根軌跡與頻域分析

1、第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n 根軌跡法是一種求解閉環(huán)特征方程根的簡便圖解根軌跡法是一種求解閉環(huán)特征方程根的簡便圖解法。法。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析1.根軌跡分析法根軌跡分析法（根軌跡（根軌跡系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)( k )從從0 到到 時，時，閉環(huán)極點在閉環(huán)極點在s 平面上的軌跡平面上的軌跡 。）。） 利用根軌跡法能夠分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定系利用根軌跡法能夠分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定系統(tǒng)的統(tǒng)的 穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)特性。穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)特性。它是根據(jù)系統(tǒng)的它是根據(jù)系統(tǒng)的 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)極點、零點的極點、零點的

2、 分布和分布和一些簡單的一些簡單的 規(guī)則，研究開環(huán)系統(tǒng)的某個特定參數(shù)，規(guī)則，研究開環(huán)系統(tǒng)的某個特定參數(shù)，通常是回路增益通常是回路增益K從從0變化到無窮大時，變化到無窮大時，描繪閉環(huán)系描繪閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)的特征方程的根在的特征方程的根在S平面的所有可能位置的圖形。平面的所有可能位置的圖形。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n閉環(huán)系統(tǒng)的特征根方程為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征根方程為：1+KG（s）=0 ，對，對K的的不同取值，可以繪制出每個特征根變化的曲線，這不同取值，可以繪制出每個特征根變化的曲線，這樣的曲線稱為系統(tǒng)的根軌跡。樣的曲線稱為系統(tǒng)的根軌跡。 根軌跡圖繪制的基本考慮是：假設(shè)單變量系統(tǒng)的

3、根軌跡圖繪制的基本考慮是：假設(shè)單變量系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s），且設(shè)控制器增益為），且設(shè)控制器增益為K，整個控，整個控制系統(tǒng)是由單位負反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，則求出閉環(huán)系制系統(tǒng)是由單位負反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，則求出閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為Gc（s）=KG（s）/（1+KG（s）n若系統(tǒng)零極點增益形式開環(huán)傳遞函數(shù)若系統(tǒng)零極點增益形式開環(huán)傳遞函數(shù) ：)()()()()()(2121nmpspspszszszsksHsG第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析)()(1)()()(sHsGsHsGs閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)1)()()()()()(2121nmpspsp

4、szszszsksHsG此方程稱為根軌跡方程。此方程稱為根軌跡方程。則閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點就是閉環(huán)特征方程：則閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點就是閉環(huán)特征方程： 1 + G(s)H(s) = 0 的根滿足的根滿足 ：的點時，的點時，所以：所以：滿足根軌跡方程的點滿足根軌跡方程的點 都在根軌跡上都在根軌跡上根軌跡上的點根軌跡上的點 都滿足根軌跡方程，都是閉環(huán)特征根都滿足根軌跡方程，都是閉環(huán)特征根(閉環(huán)極閉環(huán)極點點)。n1 rlocus（）求系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)；（）求系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)；n調(diào)用格式：調(diào)用格式：nrlocus（sys）繪制系統(tǒng)的根軌跡；）繪制系統(tǒng)的根軌跡；nrlocus（sys，K）繪制增益為）繪制增益

5、為K的閉環(huán)極點；的閉環(huán)極點；nrlocus（sys1，sys2，）在同一復(fù)平面繪制多個系統(tǒng)）在同一復(fù)平面繪制多個系統(tǒng)的根軌跡，為區(qū)分各個系統(tǒng)的不同根軌跡，可用不同的顏的根軌跡，為區(qū)分各個系統(tǒng)的不同根軌跡，可用不同的顏色來顯示，如色來顯示，如rlocus（sys1，r，sys2，y）；）；n2rlocfind（sys）為計算給定一組根軌跡增益的函數(shù)）為計算給定一組根軌跡增益的函數(shù)n k， poles = rlocfind（sys）可計算與根軌跡上極點）可計算與根軌跡上極點相對應(yīng)根軌跡的增益相對應(yīng)根軌跡的增益k。k， poles = rlocfind（sys）執(zhí)）執(zhí)行后用戶可在根軌跡上選擇一點其相

