第三章 平衡方程及應(yīng)用

1、 Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 主講教師 黃 璟第一篇第一篇 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 平面任意力系平面任意力系返回總目錄 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系目錄目錄 MO)(RF),(RRFF + M力的平移定理RFRFRFRFRF 3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 M = rF = MO(F) 3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化3.1.1 力的平移定理力的平移定理 力的平移定理：力的平移定理：作用于剛體上的力可以從其作用點平行作用于剛體上的力可以從其作用點平行移至剛體內(nèi)任一指定點，欲不改變該力對剛體的作用，

2、移至剛體內(nèi)任一指定點，欲不改變該力對剛體的作用，則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶（稱則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶（稱為附加力偶），其力偶矩等于原力對指定點的矩。為附加力偶），其力偶矩等于原力對指定點的矩。逆過程逆過程： 用力的平移定理的逆步驟，亦可把一個力用力的平移定理的逆步驟，亦可把一個力和一個力偶合成一個力。和一個力偶合成一個力。 設(shè)剛體上作用一平面任意力系F1、F2、Fn。任選一點O稱為力系的簡化中心簡化中心。依據(jù)力的平移定理，將力系中諸力向O點平移，得到作用于O點的一平面匯交力系F 1、F 2、F n和一平面力偶系M1、M2、Mn 。), 2 , 1()(,

3、niFMMiOiii FF3.1.2 力系簡化結(jié)果力系簡化結(jié)果3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化O1A2AnA1F2FnFO1F1M2F2MnFnMxyORFOMxy 將平面匯交力系與平面力偶系合成，得到作用于簡化中心O的力矢FR與力偶矩MO niiOniiOniniiMMM1111)(FFFFiR 稱為該力系的主矢稱為該力系的主矢MO稱為該力系對簡化中心稱為該力系對簡化中心O的主矩的主矩。 RF 3.1.2 力系簡化結(jié)果力系簡化結(jié)果3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 結(jié)結(jié) 論論平面任意力系向一點簡化的結(jié)果為作用于該點的一個力和一個力偶。這個力是力系的主矢，等于力系中各力的

4、矢量和，這個力偶是力系的主矩，等于各力對該點之矩的代數(shù)和。 主矢的大小、方向與簡化中心無關(guān)。主矢的大小、方向與簡化中心無關(guān)。主矩的大小、方向與簡化中心有關(guān)。主矩的大小、方向與簡化中心有關(guān)。 4.1.2 力系簡化結(jié)果力系簡化結(jié)果3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 1、主矢和主矩都等于零、主矢和主矩都等于零)0, 0(oMRF此時平面力系此時平面力系平衡。平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零、主矢等于零，主矩不等于零)0, 0(OMRF3、主矢不等于零，主矩等于零主矢不等于零，主矩等于零)0, 0(OMRF 此時平面力系此時平面力系簡化為一力偶。簡化為一力偶。其力偶矩其力偶矩M等等于原力系

5、對簡化中心的主矩，即于原力系對簡化中心的主矩，即 且且此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。)(FmMO 此時平面力系此時平面力系簡化為一合力，簡化為一合力，作用在簡化中心，作用在簡化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即其大小和方向等于原力系的主矢，即且此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。且此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。iFFR3.1.3 簡化結(jié)果分析簡化結(jié)果分析3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 4、主矢和主矩均不等于零、主矢和主矩均不等于零)0, 0(ORMFOOOMRFOORFRFRF dOORFddFdFMMRROO)(RF于是于是ROFMd由主矩的定義知：

6、由主矩的定義知：)(iFOOMM所以：)()(iRFFOOMM結(jié)論：結(jié)論：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即為平面即為平面任意力系的任意力系的合力矩定理合力矩定理。4.1.3 簡化結(jié)果分析簡化結(jié)果分析3.1 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 平面任意力系平衡充要條件：平面任意力系平衡充要條件：結(jié)論：結(jié)論：平面力系各力在任意兩正平面力系各力在任意兩正交軸上投影的代數(shù)和等于零，對交軸上投影的代數(shù)和等于零，對任一點之矩的代數(shù)和等于零。任一點之矩的代數(shù)和等于零。 0FMO力系的主矢力

7、系的主矢 和對任意和對任意點的主矩點的主矩 MO 均等于零均等于零 RF022RyxFFF00yxFF0OM0RF3.2.1 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡0)(00FOyxMFF即為平面任意力系平衡方程，亦稱為一矩式平衡方程。 二矩式的平衡方程二矩式的平衡方程 0, 0, 0 xBAFMMFF條件：條件：連線連線AB不垂不垂直投影軸直投影軸 x 3.2.1 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程三矩式的平衡方程 0, 0, 0FFFCMMMBA條件：條件：A、B、C是平面內(nèi)是

