數(shù)值分析-第七章第一部分 (1)

1、1 習(xí)題習(xí)題P257 4(2), 8, 10(1), 11, 12, 13(1) 16, 19, 21(3點(diǎn)公式點(diǎn)公式) 第七章數(shù)值微分與數(shù)值積分21數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分問問題題：若若已已知知函函數(shù)數(shù)在在一一些些節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的值值，如如何何近近似似節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)？xhx hx (0)h ( )fx 3xhx hx (0)h 1.1差商型求導(dǎo)公式：差商型求導(dǎo)公式：( )fx hxfhxfxf)()()( hhxfxfxf)()()( hhxfhxfxf2)()()( 向前差商公式向前差商公式向后差商公式向后差商公式中心差商公式中心差商公式4Taylor由由公公式式推推得得，例例如如中中心

2、心差差商商的的誤誤差差階階2()():( )()2f xhf xhfxO hh 中中心心()f xh232()( )( )( )()2!3!hhf xhf xhfxfxf ( )():( )( )f xf xhfxO hh 向向后后()( )( )( )f xhf xfxO hh 向向前前：差商型求導(dǎo)公式的截?cái)嗾`差：差商型求導(dǎo)公式的截?cái)嗾`差：()()2f xhf xhh 212( )()()12hfxff2( )( )6hfxf 2( )6hf ( )2hf ( )2hf 231( )( )( )()2!3!hhf xhfxfxf 52()2 ( )()( )f xhf xf xhfxh 22

3、()2 ( )()( )()f xhf xf xhfxO hh二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式：二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式：二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式的截?cái)嗾`差：二階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式的截?cái)嗾`差：23(4)1()( )( )( )( )()2!3!4!hhhf xhf xhfxfxfxf 4 4234(4)2()( )( )( )( )()2!3!4!hhhf xhf xhfxfxfxf 2(4)( )12hf 6()()inifxLx (1)1( )( )( )( )(1)!nnnff xLxxn 由由得得，(1)0( )()()()(1)!nniniijjj iffxLxxxn 1.2插值型求導(dǎo)公式：插值型

4、求導(dǎo)公式：用插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似，即用插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似，即()()inifxLx等距節(jié)點(diǎn)下的常用公式等距節(jié)點(diǎn)下的常用公式,見課本見課本71.3利用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分利用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分( )( )(5.5)S xf x設(shè)設(shè)為為的的三三次次樣樣條條插插值值函函數(shù)數(shù)，由由三三次次樣樣條條插插值值函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì) 定定理理，可可用用三三次次樣樣條條插插值值函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，近近似似函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。)()(xSxf ( )( ) ( , )fxSxxa b誤差估計(jì)誤差估計(jì):( )( )( )4( )( )(

5、 )() (1,2)kkkkRxfxSxO hk 8)()()(aFbFdxxfba 定積分的圖形表示定積分的圖形表示2 NewtonCotes求積求積公式公式9行星運(yùn)行軌道行星運(yùn)行軌道:開普勒定律開普勒定律行星在兩點(diǎn)之間的運(yùn)行距離行星在兩點(diǎn)之間的運(yùn)行距離21212222122212(sin )(cos )( sin )(cos ) baLdxdyrdrdrrd sinrycosrx21101.被被積積函函數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示2.被被積積函函數(shù)數(shù)只只有有圖圖形形或或者者數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表, ,沒沒有有解解析析式式下下列列情情況況下下，需需要要用用數(shù)數(shù)值值積積分分2

6、1sin, , ,lnxxexx 3.被被積積函函數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)的的求求解解過過程程復(fù)復(fù)雜雜321, ,(1)4arcsin2xxxx 問題：如何構(gòu)造數(shù)值積分公式？問題：如何構(gòu)造數(shù)值積分公式？11( )baf x dx 積分中值定理積分中值定理: ( )()fba , ,2aba b 若若取取有有( )( )()baf x dxf a ba ( )( )()baf x dxf b ba ( )()()2baabf x dxfba 未未知知，左左矩矩形形公公式式右右矩矩形形公公式式中中矩矩形形公公式式2.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想12( )baf x dx ( )( )2ba

