《立體幾何中的向量方法(1)》高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1

1、-直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量與平面的法向量3.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(一一) 上一節(jié)上一節(jié),我們把向量從平面推廣到空間我們把向量從平面推廣到空間,并利用并利用空間向量解決了一些立體幾何問(wèn)題空間向量解決了一些立體幾何問(wèn)題.本節(jié)我們進(jìn)一步本節(jié)我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何中的向量方法學(xué)習(xí)立體幾何中的向量方法. 立體幾何研究的基本對(duì)象是點(diǎn)立體幾何研究的基本對(duì)象是點(diǎn)、直線直線、平面以平面以及由它們組成的空間圖形及由它們組成的空間圖形.為了用空間向量解決立體為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題,首先必須把點(diǎn)首先必須把點(diǎn)、直線直線、平面的位置用向量平面的位置用向量表示出來(lái)表示

2、出來(lái).思考思考如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置? ?在空間中給一個(gè)定點(diǎn)在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A A和和一個(gè)定方向一個(gè)定方向( (向量向量), ),能確定一條直線在空間的位置嗎能確定一條直線在空間的位置嗎? ?給給一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向( (向量向量), ),能確定一個(gè)平面在空間的能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎位置嗎? ?給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向( (向量向量), ),能確定一個(gè)平能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎面在空間的位置嗎? ?OPOPOPP 在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn) 的位置就可以用向量來(lái)表示。我們把向量稱為點(diǎn) 的位

3、置向量。OP1、點(diǎn)的位置向量、點(diǎn)的位置向量以及一個(gè)定方向確定。一個(gè)定點(diǎn)上的位置可以由空間中任意一條直線AllaABPABtAP 2、直線的方向向量、直線的方向向量這樣這樣,點(diǎn)點(diǎn)A和向量和向量 不僅可以不僅可以確定直線確定直線l的位置的位置,還可以具體還可以具體表示出表示出l上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn).a 相交直線來(lái)確定。內(nèi)兩條的位置可以由空間中平面obaPbyaxOP3、平面的法向量、平面的法向量這樣這樣,點(diǎn)點(diǎn)O與向量與向量不僅可以確定平面不僅可以確定平面 的位置的位置,還可以具體表還可以具體表示出示出 內(nèi)的任意一點(diǎn)內(nèi)的任意一點(diǎn),a b 法向量：法向量：如果表示向如果表示向量量a的有向線段所在直

4、線垂的有向線段所在直線垂直于平面直于平面，則稱這個(gè)向，則稱這個(gè)向量垂直于平面量垂直于平面，記作，記作a，如果，如果a ，那么向，那么向量量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量la類似于直線的方向向量，還可以用平面的類似于直線的方向向量，還可以用平面的法向量表示空間中平面的位置法向量表示空間中平面的位置問(wèn)題：法向量如何確定平面的位置？問(wèn)題：法向量如何確定平面的位置？A給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量a,那么，過(guò)點(diǎn)那么，過(guò)點(diǎn)A,以向以向量量a為法向量的平面是完全確定的。為法向量的平面是完全確定的。問(wèn)題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(22211

5、1cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,)3(bnanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂平行、垂直、夾角直、夾角等位置關(guān)系。等位置關(guān)系。4、法向量的運(yùn)用、法向量的運(yùn)用例例1 (1)設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線 的方向向量的方向向量,根據(jù)下列根據(jù)下列條件判斷條件判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系:

6、a b 1l12ll 2l(2,3, 1),( 6, 9,3)ab (5,0,2),(0,4,0)ab ( 2,1,4),(6,3,3)ab 分析分析:直線方向向量與直線位置關(guān)系直線方向向量與直線位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系1212;llab llab平行平行垂直垂直相交或異面相交或異面例例1 (2)設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面 的法向量的法向量,根據(jù)下列條件根據(jù)下列條件判斷判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: u v 1(1, 1,2),(3,2,)2uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:平面法向量與兩平面

7、位置關(guān)系平面法向量與兩平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系;uvuv垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)例例1 (2)設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面 的法向量的法向量,根據(jù)下列條件根據(jù)下列條件判斷判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: u v 1(1, 1,2),(3,2,)2uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系線與平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系;lau lau例例1 (3)設(shè)設(shè) 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直線是直線 的方向向的方向向量量,根據(jù)下列條件判斷根據(jù)下列條件判斷 與與 的位置關(guān)系的位置關(guān)系: u (2,2, 1),( 3,4,2)ua (0,2, 3),(0, 8,12)ua (4,1,5),(2, 1,0)ua a ll 垂直垂直相交相交(斜交斜交)ll 或或 小結(jié)小結(jié)1.直線的方向向量和平面的法向量是用空直線的方向向量和平面的法向量是用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩個(gè)重要工間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩個(gè)重要工具具,是實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題的向量方法的媒介是實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題的向量方法的媒介.2.要熟練掌握