材料力學(xué)第03章扭轉(zhuǎn)

1、3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例3.2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3.3 純剪切純剪切3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形3.6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)2/593.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例3/59 桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對轉(zhuǎn)動，這種受力與變形形式稱為扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)（torsion）。 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸軸。 當(dāng)兩只手用力相等時，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。4/59傳動軸傳動軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)5

2、/596/593.2 外力偶矩的計算，扭矩和扭矩圖外力偶矩的計算，扭矩和扭矩圖7/59 工程中作用于軸上的外力矩 Me 往往不是直接給出的，而是給出軸所傳遞的功率 P (kW)和軸的轉(zhuǎn)速 n (rpm)。602ddddeeenMMtMtWP)mN(9549)mkN(549. 9)rpm(2)kW(60enPnPnPM參照GB3101-93kWeN mr/min 9549 PMn8/59受扭構(gòu)件的內(nèi)力矩內(nèi)力矩(扭矩扭矩)如何？ 截面法 由被截下部分的靜力平衡，橫截面上必有內(nèi)力矩(扭矩)T 根據(jù)右手定則確定力偶矩矢的方向ee0MTMT9/59扭矩的正負(fù)號規(guī)定 按照右手螺旋法則，扭矩矢量的指向與截面

3、外法線方向一致為正，反之為負(fù)。10/59扭矩的計算及扭矩圖的繪制1、計算各外力矩的大?。ㄒ阎β屎娃D(zhuǎn)速）；、計算各外力矩的大?。ㄒ阎β屎娃D(zhuǎn)速）；2、將各外力矩采用右手螺旋定則繪出外力矩矢；、將各外力矩采用右手螺旋定則繪出外力矩矢；3、取各控制截面，預(yù)設(shè)扭矩矢（內(nèi)力矩矢）為正方向，列、取各控制截面，預(yù)設(shè)扭矩矢（內(nèi)力矩矢）為正方向，列平衡方程，計算扭矩矢的大小；平衡方程，計算扭矩矢的大??；4、以軸線方向為橫坐標(biāo)，扭矩大小為縱坐標(biāo)繪出扭矩圖。、以軸線方向為橫坐標(biāo)，扭矩大小為縱坐標(biāo)繪出扭矩圖。11/59【例例3-1】 如圖所示一傳動系統(tǒng)，A為主動輪，B、C、D為從動輪。各輪的功率：PA=60kW，P

4、B=25kW，PC=25kW，PD=10kW，軸的轉(zhuǎn)速 n = 300 r/min。畫出軸的扭矩圖。12/59【例例3-1】解解(1)求外力偶mN7963002595499549eenPMMBCBmN19103006095499549enPMAAmN3183001095499549enPMDD13/59(2)求各段上的扭矩將外力偶畫成力偶矩矢的形式取3個截面計算扭矩01eTMBmN796e1BMT02eeTTMABmN11142T0e3DMTmN318e3DMT14/59【例例3-1】解解(3)畫扭矩圖mN7961TmN11142TmN3183T15/59【例例3-1】討論討論 傳動軸上主動輪

5、和從動輪安置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也不同。將主動輪布置在中間位置比較合理。16/593.3 純剪切純剪切17/593.3.1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力圓筒發(fā)生扭轉(zhuǎn)后，方格由矩形 薄壁圓筒 壁厚遠(yuǎn)小于其平均直徑 dr/10平行四邊形切應(yīng)變正應(yīng)變?yōu)?無正應(yīng)力圓筒沿軸線及周線的長度無變化18/593.3.1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力因為圓筒壁厚很小，可以認(rèn)為沿筒壁厚度切應(yīng)力不變。橫截面上所有 t 組成力系的合力為該橫截面的扭矩 Ttddtt220e2ddrrrArMTA22Trtd19/593.3.2 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 用相鄰的兩個橫截面和