7、f af b 若若用用梯梯形形的的面面積積近近似似有有梯梯形形公公式式101( )( )L xf xxaxb記記是是關(guān)關(guān)于于和和的的一一次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式1( )( )bbaaf x dxL x dx ( )f x梯梯形形公公式式是是用用一一次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的積積分分近近似似的的積積分分一一般般地地，可可以以用用插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的積積分分近近似似函函數(shù)數(shù)的的積積分分13( )baf x dx ( )( )nLxf xnLagrange設(shè)設(shè)是是的的 次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nkkbakxfdxxl0)()(0() ( )nbkkakf xlx dx ( ),bkkaAlx

8、 dx 記記則則0( )()nbkkakf x dxA f x kkxA為為求求積積節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)，為為求求積積系系數(shù)數(shù)插插值值型型求求積積公公式式( )bnaLx dx 插值型求積公式插值型求積公式( )kAf x只只與與節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)有有關(guān)關(guān)，與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)14插值型求積公式的截?cái)嗾`差插值型求積公式的截?cái)嗾`差: :()( )( )bbnnaaRff x dxLx dx(1)1()( )(1)!nbxnafx dxn ( )( )bnaf xLx dx , a b考考慮慮用用積積分分區(qū)區(qū)間間的的等等分分點(diǎn)點(diǎn)為為插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的情情形形1501, xa xb 積積分分區(qū)區(qū)間間的的左左右右端端點(diǎn)點(diǎn)為為插插

9、值值接接點(diǎn)點(diǎn)，1( )( )( )xbxaLxf af babba 1( )( )bbaaf x dxLx dx ( )( )bbaaxbxaf adxf bdxabba ( )( )2baf af b 梯梯形形公公式式 ( )( )( )2babaf x dxf af b 2.2 NewtonCotes求積公式求積公式162001122( )( )()( )()( )()Lxlx f xlx f xlx f x 1200102()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 1221()()2baxxxx dxh 012 , ,2aba bxa xxb 將將區(qū)區(qū)間間二二等等分分xat

10、h 令令3220(1)(2)2httdth 3h 6ba ,2bah 相相鄰鄰節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離記記為為170211012()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 4()6ba 0122021()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 6ba 2( )( )bbaaf x dxLx dx ( )4()( )62baabf aff b (Simpson)拋拋物物線線公公式式公公式式( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b 18( )0( )()()nbnkkakf x dxbaCf x 此求積公式稱為此求積公式稱為n階階Newton

11、-Cotes公式公式1nn 以以個(gè)個(gè)等等分分點(diǎn)點(diǎn)為為插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的 次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式, , 1a bnn 一一般般地地 設(shè)設(shè)將將區(qū)區(qū)間間 等等分分, ,得得個(gè)個(gè)等等分分點(diǎn)點(diǎn)0( )( )()nnkkkLxlx f x ( )bkkaAlx dx ( )()nkba C ( )Cotes,nkCn稱稱為為系系數(shù)數(shù) 它它與與被被積積函函數(shù)數(shù) 積積分分區(qū)區(qū)間間無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)只只與與積積分分區(qū)區(qū)間間的的等等分分?jǐn)?shù)數(shù) 有有關(guān)關(guān). .19Cotes系數(shù)表系數(shù)表n)(nkC1234212161646181838381907903290129032907Cotes1每每一一行行的的系系數(shù)數(shù)和和為為8,

12、Cotes,n 時(shí)時(shí)系系數(shù)數(shù)中中出出現(xiàn)現(xiàn)負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)求求積積公公式式不不穩(wěn)穩(wěn)定定梯梯形形公公式式Simpson公公式式38Simpson公公式式Cotes公公式式20 : ( )( )( )2babaf x dxf af b 梯梯形形公公式式xf(x)L(x)1x0 xy 1001( )()()2xxhf x dxf xf x 10hxxab21: ( )( )4 ()( )62babaabSimpsonf x dxf aff b 公公式式xf(x)hhL(x)0 x1x2xa2ab b 20012 ( )()4 ()()3xxhf x dxf xf xf x yh為為相相鄰鄰節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離

