華東交通大學概率論第一章

1、課件制作：應用數(shù)學系概率統(tǒng)計課程組概率統(tǒng)計課程組概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科學科, 理論嚴謹理論嚴謹, 應用廣泛應用廣泛, 發(fā)展迅速發(fā)展迅速. 目前目前, 不不僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程, 而且從而且從上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認真本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認真學好這門不易學好又不得不學的重要課程學好這門不易學好又不得不學的重要課程.概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計前前言言 教材

2、教材 概率論及其統(tǒng)計應用概率論及其統(tǒng)計應用 主要教學參考書主要教學參考書汪忠志等編汪忠志等編合肥工業(yè)大學出版社合肥工業(yè)大學出版社 2005年年國內(nèi)有關經(jīng)典著作國內(nèi)有關經(jīng)典著作1.1.概率論基礎及其應用概率論基礎及其應用 王梓坤著 科學出版社 1976 年版 2.數(shù)理統(tǒng)計引論數(shù)理統(tǒng)計引論陳希儒著 科學出版社 1981年版國外有關經(jīng)典著作國外有關經(jīng)典著作1.概率論的分析理論概率論的分析理論P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 統(tǒng)計學數(shù)學方法統(tǒng)計學數(shù)學方法H. 克拉默著 1946年版概率論的最早著作概率論的最早著作數(shù)理統(tǒng)計最早著作數(shù)理統(tǒng)計最早著作 概率統(tǒng)計專業(yè)概率統(tǒng)計專業(yè)首位中科院院士首位中科院

3、院士本學科的 A B C概率概率(或然率或幾率或然率或幾率) 隨機事件出現(xiàn)隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度的可能性的量度 其起源與博弈問題有關其起源與博弈問題有關.16世紀意大利學者開始研究擲骰子等賭博世紀意大利學者開始研究擲骰子等賭博中的一些問題；中的一些問題；17世紀中葉，法國數(shù)學家世紀中葉，法國數(shù)學家B. 帕帕斯卡、荷蘭數(shù)學家斯卡、荷蘭數(shù)學家C. 惠更斯惠更斯 基于排列組合的方基于排列組合的方法，研究了較復雜法，研究了較復雜 的賭博問題，的賭博問題， 解決了解決了“ 合理合理分配賭注問題分配賭注問題” ( 即得分問題即得分問題 ).概率論是一門概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量研究客觀世界隨

4、機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的規(guī)律的 數(shù)學分支學科數(shù)學分支學科.發(fā)展則在發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后世紀微積分學說建立以后.基人是瑞士數(shù)學家基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速伯努利；而概率論的飛速第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復雜化產(chǎn)生了運籌學、系統(tǒng)論、信息與管理的復雜化產(chǎn)生了運籌學、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科.數(shù)理統(tǒng)計學是一門數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決

5、策問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的和行動提供依據(jù)和建議的 數(shù)學分支學科數(shù)學分支學科.論；使論；使 概率論概率論 成為成為 數(shù)學的一個分支的真正奠數(shù)學的一個分支的真正奠 對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù)知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這樣說：樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的一種應

6、用學是概率論的一種應用. 但是它們是兩個并列但是它們是兩個并列的數(shù)學分支學科，并無從屬關系的數(shù)學分支學科，并無從屬關系.本學科的應用本學科的應用概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個科學技術領域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中部門中. 例如例如 1. 氣象、水文、地震預報、人口控制及預氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與測都與 概率論概率論 緊密相關；緊密相關；2. 產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在3. 尋求最佳生產(chǎn)方案要進行尋求最佳生產(chǎn)方案要進行 實驗設計實驗設計 和和數(shù)據(jù)處理

7、；數(shù)據(jù)處理；臨床中應用，均需要用到臨床中應用，均需要用到 假設檢驗；假設檢驗；5. 探討太陽黑子的變化規(guī)律時，探討太陽黑子的變化規(guī)律時，時間序列時間序列7. 在生物學中研究群體的增長問題時在生物學中研究群體的增長問題時 提出提出了生滅型了生滅型 隨機模型，隨機模型，傳染病流行問題要用到多傳染病流行問題要用到多過程過程 來描述來描述;6. 研究化學反應的時變率，要以研究化學反應的時變率，要以 馬爾可夫馬爾可夫 分析分析方法非常有用方法非常有用;變量非線性變量非線性生滅過程；生滅過程；4. 電子系統(tǒng)的設計電子系統(tǒng)的設計, 火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射8. 許多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶

8、裝卸、許多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、都離不開都離不開 可靠性估計可靠性估計; 購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到模型來描述，其涉及到 的知識就是的知識就是 排隊論排隊論.目前，概率統(tǒng)計理論目前，概率統(tǒng)計理論 進入其他自然科學領進入其他自然科學領域的趨勢還在不斷發(fā)展域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學領域在社會科學領域 ，特，特別是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長別是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，都大量采用等問題，都大量采用 概率統(tǒng)計方法概率統(tǒng)計方法. 正如法國正如法國數(shù)學家數(shù)學家 拉普拉斯所說拉普拉斯所說 :

9、“ 生活中最重要的問題，生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題.”機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率1.1 1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象1.1.2 1.1.2 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 1.1.3 1.1.3 樣本空間樣本空間1.1.4 1.1.4 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題上只是概率的問題 . -拉普拉

10、斯拉普拉斯 我又轉念，見日光之下，快跑的人未必能贏，我又轉念，見日光之下，快跑的人未必能贏，力戰(zhàn)的未必得勝力戰(zhàn)的未必得勝，智慧的未必得糧食，明哲的未智慧的未必得糧食，明哲的未必得資財，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，必得資財，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，是在乎當時的機會是在乎當時的機會. -傳道書傳道書第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率 概率論是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學概率論是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學分支，為了對隨機現(xiàn)象的有關問題作出明確分支，為了對隨機現(xiàn)象的有關問題作出明確的數(shù)學描述，像其它數(shù)學學科一樣，概率論的數(shù)學描述，像其它數(shù)學學科一樣，概率論具有自己的嚴格的體系和結

11、構。本章重點介具有自己的嚴格的體系和結構。本章重點介紹概率論的兩個基本概念：紹概率論的兩個基本概念：隨機事件和概率隨機事件和概率。1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 客觀世界中存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件客觀世界中存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象：另一類是在一定：另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機現(xiàn)隨機現(xiàn)象象。 在重力的作用下，物體的位移隨時間變化的函數(shù)在重力的作用下，物體的位移隨時間變化的函數(shù)x(t)x(t)，由二階微分方程

12、由二階微分方程 來描述，其中來描述，其中g g為為重力加速度，這是確定的，必然的。重力加速度，這是確定的，必然的。 gtx 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象擲一枚硬幣擲一枚硬幣, ,觀察向上的面觀察向上的面; ;下一個交易日觀察股市的指數(shù)上升情況下一個交易日觀察股市的指數(shù)上升情況; ;某人射擊一次某人射擊一次, ,考察命中環(huán)數(shù)考察命中環(huán)數(shù); ;從一批產(chǎn)品中抽取一件從一批產(chǎn)品中抽取一件, ,考察其質量考察其質量; ;確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象拋一石塊拋一石塊, ,觀察結局觀察結局; ;導體通電導體通電, ,考察溫度考察溫度; ;異性電菏放置一起異性電菏放置一起, ,觀察其關系觀察其關系; ;1.1.2 1.1.2 隨

13、機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 雖然隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結果不能事先雖然隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結果不能事先預言，但是可以假定全部可能結果是已知的。在預言，但是可以假定全部可能結果是已知的。在上述例子中，拋擲一枚硬幣只會有上述例子中，拋擲一枚硬幣只會有“正面正面”與與“反面反面”這兩種可能結果，而股指的升跌幅度大這兩種可能結果，而股指的升跌幅度大小充其小充其量假定它可能是任意的實數(shù)?？梢娏考俣ㄋ赡苁侨我獾膶崝?shù)?？梢姟叭靠赡艿娜靠赡艿慕Y結果的集合是已知的果的集合是已知的”這個假定是合理的，而且它會這個假定是合理的，而且它會給我們的學習研究帶來許多方便。給我們的學習研究帶來許多方便。

14、 進行一次試驗，如果其所得結果不能完全預進行一次試驗，如果其所得結果不能完全預知，但其全體可能結果是已知的，則稱此試驗為知，但其全體可能結果是已知的，則稱此試驗為隨機試驗隨機試驗，一般地，一個隨機試驗要具有下列特，一般地，一個隨機試驗要具有下列特點：點：（1 1） 可重復性：可重復性：試驗原則上可在相同條件下試驗原則上可在相同條件下 重復進行重復進行; ;（2 2） 可觀察性可觀察性：試驗結果是可觀察的，所有：試驗結果是可觀察的，所有 可能的結果是明確的；可能的結果是明確的；（3 3） 隨機性隨機性：每次試驗將要出現(xiàn)的結果是不：每次試驗將要出現(xiàn)的結果是不確定的，事先無法準確預知。確定的，事先無

