固體量子理論初步

1、第3章固體量子理論初步1第3章固體量子理論初步n31允帶與禁帶n32固體中電的傳導(dǎo)n33三維擴(kuò)展n34狀態(tài)密度函數(shù)n35統(tǒng)計(jì)力學(xué)n36小結(jié)23.1允帶與禁帶3.1.1能級(jí)分裂為能帶n賽車(chē)33.1允帶與禁帶 3.1.1能級(jí)分裂為能帶外層先分裂允帶和禁帶r0 平衡時(shí)的距離r0 處存在能量的允帶 準(zhǔn)連續(xù)分布 例3.143.1允帶與禁帶硅原子外電子允帶與禁帶n3s和3p距離近時(shí)產(chǎn)生交疊53.1允帶與禁帶3.1.2克龍尼克潘納模型63.1允帶與禁帶 3.1.2克龍尼克潘納模型得到sincoscosaPakaa20222 mV bamEP對(duì)自由粒子有：00Vk時(shí)，波數(shù)73.1允帶與禁帶3.1.3 K空間能

2、帶圖n自由粒子的E-K關(guān)系P為粒子的動(dòng)量，p與k為線(xiàn)形關(guān)系mP2E/(2m)PPk由粒子性有又由德布羅意關(guān)系因此mk22kE2m 由此可得到圖3.7所示的Ek關(guān)系。隨波矢k的連續(xù)變化自由電子能量是連續(xù)的。83.1允帶與禁帶3.1.3 K空間能帶圖sincoscosafaPakaa93.1允帶與禁帶3.1.3 K空間能帶圖coscos2cos2fakakankan22E2m103.1允帶與禁帶 3.1.3 簡(jiǎn)約布里淵區(qū)113.1允帶與禁帶 3.1.3 簡(jiǎn)約布里淵區(qū) (a) E(k)k/2關(guān)系 (b) 能帶 (c) 第一布里淵區(qū) 圖2.4 晶體中電子的E(k) k/2關(guān)系/2/2123.1允帶與禁

3、帶 3.1.3 簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 結(jié)論結(jié)論:（1）當(dāng)k=2n/a （n= 1/2，2/2)時(shí)，能量不連續(xù)，形成一系列相間的允帶和禁帶。允帶的k值位于下列幾個(gè)稱(chēng)為布里淵區(qū)的區(qū)域中 第一布里淵區(qū) /ak/a 第二布里淵區(qū) 2/ak-/a，/ak/a 第三布里淵區(qū) 3/ak- 2/a ，2/ak3/a 第一布里淵區(qū)稱(chēng)為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，相應(yīng)的波矢稱(chēng)為簡(jiǎn)約波矢 133.1允帶與禁帶 3.1.3 簡(jiǎn)約布里淵區(qū)（2）E(k)=E(k+2n/a)，即E(k)是k的周期性函數(shù)，周期為 2/a。因此在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)只需考慮/ak/a的第一布里淵區(qū)就可以了。 推廣到二維和三維情況： 二維晶體的第一布里淵區(qū) /a (kx，

4、ky) /a 三維晶體的第一布里淵區(qū) /a (kx，ky，kz)0K (c) 簡(jiǎn)化能帶圖nT=0K的半導(dǎo)體能帶見(jiàn)圖 (a)，這時(shí)半導(dǎo)體的價(jià)帶是滿(mǎn)帶，而導(dǎo)帶是空帶，所以半導(dǎo)體不導(dǎo)電。n當(dāng)溫度升高或在其它外界因素作用下，原先空著的導(dǎo)帶變?yōu)榘霛M(mǎn)帶，而價(jià)帶頂附近同時(shí)出現(xiàn)了一些空的量子態(tài)也成為半滿(mǎn)帶，這時(shí)導(dǎo)帶和價(jià)帶中的電子都可以參與導(dǎo)電，見(jiàn)圖 (b)。n常溫下半導(dǎo)體價(jià)帶中已有不少電子被激發(fā)到導(dǎo)帶中，因而具備一定的導(dǎo)電能力。圖 (c)是最常用的簡(jiǎn)化能帶圖。 半導(dǎo)體的能帶 183.2固體中電的傳導(dǎo) E-K關(guān)系圖n無(wú)外電場(chǎng)時(shí)的情況193.2固體中電的傳導(dǎo) E-K關(guān)系圖 由上述激發(fā)過(guò)程不難看出： 受電子躍遷過(guò)程