8、平面內(nèi)不共線的任意三點不共線的任意三點 3.2.1 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 平面匯交力系中，對匯交點建立力矩方程恒為零，所以，平面匯交力系中，對匯交點建立力矩方程恒為零，所以，平面匯交力系平面匯交力系 平衡的充要條件平衡的充要條件 平面匯交力系平衡方程：平面匯交力系平衡方程：力系中所有各力在兩個力系中所有各力在兩個坐標(biāo)軸中每一軸上的投坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零。影的代數(shù)和等于零。 解析條件是：解析條件是：00yxFF力系中各力矢構(gòu)成的力多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。 幾何條件：幾何條件：FR= 0 或 F =0

9、4.2.2 平面特殊力系平衡方程平面特殊力系平衡方程3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 平面平行力系平衡方程： 充要條件是：力系中所有各力的代數(shù)和等于零，以充要條件是：力系中所有各力的代數(shù)和等于零，以及各力對于平面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和等于零。及各力對于平面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和等于零。二矩式成立的條件：A、B兩點連線不與各力的作用線平行。 0)(0FOxMF3.2.2 平面特殊力系平衡方程平面特殊力系平衡方程3.2 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 00FFBAmm平面力偶系平衡方程：平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零 。m = 0 FAyFBFAx例題例題3.2 平面

10、力系的平衡平面力系的平衡 0AMPP12302BdqdF dFdFd0BM02251PRPdFdFdFdqdA0 xF0AxF121 1521 152020 0 80.yPFFqd 計算結(jié)果的校核計算結(jié)果的校核FAyFBFAx例題例題3.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 例4-2 外伸梁ABC上作用有均布載荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的約束力。 解：以梁為研究對象，畫受力圖，列平衡方程 0FAm06sin244NFmqFBkN3 .496sin2441NFmqFB例題例題3.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 例4-2 外伸梁ABC上作用有均布

11、載荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的約束力。 0 xF0cosFFAxkN94. 8cosFFAx0yF0sin4NFFqFBAykN56. 8sin4NFFqFBAy例題例題4.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 解：以梁為研究對象，畫受力圖，列平衡方程 例4-3 起重機的自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。當(dāng)起重機由于超載即將向右翻倒時，左輪的反力等與零。因此，為了保證安全工作，必須使一側(cè)輪（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P為多少？ 解：畫支座反力FNA與FNB。令FNA=50 kN。列平衡方程： 0

12、)(FBM010485 . 0NPFWGAP=200 kN 如為空載，仍應(yīng)處于平衡狀態(tài)，故 05 . 344NGWFBkN100NBF 0FAM例題例題3.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 要注意的問題：要注意的問題：根據(jù)題意選擇研究對象。根據(jù)題意選擇研究對象。 分析研究對象的受力情況，分析研究對象的受力情況，正確地畫出其受力圖。正確地畫出其受力圖。研究對象與其他物體相互連接處的約束，按約束研究對象與其他物體相互連接處的約束，按約束的性質(zhì)表示約束反力；的性質(zhì)表示約束反力；正確地運用二力桿的性質(zhì)和三力平衡定理來確定正確地運用二力桿的性質(zhì)和三力平衡定理來確定約束反力的方位；約束反力的方位；例題例題

13、3.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 兩物體之間相互作用的力要符合作用與反作用定律。兩物體之間相互作用的力要符合作用與反作用定律。 用幾何法求解時，按比例尺作出閉合的力多邊形，用幾何法求解時，按比例尺作出閉合的力多邊形，未知力的大小可按同一比例尺在圖上量出；未知力的大小可按同一比例尺在圖上量出；用解析法求解時，應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸。用解析法求解時，應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸。為避免解為避免解聯(lián)立方程，可選坐標(biāo)軸與未知力垂直。聯(lián)立方程，可選坐標(biāo)軸與未知力垂直。根據(jù)計算結(jié)果根據(jù)計算結(jié)果的正負(fù)判定假設(shè)未知力的指向是否正確。的正負(fù)判定假設(shè)未知力的指向是否正確。例題例題4.2 平面力系的平衡平面力系的平衡 物體系

14、統(tǒng)：由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng) 。靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨立的平衡方程的數(shù)目。 超靜定或靜不定 ：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)目. 3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 獨立的平衡方程數(shù)： 3未知力數(shù)：3獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)： 3未知力數(shù)：4未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題4.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 獨立的平衡方程數(shù)： 6未知力數(shù)：6獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)： 6未知力數(shù)：7未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 求解過程中應(yīng)注意以下幾點 首先

15、判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題 恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對象 在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時應(yīng)立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應(yīng)先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其它物體。3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 受力分析 首先從二力構(gòu)件入手，可使受力圖比較簡單，有利于解題。 解除約束時，要嚴(yán)格地按照約束的性質(zhì)，畫出相應(yīng)的約束力，切忌憑主觀想象畫力。對于一個銷釘連接三個或三個以上物體時，要明確所選對象中是否包括該銷釘？解除了哪些約束？然后正確畫出相應(yīng)的約束反力。 畫受力圖時，關(guān)鍵在于正確畫出