13、22 30012333: ( )()3 ()3 ()()88xxhSimpson sf x dxf xf xf xf x 公公式式x0 x1xf(x)x2hhL(x)x3hy23 nkkkbaxfAdxxf0)()(設(shè)設(shè)求求積積公公式式定定義義1.7精精確確成成立立的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式時(shí)時(shí)為為次次數(shù)數(shù)不不超超過過當(dāng)當(dāng),)(mxf nkkmkbamxPAdxxP011)()(有有次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式存存在在某某個(gè)個(gè)),(11xPmm 則稱該求積公式具有則稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度。次代數(shù)精確度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(2.3 誤差估計(jì)誤差估計(jì)（一）求積公式的代數(shù)精確度（一）求積公式的代

14、數(shù)精確度24結(jié)論：結(jié)論：01. ( )()nbkkakf x dxA f xm 求求積積公公式式具具有有 次次代代數(shù)數(shù)精精度度 . 2次次代代數(shù)數(shù)精精度度至至少少具具有有次次插插值值導(dǎo)導(dǎo)出出的的求求積積公公式式由由nn0( )()nbkkakf x dxA f x 3. 221.nNCn階階公公式式至至少少具具有有次次代代數(shù)數(shù)精精度度0110 (0,1,) nbllkkaknbmmkkakx dxA xlmxdxA x ( )bnaLx dx ( )f xn當(dāng)當(dāng)是是次次數(shù)數(shù)不不超超過過 的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式時(shí)時(shí)，等等號(hào)號(hào)成成立立25 ( )( )( )2babaf x dxf af b 例例：求求

15、梯梯形形公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度。()( )baI ff x dx 解解：記記， ()( )( )2baI ff af b abI )1(梯形公式具有梯形公式具有1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度)( 31)(332abxI )( 21)(22abxI (1)(11)2baIba 221( )()()22baI xabba 222331()()23baI xabba 26( )( )4 ()( )62bab aabf x dxf aff b 例例：求求拋拋物物線線公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度。( )( )baI ff x dx 解解：記記 )()2(4)(6)(bfbafafabfIabI ) 1

16、 (拋物線公式具有拋物線公式具有3次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度)( 31)(332abxI )( 21)(22abxI )( 41)(443abxI )( 51)(554abxI ababI ) 141 (6) 1 (221( )(2()()62b aI xaa bbba )(31)2( 46)(332222abbbaaabxI )(41 )2( 46)(443333abbbaaabxI 4444)2( 46)(bbaaabxI)54645 (24432234babbabaaab 27:例例 確確定定系系數(shù)數(shù)使使得得下下列列求求積積公公式式代代數(shù)數(shù)精精確確度度盡盡可可能能高高，并并指指出出有有幾幾

17、次次代代數(shù)數(shù)精精確確度度？ 11101)1()0()1()(fAfAfAdxxf,3:高高為為使使代代數(shù)數(shù)精精確確度度盡盡可可能能個(gè)個(gè)待待定定系系數(shù)數(shù)有有解解 32021111101AAAAAAA 313431101AAA公公式式等等號(hào)號(hào)成成立立得得時(shí)時(shí)令令, 1)(2xxxf 28,)(3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxf 11101)1()0()1()(fAfAfAdxxf0 右右邊邊左左邊邊4)(xxf 當(dāng)當(dāng) 313431101AAA 52左左邊邊,32 右右邊邊, 1)(2精精確確成成立立上上述述公公式式對(duì)對(duì)xxxf .3次次代代數(shù)數(shù)精精確確度度所所以以上上述述公公式式具具有有29( ) ( )( )(

18、)bbaaf x g x dxfg x dx 梯梯形形公公式式的的誤誤差差？( ) ( )( )2babaf x dxf af b 廣廣義義積積分分中中值值定定理理：( ) , g xa b 在在上上不不變變號(hào)號(hào), ,則則存存在在1 ( )( )baf xL x dx ()()()2bxafxaxb dx ( )()()2bafxaxb dx 2( )() ()4bafxa d xb 3( )()12fba 30（二）梯形公式與（二）梯形公式與Simpson公式的誤差估計(jì)公式的誤差估計(jì) 13( )( )( )( )2()( ) ( , )12babaR ff x dxf af bbafa b

19、則則梯梯形形公公式式的的誤誤差差為為若若定定理理,)(:2 . 7)2(baCxf 31 公公式式的的誤誤差差為為則則，若若定定理理Simpson ,)( 3 . 7)4(baCxf 25(4)( )( )( ) 4 ()( )62()( ) ( , )2880bab aabRff x dxf aff bb afa b 3Simpson已已知知公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度為為:證證明明3333( )( )4()( )62babaabP x dxP aPP b 3( )3P x若是 次多項(xiàng)式，則若是 次多項(xiàng)式，則(3)( )()()()3!2bafabxaxxb dx , a b在在上上變變號(hào)號(hào)

20、， 不不能能直直接接用用廣廣義義積積分分中中值值定定理理?3( )baP x dx 2?2()Rf 322( )( )( ) 4 ()( )62bab aa bR ff x dxf aff b babadxxHdxxf)()(3dxbxbaxaxfbax )()2)(! 4)(2)4( 滿滿足足插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的三三次次取取)()(3xHHermitexf)2()2( ),2()2()()( ),()(3333bafbaHbafbaHbfbHafaH ( )( ) 4 ()( )62bab aa bf x dxH aHH b 33 1125)4() 1() 1()2(! 4)(dtttt

21、abf dxbxbaxaxfba )()2)(! 4)(2)4( 22abtbax 令令)3252()2(! 4)(5)4( abf 5)4()2(90)(abf )(2880)()4(5 fab ),( )(90)4(5bafh 或或h為為相相鄰鄰節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離(4)22()( )()() ()4!2bxafabR fx a xx bdx 3431()()( ) ( )( )( ) ( , )212bab ab aRf x dxf af bfa b 5(4)2()()( ) ( ) 4 ()( )( ) ( , )622880bab aabb aRf x dxf aff bfa

22、 b 10310101( ) ()()( ) (,)212xxhhRf x dxf xf xfx x 205(4)201202( ) () 4 ()()( ) (,)390 xxhhRf x dxf xf xf xfx x 梯形公式的誤差：梯形公式的誤差：Simpson公式的誤差：公式的誤差：h為為相相鄰鄰節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離3510: .xIedx 例例 分分別別用用梯梯形形公公式式和和拋拋物物線線公公式式計(jì)計(jì)算算定定積積分分的的近近似似值值，并并估估計(jì)計(jì)誤誤差差由由梯梯形形公公式式得得解解 :6839. 0)(2110 eeI12112| )(|1 fR由由拋拋物物線線公公式式得得

23、6323. 0)4(611210 eeeI288012880| )(|)4(2 fR0.083333 0.000347 Simpson計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果表表明明, ,公公式式的的結(jié)結(jié)果果優(yōu)優(yōu)于于梯梯形形公公式式的的計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果36如如何何構(gòu)構(gòu)造造更更高高精精度度的的數(shù)數(shù)值值積積分分公公式式？NewtonCotes 高高次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式插插值值有有龍龍格格現(xiàn)現(xiàn)象象，一一般般不不用用高高階階的的公公式式，而而是是用用分分片片線線性性插插值值函函數(shù)數(shù)的的積積分分近近似似函函數(shù)數(shù)積積分分1,iixx 即即在在相相鄰鄰節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上用用梯梯形形公公式式，再再求求和和得得到到復(fù)復(fù)化化梯梯形形公