5、和能量最低原理制約，半導(dǎo)體中真正對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是那些導(dǎo)帶底部附近的電子和價(jià)帶頂部附近電子躍遷后留下的空態(tài)(等效為空穴)。 換言之，半導(dǎo)體中真正起作用的是那些能量狀態(tài)位于能帶極值附近的電子和空穴。203.2固體中電的傳導(dǎo)3.2.5金屬 絕緣體 半導(dǎo)體213.2固體中電的傳導(dǎo)3.2.5金屬 絕緣體 半導(dǎo)體223.2固體中電的傳導(dǎo)3.2.3電子的有效質(zhì)量n粒子所受作用力int (3.36)totalextFFFma粒子所受外力內(nèi)力粒子靜止質(zhì)量加速度* (3.36)extFm a粒子有效質(zhì)量，包括了粒子的質(zhì)量以及內(nèi)力作用的效果。加速度233.2固體中電的傳導(dǎo) 電子的有效質(zhì)量與E-k曲線(xiàn)222, (3.

6、28)22pkpkEmm自由粒子能量和動(dòng)量的關(guān)系式：2 (3.38)dEkpdkmmE對(duì)k求導(dǎo)：1 (3.39)dEpvdkm粒子速度222 (3.40)d EdkmE對(duì)k求二階導(dǎo)數(shù)：22211 (3.41)d Edkm (3.42)FmaeE 牛頓方程：得到加速度值。24Ec 導(dǎo)帶底Ev 價(jià)帶頂圖3.16 (a)簡(jiǎn)約k空間導(dǎo)帶及其拋物線(xiàn)近似；(b)簡(jiǎn)約k空間價(jià)帶及其拋物線(xiàn)近似 21 (3.44)cEECk2122221 Cd Edk22211d Edkm*10m 22 vEECk2222221 Cd Edk*10m* /npm vaF m導(dǎo)帶底電子有效質(zhì)量?jī)r(jià)帶頂電子有效質(zhì)量3.2固體中電的傳

7、導(dǎo) 導(dǎo)帶低、價(jià)帶頂 電子有效質(zhì)量25 圖 自由電子、晶體中電子E(k)k，vk和mk關(guān)系下圖分別畫(huà)出了自由電子和半導(dǎo)體中電子的E(k)k，vk和mk關(guān)系曲線(xiàn)。3.2固體中電的傳導(dǎo) 3.2.3電子的有效質(zhì)量263.2固體中電的傳導(dǎo)3.2.3電子的有效質(zhì)量有效質(zhì)量的意義有效質(zhì)量的意義n上述半導(dǎo)體中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律公式都出現(xiàn)了有效質(zhì)量mn*，原因在于F=mn*a中的F并不是電子所受外力的總和。n即使沒(méi)有外力作用，半導(dǎo)體中電子也要受到格點(diǎn)原子和其它電子的作用。當(dāng)存在外力時(shí)，電子所受合力等于外力再加上原子核勢(shì)場(chǎng)和其它電子勢(shì)場(chǎng)力。n由于找出原子勢(shì)場(chǎng)和其他電子勢(shì)場(chǎng)力的具體形式非常困難，這部分勢(shì)場(chǎng)的作用就由有效

8、質(zhì)量mn*加以概括，mn*有正有負(fù)正是反映了晶體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用。n既然mn*概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)作用，外力F與晶體中電子的加速度就通過(guò)mn*聯(lián)系了起來(lái)而不必再涉及內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)。273.2固體中電的傳導(dǎo)3.2.4空穴的運(yùn)動(dòng)283.2固體中電的傳導(dǎo) 3.2.4空穴的運(yùn)動(dòng)n空穴293.2固體中電的傳導(dǎo) 3.2.4空穴的運(yùn)動(dòng)n一定溫度下，價(jià)帶頂附近的電子受激躍遷到導(dǎo)帶底附近，此時(shí)導(dǎo)帶底電子和價(jià)帶中剩余的大量電子都處于半滿(mǎn)帶當(dāng)中，在外電場(chǎng)的作用下，它們都要參與導(dǎo)電。n對(duì)于價(jià)帶中電子躍遷出現(xiàn)空態(tài)后所剩余的大量電子的導(dǎo)電作用，可以等效為少量空穴的導(dǎo)電作用。n空穴具有以下的特點(diǎn)：(1)帶有與電子電荷量相等但符號(hào)相

9、反的+q電荷；(2)空穴的濃度就是價(jià)帶頂附近空態(tài)的濃度；(3)空穴的共有化運(yùn)動(dòng)速度就是價(jià)帶頂附近空態(tài)中電子的共有化運(yùn)動(dòng)速度；(4)空穴的有效質(zhì)量是一個(gè)正常數(shù)mp* 。n半導(dǎo)體的導(dǎo)帶電子參與導(dǎo)電，同時(shí)價(jià)帶空穴也參與導(dǎo)電，存在著兩種荷載電流的粒子，統(tǒng)稱(chēng)為載流子。303.3 三維擴(kuò)展n三維情況下各方向勢(shì)場(chǎng)不同電子在不同方向上運(yùn)動(dòng)會(huì)遇到不同的勢(shì)場(chǎng)，從而產(chǎn)生不同的k空間邊界。31硅和砷化鎵的k空間能帶圖 直接帶隙半導(dǎo)體：價(jià)帶能量最大值和導(dǎo)帶能量最小值的K坐標(biāo)一致。 間接帶隙半導(dǎo)體：價(jià)帶能量最大值和導(dǎo)帶能量最小值的K坐標(biāo)不一致。323.4 狀態(tài)密度函數(shù)n能帶中能量E附近每單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)。 導(dǎo)帶中

10、有效狀態(tài)密度： 3 2*342- (3.72)nccmgEE Eh 價(jià)帶中有效狀態(tài)密度： 3 2*342- (3.75)pvvmgEEEh333.5 統(tǒng)計(jì)力學(xué)n在一定溫度下，半導(dǎo)體中的大量電子不停地作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，從一個(gè)電子來(lái)看，它所具有的能量時(shí)大時(shí)小，經(jīng)常變化。但是，從大量電子的整體來(lái)看，在熱平衡狀態(tài)下，電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性，即電子在不同能量的量子態(tài)上統(tǒng)計(jì)分布幾率是一定的。343.5 統(tǒng)計(jì)力學(xué) 粒子在有效能態(tài)中的分布：三種分布法則n麥克斯韋-玻爾茲曼分布函數(shù)。認(rèn)為分布中的粒子可以被一一區(qū)分，且對(duì)每個(gè)能態(tài)所容納的粒子數(shù)沒(méi)有限制。n玻色-愛(ài)因斯坦分布函數(shù)認(rèn)為分布中的粒子不可區(qū)分

11、，但每個(gè)能態(tài)所容納的粒子數(shù)沒(méi)有限制。n費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)認(rèn)為分布中的粒子不可區(qū)分，且每個(gè)量子態(tài)只允許一個(gè)粒子存在。353.5 統(tǒng)計(jì)力學(xué)費(fèi)米分布函數(shù) 熱平衡條件下半導(dǎo)體中電子按能量大小服從一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。能量為E的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率為 據(jù)上式，能量比EF高5kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率僅為0.7%；而能量比EF低5kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率高達(dá)99.3%。 1()1expFFfEEEkT11( )11 expFFfEEEkT fF(E)表示能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，那么1-fF(E)就是能量為E的量子態(tài)不被電子占據(jù)的幾率，也就是被空穴占據(jù)的幾率。36費(fèi)米概率函數(shù)n理想

12、情況，能量小于EF的能級(jí)被電子占據(jù)的概率為能量EEf E038費(fèi)米能級(jí)F 如果溫度不很高，那么EF 5kT的范圍就很小，這樣費(fèi)米能級(jí)EF就成為量子態(tài)是否被電子占據(jù)的分界線(xiàn)： 1) 能量高于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)基本是空的； 2) 能量低于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)基本是滿(mǎn)的； 3) 能量等于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是50%。 費(fèi)米分布函數(shù)與溫度密切相關(guān)！39玻爾茲曼分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)中，若E-EFkT，則分母中的1可以忽略，此時(shí)上式就是電子的玻耳茲曼分布函數(shù)。同理，當(dāng)EF-EkT時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為下面的空穴玻耳茲曼分布( )expexpexpexpFFBEEEEEfEAkTkTkTkTFF11 f (E)EE1 expkTFFEEEEE1 f(E)expexpexpBexpkTkTkTkT1( )1 expFFfEEEkT40費(fèi)米能級(jí)n費(fèi)米能級(jí)標(biāo)志了電子填充能級(jí)的水平。n半導(dǎo)體中常見(jiàn)的是費(fèi)米能級(jí)EF位于禁帶之中，并且滿(mǎn)足 Ec-EFkT或EF-EvkT的條件。