ch圖象變換實(shí)用學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1ch圖象圖象(t xin)變換實(shí)用變換實(shí)用第一頁，共66頁。 圖象變換是將NN維空間圖象數(shù)據(jù)變換成另外一組基向量空間（通常是正交向量空間）的坐標(biāo)參數(shù)，我們希望這些離散圖象信號坐標(biāo)參數(shù)更集中地代表了圖象中的有效信息(xnx)，或者是更便于達(dá)到某種處理目的。可分離變換(binhun)：傅里葉變換(binhun)(FFT)、離散余弦變換(binhun)(DCT)、哈達(dá)瑪變換(binhun)、沃爾什變換(binhun)、哈爾變換(binhun)等；統(tǒng)計(jì)變換(binhun)：霍特林變換(binhun)。圖像(t xin)變換分為可分離變換和統(tǒng)計(jì)變換兩大類。第1頁/共66頁第二頁，共66頁。數(shù)據(jù)壓

2、縮 去除空間(kngjin)冗余（離散余弦、小波 變換等）便于處理頻率域?yàn)V波(離散(lsn)傅立葉變換等）便于(biny)提取特征 Hough變換、小波變換等1.圖象變換的目的第2頁/共66頁第三頁，共66頁。2.傅里葉變換(binhun)-（1）一維連續(xù)傅立葉變換(binhun)f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換(binhun)定義為：2juxF ( u )f ( x )edx 其反變換(binhun)為：2ju xf ( x )F ( u )ed u ( , )sin( )f x yx,F u vF(u)包含了正弦和余弦項(xiàng)的無限項(xiàng)的和，u稱為頻率變量，它的每一個(gè)值確定了所對應(yīng)的正弦-余弦

3、對的頻率。第3頁/共66頁第四頁，共66頁。幅度(fd)譜：相位譜：1222F(u )R (u )I (u )(u )arctan I(u )/ R(u ) 根據(jù)(gnj)尤拉公式exp2cos2sin2juxuxjux( )( )( )( )( )juF uR ujI uF u e相角(xin jio):1( )( )tan( )I uuR u 傅里葉逆變換傅里葉逆變換傅里葉正變換傅里葉正變換 dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(在復(fù)變函數(shù)里面學(xué)習(xí)的傅里葉變換：第4頁/共66頁第五頁，共66頁。50511f t ( )t5050.50.5g t ( )t4202421121

4、.2991.299h t ( )55t變換分析的直觀(zhgun)說明：第5頁/共66頁第六頁，共66頁。方波信號(xnho)：經(jīng)過(jnggu)傅立葉變換后：一維傅立葉變換(binhun)舉例：第6頁/共66頁第七頁，共66頁。21010 11unNjNnF(u)f (n)eu, ,NN 2100 11unNjNuf (n)F(u)en, ,N 一維離散傅立葉變換(binhun)公式為：逆變換為：(2)一維離散(lsn)傅立葉變換(DFT)對于有限(yuxin)長序列f(n),n=0,1,N-1,其DFT定義為：第7頁/共66頁第八頁，共66頁。令2jNNWe 一維離散傅里葉變換(DFT)可

5、以用矩陣(j zhn)乘法表示：FUf 其中，矩陣U稱為(chn wi)變換矩陣第8頁/共66頁第九頁，共66頁。其中(qzhng)，U矩陣具有對稱性：TUU TU(U*)E 且且：單位矩陣故U為酉矩陣，且有： 1T*UUU 故1維-DFT就稱為(chn wi)正交變換且其逆變換為:第9頁/共66頁第十頁，共66頁。連續(xù)非周期信號非周期連續(xù)頻譜連續(xù)周期信號非周期離散頻譜離散非周期信號周期連續(xù)頻譜離散周期信號周期離散頻譜信號(xnho)的周期性、連續(xù)性與頻譜的周期性、連續(xù)性的關(guān)系：第10頁/共66頁第十一頁，共66頁。二維傅立葉變換(binhun)由一維傅立葉變換(binhun)推廣而來：2d

6、dF(u,v )f ( x, y )expj(uxvy ) x y 逆變換： 2d df ( x, y )F(u,v )exp j(uxvy ) u v幅度(fd)譜：相位譜：1222F ( u ,v )R( u ,v )I( u ,v )I ( u ,v )( u ,v )arctanR ( u ,v ) F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)第11頁/共66頁第十二頁，共66頁。對于(duy)二維方波信號傅立葉變換(binhun)為：幅度：第12頁/共66頁第十三頁，共66頁。 nyyyymxxxxyxnynynxnxmnfyxf)()(sin)()(sin),(),(二維sinc函數(shù)

