余能密度為：余能密度為：110 0ddncKv由已知由已知nK 133 卡氏定理1.1.卡氏第一定理卡氏第一定理設(shè)圖中材料為非線性彈性，設(shè)圖中材料為非線性彈性，由于應(yīng)變能只與最由于應(yīng)變能只與最后荷載有關(guān)，而與后荷載有關(guān)，而與加載順序

11、無關(guān)。不加載順序無關(guān)。不妨按比例方式加載，妨按比例方式加載，從而有從而有iniiFWVd101 假設(shè)與第假設(shè)與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量d i ,則則應(yīng)變能的變化為：應(yīng)變能的變化為：iiVVdd123n123nB 因因僅與第僅與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量,而與其而與其余各余各荷載相應(yīng)的位移保持不變，因此，對于位移的微荷載相應(yīng)的位移保持不變，因此，對于位移的微小增量小增量d i ，僅，僅Fi作了外力功，外力功的變化為：作了外力功，外力功的變化為：iiFWdd注意到上式與下式在數(shù)值上相等注意到上式與下式在數(shù)值上相等iiVVdd從而

12、有：從而有：iiVF（卡氏第一定理卡氏第一定理 ）注意：注意：卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體。性彈性體。式中式中Fi及及 i分別為廣義力、廣義位移。分別為廣義力、廣義位移。必須將必須將V 寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。例例11-4 由兩根橫截面面積均為由兩根橫截面面積均為A的等直桿組成的平的等直桿組成的平面桁架，在結(jié)點面桁架，在結(jié)點B處承受集中力處承受集中力F，如圖，如圖a 所示。兩所示。兩桿的材料相同，其彈性模量為桿的材料相同，其彈性模量為E，且均處于線彈性范，且均處于線彈性范圍內(nèi)。試按卡

13、氏第一定理，求結(jié)點圍內(nèi)。試按卡氏第一定理，求結(jié)點B的水平和鉛垂位的水平和鉛垂位移。移。 解：解： 設(shè)結(jié)點設(shè)結(jié)點B的水平和鉛垂位移分別為的水平和鉛垂位移分別為 1和和 2，先假設(shè)結(jié)點先假設(shè)結(jié)點B只發(fā)生水平位移只發(fā)生水平位移 1 （圖（圖b）10112245cosBCAB則：則：AB(b)CB1ABF45O(a)Cl同理，結(jié)點同理，結(jié)點B只發(fā)生鉛垂位移只發(fā)生鉛垂位移 2（圖（圖c）則：則：2022245sin0BCAB當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時，則有（疊加）當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時，則有（疊加）21122BCABAB(c)CB 221212121221212222lEAlEAlEAVii

14、應(yīng)用卡氏第一定理得應(yīng)用卡氏第一定理得FVV21 0 及解得：解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的應(yīng)變能為桁架的應(yīng)變能為2.卡氏第二定理卡氏第二定理設(shè)有非線性彈性的梁，設(shè)有非線性彈性的梁，梁內(nèi)的余能為：梁內(nèi)的余能為：iniFccFiWVd110假設(shè)第假設(shè)第i個荷載個荷載Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余，而其余荷載均荷載均保持不變，因此，由于保持不變，因此，由于Fi改變了改變了dFi ，外力總余功的外力總余功的相應(yīng)改變量為：相應(yīng)改變量為：iicFWdd余能的相應(yīng)改變量為：余能的相應(yīng)改變量為：iiccFFVVdd123n123nB由于外力余功在數(shù)值上等于余能，得由于外力余功在數(shù)值

15、上等于余能，得ccWVdd解得：解得：FVici（稱為（稱為“余能定理余能定理”） 特別：特別： 對線彈性體，由于力與位移成正比，應(yīng)對線彈性體，由于力與位移成正比，應(yīng)變能變能V 在數(shù)值上等于余能在數(shù)值上等于余能V c ， 此時上式變?yōu)椋捍藭r上式變?yōu)椋篎Vii（稱為（稱為“卡氏第二卡氏第二定理定理”）式中的式中的Fi 和和 i分別為廣義力和廣義位移。分別為廣義力和廣義位移。注意：注意：卡氏第一定理和卡氏第一定理和余能定理余能定理既適合于線彈性體，既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體，而卡氏第二定理也適合于非線性彈性體，而卡氏第二定理 作作為為余能定理的特例，僅余能定理的特例，僅適合于線彈性體。

16、適合于線彈性體。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所導出的位移是加力點沿加力方向的位移。所導出的位移是加力點沿加力方向的位移。當所求位移處無相應(yīng)廣義力時，可在該處當所求位移處無相應(yīng)廣義力時，可在該處“虛加虛加”上廣義力，將其看成已知外力，反上廣義力，將其看成已知外力，反映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導后，再映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導后，再令該令該“虛加虛加”外力為外力為0 0。實際計算時，常采用以下更實用的形式：實際計算時，常采用以下更實用的形式：例例11-6 11-6 圖示桁架結(jié)構(gòu)。已知：圖示桁

17、架結(jié)構(gòu)。已知：F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpa。求。求A點垂直位移。點垂直位移。 C B 45o 30o 1m A 0.8m F 312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365. 13123122222111例例11-7 彎曲剛度為彎曲剛度為 EI的懸臂梁受三角形分布荷載如的懸臂梁受三角形分布荷載如圖所示。梁的材料為線彈性體，且不計切應(yīng)變對撓度圖所示。梁的材料為線彈性體，且不計切應(yīng)變對撓度的影響。試用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端的撓度。的影響。試用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端的撓度。

18、 解：解：在自由端在自由端“虛加虛加”外力外力F任意任意x截面處的彎矩為：截面處的彎矩為：Fxxlq)x(M)x(M)x(MFq3061xF)x(MqqxlyABx00lxFEIlqxxlxqEIxFxMEIxMwllFA30d61d)()(4003000例例11-8 彎曲剛度均為彎曲剛度均為 EI的靜定組合梁的靜定組合梁 ABC，在，在 AB段上受均布荷載段上受均布荷載q作用，如圖作用，如圖a 所示。梁材料為線彈性所示。梁材料為線彈性體，不計切應(yīng)變對梁變形的影響。試用卡氏第二定理體，不計切應(yīng)變對梁變形的影響。試用卡氏第二定理求梁中間鉸求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。 解：

19、解：在中間鉸在中間鉸B兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶MB（圖（圖b)各支反力如圖各支反力如圖b。 AB段彎矩方程：段彎矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏第二定理得：由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300 結(jié)果符號為正，說明相對轉(zhuǎn)角結(jié)果符號為正，說明相對轉(zhuǎn)角B的轉(zhuǎn)向與圖的轉(zhuǎn)向與圖b中虛加外力偶中虛加外力偶MB的轉(zhuǎn)向一致。的轉(zhuǎn)向一致。BC段彎矩方程段彎矩方程xlM)x(MB例13-1-1 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力P的作用，求A點的垂直位移。APR解

20、：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）、求內(nèi)力sin)(:PRM彎矩)cos1 ()(: PRT扭矩PA RntTM、外力功等于應(yīng)變能、變形能：LLPLdxEIxMdxGIxTdxEAxNU2)( 2)( 2)( 222022202222)(sin2)cos1 (RdEIRPRdGIRPPEIRPGIRPP4433232UfPWA2EIPRGIPRfPA22333APR例13-1-2 用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。qCPfW21解：外力功等于應(yīng)變能LdxEIxMU2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在應(yīng)用對稱性，得：EIaPdxxPEIUa12)2(2123202PaaA AC CB Bf

