光學(xué)薄膜普遍定理

1、-光學(xué)薄膜的普遍定理第二章第二章 光學(xué)薄膜設(shè)計理論光學(xué)薄膜設(shè)計理論11. 膜系的透射定理膜系的透射定理敘述如下：膜系的透射率與光的傳播方向無關(guān)。這個定理適用于膜層無吸收的情況，同時也適用于膜層有吸收的情況。RLTT LRRR 當(dāng)當(dāng)A=0時，時，T+R+A=1LRRR當(dāng)當(dāng)A0，（有吸收的膜系有使用方向問題）（有吸收的膜系有使用方向問題）假設(shè)膜系中各層膜的特征矩陣用M1，M2，Mk表示，并且對應(yīng)于兩種可能的傳播方向的兩種乘積用M和 表示，那么M M=M1M2M3Mk M=MkMk-1k-2M1211111aaMCBK2212aa11K 在第一種傳播方向時，11111KaaB12221KaaC ij

2、MaijMa21211212,aaaa11222211,aaaa在第二種傳播方向時，022211211011aaaaMCB0122201211aaaaB0112102221aaaaC于是兩種傳播方向的膜系透射率為21222111211010)(4kkkaaaaT20112101222110)(4aaaaTkk12TT可以看出薄薄 膜膜 光光 學(xué)學(xué)基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 膜系的透射定理膜系的透射定理 由此可見根據(jù)膜系的透射定理，薄膜的透射率從由此可見根據(jù)膜系的透射定理，薄膜的透射率從兩個方向看時是一樣的，所以不可能用薄膜的辦法

3、制兩個方向看時是一樣的，所以不可能用薄膜的辦法制作單向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，作單向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，人們根據(jù)這個原理來制作有些特殊用途的玻璃。人們根據(jù)這個原理來制作有些特殊用途的玻璃。當(dāng)光線傾斜入射到薄膜上的情況當(dāng)光線傾斜入射到薄膜上的情況rrrrrrrrrrrrnnrrrrrrrNNpNsTENdNiiBCsinsincoscoscos21cossinsincos0011波波）波波（對對于于波波）波波（對對于于其其中中：TM考慮薄膜的特征矩陣以及其中的參數(shù)：考慮薄膜的特征矩陣以及其中的參數(shù)：入射角的變化將影響等效導(dǎo)納和膜層的光學(xué)厚度入射角的變化將影

4、響等效導(dǎo)納和膜層的光學(xué)厚度020406080100400450500550600650700自然光45度入射到11層反射膜波長漂移情況% TransmittanceWavelength (nm)對膜層光學(xué)厚度的影響導(dǎo)致波長漂移對膜層光學(xué)厚度的影響導(dǎo)致波長漂移2. 普遍的等效定理對于一個任意多層膜系存在如下等效定理：一個任意的多層膜系等效于一個雙層膜，但一般來說不能等效為單層膜。一個單層膜的特征矩陣：22211211cossinsincosMMMMiiM單單層膜的矩陣有如下幾個特點(diǎn)：4）121122211MMMM2211MM 為純實數(shù)1）2112M、M為純虛數(shù)2）2211MM3）但此時一般但此時

5、一般M11不等于不等于M22，因此多層膜不能和一單層膜等效，只因此多層膜不能和一單層膜等效，只能等效于兩層膜。能等效于兩層膜。而一個多層膜的特征矩陣是各個單層膜特征矩陣的連乘積。而一個多層膜的特征矩陣是各個單層膜特征矩陣的連乘積。11221212111222212122112121111222112122cossincossinsincossincos11coscossinsin(sincossincos)(sincossincos)coscossinsiniinnMM Mininninnnni nnn 1122MM兩層膜1112122122kMMMM MMMM11122122MMMM對于單層