7、的圖形表示第13頁/共66頁第十四頁，共66頁。對于(duy)二維傅立葉變換，其離散形式為：10102),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF逆變換為：10102),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf幅譜(頻譜)、相譜：),(),(arctan),(),(),(),(),(),(),(),(2122),(vuRvuIvuvuIvuRvuFvujIvuRevuFvuFvuj第14頁/共66頁第十五頁，共66頁。當(dāng)圖形(txng)陣列為方陣時(shí)，則M=N,有：2112001uxvyNNjNNxyF(u,v )f ( x,y )eN 11200uxvyNNjNNuvf ( x,

8、y )F(u,v )e 第15頁/共66頁第十六頁，共66頁。( , )log(1( , )D u vcF u v255ck max(log(1( , )kF u v其中(qzhng)：第16頁/共66頁第十七頁，共66頁。1. 線性性質(zhì)(xngzh)：),(),(),(),(22112211vuFavuFayxfayxfa2. 比例(bl)性質(zhì)：byaxFabbyaxf,1),(3. 可分離性：),(),(),(),(),(),(1111vuFFFvuFFFyxfyxfFFyxfFFvuFuvvuxyyx第17頁/共66頁第十八頁，共66頁。證：1120011200101,exp21exp2

9、,exp21,exp2NNxyNNxyNxuxvyF u vf x yjNNuxvyjf x yjNNNuxF x vjNN二維傅立葉變換可分解成了兩個(gè)方向的一維變換順序(shnx)執(zhí)行。第18頁/共66頁第十九頁，共66頁。4. 空間(kngjin)位移：NvyuxjevuFyyxxf/ )(20000),(),(5. 頻率(pnl)位移：),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj當(dāng)圖像在頻率(pnl)域時(shí)移動時(shí)需要用到頻率(pnl)位移性質(zhì)，當(dāng)圖像在空間域時(shí)移動時(shí)需要用到空間位移性質(zhì)。第19頁/共66頁第二十頁，共66頁。把圖像進(jìn)行傅立葉變換(binhun)后，往往要把中

10、心移到u0=v0=N/2的位置上)2,2() 1)(,() 1()(/ )(200NvNuFyxfeeyxyxyxjNyvxuj圖像(t xin)中心化：當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，由),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxujfftshift第20頁/共66頁第二十一頁，共66頁。6. 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7. 共軛對稱性：),(),(*vuFyxf10102),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF兩邊(lingbin)取共軛(f(x,y)為實(shí)函數(shù))：),(),(1),(1),(1010210102

11、*vuFeyxfMNeyxfMNvuFMxNyNvyMuxjMxNyNvyMuxj第21頁/共66頁第二十二頁，共66頁。8. 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)不變性：),(),(00Frf以極坐標(biāo)表示(biosh)x, y, u, v：sincossincoswvwuryrxf(x,y)和F(u,v)可由f(r,)和F(w,)來表示，代入傅立葉變換(binhun)的公式，可以得到：),(),(00Frf（a）原始圖像（b）幅度譜（c）圖像旋轉(zhuǎn)45o（d）圖c的譜第22頁/共66頁第二十三頁，共66頁。%旋轉(zhuǎn)不變性試驗(yàn)cleard=zeros(32,32);d(5:28,15:18)=1;j=imrot

12、ate(d,-45,bilinear);subplot(2,2,1);imshow(d,InitialMagnification,fit);title(原始(yunsh)圖像)D=fft2(d);subplot(2,2,2);imshow(abs(D),-1 5,InitialMagnification,fit);title(原始(yunsh)圖像傅立葉變換)subplot(2,2,3);imshow(j)title(旋轉(zhuǎn)后圖像)subplot(2,2,4);D=fftn(double(j);s=fftshift(D);imshow(abs(D),-1 5,InitialMagnificati

13、on,fit);title(旋轉(zhuǎn)后圖像傅立葉變換)第23頁/共66頁第二十四頁，共66頁。9. 平均值：10102),(),(1)0 , 0(NxNyyxfyxfNF平均值定義(dngy)：10102),(1),(NxNyyxfNyxf由傅立葉變換(binhun)定義：10102),(1)0 , 0(NxNyyxfNF因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換(binhun)系數(shù)的關(guān)系為：),()0 , 0(yxfF第24頁/共66頁第二十五頁，共66頁。10. 卷積定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)11. 相關(guān)定理(dn

14、gl)：互相關(guān)：f(x,y)Og(x,y) F(u,v)G*(u,v)f(x,y)g*(x,y) F(u,v) OG(u,v)自相關(guān)：f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v)第25頁/共66頁第二十六頁，共66頁。12. 帕塞瓦定理(dngl)（能量定理(dngl)）：10101010*21*21),(),(),(),(NxNyNuNvvuFvuFyxfyxf若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有：1010101022),(),(NxNyNuNvvuFyxf第26頁/共66頁第二十七頁，共66頁。 頻率域 幅值與頻率 空間域