6、兩個縱向面，從圓筒中取出邊長為dx，dy 和d 的單元體圓筒平衡單元體平衡 上下兩個側(cè)面必有切應(yīng)力 0 xF上下兩個側(cè)面切應(yīng)力大小相等，方向相反 0zMyxxydddddtdttt20/593.3.2 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 在相互垂直的一對平面上，切應(yīng)力在相互垂直的一對平面上，切應(yīng)力同時存在，數(shù)值相等，且都垂直于兩個同時存在，數(shù)值相等，且都垂直于兩個平面的交線，方向共同指向或共同背離平面的交線，方向共同指向或共同背離這一交線。這一交線。21/593.3.3 剪切胡克定律剪切胡克定律 單元體上下左右四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力 純剪切試驗結(jié)果表明，當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，有

7、E, n，G三者關(guān)系Gt2 1EGn22/593.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力23/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式綜合研究幾何、物理、靜力學(xué)幾方面的關(guān)系。圓軸扭轉(zhuǎn)時，各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)。24/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式1. 幾何方面dd x其中 表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長度方向的變化率，而 稱為相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角。xdd同一截面上 為常數(shù)，因此 與 成正比xddxdd25/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式2. 物理方面在剪切比例極限內(nèi)xGGddtt由于

8、 發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以 也應(yīng)與半徑垂直。t26/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式3. 靜力學(xué)方面微剪力 tdA其對圓心的力矩 (tdA)橫截面上，所有微力矩之和等于扭矩TAAdt27/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式3. 靜力學(xué)方面TAAdtxGGddt代入物理方程TAxGAddd2極慣性矩AAId2ppddGITxpGITGtpTIt28/593.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算公式4. 切應(yīng)力計算公式適應(yīng)條件等直圓桿；等直圓桿；橫截面上的最大切應(yīng)力小于剪切比例極限橫截面上的最大切應(yīng)力小于剪切比例極

9、限T：扭矩Ip：橫截面的極慣性矩：所求切應(yīng)力點到圓心的距離pTIt29/593.4.2 最大切應(yīng)力和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件圓心處 0 t 0 外表面 max t t maxRITITRIT/pppmaxmaxt取pp/WRIWp 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位 mm3 m3pTItmaxpTWt30/593.4.2 最大切應(yīng)力和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件maxtmaxt31/593.4.2 最大切應(yīng)力和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計算AAId2pd)d(dAdd2pI32dd420203DD 4p32DI 3pp/ 216IDWD32/593.4.2 最大切應(yīng)力

10、和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計算D/d4444p()(1)3232DdDI4434p()(1)32( /2)16DdDWD33/593.4.2 最大切應(yīng)力和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件強度條件對于等截面圓軸而言，最大扭矩所在的截面為危險截面 ttpmaxmaxWT 不同材料的許用切應(yīng)力t 各不相同，通過扭轉(zhuǎn)試驗測得各種材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力tu，除以安全因數(shù)n得到。 nutt34/593.4.2 最大切應(yīng)力和強度條件最大切應(yīng)力和強度條件塑塑性材料: 屈服沿橫截面剪斷脆脆性材料: 沿與軸線約45方向的螺旋面斷裂塑塑性材料屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力 ts脆脆性材料屈服時橫截面

11、上的最大切應(yīng)力 tb統(tǒng)稱為材料的扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力tu35/59【例例3-2】 實心圓軸和空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100 r/min，傳遞的功率 P = 7.5kW。若兩傳動軸橫截面上的最大切應(yīng)力均等于40MPa，并且已知空心軸的內(nèi)外徑之比=0.5，試確定實心軸的直徑與空心軸的外徑。36/59【例例3-2】解解(1)計算扭矩e7.59549N m100716.2N mTM(2)根據(jù)強度條件計算直徑實心軸MPa401631pmaxdTWTtmm45MPa40mmN102 .71616331d37/59【例例3-2】解解空心軸MPa40116432