15、法準確預知。 由于隨機現(xiàn)象的結果事先無法預知，初看起由于隨機現(xiàn)象的結果事先無法預知，初看起來，隨機現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一來，隨機現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時，其每種可能的結果隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時，其每種可能的結果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機現(xiàn)象也出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。這一點被歷史上許多人的試有其固有的規(guī)律性。這一點被歷史上許多人的試驗所證明。驗所證明。 表表1.11.1拋擲硬幣試驗拋擲硬幣試驗試驗者試驗者拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面頻率出現(xiàn)正面頻率BuffonDe MorganF

16、ellerPearsonPearsonLomanovskii404040921000012000240008064020482048497960191201239699 0.5069 0.50050.49790.50160.50050.4923表表1.11.1列出列出BuffonBuffon等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當拋擲次數(shù)很大時，果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當拋擲次數(shù)很大時，正面出現(xiàn)的頻率非常接近正面出現(xiàn)的頻率非常接近0.50.5，就是說，出現(xiàn)正面，就是說，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機會差不多各占一半。與出現(xiàn)反面的機會差不多各占一半。 上面的試驗

17、的結果表明，在相同條件下大量地上面的試驗的結果表明，在相同條件下大量地重復某一隨機試驗時，各可能結果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定重復某一隨機試驗時，各可能結果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某個確定的數(shù)值附近。稱這種性質為在某個確定的數(shù)值附近。稱這種性質為頻率的穩(wěn)定頻率的穩(wěn)定性性。頻率的穩(wěn)定性的存在，標志著隨機現(xiàn)象也有它。頻率的穩(wěn)定性的存在，標志著隨機現(xiàn)象也有它的數(shù)量規(guī)律性。的數(shù)量規(guī)律性。概率論就是研究隨機現(xiàn)象中數(shù)量規(guī)概率論就是研究隨機現(xiàn)象中數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科。律的數(shù)學學科。1.1.3 1.1.3 樣本空間樣本空間 隨機試驗的每一個可能的結果稱為隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個樣本點一個樣本點，因而一個隨機試驗的所有樣本

18、點也是明確的，它們因而一個隨機試驗的所有樣本點也是明確的，它們的全體，稱為的全體，稱為樣本空間樣本空間，習慣上分別用，習慣上分別用 與與 表示表示樣本點與樣本空間。樣本點與樣本空間。 . .w w 樣本點w 如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：本空間由如下四個樣本點組成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1 1次次第第2 2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H): :(T,T)：(H,H): :其中其中 樣本空間在如下樣本空間在如下意義上提供了一個理意義上提供了一個理想試驗的模型：想試驗的模型： 在每次

19、試驗中在每次試驗中必有一個樣本點出必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn)點出現(xiàn) . . 例例1.1.11.1.1 拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的情況。其樣本空間由四個樣本點組成。即情況。其樣本空間由四個樣本點組成。即 =（正，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）正），（正，反），（反，正），（反，反） 。這里，。這里，比如樣本點比如樣本點 = =（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。而第二枚拋得反面。 例例1.1.21.1.2 觀察某電話交換臺在一天內(nèi)收到的呼叫觀察某電話交換臺在一天內(nèi)收

20、到的呼叫次數(shù)，其樣本點有可數(shù)無窮多個：次數(shù)，其樣本點有可數(shù)無窮多個：i i次，次，i=0,1,2, ,i=0,1,2, ,樣本空間為樣本空間為=0=0次，次，1 1次，次，2 2次次, , ,0 t 例例1.1.41.1.4 觀察一個新燈泡的壽命，其樣本點也有觀察一個新燈泡的壽命，其樣本點也有無窮多個：無窮多個：t t小時，小時， 樣本空間為：樣本空間為： tt0|小小時時 例例1.1.31.1.3 連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫出其樣本空間，我們約定以出其樣本空間，我們約定以“0 0”表示一次射擊未中，表示一次射擊未中，而以而以“1 1”表示命中。則樣本

