隱函數(shù)組隱函數(shù)組的存在性連續(xù)性與可微性是函數(shù)方PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1一、隱函數(shù)組概念 設(shè)有一組方程設(shè)有一組方程 ( , , , )0,(1)( , , , )0,F x y u vG x y u v2()RD,ED EV ,使得對于任給的使得對于任給的 ( , ),x yD 足方程組足方程組 (1) , 則稱由則稱由 (1) 確定了隱函數(shù)組確定了隱函數(shù)組 有惟一的有惟一的 與之對應(yīng)與之對應(yīng), 且使且使()u,vE),(vuyx滿滿.R4 V其中函數(shù)其中函數(shù) 定義在區(qū)域定義在區(qū)域 若存在區(qū)域若存在區(qū)域 FG與與第1頁/共32頁( , ),( , ),( , ),( , ),uu x yx yDu vEvv x y 并有并有 ( , , ( , ), (

2、, )0,( , ).( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x yx yDG x y u x y v x y 關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形 ( 含有含有 m + n 個(gè)變量的個(gè)變量的 m 個(gè)方程所確定的個(gè)方程所確定的 n 個(gè)隱函數(shù)個(gè)隱函數(shù) )，將在第二十三，將在第二十三章采用向量函數(shù)的形式作進(jìn)一步討論章采用向量函數(shù)的形式作進(jìn)一步討論 第2頁/共32頁首先來看看首先來看看, 若由方程組若由方程組 (1) 能確定兩個(gè)可微的隱能確定兩個(gè)可微的隱 函數(shù)函數(shù) , 則函數(shù)則函數(shù) ( , )( , )uu x yvv x y與與GF、應(yīng)滿應(yīng)滿 足何種條件呢足何種

3、條件呢? 不妨先設(shè)不妨先設(shè) 都可微都可微, 由復(fù)合求導(dǎo)法由復(fù)合求導(dǎo)法, 通過對通過對(1)GF、分別求關(guān)于分別求關(guān)于 x 與與 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 得到得到 0,(2)0;xuxvxxuxvxFF uF vGG uG v 0,(3)0.yuyvyyuyvyFF uF vGG uG v 第3頁/共32頁能由能由 (2) 與與 (3) 惟一解出惟一解出 的充要的充要 ),(),(yyxxvuvu與與條件是雅可比條件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 def0.(4,)()( , )uvuvFFF GJGGu v 由此可見，只要由此可見，只要 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)

4、數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 GF、其中其中 是滿足是滿足 (1) 的某一的某一 ,00 PJ00000(,)P xy u v初始點(diǎn)初始點(diǎn), 則由保號性定理，則由保號性定理， 使得在此鄰域使得在此鄰域 , )(0PU 內(nèi)內(nèi) (4)式成立式成立 根據(jù)以上分析根據(jù)以上分析, 便有下述隱函數(shù)組定理便有下述隱函數(shù)組定理.第4頁/共32頁 雅可比（雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德國德國 ）第5頁/共32頁定理定理 18.4 ( 隱函數(shù)組定理隱函數(shù)組定理 ) 設(shè)方程組設(shè)方程組 (1) 中的函數(shù)中的函數(shù) F 與與 G 滿足下列條件：滿足下列條件： (i) 在以點(diǎn)在以點(diǎn) 為內(nèi)

5、點(diǎn)的某區(qū)域?yàn)閮?nèi)點(diǎn)的某區(qū)域 ),(00000vuyxP4RV 上連續(xù)；上連續(xù)； (ii) (初始條件初始條件); 0)()(00 PGPF(iii) 在在 V 內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)； (iv).0),(),(00 PPvuGFJ二、隱函數(shù)組定理 第6頁/共32頁, )(),( !, )(),(00WUvuQUyx 即有即有 ; )(),(, )(),(, ),(, ),(00WUvuQUyxyxvvyxuu( , , ( , ), ( , )0,( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y . )(),(0

