球的體積和表面積ppt課件

1、9.10.2-3圓錐圓錐圓柱圓柱圓臺(tái)圓臺(tái)球體球體旋轉(zhuǎn)體 圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式： S側(cè)=(r+R)l 當(dāng)r=R時(shí)，S側(cè)=2Rl，即圓柱的側(cè)面積公式 當(dāng)r=0時(shí)，S側(cè)=rRl，即圓錐的側(cè)面積公式 其中r表示上底面半徑，R表示上底面半徑，l表示母線長(zhǎng) 直棱柱、直棱錐和直棱臺(tái)的側(cè)面積公式： S側(cè)=(c+c)h/2 當(dāng)c=c時(shí)，S側(cè)=ch，即棱柱的側(cè)面積公式 當(dāng)c=0時(shí)，S側(cè)=ch/2，即棱錐的側(cè)面積公式 棱柱、棱錐和棱臺(tái)的體積公式： v= (s+ss+s) h/3. 當(dāng)s=s時(shí)為棱柱體積公式v=sh. 當(dāng)s=0為棱錐體積公式v=sh/3. 怎樣求球的體積怎樣求球的體積?r=r=mVVmh實(shí)驗(yàn)：

2、排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積hH實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球的體積曹沖稱象曹沖稱象假設(shè)將圓n等分，那么n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS=正多邊形)AAAAAA( p211n3221=正多邊形pC21=圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CC,Rpn

3、2RR2R21S=圓pA3回想圓面積公式的推導(dǎo)回想圓面積公式的推導(dǎo) 割割 圓圓 術(shù)術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)。倍邊法割圓術(shù)。他用加倍的方式不斷添加圓內(nèi)接正多邊形的他用加倍的方式不斷添加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂謂“割之彌細(xì)，所失彌小。這樣反復(fù)下去，割之彌細(xì)，所失彌小。這樣反復(fù)下去，就到達(dá)了就到達(dá)了“割之又割，以致于不可再割，那割之又割，以致于不可再割，那么與圓合體而無(wú)所失矣。這是世界上最早么與圓合體而無(wú)所失矣。這是世界上最早

4、的的“極限思想。極限思想。,21RRr= = =,)(222nRRr = =知球的半徑為知球的半徑為R,R,用用R R表示球的體積表示球的體積. .,)2(223nRRr = =AOB2C2AOOR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri= = = =irOAnininRnRrVii,2,1,)1(1232= = = = niinRRri,2,1,)1(22= = = =nVVVV = =21半半球球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 = =nnnnnnR 6)12)(1(1123 = =nnnR 6)12)(

5、11(13nnRV = = 半半球球.01, nn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).343233RVRV = = =從從而而半半球球334RVR = =的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是334RV=定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積例例1. 1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV=變式變式1. 1.一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑外徑是是5cm,5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm2)7.9g/cm2)變式變式1.一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g

6、,外徑是外徑是5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2x cm,那么鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.14234)25(349 . 733=x3 .1149 . 73142)25(33=x由計(jì)算器算得:24. 2x5 . 42 x (變式2)鋼球直徑是5cm,.把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中, ,至至少要用多少紙少要用多少紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體226 5150Scm=全側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm1.球的直徑

7、伸長(zhǎng)為原來(lái)的球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)體積變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍的幾倍?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍332兩個(gè)幾何體相內(nèi)切兩個(gè)幾何體相內(nèi)切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切.兩個(gè)幾何體相接兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的一切頂點(diǎn)都一個(gè)幾何體的一切頂點(diǎn)都 在另一個(gè)幾何體的外表上在另一個(gè)幾何體的外表上R332RV=半球331RV=圓錐3RV=圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比閱讀資料以及思索題 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所

8、以球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的外表積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，求球的外表積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的外表積公式呢如何求球的外表積公式呢? ? 回想球的體積公式的推導(dǎo)方法回想球的體積公式的推導(dǎo)方法, , 得得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的外表積公式。導(dǎo)球的外表積公式。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是半徑是R R的球的體積：的球的體積：推導(dǎo)方法：推導(dǎo)方法：334RV

9、=分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和oiS o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，外表積分別為：個(gè)網(wǎng)格，外表積分別為：nSSSS ,321，那么球的外表積：那么球的外表積：nSSSSS = =321那么球的體積為：那么球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV = =321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV = =321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii=31 假設(shè)網(wǎng)格

10、分的越細(xì)假設(shè)網(wǎng)格分的越細(xì), ,那么那么: : “小小錐體就越接近小棱錐錐體就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 = =RSSSSSRni31).(3132= = = = 334RV = =又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR = = =從從而而Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 定理定理 半徑是半徑是 的球的外表積：的球的外表積： R24SR= 球的外表積是大圓面積的4倍1、地球和火星都可以看作近似球體，地球半徑約為6370km，火星的直徑約為地球的一半。求地球的外表積和體積； 火星的外表積約為地球外表積的幾分之幾

11、？體積呢？V地球=433=433=4212(km3)S地球=428(km2)解：12V火V地=43火343地3=R火3R地3=(12R地)3R地3=18S火S地=4 火24 地2=R火2R地2=(12R地)2R地2=14例例1.1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑, ,求證求證: : (1) (1)球的外表積等于圓柱的側(cè)面積球的外表積等于圓柱的側(cè)面積. . (2) (2)球的外表積等于圓柱全面積的三分之二球的外表積等于圓柱全面積的三分之二. .O O證明證明: :R R(1)(1)設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,R,24RS=球球得得: :那么圓柱的底