21、xEIPafUWC63思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？此時還不行。LPA例13-4-1 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。EI求變形 求內(nèi)力解：求撓度，建立坐標系xPxPxMA)(xO 將內(nèi)力對P A求偏導xPxMA)(LAAAdxPxMEIxMPUf)()( EIPL33LdxEIPx021、求 fA2、求轉(zhuǎn)角 A：xO LP 求內(nèi)力AMxPxM)(MAA由于沒有與A向相對應(yīng)的力（廣義力），加MA。EIPL22“負號”說明A 與所加廣義力MA反向。 將內(nèi)力對MA求偏導后，令MA=01)(0AMAMxMLAAdxMxMEIxM)()( LdxEIPx0 求變形（ 注意：MA =

22、 0）22APLEI LPPxx例13-4-2 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線。fxO求撓曲線任意點的撓度 f（x） 求內(nèi)力 將內(nèi)力對P x求偏導后，令Px =0沒有與f（x）相對應(yīng)的力，加Px。x1)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMxPxAB10)(ABC0)(0 xPxBCPxM變形（ 注意：Px = 0）LxxdxPxMEIxMPUxf)()( )(xdxxxxLPEI0111)(1)2)(3(223LxxxLxEIP。間的鉛垂方向相對位移用卡氏第二定理求剛架例AB3413PaMFEPxMBFxaPMDEPaMDCPxMAC2:)(:21：程解

23、：列出各段的彎矩方EIPaEIyaPaEIxPxEIyPaEIxxaxaPEIxPxxPMEIMVaaaaalAB301202220230110211d22ddd)(ddAPPa2aaCDEFB間的鉛垂方向相對位移求剛架 AB間的相對角位移。用卡氏第二定理求剛架例AB4413PaMMFEPxMMBFPxMPaMDEMPaMCDMPxMACeeeee2:221）列各段的彎矩方程APa2aaCDEFBPeMBA相等方向相反的力偶處加一對大小、）在解： 1eMeMEIPaEIyPaEIxPxEIxPxPaEIyPaEIxPxxMMEIMaaaaaelAB201202230110204d)2(d)(d

24、)(ddd方向相反）(處的撓度。點用卡氏第二定理求梁中例A5413EIqalEIqlEIqalEIqaEIdxqxxqaxEIdxxqaxll7685)2(16)3(16)2(48)4283(284433201311120ABC2lq2l方向集中力，如圖點加）在解：yA1ABCqP28Pqa 283Pqa 0PEIdxPMMyAxqxPqaMCAxPqaMBA2112)283(:)22(:、3）列彎矩方程、求變形PqaRPqaRCB28328、2）求支反力處的轉(zhuǎn)角。用卡氏第二定理求剛架例A6413ACBllEIBREI2eMA處加力偶）在解：1eMeeMlqMCBxqMMAC222:2:2 ）

25、列各段彎矩方程EIqlEIdylqEIdxxqll127222302020eMleAEIdxMMM的水平位移。用卡氏第二定理求剛架例A7413qaPHqaPVqaPVBBA22、lAEIdxPMMXEIqaEIdyyaqyaqaEIdxxqaaa247)(22(22402020PACBaaqEIEI2PA點加水平力）在解： 1P2qaP 2qaP qaP 2)2(:)2(:32qyPyaqaPMCBxqaPMAC變形）列各段彎矩方程、求）求支反力2。為相同材料，相同截面，的鉛垂位移。架用卡氏第二定理求三角例ACABA8413桿內(nèi)力，）求解：ACAB1aABC30PPABNACN)(32壓、PN

26、PNACAB)()338(3)3(3222EAPaEAaPEAaPEAlPNNyA）求變形2在鉛垂方向。已知，力、的相對位移。材料的兩點間、開口圓環(huán)上用卡氏定理求水平面內(nèi)例PdGEBA9413PBRPPPAPMPT求相對鉛垂位移解):aPPPPPPPABGIPREIPRGIdPREIdPRGIRdPTTEIRdPMMV332023202320203)cos1 (sin)cos1 (sinPRTPRMPP、PPPeeABGIPRGIdPREIdPRGIRdMTTEIRdMMM220220220204sin)cos1 (cossin0 eMAB求相對轉(zhuǎn)角)beMeMsin)cos1 (cossin

27、11ePePMPRTTTMPRMMM1M1T，如圖相反的力偶矩加一對大小相等、方向eM，如圖相反的扭矩力偶處加一對大小相等方向，在相對扭轉(zhuǎn)角求eTBAABc)2M2Tcos)cos1 (sinsin22ePePTPRTTTTPRMMM方向相反）與nPPPeeABMGIPREIPRGIdPREIdxPRGIRdTTTEIRdTMM(cos)cos1 (sin22202202220200 eTeTeT解：在點A施加一豎直方向的單位力（圖108），并分別求出由載荷P及單位力所引起的各桿內(nèi)力，如表101所示。例 試求圖108所示桁架節(jié)點A的豎直位移。ooa a2 2P P2 2PaPa2 22 2Pa

28、PaPaPaa aa aP P2P P1 11 1桿號 長度由P引起的軸力Ni由單位力引起的軸力NiNiNi Liooa a2 2a aP P2 22 2PaPa2 22)Pa)Pa2 24 4(3(3P P1PaPa桿號長度由P引起的軸力Ni由單位力引起的軸力NiNiNi Li故在A點的豎直位移 (34 2)APafEA例134用卡氏定理計算圖所示梁跨度中點C 及外伸端點 D 撓度fc、fD 。根據(jù)受力與約束情況,彎矩方程需分三段來寫。根據(jù)靜力平衡條件得求支反力ABR =0,R =2P分段列出彎矩方程M(x)解：第一種解法11A1M(x )M(x )=R x =0=0Pa）a）x xCB段（

29、aCB段（a2 222222M(x )M(x )=-P(x -a)=-(x -a)Pa）a）x xAC段（0AC段（01 1a）a）x xBD段（2aBD段（2a3 33333322M(x )=-P(x -a)+2P(x -2a)=P(x -3a)M(x )=-(x -a)P計算撓度計算撓度f fc c、f fD D 。根據(jù)卡氏定理，得cla2a3a3311221230a2a2a3a322233a2a333UM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIPP(x -3a)-P(x -a)0+-(x

30、 -a) dx +(x -3a)dx =EIEIPaPa2Pa0+=3EI3EI3EI3DlUM(x) M(x)2Paf =dx=PEIP3EIF 其結(jié)果均為正，表明C點、D點的位移方向均與外力的作用方向一致。但是，這是一個錯誤的結(jié)果。同樣的方法，求得 D 的撓度x x1x x2x x3第二種解法第二種解法暫時用 P1 表示點的集中力P，用P2表示點的集中力P，如圖所示。此時，支反力為:121232222ABPPPPRR2 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2分段列出彎矩方程，并對P1 、P2求偏導數(shù)

31、a）a）x xAC段（0AC段（01 11211111112PPM(x )xM(x )xM(x )=(-)x=,=-22P2P2a）a）x xCB段（aCB段（a2 2212221222221222PPM(x )=(-)x -P(x -a)22M(x )x1=-(x -a)=-(x -2a)P22M(x )x=-P22 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2a）a）x xBD段（2aBD段（2a3 331212331333333133332PPP3PM(x )=(-)x -P(x -a)+(+)(x -

32、2a)2222M(x )x1=-(x -a)+(x -2a)=0P22M(x )x3=-+(x -2a)=x -3aP22計算撓度fc、fD 。根據(jù)卡氏定理，得將P2 =P2= P代入上式，得Dla2a3a3311221230a2a11112122212a2a11220aUM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIPPPPP(-)x(-)x -P(x -a)x12222dx +- (x -2a) dx +0EI2EI23cPaf =-12EIF 負號表明此處位移方向與所手載荷方向相反，因此點實

33、際位移應(yīng)向上。2 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2同樣，D 點的撓度fD 為將 P2 =P2= P 代入上式，得3D9Paf =12EI正號表明此處位移方向與所受載荷 P2 方向相同，因此點實際位移應(yīng)向下。顯然，第二種解法是正確的。Dl22a2a3a3311221230a2a222UM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIP12121212a2a12120aPPPP(-)x(-)x -P(x -

34、a)xx2222(-)dx +(-)dxEI2EI2121231333a332aPPP3P(-)x -P(x -a)+(+)(x -2a)2222(x -a)dxEI本節(jié)應(yīng)用能量法求解靜不定系統(tǒng)。 應(yīng)用能量法求解靜不定系統(tǒng)，特別是對桁架、剛架等構(gòu)成的靜不定系統(tǒng)，將更加有效。 求解靜不定問題的關(guān)鍵是建立補充方程。 靜不定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為外力靜不定系統(tǒng)和內(nèi)力靜不定系統(tǒng)。13-4 用能量法解超靜定問題一、外力靜不定系統(tǒng)一、外力靜不定系統(tǒng) 由于外部的多余約束而構(gòu)成的靜不定系統(tǒng), 一般稱為外力靜不定系統(tǒng)。 求解外力靜不定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處

35、的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。 解除多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原靜不定系統(tǒng)的靜定基本系統(tǒng)，或相當系統(tǒng)。例：作圖示梁的彎矩圖 。解：變形協(xié)調(diào)條件為A 0即M lPlA22381202解得MPlA316MPlA316516P532Pl /316Pl另解：變形協(xié)調(diào)條件為vB 0即R llPllB222238560解得RPB516MPlA316516P532Pl /316Pl例：作圖示梁的彎矩圖 。解：變形協(xié)調(diào)條件為vA 0即2223222R llPllA解得解得RPA4332PllPll22223820RPA4332564PlRPC5321132PlPl例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖 。解：

36、變形協(xié)調(diào)條件為解：變形協(xié)調(diào)條件為BV 0即即R aaR aPaBB23322320解得RPB3838P38Pa58Pa例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖 。解：變形協(xié)調(diào)條件為解：變形協(xié)調(diào)條件為BV 0即即R aaR aqaBB23422360解得RqaB8qa8qa28382qa例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖 。解：變形協(xié)調(diào)條件為BH 0即R aaR aaPaaBB22223223220解之得RPB/ 4Pa438PaM圖圖二、內(nèi)力靜不定系統(tǒng)有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力靜不定系統(tǒng)。 求解內(nèi)力靜不定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束。例：求

37、A、B兩點間的相對線位移 AB。由對稱性知由對稱性知:NP02Q00變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件:D 0MMPR( )(cos )021M01( )DsMME Is0d MPRE IR00221 (cos )dRE IMPRD2221 0由此得MPRD121MPRPR( )(cos ) 12121PRcos21MR01( )(cos ) DMME IR( )( )002dPRE I381ABDPRE I2423例：求圖示圓環(huán)的最大彎矩Mmax。EI為常量。由對稱性知：A、B截面上剪力為零MMNNPABAB3變形協(xié)調(diào)條件:A 0MMPRMMME IsMPRE IRRE IMPRMPRPRAAsAAA

38、( )(cos )( )(cos ). 31131333320333201000003dd由彎矩方程：知 最大彎矩發(fā)生在即 截面 其值為MMPRPRPRPRCMPRPRPRA( )(cos )(cos )cos,cos.max 31333231332060603323236018960對稱性的利用：對稱結(jié)構(gòu)：對稱結(jié)構(gòu)：若將結(jié)構(gòu)繞對稱軸對折后，結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的部分將完全重合。正對稱載荷：正對稱載荷：繞對稱軸對折后，結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的載荷的作用點和作用方向?qū)⒅睾希颐繉α?shù)值相等。反對稱載荷：反對稱載荷：繞對稱軸對折后，結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的載荷的數(shù)值相等，作用點重合而作用方向相反。對稱結(jié)構(gòu)在正對

39、稱載荷作用下：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷作用下：結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是對稱的位于對稱軸上的截面C的內(nèi)力 QC=0對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下：結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形是反對稱的位于對稱軸上的截面C的內(nèi)力 NC=0， MC=0 例：圖示小曲率桿在力偶m與均勻分布剪流q作用下處于平衡狀態(tài)，已知q、R與EI=常數(shù)，試求A截面的剪力、彎矩和軸力。QqRMNAAA,00例：平面框架受切向分布載荷q作用，求A截面的剪力、彎矩和軸力。QqbMNAAA,00例：圖示剛架 EI為常量，畫出剛架的彎矩圖。解：變形協(xié)調(diào)條件為EV 0即:Q aaQ aaPaaEE2228322220解之得QPE67AP0=1

40、圖圖c13135 5 虛位移原理及單位力方法 AcfUUU10q（x）f Aq（x）f AA圖圖aAP0=1圖圖bLxEIxMUd2)( 2LxEIxMUd2)( 200LCxEIxMxMUd2)()( 20LAxEIxMxMfd)()( 0求圖a任意點A的位移f A 。一、定理的證明： 上式即為莫爾定理，也稱莫爾積分、單位力法或單位載荷法。莫爾定理是計算線彈性結(jié)構(gòu)位移的一種有效方法。二、普遍形式的莫爾定理LLLpxEIxMxMxGIxTxTxEAxNxNd)()( d)()( d)()(000 D 視為廣義位移。若D 為線位移，則在欲求該處沿位移方向加單位力；若D 為角位移，則在欲求 處沿轉(zhuǎn)

41、向加單位力偶。M(x)與 M 0(x)同樣視為廣義的內(nèi)力， M(x)為外載引起的內(nèi)力表達式； M0 (x)為單位載荷引起的內(nèi)力表達式； M(x)與 M0 (x)的定義域相同，否則應(yīng)分段利用莫爾定理。LxEIxMxMd)()( 0故計算任一點位移的公式為M(x)與M0(x)坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立。莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。M0(x): 去掉主動力，在所求 處，沿所求的方向加時，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。三、使用莫爾定理的注意事項：例13-2-1 用能量法求C點的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。qaaA AC C

42、B B2)(2qxaqxxM)2( ; )2(2)0( ; 2)(0axaxaxaxxxM d)()(d)()(2000aaaCxEIxMxMxEIxMxMfaxEIxMxM00d)()(2對稱性對稱性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402求變形解：加單位載荷如圖求內(nèi)力xaaA AC CB BP0=1xaaA AC CB BMC 0=1求C點轉(zhuǎn)角，重建坐標系（如圖）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :AC211qxqaxxM d)()( d)()()(00)(00aBCaABCxEIxMxMxEIxMxMqaaA

43、AC CB Bx1x2axxM2)( 100 2)( :BC222qxqaxxMaxxM2)(20例13-2-2 拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B點的垂直位移。500300P0=1BAC C20510PxxMAB)(xxMAB)(0PxTCA3 . 0)(13 . 0)(10 xTCA500300P=60NBAC C20510 xx1解：加單位載荷如圖求內(nèi)力PxxMAB)(xxMAB)(0PxTCA3 . 0)(13 . 0)(10 xTCA01110()() d( )( ) dCACABLpABABLTx TxxGIMx MxxEI 3 . 0025 . 001dd3 . 03 . 0 xEIPxxGIPPPACABABABGILPLLEIPL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8求變形500300P0=1BAC C205101223A例外伸梁受力如圖，用單位力法求 點轉(zhuǎn)角。求內(nèi)力)2lxMxqqlMBCMxqMAB0202283:12:、1A解： ）在 點加一單位力矩，如圖）求變形）求變形3EIqlxEIlxxqqlxEIxqxEIMMllA48d)(283(d12d30