6、QUyx 則有如下結(jié)論成立：則有如下結(jié)論成立： 且滿足且滿足 000000(,),(,),uu xyvv xy以及以及1必定存在鄰域必定存在鄰域 ,)()()(000VWUQUPU 其中其中 000000(,),(,),QxyWu v使得使得 第7頁/共32頁2o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上連續(xù)上連續(xù). 0()U Q3o o( , ), ( , )u x yv x y在在 上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)上存在一階連續(xù)偏導(dǎo) 0()U Q數(shù)數(shù), 且有且有 1(,),( , )1(,).( , )vF GxJu xvF GyJu y 1(,),( , )1(,);( , )uF Gx

7、Jx vuF GyJy v 本定理的詳細(xì)證明從略本定理的詳細(xì)證明從略 ( 第二十三章有一般隱函第二十三章有一般隱函 數(shù)定理及其證明數(shù)定理及其證明 ), 下面只作一粗略的解釋下面只作一粗略的解釋: 第8頁/共32頁 由方程組由方程組 (1) 的第一式的第一式 確定隱確定隱 ( , , , )0F x y u v 函數(shù)函數(shù) ( , , ),ux y v 且有且有,.xxuyyuvvuFFFFFF ( , , )( , , ( , , ), )0.H x y vG x yx y v v ( , , ( , )( , ).ux y v x yu x y ( , , )ux y v 將將 代入方程組代入

8、方程組(1) 的第二式的第二式, 得得 ( , ),vv x y 再由此方程確定隱函數(shù)再由此方程確定隱函數(shù) 并代回至并代回至 這樣就得到了一組隱函數(shù)這樣就得到了一組隱函數(shù) ( , ),( , ).uu x yvv x y第9頁/共32頁通過詳細(xì)計(jì)算通過詳細(xì)計(jì)算, 又可得出如下一些結(jié)果又可得出如下一些結(jié)果: ,;xxuxvuvvHGG uHGG 1(,),( , )xvxxvxuuvxvxuuuuvvFFHuvxFFHFFGGF GFFGGJx v L L1(,);( , )yvyuF GvyJy v L L1(,)1(,),.( , )( , )vF GvF GxJu xyJu y同理又有同理

9、又有 第10頁/共32頁例例1 設(shè)有方程組設(shè)有方程組 22240,(5)50.xyyzx yyzz 2224,( , , )5( , , ),xyyzF x y zx yyzzG x y z 0(1, 2,1)P 試討論在點(diǎn)試討論在點(diǎn) 的近旁能確定怎樣的隱函的近旁能確定怎樣的隱函 0P數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn)數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 0P解解 易知點(diǎn)易知點(diǎn) 滿足方程組滿足方程組 (5) . 設(shè)設(shè) 第11頁/共32頁它們在它們在 上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù). 再考察再考察 3R,F G0022222xyzPPxyzFFFyxzyzGGGxyxzyz 2 24.4

10、 24 0P在點(diǎn)在點(diǎn) 關(guān)于所有變量的雅可比矩陣關(guān)于所有變量的雅可比矩陣 02 2(,)40,( , )4 2PF Gx y 由于由于第12頁/共32頁042(,)80,( , )44PF Gz x 024(,)0,( , )24PF Gy z ( ),( ),( );( );xx zzz yyy zxx y與與0P因此由隱函數(shù)組定理可知因此由隱函數(shù)組定理可知, 在點(diǎn)在點(diǎn) 近旁可以惟一近旁可以惟一 地確定隱函數(shù)組地確定隱函數(shù)組: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作為可否作為 x 的兩個(gè)隱函數(shù)的兩個(gè)隱函數(shù). 第13頁/共32頁00d0(,)(,)0,( , )d4( , )PPxF GF G