21、空間表示命中。則樣本空間 =1=1，0101，001001， 00010001， 壽命試驗壽命試驗: :測試在同一工藝條件下測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命。生產(chǎn)出的燈泡的壽命。寫出下列各個試驗的樣本空間寫出下列各個試驗的樣本空間: :1 1 擲一枚均勻硬幣，觀察正面擲一枚均勻硬幣，觀察正面(H)(H)反面反面(T)(T)出現(xiàn)的情況；出現(xiàn)的情況；2.2.將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況；將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況；3.3.某袋子中裝有某袋子中裝有5 5個球個球, ,其中其中3 3個紅球個紅球, ,編號編號A A、B B、 C,C,有有2 2 個黃球，編號個黃球，編號D

22、D、F F，現(xiàn)從中任取一個球，現(xiàn)從中任取一個球, ,觀察顏色觀察顏色. .若是若是觀察編號呢？觀察編號呢？課堂練習課堂練習4.4.在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù)。在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù)。5.5.從自然數(shù)從自然數(shù) 1,2,3,1,2,3,N(N 3),N(N 3)中接連隨意取三個中接連隨意取三個, ,每每取一個還原后再取下一個取一個還原后再取下一個. .若是不還原呢？若是一次就若是不還原呢？若是一次就取三個呢？取三個呢？6.6.接連進行接連進行n n次射擊次射擊, ,記錄命中次數(shù)記錄命中次數(shù). .若是記錄若是記錄n n次射擊中次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？命中的總環(huán)數(shù)呢？7.7.觀察某條交通干

23、線中某天交通事故的次數(shù)。觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。1.1.4 1.1.4 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 我們時常會關心試驗的某一部分可能結果是我們時常會關心試驗的某一部分可能結果是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點組成的試驗結果為否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點組成的試驗結果為隨機事件隨機事件，簡稱，簡稱事件事件。通常用大寫的字母。通常用大寫的字母 等表示。某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣等表示。某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點在試驗中出現(xiàn)。記本點在試驗中出現(xiàn)。記 為試驗中出現(xiàn)的樣本為試驗中出現(xiàn)的樣本點，那么事件點，那么事件A A發(fā)生當且僅當發(fā)生當且僅當 時發(fā)生。由于時發(fā)生。由于樣本

24、空間樣本空間 包含了全部可能結果，因此在每次包含了全部可能結果，因此在每次,試驗中試驗中 都會發(fā)生，故稱都會發(fā)生，故稱 為為必然事件必然事件。相反，。相反，空集空集 不包含任何樣本點，每次試驗必定不發(fā)生，不包含任何樣本點，每次試驗必定不發(fā)生，故稱故稱 為為不可能事件不可能事件。BA1.1.事件的包含事件的包含 如果事件如果事件A A發(fā)生必然導致發(fā)生必然導致B B發(fā)生，即屬于發(fā)生，即屬于A A的每一的每一個樣本點一定也屬于個樣本點一定也屬于B B，則稱，則稱事件事件B B包含事件包含事件A A，或，或稱稱事件事件A A包含于事件包含于事件B B。記作。記作 或或 2. 2.事件相等事件相等 如果

25、事件如果事件A A包含事件包含事件B B，事件，事件B B也包含事件也包含事件A A，則，則稱稱事件事件A A與與B B相等相等。記作。記作 A=BA=B。 3.3.事件的并事件的并“事件事件A A與與B B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”這一事件稱作這一事件稱作事件事件A A與與B B的并的并，記作，記作 4. 4. 事件的交事件的交 “ 事件事件A A與與B B都發(fā)生都發(fā)生”這一事件稱作這一事件稱作事件事件A A與與B B的交的交, ,記作記作 或或 。 5. 5. 事件的差事件的差“ 事件事件A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱作這一事件稱作事件事件A A與與B B的差的差,

26、, 記作記作 A-B .A-B .事件事件A A與與B B不能同時發(fā)生，也就是說不能同時發(fā)生，也就是說ABAB是不可是不可能事件能事件, ,即即AB=AB=空集則稱空集則稱A A與與B B是是互不相容事件互不相容事件. . 6. 6. 互不相容事件互不相容事件 7. 7. 對立事件對立事件 “事件事件A A不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱作事件這一事件稱作事件A A的的對立事件對立事件，記作記作 ，易見，易見， . ._ _ABABBA 為了幫組大家理解上述概念，現(xiàn)把集合論的有關結為了幫組大家理解上述概念，現(xiàn)把集合論的有關結論與事件的關系和運算的對應情況列舉如下：論與事件的關系和運算的對應情況列舉如下

27、：表表1.21.2符號符號集合論集合論概率論概率論全集全集樣本空間：必然事件樣本空間：必然事件空集空集不可能事件不可能事件1A2A3A4AS完備事件組完備事件組 中的點（或稱元素）中的點（或稱元素） 樣本點樣本點單點集單點集基本事件基本事件 的子集的子集A A事件事件A A集合集合A A包含在集合包含在集合B B中中事件事件A A包含于事件包含于事件B B中中集合集合A A與集合與集合B B相等相等事件事件A A與事件與事件B B相等相等集合集合A A與集合與集合B B的并的并事件事件A A與與B B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生集合集合A A與集合與集合B B的交的交事件事件A A與事件與事件

28、B B同時發(fā)生同時發(fā)生集合集合A A的余集的余集事件事件A A的對立事件的對立事件集合集合A A與集合與集合B B的差的差事件事件A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生集合集合A A與與B B沒有公共元素沒有公共元素事件事件A A與與B B互不相容（互斥）互不相容（互斥） _.)1(BABA ,)2(BABA ,)3(BABA 推廣推廣:iniiniiniiniAAAA1111,注注:ABAB1.1.設事件設事件A=A=甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷 ， 則則A A的對立事件為（的對立事件為（ ） 甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷； 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢

29、銷；甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷； 甲種產(chǎn)品滯銷；甲種產(chǎn)品滯銷； 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。2.2.設設x x表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質點位表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質點位 置，試說明下列各對事件間的關系置，試說明下列各對事件間的關系 A=|x-a|A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(0(0） A=xA=x2020，B=x20B=x20 A=xA=x2222，B=xB=x1919課堂練習課堂練習BA A與與B對立對立A與與B互斥互斥思考題思考題: : 設設A A、B B、C C為任意三個事件為任意三個事件, ,試用它們試用它們表示下列事件表示下列事件: : (1

30、) A (1) A、B B出現(xiàn)，出現(xiàn)，C C不出現(xiàn)；不出現(xiàn)； (2) A(2) A、B B、C C中恰有一個出現(xiàn)；中恰有一個出現(xiàn)； (3) A(3) A、B B、C C中至多有一個出現(xiàn)；中至多有一個出現(xiàn)； (4) A(4) A、B B、C C中至少有一個出現(xiàn)中至少有一個出現(xiàn). .解答解答:.) 1 (CABCBACBACBA)2(CBACBACBACBA)3(CBACBA)4(Application 1QuestionWhat is the probability of rolling an even number with one dice?a number greater than 3 w

31、ith one dice?SolutionThe sample space for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3.then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3 )()(SnAn6321Application 2QuestionThere are three white balls and

32、 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosinga white ball? (event A)two red balls? (event B)a white ball and three red balls? (event C)Solution(a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a wh

33、ite ball. Thus,P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8(b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14(c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus,P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7Check your understanding!Q.1 What is the probability of choosing a vowel

34、 from the alphabet? ()Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( )Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second n

35、umber that is greater than the first one? ( ) Q.4 There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( )Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3

36、, a4, .,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!Answer KeyQ.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26Q.2 There are 36 outcomes in tota

37、l as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/

38、18123456123456723456783456789456789105678910116789101112 Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of way

39、s to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset

40、of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8First numberSecond number12,3,4,5,623,4,5,63,4,5,645,6566-1.2 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率1.2.1 1.2.1 概率和頻率概率和頻率1.2.2 1.2.2 組合記數(shù)組合記數(shù) 1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率1.2.4 1.2.4 幾何概率幾何概率1.2.5 1.2.5 主觀概率主觀概率1.2 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率1.2.1 1.2.1 概率和頻率概率和頻率 概率論研究的是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)

41、律性。對概率論研究的是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。對于隨機試驗，如果僅知道可能出現(xiàn)哪些事件是不于隨機試驗，如果僅知道可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，更重要的是要知道各個事件發(fā)生可能性大夠的，更重要的是要知道各個事件發(fā)生可能性大小的量的描述（即數(shù)量化）小的量的描述（即數(shù)量化）.這種量的大小我們這種量的大小我們稱為稱為事件的概率事件的概率。 隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，但大量試驗中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計規(guī)律性，人們但大量試驗中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計規(guī)律性，人們可以確定隨機事件發(fā)生的可能性大小。可以確定隨機事件發(fā)生的可能性大小。 若隨機事件若隨機事件A A在在 n n

42、 次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了m m 次，則量次，則量 稱為事件稱為事件A A在在n n 次試驗中次試驗中 發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率，記作，記作 ，即：，即： . . nm 0nm/ nfnmfn 它滿足不等式：它滿足不等式：10 nm如果如果A A是必然事件是必然事件, ,有有m=n,m=n,則則 ; ; 1 nmAfn如果如果A A是不可能事件，有是不可能事件，有m=0,m=0,則則 ; ; 0 nmAfn就是說：就是說：必然事件的頻率為必然事件的頻率為1 1，不可能事件的頻率為，不可能事件的頻率為0 0。的客觀規(guī)律性，它是事件的客觀規(guī)律性，它是事件A在一次隨機試驗時發(fā)生可在一次隨機試驗時發(fā)生

43、可能性大小的度量。能性大小的度量。隨機事件隨機事件A發(fā)生的頻率，總是在某個確定值發(fā)生的頻率，總是在某個確定值p附近徘徊，附近徘徊，而且試驗次數(shù)越多，事件而且試驗次數(shù)越多，事件A的頻率就越來越接近的頻率就越來越接近p,數(shù)數(shù)p稱為頻率的穩(wěn)定中心，頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定中心，頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機現(xiàn)象的頻率具有穩(wěn)定性。一般地，在大量重復試驗中，的頻率具有穩(wěn)定性。一般地，在大量重復試驗中， 表表1-1可以看出，隨著試驗次數(shù)可以看出，隨著試驗次數(shù)n的增加的增加,A發(fā)生的頻發(fā)生的頻率圍繞率圍繞0.5這個數(shù)值擺動的幅度越來越小。即隨機事件這個數(shù)值擺動的幅度越來越小。即隨機事件A發(fā)生發(fā)生投一

44、枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù) n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005頻率穩(wěn)定性的實例頻率穩(wěn)定性的實例 蒲豐蒲豐( ( Buffon ) )投幣投幣 皮爾森皮爾森( Pearson ) 投幣投幣如如: : Dewey G. Dewey G. 統(tǒng)計了約統(tǒng)計了約438023438023個英語單詞個英語單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率中各字母出現(xiàn)的頻率, , 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不

45、同：的頻率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006 概率的概率的統(tǒng)計定義：統(tǒng)計定義：在相同條件下重復進行的在相同條件下重復進行的

46、 n 次次試驗中試驗中, 事件事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)常數(shù) p 附近擺動附近擺動, 且隨且隨 n 越大擺動幅度越越大擺動幅度越小小, 則稱則稱 p 為事件為事件 A 的概率的概率, 記作記作 P(A).對本定義的評價對本定義的評價優(yōu)點：直觀優(yōu)點：直觀 易懂易懂缺點：粗糙缺點：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用加法原理加法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 類方法，第類方法，第 i 類類方法中有方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情種具體的方法，則完成這件事情共有共有 niim1種不同的方法種不同的方法.乘法原理乘法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 個步

47、驟，第個步驟，第 i 個個步驟中有步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情種具體的方法，則完成這件事情共有共有 niim1種不同的方法種不同的方法.1.2.2 1.2.2 組合記數(shù)組合記數(shù)排列排列: : 從從 n 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 m 個個 (不放不放 回地）按一定的次序排成一排不同的回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有排法共有)1()2)(1( mnnnnPmn全排列全排列:!nPnn 可重復排列可重復排列 : 從從 n 個不同的元素中可重復地個不同的元素中可重復地 取出取出 m 個排成一排個排成一排, 不同的排法有不同的排法有mn種種.組合組合: : 從從 n

48、 個不同的元素中取出個不同的元素中取出 m 個個(不放不放 回地）組成一組，回地）組成一組， 不同的分法共有不同的分法共有)!( !mnmnmnCmn rrn1重復組合重復組合: 從從 n 個不同元素中每次取出一個，個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的組合次所得的組合稱為重復組合，此種重復組合數(shù)共有稱為重復組合，此種重復組合數(shù)共有101!0n和例如例如: : 兩批產(chǎn)品各兩批產(chǎn)品各5050件件, ,其中次品各其中次品各5 5件件, ,從這兩批產(chǎn)品中各從這兩批產(chǎn)品中各抽取抽取1 1件件, ,(1)(1)兩件都不是次品的選法有多少種兩件都不是次