24、公式式373 3復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式替替用用分分段段線線性性插插值值函函數(shù)數(shù)代代被被積積函函數(shù)數(shù))(xf3.1復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式x0 x1xf(x)x2hhx3hhx4nabh 38 , a bn將將積積分分區(qū)區(qū)間間等等分分成成 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，11( )( )2()( )2nknkhf af bf xTf 1,kkxx 在在上上用用梯梯形形公公式式, , 101)()(2nkkkxfxfh( )baf x dx bahn 記記則則， (0,1, )kxakhkn0ax 1xkx1kx 1nx nxb 求求和和110( )kknxxkf x dx 39 ，其其截截?cái)鄶嗾`誤差差為為如

25、如果果baCxf,)()2( 11)(2)()(2)()(nkkbaTxfbfafhdxxffR復(fù)合梯形公式：復(fù)合梯形公式：11( )( )( )2()( )2naknbkhf x dxf af bf xTf 2( )( ) ( , )12Tb aRfh fa b 310()12nkkhf 130()12nkkfnhn ( , )a b 2()( )12hb a f ),(1 kkkxx 事事實(shí)實(shí)上上，nhb a 40 ，其其截截?cái)鄶嗾`誤差差為為如如果果baCxf,)()2( 復(fù)合梯形公式：復(fù)合梯形公式：11( )( )( )2()( )2naknbkhf x dxf af bf xTf 2(

26、 )( ) ( , )12Tb aRfh fa b 2()O hlim()( )bnanTff x dx 2( ) , f xCa b 結(jié)結(jié)論論：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2且且是是 階階收收斂斂的的. .41()kkkf xf 記記，101()()22nnnknkhTfTf 事實(shí)上，事實(shí)上，結(jié)結(jié)論論：復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式是是數(shù)數(shù)值值穩(wěn)穩(wěn)定定的的. .11(2)2nkh ()nhba(0,1, ),kkn 設(shè)設(shè),()nba 無(wú)無(wú)論論 多多大大 誤誤差差不不超超過過初初始始誤誤差差的的倍倍42)(xf替替用用分分段段二二次次插插值值函函數(shù)數(shù)代代即分段用即分段用Simpson公式再求和可得復(fù)化公式再求和可得復(fù)

27、化Simpson公式公式.3.2 復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式 x0 x2xf(x)x4hhxn-2hxn,2bahnmn .hx3x1xn-143122111( )( ) 2() 4()( )3mmkknkkhf af bf xf xS f ( )baf x dx , 2a bnm 將將積積分分區(qū)區(qū)間間等等分分成成個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，2bahm 記記則則， (0,1, )kxakhkn0ax 22kx 2kx2kxnxb 444442221212() 4 ()()6mkkkkhf xf xf x 2221( )kkmxxkf x dx ，222,kkxx 在在上上用用拋拋物物線線公公式式,

28、,求求和和44 ，則則截截?cái)鄶嗾`誤差差為為若若baCxf,)()4( ),(222kkkxx 4(4)( )( ), ( , )180sb aR fh fa b 復(fù)化復(fù)化Simpson公式：公式：122111( )( )( ) 2() 4()( )3mmbkknakkhf x dxf af bf xf xSf mkkmkkbasxfxfbfafhdxxffR112112)(4)(2)()(3)()( mkkfh1)4(5)(90 4(4)( )180b ah f mfhabhmkk 1)4(5)(290 ( , )a b 等等分分2m45 ，則則截截?cái)鄶嗾`誤差差為為若若baCxf,)()4(

29、4(4)( )( ), ( , )180sb aR fh fa b 復(fù)化復(fù)化Simpson公式：公式：122111( )( )( ) 2() 4()3mmbkknakkhf x dxf af bf xf xS 4()O h等等分分2mlim()( )bnanSff x dx 4( ) , f xC a b 結(jié)結(jié)論論：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，4且且是是 階階收收斂斂的的. .Simpson復(fù)復(fù)化化公公式式是是數(shù)數(shù)值值穩(wěn)穩(wěn)定定的的. .46例：對(duì)于函數(shù)例：對(duì)于函數(shù),sin)(xxxf 給出給出n=8n=8的函數(shù)表的函數(shù)表, , 試用試用復(fù)化梯形公式及復(fù)化復(fù)化梯形公式及復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分公式計(jì)算積分