11、z yzx y 00d( 8)(,)(,)2;( , )d4( , )PPyF GF Gx zzx y 00d41(,)(,),( , )d82( , )PPzF GF Gy xyz x 00d0(,)(,)0 .( , )d8( , )PPxF GF Gz yyz x 3o o0P運(yùn)用定理運(yùn)用定理 18.4 的結(jié)論的結(jié)論 , 可求得隱函數(shù)在點(diǎn)可求得隱函數(shù)在點(diǎn) 處處 的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值: 第14頁/共32頁022d10.4dPxy *注注 通過詳細(xì)計(jì)算通過詳細(xì)計(jì)算, 還能求得還能求得 ( )2xx yy 在在這說明這說明 處取極大值處取極大值, 從而知道從而知道 0P在點(diǎn)在點(diǎn) 的任意小鄰域內(nèi)的任

12、意小鄰域內(nèi), 對每一個(gè)對每一個(gè) x 的值的值, 會有會有 多個(gè)多個(gè) y 的值與之對應(yīng)的值與之對應(yīng). 類似地類似地, 對每一個(gè)對每一個(gè) x 的值的值, 也會有多個(gè)也會有多個(gè) z 的值與之對應(yīng)的值與之對應(yīng). 所以方程組所以方程組 (5) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0P近旁不能惟一確定以近旁不能惟一確定以 x 作為自變量的隱函數(shù)組作為自變量的隱函數(shù)組. 第15頁/共32頁例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ( , ),( , )f x yg x y2(,),(,)0uf ux vyg ux v y1212212121.2xyuvxyuvFFFFuffx ffGGGGgv ggvyg ( ,

13、)( , )uu x yvv x y與與是由方程組是由方程組 ,.uvxy所確定的隱函數(shù)組所確定的隱函數(shù)組. 試求試求 2(,),(,),Fuf ux vyGg ux v y解解 設(shè)設(shè) 則有則有 第16頁/共32頁由此計(jì)算所需之雅可比行列式由此計(jì)算所需之雅可比行列式: 1221 22112122,2uvx ffJvygxyvf gf ggvyg121 221122,2xvuffJyuvf gf ggvyg 122221 2212121.uyx ffJv gxv f gf ggv g于是求得于是求得 第17頁/共32頁1 22 121 22 12,22xvuvJyuvf gf guxJyvgxy

14、vf gf g 221 22 1221 22 1.22uyuvJxv f gf gv gvyJyvgxyvf gf g 注注 計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù) ( 或?qū)?shù)或?qū)?shù) ) 比較繁瑣比較繁瑣, 要學(xué)懂前兩例所演示的方法要學(xué)懂前兩例所演示的方法 ( 利用雅可比矩陣和利用雅可比矩陣和 雅可比行列式雅可比行列式 ), 掌握其中的規(guī)律掌握其中的規(guī)律. 這里特別需要這里特別需要 “ 精心精心細(xì)心細(xì)心耐心耐心 ”. 第18頁/共32頁三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換 設(shè)有一函數(shù)組設(shè)有一函數(shù)組 2( , ),( , ), ( , )(R ),(6)uu x yvv x yx yB它確定了一個(gè)映射它確定

15、了一個(gè)映射 ( 或變換或變換 ) : ( ),;QT PPBB寫成點(diǎn)函數(shù)形式寫成點(diǎn)函數(shù)形式, 即為即為 并記并記 的的 ( ).BT B 象集為象集為 現(xiàn)在的問題是現(xiàn)在的問題是: 函數(shù)組函數(shù)組 (6) 滿足滿足 T1?T 何種條件時(shí)何種條件時(shí), 存在逆變換存在逆變換 即存在即存在 ( , )( , ) .P x yQ u va a2:R ,TB 第19頁/共32頁( , )( , )Q u vP x ya a1( ),),PTQQB 或或1:,TBB 亦即存在一個(gè)函數(shù)組亦即存在一個(gè)函數(shù)組 ( , ),( , ), ( , ),(7)xx u vyy u vu vB ( ( , ), ( , )

16、,( ( , ), ( , ) .uu x u vy u vvv x u vy u v使得滿足使得滿足 這樣的函數(shù)組這樣的函數(shù)組 (7) 稱為函數(shù)組稱為函數(shù)組 (6) 的的反函數(shù)組反函數(shù)組. 它它 的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理. 第20頁/共32頁為此為此, 首先把方程組首先把方程組 (6) 改寫為改寫為 ( , , , )( , )0,(8)( , , , )( , )0.F x y u vuu x yG x y u vvv x y 然后將定理然后將定理 18. 4 應(yīng)用于應(yīng)用于 (8) , 即得下述定理即得下述定理. 定理定理 18.