49、品的選法有多少種? ?(2)(2)只有一件次品的選法有多少種只有一件次品的選法有多少種? ?解解 (1) (1) 用乘法原理用乘法原理, ,結果為結果為214514545.CC(2)(2)結合加法原理和乘法原理得選法為結合加法原理和乘法原理得選法為: :4504552C.CC.C1514514515古典概型古典概型 設設為試驗為試驗E E的樣本空間，若的樣本空間，若 （有限性）（有限性）只含有限個樣本點只含有限個樣本點; ; （等概性）（等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等; ; 則稱則稱E E為為古典概型古典概型。古典概型概率的定義古典概型概率的定義 nk中樣本點

50、總數(shù)樣本空間中包含的樣本點數(shù)事件AP(A)設設E E為古典概型為古典概型,為為E E的樣本空間的樣本空間,A,A為任意一個為任意一個事件，定義事件，定義事件事件A A的概率的概率為為: :1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率(1) (1) 古典概型的判斷方法古典概型的判斷方法（有限性有限性 、等概性、等概性）；）；(2) (2) 古典概率的計算步驟：古典概率的計算步驟： 弄清試驗與樣本點弄清試驗與樣本點; ; 數(shù)清樣本空間與隨機事件中的樣本點數(shù)數(shù)清樣本空間與隨機事件中的樣本點數(shù); ; 列出比式進行計算。列出比式進行計算。注意注意: :概率的性質：概率的性質：q 0)(P非負性非負性規(guī)范性規(guī)

51、范性1Pq q 10 P例例1.2.1.2. 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率：將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率：（1 1）兩次擲得的點數(shù)之和為）兩次擲得的點數(shù)之和為8 8；（；（2 2）第二次擲得）第二次擲得3 3點點. .A表示表示“點數(shù)之和為點數(shù)之和為8 8”事件，事件，B表示表示“第二次擲得第二次擲得3 3點點”事件事件 )6 , 6(),1 , 6( ,),6 , 2( ,),1 , 2(),6 , 1( ,),2 , 1(),1 , 1( )2 , 6(),3 , 5(),4 , 4(),5 , 3(),6 , 2( A)3 , 6(),3 , 5(),3 , 4(

52、),3 , 3(),3 , 2(),3 , 1( B365)( AP61366)( BP解：解：設設所以所以則則例例1.2.1.2. 箱中有箱中有6 6個燈泡個燈泡, ,其中其中2 2個次品個次品4 4個正品個正品, ,有放回有放回地從中任取兩次地從中任取兩次, ,每次取一個每次取一個, ,試求下列事件的概率：試求下列事件的概率：（1 1）取到的兩個都是次品）取到的兩個都是次品; ;（2 2）取到的兩個中正、次）取到的兩個中正、次品各一個品各一個, ,（3 3）取到的兩個中至少有一個正品）取到的兩個中至少有一個正品. .解：解： 設設A =A =取到的兩個都是次品取到的兩個都是次品 ，B=B=

53、取到的兩個中取到的兩個中正、次品各一個正、次品各一個, C=, C=取到的兩個中至少有一個正品取到的兩個中至少有一個正品.（1 1）樣本點總數(shù)為）樣本點總數(shù)為6 62 2，事件，事件A A包含的樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為2 22 2，所以所以 P(A)=4/36=1/9P(A)=4/36=1/9（2 2）事件）事件B B包含的樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為4 42+22+24=164=16，所以所以P P（B B）=16/36=4/9=16/36=4/9（3 3）事件）事件C C包好的樣本點數(shù)為包好的樣本點數(shù)為6 62 2-2-22=322=32，所以P(C )=32/36=8/9 思考：思考：若

54、改為無放回地抽取兩次呢若改為無放回地抽取兩次呢? ? 若改為一次抽取兩個呢？若改為一次抽取兩個呢？幾何概型幾何概型 設設為試驗為試驗E E的樣本空間，若的樣本空間，若試驗試驗的樣本空間是直線上某個區(qū)間，或者面、的樣本空間是直線上某個區(qū)間，或者面、空間上的某個區(qū)域，從而含有無限多個樣本點空間上的某個區(qū)域，從而含有無限多個樣本點; ;每個樣本點發(fā)生具有等可能性每個樣本點發(fā)生具有等可能性 ; ; 則稱則稱E E為為幾何概型幾何概型。幾何概型概率的定義幾何概型概率的定義 )()(P(A) mDm設試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域設試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨上的隨機點機點M M，且，且D D

55、含在含在內(nèi)內(nèi), ,則則M M點落入子域點落入子域D(D(事件事件A)A)上上的概率為的概率為: :1.2.4 1.2.4 幾何概型幾何概型( (等可能概型的推廣等可能概型的推廣) )例例1.2.31.2.3 某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時，某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時，已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于十分鐘的概率十分鐘的概率. .9點點10點點10分鐘分鐘616010)(AP m 及及 Dm 在在 是區(qū)間時，表示相應的長度；在是區(qū)間時，表示相應的長度；在 是平面或空間區(qū)域時，表示相應的面積或體積是平面或空間區(qū)域時，表示相應的

56、面積或體積注：注：幾何概率的性質：幾何概率的性質：q 0)(Pq 可列可加性可列可加性: : 設設 nAAA,21 11)(iiiiAPAP非負性非負性規(guī)范性規(guī)范性1Pq q 10 P兩兩互不相容兩兩互不相容例例1.2.41.2.4 兩船欲?？客粋€碼頭兩船欲?？客粋€碼頭, , 設兩船到達碼頭設兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內(nèi)的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內(nèi)是等可能的是等可能的. .如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是間分別是1 1 小時與小時與2 2 小時小時, ,試求在一晝夜內(nèi)，任一試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，

57、需要等待空出碼頭的概率船到達時，需要等待空出碼頭的概率. .解解: : 設船設船1 1 到達碼頭的瞬時為到達碼頭的瞬時為 x x ，0 0 x 24 x 24 船船2 2 到達碼頭的瞬時為到達碼頭的瞬時為 y y ，0 0 y y 240,P(A)0, 則則A A與與B B獨立等價于獨立等價于P(B|A)=P(B).P(B|A)=P(B). 若若P(B)0,P(B)0, 則則A A與與B B獨立等價于獨立等價于P(A|B)=P(A).P(A|B)=P(A).證明：證明：A.BA.B獨立獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(

58、B|A)=P(B) P(B|A)=P(B)注意注意: :從直觀上講從直觀上講,A,A與與B B獨立就是其中任何一個事件出獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響. .證明證明 不妨設不妨設A.BA.B獨立獨立, ,則則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他類似可證其他類似可證. . 推論推論2:2:在在 A A與與 B, B, 與與 B,AB,A與與 ，與，與 這四對事件中這四對事件中, , 若有一對獨立若有一對獨立, ,則另外三對也相互獨立。則另外三對也相互獨立。AABB

59、 注意注意: : 判斷事件的獨立性一般有兩種方法判斷事件的獨立性一般有兩種方法: : 由定義判斷由定義判斷, ,是否滿足公式是否滿足公式; ; 由問題的性質從直觀上去判斷由問題的性質從直觀上去判斷. .例例1.5.11.5.1 某高校的一項調查表明：該校有某高校的一項調查表明：該校有30%30%的學生的學生 視力有缺陷視力有缺陷. 7%. 7%的學生聽力有缺陷，的學生聽力有缺陷，3%3%的學生視力與的學生視力與聽力都有缺陷，記聽力都有缺陷，記A= =“學生視力有缺陷學生視力有缺陷”，30. 0)( APB= =“學生聽力有缺陷學生聽力有缺陷”，07. 0)( BPAB= =“學生聽力與視力都有

60、缺陷學生聽力與視力都有缺陷”，03. 0)( ABP現(xiàn)在來研究下面三個問題：現(xiàn)在來研究下面三個問題：（1 1）事件）事件A與與B是否獨立？是否獨立？ 由于由于 021. 007. 003. 0)()(BPAP)(ABP所以事件所以事件A與與B不獨立，即該校學生視力與聽力不獨立，即該校學生視力與聽力缺陷有關聯(lián)缺陷有關聯(lián). .（2 2）如果已知一學生視力有缺陷，那么他聽力也有缺）如果已知一學生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？陷的概率是多少？ 這要求計算條件概率這要求計算條件概率)(ABP, ,由定義知由定義知10130. 003. 0)()()( APABPABP（3 3）如果已知一