12、pmaxtDTWTmm46MPa405 . 01mmN102 .716163432Dmm235 . 022Dd實心和空心軸的橫截面面積之比21122222214511.28461 0.5AdAD 軸長度相同，承受扭矩相同，則在最大切應(yīng)力相同的情況下，實心軸要使用更多的材料。38/59【例例3-3】 如圖所示圓柱形密圈螺旋彈簧，沿彈簧軸線承受拉力F。所謂密圈螺旋彈簧，是指升角 很小的彈簧。設(shè)彈簧的平均直徑為D，彈簧絲的直徑為d，試分析彈簧的應(yīng)力并建立相應(yīng)的強度條件。39/59【例例3-3】解解(1)分析內(nèi)力，用截面法如圖截取上部由于 很小，所取截面近似為彈簧的橫截面截面上的內(nèi)力有剪力 FF s扭

13、矩 2FDT 40/59【例例3-3】解解(2)求切應(yīng)力a.由剪力引起的切應(yīng)力，假設(shè)沿橫截面均勻分布22s44dFdFtb.由扭矩引起的切應(yīng)力33max8162dFDdFD t最大切應(yīng)力發(fā)生在截面內(nèi)側(cè)。如圖 DddFD2183maxmaxttt41/59【例例3-3】解解當(dāng)彈簧的直徑D 彈簧絲的直徑d (D/d 10) DddFD2183maxmaxttt3max8dFDt當(dāng)D/d 10，或在計算精度要求較高的情況下，不僅不能忽略剪力引起的切應(yīng)力，還要考慮彈簧絲曲率的影響。最大切應(yīng)力公式修正為：342483maxccdFDt其中 c = D / d(3)強度條件彈簧危險點處于純剪切狀態(tài)。其強度

14、條件 ttmax42/593.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形43/59pddGIxT相距 l 的兩截面之間的扭轉(zhuǎn)角lGIxTpd適用于等截面軸對等截面圓軸，若在長l的兩橫截面之間 T 為常量，則GIp 圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度pT lGI44/59對于截面變化不大的圓錐截面軸 lxGIxTpd45/59xdd 通常將軸的扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率 或單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角作為扭轉(zhuǎn)變形指標(biāo)。扭轉(zhuǎn)角變化率圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件pddTxGI maxpmaxTGI46/59xdd 通常將軸的扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率 或單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角作為扭轉(zhuǎn)變形指標(biāo)。對于等截面圓軸轉(zhuǎn)換

15、為(/m) maxmaxpTGI maxmaxp180TGI47/59【例例3-4】 如圖所示鉆桿橫截面直徑為20mm，在旋轉(zhuǎn)時BC段受均勻分布的扭力矩m的作用。已知使其轉(zhuǎn)動的外力偶矩Me=120Nm，材料的切變模量G=80GPa，求鉆桿兩端的相對扭轉(zhuǎn)角。48/59【例例3-4】解解(1)求各段扭矩0eBClmMBClMme由截面法，BC 任一截面上的扭矩m1 . 00 xxmT(2)求相對扭轉(zhuǎn)角pepGIlMGIlTABABABAB段 任一截面上的扭矩eMTpep20p22dGIlMGImlGIxTBCBClBCBC49/59【例例3-4】解解BCABBCABBCABACllGIMGIlMG

16、IlM5 . 02pepepe代入數(shù)據(jù)m1 . 05 . 0m2 . 0m02. 032Pa1080mN12049AC37. 1rad0239. 050/59【例例3-5】 如圖所示等截面圓軸AB，兩端固定，在截面C和D處承受外力偶矩Me的作用，試?yán)L出該軸的扭矩圖。51/59【例例3-5】解解一次超靜定問題(1) 建立靜力平衡方程0eeBAMMMMBAMM設(shè)AC、CD、DB各段的扭矩分別為T1 、T2 、T3BAAMTMMTMT3e2152/59【例例3-5】解解(3) 建立物理方程及補充方程pp1GIaMGIaTAACpep2GIaMMGIaTACDpp3GIaMGIaTBDB(2) 建立幾何方程0AB0DBCDACAB53/59【例例3-5】解解(5) 畫出扭矩圖(4) 聯(lián)立靜力學(xué)方程求解BAMMe31M0DBCDAC