17、 5 (反函數(shù)組定理反函數(shù)組定理) 設(shè)設(shè) (6) 中函數(shù)在某區(qū)域中函數(shù)在某區(qū)域 0000000( , )(,),(,),0.( , )Pu vuu xyvv xyx y 2RD 000(,)P xyD上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 是是 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn), 且且 第21頁/共32頁則在點(diǎn)則在點(diǎn) 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)內(nèi), 存在惟一存在惟一 000(,)Pu v 0()U P 000000(,),(,);xx u vyy u v( ( , ), ( , ),( ( , ), ( , ) .uu x u vy u vvv x u vy u v此外此外, 反函數(shù)組反函數(shù)組 (7) 在在 內(nèi)

18、存在連續(xù)的一階內(nèi)存在連續(xù)的一階 0()U P (,)( , ),( , )( , )xyF Gu vJx yx y的一組反函數(shù)的一組反函數(shù) (7) , 使得使得0( ( , ), ( , )();x u vy u vU P 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù); 若記若記第22頁/共32頁則有則有 (,)(,)( , )( , )11,0yyxyxyyxF GF Gu yx yuuvJJv 同理又有同理又有 ,yxyuxvJ ,.xxxyxyvuyyuJvJ (9) 第23頁/共32頁由由 (9) 式進(jìn)一步看到式進(jìn)一步看到: 2( , )1( , )yyxxxyvux yu vvuJ 此式表示此式表示: 互為反函數(shù)組

19、的互為反函數(shù)組的 (6) 與與 (7) , 它們的雅它們的雅 可比行列式互為倒數(shù)可比行列式互為倒數(shù). 這和以前熟知的反函數(shù)求這和以前熟知的反函數(shù)求 導(dǎo)公式相類似導(dǎo)公式相類似, 亦即一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)組亦即一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)組 (6) 的雅可比行列式互為對應(yīng)物的雅可比行列式互為對應(yīng)物. 22( , )1.( , )xyyxxyxyxyu vu vJu vx yJJ 第24頁/共32頁:cos ,sin .Txryr例例3 平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo) 與極坐標(biāo)與極坐標(biāo) 之之 ( , )r ( , )x y間的坐標(biāo)變換為間的坐標(biāo)變換為 試討論它的逆變換試討論它的逆變換. cossin(

20、 , ),( , )sincosrx yrrr 解解 由于由于因此除原點(diǎn)因此除原點(diǎn) (r = 0) 外外, 在其余一切點(diǎn)處在其余一切點(diǎn)處, T 存在存在 1:T 逆變換逆變換 第25頁/共32頁arctan,0,arctan,0 ,yxxyxx arccot,0,arccot,0.xyyxyy 或或22,rxy第26頁/共32頁例例4 空間直角坐標(biāo)空間直角坐標(biāo) 與球坐標(biāo)與球坐標(biāo) 之間之間 ( , , )x y z( , , ) sincos ,:sinsin ,cos.xTyz sincoscoscossinsin( , , )sinsincossinsincos( , , )cossin0 x y z ( , , )x y zxyzO 的坐標(biāo)變換為的坐標(biāo)變換為 ( 見右圖見右圖 ) 由于由于 2sin , 第27頁/共32頁222,arccos,arctan.zyxyzx 22222(0),(10)aaxt2sin0 因此在因此在 ( 即除去即除去 Oz 軸上的一切點(diǎn)軸上的一切點(diǎn) ) 時(shí)時(shí), T1:T 存在逆變換存在逆變換 例例5 設(shè)有一微分方程設(shè)有一微分方程 (弦振動方程弦振動方程) : ( , )x