16、鉸鏈約束力，除二力構(gòu)件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。 不畫研究對象的內(nèi)力。 兩物體間的相互作用力應(yīng)該符合作用與反作用定律。3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量 列出恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠蹋M量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的列出恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠?，盡量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的未知量。為此可恰當(dāng)?shù)剡\用力矩方程，適當(dāng)選擇兩個未知力未知量。為此可恰當(dāng)?shù)剡\用力矩方程，適當(dāng)選擇兩個未知力的交點為矩心，的交點為矩心，所選的坐標(biāo)軸應(yīng)與較多的未知力垂直。所選的坐標(biāo)軸應(yīng)與較多的未知力垂直。 判斷清楚每個研究對象所受的力系及其獨立方程的個數(shù)及判斷清楚每個研究對象所受的力系及其獨立方程的個

17、數(shù)及物體系獨立平衡方程的總數(shù)，物體系獨立平衡方程的總數(shù)，避免列出不獨立的平衡方程。避免列出不獨立的平衡方程。 解題時應(yīng)從未知力最少的方程入手，避免聯(lián)立解。解題時應(yīng)從未知力最少的方程入手，避免聯(lián)立解。 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個不重復(fù)的平校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個不重復(fù)的平衡方程，將計算結(jié)果代入，若滿足方程，則計算無誤。衡方程，將計算結(jié)果代入，若滿足方程，則計算無誤。3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 例例 題題例4-4 圖中ADDB2 m，CDDE1.5 m，Q120 kN，不計桿和滑輪的重量。試求支座A和B的約束力和BC桿的內(nèi)力。 解：解除約束，畫整體受力圖列平

18、衡方程 0FAM0TTNrDEFrADFABFBkN10545 . 12120TNABDEADFFB0yF0TNFFFBAykN15NBTAyFFF0, 0TFFFAxxkN120T FFAx3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 可用 ，驗算FAy如下： 0FBM 0, 0TTABFrDEFrDBFMAyBFkN15TABDEDBFFAy例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 為求BC桿內(nèi)力F，取CDE桿連滑輪為研究對象，畫受力圖。列方程： 0sin, 0TTrFrDEFCDFMDF5425 . 12sin22CBDBkN150sinTCDDEFFF = 150 kN，說明BC桿受壓力

19、。 例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 求BC桿的內(nèi)力，也可以取ADB桿為研究對象，畫受力圖。 0cos, 0NADFDBFDBFMAyBDF5325 . 15 . 1cos22CBCDkN150cosNDBDBFADFFBAy例例 題題4.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 例4-5 某廠房用三鉸剛架，由于地形限制，鉸A及B位于不同高度，。剛架上的載荷已簡化為兩個集中力F1及F2。試求C處的約束力。 分別取AC及BC兩部分為研究對象，畫受力圖。 解：本題是靜定問題，但如以整個剛架作為考察對象，不論怎樣選取投影軸和矩心，每一平衡方程中至少包含兩個未數(shù)，而且不可能聯(lián)立求解。 例例 題題

20、3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 取AC為研究對象，畫受力圖。 0, 01alFlFhHFMCyCxAF 0FBM取BC為研究對象，畫受力圖。 02blFlFHFCyCx聯(lián)立求解以上兩式，可得 hHblFalFFFCxCx221hHlhHblFHalFFFCyCy221例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 例4-6 結(jié)構(gòu)上作用載荷分布如圖，q13 kN/m，q20.5 kN/m，力偶矩M2 kNm，試求固定端A與支座B的約束反力和鉸鏈C的內(nèi)力。 解：先研究BC部分，畫受力圖。 簡化成合力Fqq22。列方程如下： 0122, 02NqMFMBCFkN5 . 0222NMqFB02,

21、 02NqFFFBCyykN5 . 12N2BCyFqF0, 0CxxFF例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 再取AC部分畫受力圖，列方程： 0112132114, 012CyACxAFMqqFMF12132112CyAFqqMmkN25. 601, 02qFFFCyAyykN212qFFCyAy00213, 01CxAxxFqFFkN5 . 4213qFAx例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 ABCDEPlll32例4-7 三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力 ，求鉸鏈E處的反力。解：先以整體為研究對象

22、，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。PABCDEPll32AxFAyFNBFxy0:0AxxFF0:0)(32lPlFMNBAF0:0PFFFNBAyy解得：PFAy31PFNB32例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 CDPl32CxFCyFDxFDyF下面用不同的方法求解。解1：先以DC為研究對象，受力如圖。0:0)(32lPlFMCyDFPFCy32BECDPl32CyFCxFNBFExFEyFxy再以BDC為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。0:0PFFFFCyNBEyyPFEy310:0)(232lEyllExCFPFMFPFEx 類似地，亦可以DC和ACD為研究對象，進行求解。例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 PACDEDxFDyFExFEyFAxFAyFACECxFCyFExFEyFAxFAyF解2：分別以ACD和AC為研究對象，受力如圖。:0)(FDM03222lPFFlFlEylExAx:0)(FCM022lEylExAyAxFFlFlF聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。 類似地，亦可以BDC和BD為研究對象，進行求解。例例 題題3.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 DEBDyFDxFNBFE1FE2FACEAxFAyFCxFCyFE1FE2F解3：分別以BD和AC為研究對象，受力如圖。:0)(FDM0221lFlFENBPFE3221: