幾種特殊類型函數(shù)的積分學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1幾種幾種(j zhn)特殊類型函數(shù)的積分特殊類型函數(shù)的積分第一頁，共34頁。2022年6月23日星期四2(Integration of Rational Function)兩個兩個(lin )多項式的商表示的函數(shù)多項式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：第1頁/共33頁第二頁，共34頁。2022年6月23日星期四3假定分子與分母假定分子與分母(fnm)之間沒有公因式之間沒有公因式這有理函數(shù)這有理函數(shù)(yu l hn sh)是真分式；是真分式；這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項式除法）利用多項式除法, 假分式可以化成一個

2、多項式和一個真分式之和假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如，例如，我們可將我們可將化為多項式與真分式之和化為多項式與真分式之和第2頁/共33頁第三頁，共34頁。2022年6月23日星期四42）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以）在實數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以(ky)分解成幾個最簡式之和分解成幾個最簡式之和最簡分式最簡分式(fnsh)是下面兩種形式的分式是下面兩種形式的分式(fnsh)第3頁/共33頁第四頁，共34頁。2022年6月23日星期四5（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( 3）有理函數(shù)）有理函數(shù)(yu l hn sh)化為部分分式之和的一般規(guī)律：化為部分分式

3、之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qp第4頁/共33頁第五頁，共34頁。2022年6月23日星期四6 為了便于求積分，必須把真分式為了便于求積分，必須把真分式(fnsh)化為部分分式化為部分分式(fnsh)之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法之和，同時要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例例1第5頁/共33頁第六頁，共34頁。2022年6月23日星期四7例例2通分以后通分以后(yhu)比較分子得：比較分子得：第6頁/共33頁第七頁，共34頁。2022年6月23日星期四8 我們也可以用賦值法

4、來得到最簡分式，比如我們也可以用賦值法來得到最簡分式，比如(br)前面的例前面的例2，兩端去分母后得到，兩端去分母后得到 第7頁/共33頁第八頁，共34頁。2022年6月23日星期四9例例3整理整理(zhngl)得得第8頁/共33頁第九頁，共34頁。2022年6月23日星期四10例例4 求積分求積分(jfn) 解：解：例例2第9頁/共33頁第十頁，共34頁。2022年6月23日星期四11例例5 求積分求積分(jfn) 解：解：例例3第10頁/共33頁第十一頁，共34頁。2022年6月23日星期四12解解: 原式思考思考(sko): 如何求如何求提示提示(tsh):變形方法同變形方法同例例6,

5、并利用并利用 第三節(jié)第三節(jié) 例例9 . 例例6 求第11頁/共33頁第十二頁，共34頁。2022年6月23日星期四13注意注意(zh y)：有理函數(shù)的積分就是有理函數(shù)的積分就是(jish)對下列三類函數(shù)的積分：對下列三類函數(shù)的積分：)1(多項式；多項式；主要討論（主要討論（3）積分）積分第12頁/共33頁第十三頁，共34頁。2022年6月23日星期四14其中其中(qzhng)并記并記令令tpx 2第13頁/共33頁第十四頁，共34頁。2022年6月23日星期四15第三節(jié)第三節(jié) 例例9結(jié)論結(jié)論(jiln)：有理函數(shù)有理函數(shù)(yu l hn sh)的原函數(shù)都是初等函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第14頁

6、/共33頁第十五頁，共34頁。2022年6月23日星期四16解解:說明說明: 將有理函數(shù)將有理函數(shù)(yu l hn sh)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定(ydng)簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 例例7（補充題）（補充題） 求第15頁/共33頁第十六頁，共34頁。2022年6月23日星期四17解解: 原式注意注意(zh y)本本題技巧題技巧按常規(guī)按常規(guī)(chnggu)方法較繁方法較繁例例8 （補充題）（補充題） 求點擊看點擊看“常規(guī)解法常規(guī)解法”第16頁/共33頁第十七頁，共34頁。2022年6月23日星期四181d4x

7、x第一步第一步 令比較(bjio)系數(shù)定 a , b , c , d . 得第二步第二步 化為部分化為部分(b fen)分式分式 . 即令即令比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步第三步 分項積分 .此解法較繁此解法較繁 !按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:第17頁/共33頁第十八頁，共34頁。2022年6月23日星期四19設(shè)表示(biosh)三角函數(shù)有理式 ,令萬能代換萬能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則第18頁/共33頁第十九頁，共34頁。2022年6月23日星期四20第19頁/共33頁第二十頁，共34頁。2022年6月23日星期四21令令2tan

8、xu 第20頁/共33頁第二十一頁，共34頁。2022年6月23日星期四22例例9 （課本（課本(kbn)例例5）求）求解：解：令則第21頁/共33頁第二十二頁，共34頁。2022年6月23日星期四23例例10（補充（補充(bchng)題）題） 求求解：解：一直做下去一直做下去(xi q)，一定可以積出來，只是太麻煩。，一定可以積出來，只是太麻煩。 由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，由此可以看出，萬能代換法不是最簡方法，能不用盡量不用。能不用盡量不用。第22頁/共33頁第二十三頁，共34頁。2022年6月23日星期四24解解: C說明說明(shumng): 通常求含通常求含的積分(jfn)

9、時,往往更方便 .的有理式用代換例例11（1987.III) 求第23頁/共33頁第二十四頁，共34頁。2022年6月23日星期四25令令被積函數(shù)為簡單根式(gnsh)的有理式 , 可通過根式(gnsh)代換 化為有理函數(shù)(yu l hn sh)的積分. 例如:令2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分第24頁/共33頁第二十五頁，共34頁。2022年6月23日星期四26解解: 令則原式例例12（課本（課本(kbn) 例例7）求）求第25頁/共33頁第二十六頁，共34頁。2022年6月23日星期四27解解: 為去掉被積函數(shù)為去掉被積函數(shù)(hnsh)分母中的根式分母中的根式 , 取根指數(shù)取根指

10、數(shù) 2 , 3 的的最小公倍數(shù) 6 ,則有原式C令例例13 求（自學(xué)（自學(xué)(zxu)課本課本 例例8）第26頁/共33頁第二十七頁，共34頁。2022年6月23日星期四28解解: 令則原式原式C例例14 求（自學(xué)（自學(xué)(zxu)課本課本 例例9）第27頁/共33頁第二十八頁，共34頁。2022年6月23日星期四29本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)(xioji)1. 可積函數(shù)的特殊可積函數(shù)的特殊(tsh)類型類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項式及部分分式之和多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以

11、積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 ,簡便計算簡便計算 .簡便簡便 , 第28頁/共33頁第二十九頁，共34頁。2022年6月23日星期四30習(xí)題習(xí)題(xt)4-4 奇數(shù)題奇數(shù)題思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 如何求下列積分更簡便如何求下列積分更簡便 ?解解: （1）Caxaxa33333ln61（2） 原式原式第29頁/共33頁第三十頁，共34頁。2022年6月23日星期四31解法解法(ji f) 1 令原式2. 求第30頁/共33頁第三十一頁，共34頁。2022年6月23日星期四32解法解法(ji f) 2 令sincos原式2. 求第31頁/共33頁第三十二頁，共34頁。2022年6月23日星期四33解解: 因被積函數(shù)因被積函數(shù)(hnsh)關(guān)于關(guān)于 cos x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)(hnsh), 可令可令原式3. 求第32頁/共33頁第三十三頁，共34頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。16 十月 2021。兩個多項式的商表示的函數(shù).。1）利用多項式除法