6、應(yīng)的增益行后用戶可在根軌跡上選擇一點其相應(yīng)的增益K與增益相與增益相關(guān)的所有極點記錄于關(guān)的所有極點記錄于poles中。中。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n例已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并在根軌跡圖上任意一點計算該點的增益試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并在根軌跡圖上任意一點計算該點的增益K及其所有及其所有極點的位置。并繪制系統(tǒng)的階躍和沖激響應(yīng)驗證其穩(wěn)定性。極點的位置。并繪制系統(tǒng)的階躍和沖激響應(yīng)驗證其穩(wěn)定性。)12(3)(1()5()(ssssksG）第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析解：程序：解：程序：

7、num=1,5;den=conv(1,1,conv(1,3,1,12);sys=tf(num,den)rlocus(sys) %繪制根軌跡圖繪制根軌跡圖k,poles=rlocfind(sys) %計算用戶選定的點處的增益和它的閉環(huán)極點計算用戶選定的點處的增益和它的閉環(huán)極點title(根軌跡根軌跡) numc,denc=feedback(num,den,1,1)step(numc,denc)impulse(numc,denc)運行結(jié)果：運行結(jié)果：圖6根軌跡圖Transfer function: s + 5- s3 + 16 s2 + 51 s + 36 Select a point in th

8、e graphics window selected_point =-5.4573 - 4.4099i k = 56.3328poles = -7.2325 -4.3838 + 4.9704i -4.3838 - 4.9704i 階躍響應(yīng)圖 沖激響應(yīng)圖 結(jié)論：結(jié)論：k =56.3328時，對應(yīng)的時，對應(yīng)的poles1 =-7.2325 ；poles2 = -4.3838 + 4.9704i；poles3= -4.3838 - 4.9704i。由系統(tǒng)的階躍和沖激響應(yīng)曲線分析可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。由系統(tǒng)的階躍和沖激響應(yīng)曲線分析可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析numc =

9、0 0 1 5denc =1 16 52 411穩(wěn)定性穩(wěn)定性所有閉環(huán)零極點必須位于所有閉環(huán)零極點必須位于s 平面上的虛軸之左；平面上的虛軸之左；2快速性快速性閉環(huán)極點離虛軸越遠越好；閉環(huán)極點離虛軸越遠越好；3振蕩性振蕩性閉環(huán)極點離實軸越近越好；閉環(huán)極點離實軸越近越好；4閉環(huán)零點盡量靠近閉環(huán)極點，最好靠近離虛軸最近的閉環(huán)極閉環(huán)零點盡量靠近閉環(huán)極點，最好靠近離虛軸最近的閉環(huán)極點以形成偶極子。點以形成偶極子。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n根軌跡與系統(tǒng)性能指標的定性關(guān)系根軌跡與系統(tǒng)性能指標的定性關(guān)系根軌跡繪制的一般法則根軌跡繪制的一般法則:1.根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)

10、根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù),一般情況下等于一般情況下等于開環(huán)極點數(shù)開環(huán)極點數(shù).2.根軌跡的一定對稱于實軸根軌跡的一定對稱于實軸.3.根軌跡始于開環(huán)極點根軌跡始于開環(huán)極點,終止于開環(huán)零點終止于開環(huán)零點.如果開環(huán)極點不等于開環(huán)如果開環(huán)極點不等于開環(huán)零點數(shù)零點數(shù),則根軌跡不是終止于無窮大就是始于無窮大處則根軌跡不是終止于無窮大就是始于無窮大處.4.如實軸右側(cè)開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)之和為奇數(shù)如實軸右側(cè)開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)之和為奇數(shù),則實軸段為根則實軸段為根軌跡或是其中的一部分軌跡或是其中的一部分.第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析 頻域分析法是一種圖解分析法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻頻域

11、分析法是一種圖解分析法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻率特性對系統(tǒng)的性能（如穩(wěn)定性、快速性和準確性）率特性對系統(tǒng)的性能（如穩(wěn)定性、快速性和準確性）進行分析。進行分析。 2頻域分析法頻域分析法 頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從頻頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從頻率響應(yīng)中可獲取帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系率響應(yīng)中可獲取帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。統(tǒng)特征。 頻域分析法的特點是可以根據(jù)開環(huán)頻率特性來分析頻域分析法的特點是可以根據(jù)開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并可方便地分析出系統(tǒng)的參數(shù)對系統(tǒng)性并可方便地分析出系統(tǒng)的參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而提出改善系統(tǒng)

12、性能的方法。能的影響，從而提出改善系統(tǒng)性能的方法。 頻率特性是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，可用三種頻率特性是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，可用三種圖形對頻率特性進行描述，即幅相頻率特性曲線（又稱圖形對頻率特性進行描述，即幅相頻率特性曲線（又稱極坐標或奈氏圖（極坐標或奈氏圖（yquist）、對數(shù)頻率特性曲線）、對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）、對數(shù)幅相頻率特性曲線（圖）、對數(shù)幅相頻率特性曲線（Nichols圖）。圖）。n3頻域中的數(shù)學(xué)模型頻域中的數(shù)學(xué)模型-頻率特性頻率特性n分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的另一種非常實用和重分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的另一種非常實用和重要的方法是頻率響應(yīng)法，頻率響應(yīng)法中用到要的方法是頻率響應(yīng)法，

13、頻率響應(yīng)法中用到的數(shù)學(xué)模型就是頻率特性。頻率特性可直接的數(shù)學(xué)模型就是頻率特性。頻率特性可直接由傳遞函數(shù)得到，頻率特性由傳遞函數(shù)得到，頻率特性G（jw）與傳遞與傳遞函數(shù)函數(shù)G（s）之間的關(guān)系可表示為：之間的關(guān)系可表示為：n開環(huán)頻率特性 n閉環(huán)頻率特性 jwsSGjwG)()(jwsSjw)()(第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n由于由于G（jw）是復(fù)數(shù)，可以用是復(fù)數(shù)，可以用A（w）來表示來表示G（jw）的模，的模，稱為幅頻特性，用稱為幅頻特性，用（w）來表示來表示G（jw）的幅角稱為相頻的幅角稱為相頻特性。特性。n則頻率特性可表達為：則頻率特性可表達為：)()()(jewAjw

14、G第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析（）=o（）-i（）稱為相頻特性。）稱為相頻特性。 式中式中）（）（wXwXwAi0)(稱為幅頻特性；稱為幅頻特性；其性能指標：其性能指標：諧振頻率諧振頻率r： 表示幅頻特性表示幅頻特性A(w)出現(xiàn)最大值對應(yīng)出現(xiàn)最大值對應(yīng)的頻率；的頻率；諧振峰值諧振峰值Mr： 表示幅頻特性表示幅頻特性A(w)最大值；最大值；頻帶頻帶b： 表示幅頻特性表示幅頻特性A(w)的幅值衰減到的幅值衰減到起始起始值的值的0.707倍時對應(yīng)的頻率；倍時對應(yīng)的頻率；零頻零頻A(0)： 表示表示=0對應(yīng)的幅值。對應(yīng)的幅值。00 . 7 0 7 A（0）A()MrA(0)0br

15、()(a) 幅頻特性(b) 相頻特性Matlab中工具箱中的函數(shù)中工具箱中的函數(shù)bode（）、（）、Nyquuist（）、（）、Nichols（）（）等都可繪出頻率響應(yīng)曲線。等都可繪出頻率響應(yīng)曲線。其調(diào)用格式其調(diào)用格式：bode（num，den）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的波德圖）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的波德圖(對對數(shù)坐標圖數(shù)坐標圖)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性圖系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性圖 ；Nyquuist（ num，den ）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的奈氏）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的奈氏圖（極坐標圖）圖（極坐標圖） 是利用控制系統(tǒng)開環(huán)幅、相頻率特性判斷其是利用控制系統(tǒng)開環(huán)幅

16、、相頻率特性判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 nichols（num，den）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的）繪制連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式表示的nichols圖。圖。nichols圖是將對圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性數(shù)幅頻特性和相頻特性兩張圖在角頻率為參變量兩張圖在角頻率為參變量的情況下合成為一張圖。的情況下合成為一張圖。 第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析jjwsewAjwjwGsGjwG)()()()()(頻率響應(yīng)三種曲線分析法頻率響應(yīng)三種曲線分析法:（1）奈氏圖（）奈氏圖（yquist） yquist圖（極坐標圖）圖（極坐標圖） 是利用控制系統(tǒng)開環(huán)幅、相頻率特性判斷

17、其是利用控制系統(tǒng)開環(huán)幅、相頻率特性判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)頻率特性 穩(wěn)定判據(jù)：穩(wěn)定判據(jù)：1）對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)（）對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)（G（s）在右半）在右半s平面上不含極點），且僅當開環(huán)頻率特性平面上不含極點），且僅當開環(huán)頻率特性G（jw）的）的yquist曲線不包圍點（曲線不包圍點（-1，j0）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； 2）對于開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)（）對于開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)（G（s）在右半）在右半s平面上有平面上有n0個極點），且僅當開環(huán)個極點），且僅當開環(huán)頻率特性頻率特性G（jw）的）的yquist曲線沿逆時針方向包圍點（曲線沿逆時針方向包圍點（-1，j

18、0）n次時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定次時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；n-開環(huán)右極點的個數(shù)開環(huán)右極點的個數(shù)注意：注意：yquist曲線上的行進方向，規(guī)定：曲線上的行進方向，規(guī)定：w：- 變化時，所謂不包圍變化時，所謂不包圍點（點（-1，j0）系指行進方向的右側(cè)不包圍它。所謂逆時針方向包圍點（）系指行進方向的右側(cè)不包圍它。所謂逆時針方向包圍點（-1，j0）n次系指行進方向的左側(cè)包圍它次系指行進方向的左側(cè)包圍它n次。次。第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析nyquist()為繪制系統(tǒng)極坐標圖函數(shù)：為繪制系統(tǒng)極坐標圖函數(shù)：nyquist(num,den) 繪制以傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)極坐標圖；繪制以傳遞函數(shù)表示的系

19、統(tǒng)極坐標圖；nyquist(a,b,c,d) 繪制狀態(tài)空間系統(tǒng)極坐標圖。繪制狀態(tài)空間系統(tǒng)極坐標圖。（2） Bode圖分析圖分析Bode圖圖(對數(shù)坐標圖對數(shù)坐標圖)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性圖系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性圖 Bode圖由對應(yīng)對數(shù)幅頻特性和對應(yīng)對數(shù)相頻特性的兩張圖組圖由對應(yīng)對數(shù)幅頻特性和對應(yīng)對數(shù)相頻特性的兩張圖組成。成。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕量：對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕量：系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程的根為負實根。對數(shù)頻率特征方程的根為負實根。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性曲線來穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性曲線來判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。判斷系統(tǒng)閉環(huán)的

20、穩(wěn)定性。)( jwGm Bode圖圖相頻特性相頻特性橫軸橫軸軸，按對數(shù)刻度軸，按對數(shù)刻度縱軸縱軸對數(shù)幅頻特性，對數(shù)幅頻特性，L（）=20lgA（），），單位為分貝（單位為分貝（db） ，單位為角度，按普通刻度，單位為角度，按普通刻度第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析C（jw）R（jw）+E（jw）-H（jw）G（jw）1.對數(shù)頻率的穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率的穩(wěn)定判據(jù))(1)()()(1)()()()(0jwGjwGjwHjwGjwGjwRjwCjwGc系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為：)()()(jwHjwGjwGo式中：為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性。則系統(tǒng)可用開環(huán)頻率特性判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定

21、的條件是：則系統(tǒng)可用開環(huán)頻率特性判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：A（）1；（）=-180；A（）=1；（）-180；若系統(tǒng)用對數(shù)幅頻表示則其穩(wěn)定條件為：若系統(tǒng)用對數(shù)幅頻表示則其穩(wěn)定條件為：L（）1；（）=-180；L（）=1；（）-180；)()()(0wwAjwG可寫成：第三章第三章 根軌跡與復(fù)頻域分析根軌跡與復(fù)頻域分析n例3已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制系統(tǒng)的bode 、Nyquuist、 nichols圖 。并用階躍和沖激響應(yīng)驗證其穩(wěn)定性。程序： num=1,5;k=1nden=conv(1,1,conv(1,3,1,12);nsys=tf(num,den);nnumc,denc=cloop(num,den)nfigure(1);nbode(num