30、10.sindxxxI解：解：ix)(ixf0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式=0.9456909復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式=0.9460832準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 I=0.94608317811 1 (0) 2()(1)2 8kkTff xf 338212011 1 (0) 4() 2()(1)3 8kkkkSff xf xf 47等分?jǐn)?shù)相同，即運(yùn)算量基本相同時(shí)，復(fù)化等分?jǐn)?shù)相同，即運(yùn)算

31、量基本相同時(shí)，復(fù)化Simpson公式比復(fù)化梯形公式精度高公式比復(fù)化梯形公式精度高2104xSimpsonedx 例例：若若用用復(fù)復(fù)化化公公式式計(jì)計(jì)算算，問問需需要要將將積積分分幾幾等等分分才才能能保保證證計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字？并并計(jì)計(jì)算算近近似似值值. . 1 , 0 13 . 0 :2 xex解解210 0.31xe 41410 ,2 為為使使有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，取取絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限4(4)()( )180nShRff 482(4)( ) ( ), xfxf xe 需需要要求求的的最最大大值值，2( )2xfxxe ， 44210 ,6.0415nn22(

32、)(42),xfxxe . 8即可即可取取 n41021 412180h 2(5)42( )8 (42015)xfxxxxe ，(4)(4)01max( )(0)12xfxf 23( )( 812 )xfxxx e ，2(4)42( )(164812)xfxxxe ，4(4)()( )180nShRff 492222222(0.125)(0.25)(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)11(1424238424)0.7468eeeeeeee 210 xedx 如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算，則由誤差公式如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算，則由誤差公式2141410122he2()( )1

33、2nThRff 2)24()(2xexxf 50n 2)128()(3xexxxf 101max( )(1)4ffe 49.52n為了達(dá)到相同的精度復(fù)化為了達(dá)到相同的精度復(fù)化Simpson公式公式比復(fù)化梯形公式的運(yùn)算量小比復(fù)化梯形公式的運(yùn)算量小502223( )(),122nnbahTTf ()nTnRfIT 21()12bahf 221()3nnnITTT 22()nTnRfIT 22()()212hbaf 1101()()nkkffn 21201()()2nkkffn 121()()( )banfffx dxba 當(dāng)當(dāng) 充充分分大大時(shí)時(shí)，1( , )a b 2( , )a b 復(fù)化梯形公式

34、事后誤差估計(jì)復(fù)化梯形公式事后誤差估計(jì)512215(),nnnSSIS ()nSnRfIS 4(4)1(),180bahf 221()15nnnISSS 22()nSnRfIS 4(4)2()(),2180hbaf (4)(4)12()()ff 1( , )a b 2( , )a b ,2mn 通通常常采采取取將將區(qū)區(qū)間間不不斷斷對(duì)對(duì)分分的的方方法法 即即取取復(fù)化復(fù)化Simpson公式事后誤差估計(jì)公式事后誤差估計(jì)52,2mmbah 記記(0,1,2,)m 3.3 逐次分半算法逐次分半算法（一）梯形公式的逐次分半算法（一）梯形公式的逐次分半算法 , 2ma bn 將將區(qū)區(qū)間間分分成成等等份份2121( )( )2()2mmmmkhTf af bf akh 為為梯梯形形值值序序列列2mT53遞推公式遞推公式: 1212211(21) (1,2,)2mmmmmkTThf akhm 2 , ,fC a b 若若則則12221()3mmmITTT 122mmTT 的的值值等等于于上上次次梯梯形形值值的的一一半半加加上上新新增增節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)值值的的和和與與新新節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)距距離離的的乘乘積積. .1223,m