12、面半徑為那么圓柱的底面半徑為R,R,高為高為2R.2R.2422RRRS=圓圓柱柱側(cè)側(cè)圓圓柱柱側(cè)側(cè)球球SS=(2)(2)24RS=球球圓圓柱柱全全球球SS32=222624RRRS=圓柱全圓柱全Q例例2.2.如圖，知球如圖，知球O O的半徑為的半徑為R,R,正方體正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)的棱長(zhǎng) 為為a,a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O O的球面上，的球面上， 求證：求證：aR23=A AB BC CD DD1D1C1C1B1B1A1A1O OA AB BC CD DD1D1C1C1B1B1A1A1O O分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球和正方體都是

13、中心對(duì)稱圖形分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，那么正方體對(duì)角線與球的直徑相等?？芍?，它們中心重合，那么正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：aRaaRaDBRDBDDBRt23,)2()2(22:2221111=得得：，中中變題變題1.1.假設(shè)球假設(shè)球O O切于這個(gè)正方體的六個(gè)面，那么有切于這個(gè)正方體的六個(gè)面，那么有R=R=。2a (1) (1)假設(shè)球的外表積變?yōu)樵瓉?lái)的假設(shè)球的外表積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,那么半徑變?yōu)樵瓉?lái)的那么半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。 (2) (2)假設(shè)球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的假設(shè)球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，那么外表積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，那么外表積變?yōu)?/p>

14、原來(lái)的倍。倍。 (3) (3)假設(shè)兩球外表積之比為假設(shè)兩球外表積之比為1:21:2，那么其體積之比是，那么其體積之比是。 (4) (4)假設(shè)兩球體積之比是假設(shè)兩球體積之比是1:21:2，那么其外表積之比是，那么其外表積之比是。 (5) (5)假設(shè)兩球外表積之差為假設(shè)兩球外表積之差為48 ,48 ,它們大圓周長(zhǎng)之和為它們大圓周長(zhǎng)之和為12 ,12 ,那么那么兩球的直徑之差為兩球的直徑之差為。題組一題組一:題組二題組二:1、一個(gè)四面體的一切的棱都為、一個(gè)四面體的一切的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積一球面上，那么此球的外表積 A 3B 43 3C 2D 62、假設(shè)正四

15、體的棱長(zhǎng)都為、假設(shè)正四體的棱長(zhǎng)都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切。求球的外表積。切。求球的外表積。1、一個(gè)四面體的一切的棱都為、一個(gè)四面體的一切的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積一球面上，那么此球的外表積 A 3B 43 3C D 62OBDCA1O 解：設(shè)四面體為解：設(shè)四面體為ABCD， 為其外接球心。為其外接球心。1O 球半徑為球半徑為R，O為為A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M為為CD的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。M連結(jié)連結(jié)B1O2236().3323BOBMBC=222,3AOABBO=所以22211BOOBBOOO=1在Rt中,由O得2222

16、23() ,43 .323RRRR=球解得所以SAR1、一個(gè)四面體的一切的棱都為、一個(gè)四面體的一切的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積一球面上，那么此球的外表積 A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S=球= 解法解法2 構(gòu)造棱長(zhǎng)為構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方的正方體，如圖。那么體，如圖。那么A1、C1、B、D是棱長(zhǎng)為是棱長(zhǎng)為 的正四面體的頂?shù)恼拿骟w的頂點(diǎn)。正方體的外接球也是正四點(diǎn)。正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時(shí)球的直徑面體的外接球，此時(shí)球的直徑為為 ，23選選A2、假設(shè)正四體的棱長(zhǎng)都為、假設(shè)正四體的棱長(zhǎng)都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相

17、，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球的外表積。切，求球的外表積。 解：作出過(guò)一條側(cè)棱解：作出過(guò)一條側(cè)棱PC和高和高PO的截面，那么截面三角形的截面，那么截面三角形PDC的邊的邊PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圓與球被截成的大圓與DP、DC相切，相切，連結(jié)連結(jié)EO，設(shè)球半徑為，設(shè)球半徑為r，16,2rPOrDOPD=得246Sr=球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A2、假設(shè)正四體的棱長(zhǎng)都為、假設(shè)正四體的棱長(zhǎng)都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球的外表積。切，求球的外表積。解法解法2：連結(jié)：連結(jié)OA

18、、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PC AO ABCO ABCVVVVVV=11,3P ABCABCVSPO=因11,3O ABCABCVSOO=14Or=所以P162 6,.2Or=易求P所以解題小結(jié)：解題小結(jié)：1、多面體的、多面體的“切、切、“接問(wèn)題，必需明接問(wèn)題，必需明確確“切、切、“接位置和有關(guān)元素間的數(shù)量接位置和有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，常借助關(guān)系，常借助“截面圖形來(lái)處理。截面圖形來(lái)處理。2、正三棱錐、正四面體是重要的根本圖形，要、正三棱錐、正四面體是重要的根本圖形，要掌握其中的邊、角關(guān)系。能將空間問(wèn)題化為平掌握其中的邊、角關(guān)系。能將空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題得到處理，并留意方程思想的運(yùn)用。面問(wèn)題得到處理，并留意方程思想的運(yùn)用