6、膜我們可以用一個矩陣M單來表示，對于一個多層膜可以用一組矩陣的乘積來表示：M多=M1M2M3Mn，一般來講M多中的每一層都是無吸收介質(zhì)時，矩陣M多中m11和m22為純實數(shù)，m12和m21為純虛數(shù)，并且，行列式值為1，但是一般情況下m11和m22并不相等，這一點(diǎn)與單層膜的性質(zhì)是不同的，所以在數(shù)學(xué)上就不能等同于一個單層膜。3. 對稱膜系的等效層對稱膜系的等效層 對于以中間一層為中心，兩邊對稱安置的多層膜，對于以中間一層為中心，兩邊對稱安置的多層膜，卻具有單層膜特征矩陣的所有特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上存在著卻具有單層膜特征矩陣的所有特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上存在著一個等效層，這為等效折射率理論奠定了基礎(chǔ)。一個等效層，這為等

7、效折射率理論奠定了基礎(chǔ)。 下面下面我們就以最簡單的對稱膜系我們就以最簡單的對稱膜系(pqp)為例說明對稱膜系在為例說明對稱膜系在數(shù)學(xué)上存在一個等效折射率的概念。這個稱膜系的特數(shù)學(xué)上存在一個等效折射率的概念。這個稱膜系的特征矩陣為：征矩陣為：ppppppqqqqqqpppppppqppqpiiiiiiMMMMMMcossinsincoscossinsincoscossinsincos22211211p q p:稱為等效位相厚度， E為等效折射率1221111/)(cosMMEM，4）121122211MMMM形式上寫成單層膜矩陣的樣子，產(chǎn)生等效相位厚度和等效折射率概念 11122122cossi

8、n/cossin/cossin/sincossincossincoscossin /sincospppqqqpppp q ppppqqqpppiiiMiiiMMiEMMiE 可以證明：2211MM 為純實數(shù)1）2112M、M為純虛數(shù)2）2211MM3）12sinMi 21sinMiE做矩陣的乘法運(yùn)算得：做矩陣的乘法運(yùn)算得： 正是由于第四個關(guān)系式成立才使我們有可能引入等正是由于第四個關(guān)系式成立才使我們有可能引入等效折射率的概念效折射率的概念 由于對稱膜系的待征矩陣和單層膜的特征矩陣具有相由于對稱膜系的待征矩陣和單層膜的特征矩陣具有相同的性質(zhì)，可以假定以相似的形式來表示：同的性質(zhì)，可以假定以相似的

9、形式來表示：cossinsincos22211211iEEiMMMMMpqp因此它可以用一層特殊的等效單層膜來描寫，因此它可以用一層特殊的等效單層膜來描寫， 這層等效這層等效膜的折射率膜的折射率E（等效折射率）和位相厚度（等效折射率）和位相厚度 (等效位相厚度等效位相厚度) 可以由下面方程求得：可以由下面方程求得：sinsin,cos21122211iEMEiMMM1221MME所以有：所以有：122 11sin2coscos2sinsin2211sin2coscos2sinsin22pqpqppqpqqqpqpp q ppqpqpqpqqqpqpEqpqppqqpsin2sin21cos2c

10、oscos1從從M=pqp可以推廣到任意多層的對稱膜系在數(shù)學(xué)上都可可以推廣到任意多層的對稱膜系在數(shù)學(xué)上都可以用一個單層膜的特征矩陣所表示。以用一個單層膜的特征矩陣所表示。例如：例如：M=h(u(v(pqp)v)u)h另：最常用的周期膜系如：另：最常用的周期膜系如：M=HLHLHLHLHLH一方面表示為一方面表示為:M=H(L(H(L(H)L)H)L)H另一方面可以表示為：另一方面可以表示為：M=H/2（H/2LH/2)5H/2的形式的形式H/2LH/2是一個對稱單元是一個對稱單元L/2HL/2等效折射率H/2LH/2 對稱膜系的等效折射率對稱膜系的等效折射率g相對波數(shù) 對稱膜系的等效折射率對稱

11、膜系的等效折射率對于某些波長范圍對于某些波長范圍M11的絕對值大于的絕對值大于1截截止止區(qū)區(qū)。對對應(yīng)應(yīng)的的波波長長范范圍圍是是的的概概念念不不再再存存在在，這這時時也也是是虛虛數(shù)數(shù)等等效效折折射射率率為為虛虛數(shù)數(shù)，可可以以得得到到即即E1cos12211 MM對于M11的絕對值小于1的情況：ssiEsEisMiEEiMiEEiMssscossinsincoscossinsincoscossinsincos可可以以證證明明：膜膜系系的的特特征征矩矩陣陣為為：為為：的的基基本本周周期期的的特特征征矩矩陣陣令令一一個個周周期期性性對對稱稱膜膜系系 上式表示一個周期性對稱膜系在它的透射帶中仍然存在有一

12、個等效折射率，它和基本周期對稱組合等效折射率E完全相同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度s倍對于多個周期的集合：)cos(/ )sin()sin()cos(cos/sinsincossEsisiEsEiiEMss 2、L H L H L H L E， E， E”，”)22()22)(22)(22(22HLHHLHHLHHLHHHLHLHLLHLHLHH 可以理解為直接多個單層膜的堆砌：折射率不變，厚度為可以理解為直接多個單層膜的堆砌：折射率不變，厚度為s倍倍例例1： 當(dāng)對稱膜系中各分層的厚度很小時當(dāng)對稱膜系中各分層的厚度很小時(例如不例如不超過超過10nm)，等效折射率，等效折射

13、率E幾乎是一常數(shù)，它介幾乎是一常數(shù)，它介于于Np和和Nq之間，取決于分層厚度的比值，同時之間，取決于分層厚度的比值，同時位相厚度和對稱膜系實際的總的位相厚度成比例，位相厚度和對稱膜系實際的總的位相厚度成比例，在大多數(shù)情況下其比例常數(shù)接近于在大多數(shù)情況下其比例常數(shù)接近于1。 因此這種因此這種基本周期的厚度很小的周期性對稱膜系非常類似基本周期的厚度很小的周期性對稱膜系非常類似于色散很小的單層均勻薄膜，可以用來替換那些于色散很小的單層均勻薄膜，可以用來替換那些折射率無法實現(xiàn)的膜層，折射率無法實現(xiàn)的膜層， 它在減反膜的設(shè)計中，它在減反膜的設(shè)計中，得到了實際應(yīng)用。得到了實際應(yīng)用。應(yīng)用：應(yīng)用： 1、 p

14、q p 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 改變改變p與與q的相對厚度，改變的相對厚度，改變E的大小可以獲得折射率從的大小可以獲得折射率從np到到nq之之 間任意間任意折射率的等效膜層；折射率的等效膜層；“變折射率膜層變折射率膜層” 對于通帶附近等效的折射率具有較大的色散。改變對于通帶附近等效的折射率具有較大的色散。改變E的位置的位置“偏周期設(shè)計偏周期設(shè)計法法”很容易證明，這個結(jié)果能夠推廣到由任意多很容易證明，這個結(jié)果能夠推廣到由任意多層膜組成的對稱膜系。首先劃定多層膜的中層膜組成的對稱膜系。首先劃定多層膜的中心三層，它們獨(dú)自形成一個對稱組合，這樣心三層，它們獨(dú)自形成一個對稱組合，這樣便可以用一個單層膜來代換。然后這個

15、等效便可以用一個單層膜來代換。然后這個等效層連同兩側(cè)的兩層膜，又被取作第二個對稱層連同兩側(cè)的兩層膜，又被取作第二個對稱三層組合，依然用一個單層膜來代換。重復(fù)三層組合，依然用一個單層膜來代換。重復(fù)這個過程直到所有膜層被替換，于是最終又這個過程直到所有膜層被替換，于是最終又形成一個等效單層膜。形成一個等效單層膜。4、周期性多層膜理論：、周期性多層膜理論：最簡單周期結(jié)構(gòu)的基本單元是兩層膜，以兩層膜為基最簡單周期結(jié)構(gòu)的基本單元是兩層膜，以兩層膜為基本單元重復(fù)多次也可構(gòu)成一種周期性多層膜。整個多本單元重復(fù)多次也可構(gòu)成一種周期性多層膜。整個多層膜的特征矩陣是層膜的特征矩陣是Ms。應(yīng)用矩陣?yán)碚?，兩層膜為基?/p>

16、單元膜系矩陣應(yīng)用矩陣?yán)碚?，兩層膜為基本單元膜系矩?112122122mmMM Mmm得出多層膜的特征矩陣得出多層膜的特征矩陣Ms，可以得出如下結(jié)論：可以得出如下結(jié)論：（1） 滿足條件滿足條件 的波長，位于膜系的反射的波長，位于膜系的反射帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而穩(wěn)定地提高。帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而穩(wěn)定地提高。1122112mm（2） 滿足條件滿足條件 的波長，位于膜系的透射的波長，位于膜系的透射帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而振蕩。帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而振蕩。1122112mm（3） 滿足條件滿足條件 的波長，對應(yīng)著反射帶和的波長，對應(yīng)著反射帶和透射帶邊界，稱之為截止

17、波長。透射帶邊界，稱之為截止波長。1122112mm對常用的四分之一波堆對常用的四分之一波堆 ，在垂直入射時，對，在垂直入射時，對中心波長中心波長 ，有，有011224n dn d022112121122000000niinnnMM Mnininn2112121122000000niinnnMM Mnininn以這雙層膜為基本周期的多層膜，其特征矩陣以這雙層膜為基本周期的多層膜，其特征矩陣211212()0()0()ssssnnMM Mnn對中心波長對中心波長 處的組合導(dǎo)納處的組合導(dǎo)納Y及反射率及反射率R：01SgBMnC 2122SsgnCYnBn1gBMnC 2122SsgnCYnBn22

18、120022210021()1()gSsgSnnnYnnRnnnYnn2211212SsgnnYnn2221120212211201()1()SgsSgnnnn nRnnnn n公式表明：當(dāng)雙層膜的周期公式表明：當(dāng)雙層膜的周期S固定，固定，R隨隨 的比值而的比值而增大，當(dāng)增大，當(dāng) 固定時，固定時，R隨隨S增大而增大。增大而增大。12nn12n n5、誘導(dǎo)透射定理、誘導(dǎo)透射定理入射介質(zhì) R Ra 吸收膜jknNRb1-RT出射介質(zhì) a b 勢透射率：RT1(射出能量)(進(jìn)入能量)(1)、吸收膜層（通常指金屬膜）的最大勢透射率，僅決定于吸收膜的光學(xué)常數(shù) N，d。4321cos/sincoscosa

19、aaaNiiN444333222111ibaaibaaibaaibaa又令：21210bbaaC413241321bbbbaaaaC234123412abbabaabC43433bbaaC jknNNd cos2 ，其中有關(guān)勢透射率的幾個結(jié)論：則：22301max25. 021CCCCl 材料 一經(jīng)確定， 只由膜厚d決定，隨著膜厚的增加， 是非線性地下降。maxmaxjknNmaxl不同的吸收膜， 形態(tài)也不一樣。(2)、吸收膜的光學(xué)常數(shù)（N，d）確定以后，膜系的勢透射率是出射導(dǎo)納 （Ye=X+iZ）的函數(shù)。當(dāng)然通過調(diào)整Ye=X+iZ，使Rb=0，可以找到最佳 值，即 。 max(3)、膜系的實際透射率不僅取決于勢透射率，還與入射介質(zhì)有關(guān)。RT1)1 (RT當(dāng) R=0 時， 此時膜系的實際透射率達(dá)到了最大勢透射率（也即最大可能的透射率）。在這種情況下，我們可以說是把吸收膜的最大透射率誘導(dǎo)出來了。maxmaxT)(223210zxCzCxCCx(4)、無吸收膜的勢透射率為、無吸收膜的勢透射率為1。njj1 由于無吸收膜的勢透射率為由