15、 灰度第27頁/共66頁第二十八頁，共66頁。傅立葉譜： |F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2相位(xingwi):(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)(xF)(xF 第28頁/共66頁第二十九頁，共66頁。第29頁/共66頁第三十頁，共66頁。l幅值與相位(xingwi) xFF1 xFxFF/ )(1第30頁/共66頁第三十一頁，共66頁。幅值譜幅 值 重 構(gòu) 圖 像(t xin)相位(xingwi)重構(gòu)圖像相位譜第31頁/共66頁第三十二頁，共66頁。二維圖象(t xin)傅立葉變換,其幅度譜的顯示：I=imread(len_std.jpg);I1=rg

16、b2gray(I); X_DFT=fft2(I1);fftshift(X_DFT)Am=abs(X_DFT);Am_C=log(1+Am);am_out=(255./max(Am_C(:).*Am_C;imshow(uint8(am_out)figure;imshow(log(Am),)第32頁/共66頁第三十三頁，共66頁。cleard=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1; %生成黑白圖像subplot(2,2,1);imshow(d,InitialMagnification,fit);title(原始圖像)D=fft2(d); %二維快速傅里葉變換;subplot(

17、2,2,2);imshow(abs(D),-1 5,InitialMagnification,fit);title(傅里葉變換譜)subplot(2,2,3);imshow(log(abs(D)+eps),-1 5,InitialMagnification,fit);title(對數(shù)(du sh)傅里葉變換譜)subplot(2,2,4);DF=fftshift(D);imshow(log(abs(DF)+eps),-1 5,InitialMagnification,fit);title(傅里葉變換中心譜)第33頁/共66頁第三十四頁，共66頁。1. 圖形(txng)的頻譜分析和顯示2. 圖像

18、(t xin)中心化102102)()1(1)(1)2(NxNuxjxNxNuxjexfNexfNNuF第34頁/共66頁第三十五頁，共66頁。 卷積積分：如果(rgu)函數(shù) y(t) 滿足下列關(guān)系式y(tǒng)(t )x()h(t)dx(t ) h(t ) 則稱函數(shù)(hnsh) y(t) 為函數(shù)(hnsh) x(t) 和 h(t) 的卷積。 卷積積分的圖解表示：x(t)th(t)t1/2111第35頁/共66頁第三十六頁，共66頁。 卷積積分的圖解(tji)表示（續(xù)）：位移(wiy)h(t1- )11x()x()h(- )1/2-1折迭h(t- )1/2t11*相乘2y(t)1t1t積分(jfn)第3

19、6頁/共66頁第三十七頁，共66頁。 卷積積分(jfn)的步驟：1 折迭(sh di)：把 h() 相對縱軸作出其鏡像2 位移(wiy)：把 h(-) 移動一個(gè) t 值3 相乘：將位移后的函數(shù) h(t-) 乘以 x()4 積分： h(t-) 和 x() 乘積曲線下的面積即為 t 時(shí)刻的卷積值第37頁/共66頁第三十八頁，共66頁。 卷積定理：如果(rgu) x(t) 和 h(t) 的富里葉變換分別為 X(f) 和 H(f) ,則x(t) * h(t) 的富里葉變換為 X(f)H(f)。即)()()()(fXfFtxth 卷積定理的簡單(jindn)推導(dǎo)：dtedthxftj2)()(ftjet

20、y2)(=ddtethxftj)()(2=)()(fXfH=令 =t-ddehexfjfj)()(22第38頁/共66頁第三十九頁，共66頁。xyR (t )x()y(t )d yxR (t )y()x(t )d xyR (t )x(t )y()d yxR (t )y(t )x()d 或者(huzh)：第39頁/共66頁第四十頁，共66頁。g(x,y,u,v)、h(x,y,u,v)分別稱為正向變換核和反向變換核；是變換中進(jìn)行級數(shù)展開(zhn ki)的基本函數(shù)。如果g(x,y,u,v)= g1(x,u)g2(y,v)，則稱正向變換核是可分離的；如果h(x,y,u,v)= h1(x,u)h2(y,

21、v)，則稱反向變換核是可分離的；(1) 可分離變換(binhun)的一般形式T(u,v) = f (x,y) g(x,y,u,v)，x,y=0, N-1；u,v=0,N-1f (x,y) = T(u,v) h(x,y,u,v)，u,v=0,N-1； x,y=0,N-1 傅里葉變換是可分離變換的一個(gè)特例。第40頁/共66頁第四十一頁，共66頁。所以(suy)傅里葉變換是可分離變換。 例如(lr)傅里葉變換正向變換核具有(jyu)可分離變換核的二維變換計(jì)算: (分兩步) T(x,v) = f (x,y) g2(y,v) ；y=0,N-1 列變換 T(u,v) = T(x,v) g1(x,u) ；x

22、=0,N-1 行變換 若g1和g2的函數(shù)形式一樣，則稱g(x,y,u,v)是對稱的。 第41頁/共66頁第四十二頁，共66頁。,1( , )i jagi j當(dāng)g(x,y,u,v)是可分離和對稱的，可寫成矩陣(j zhn)形式: T = AFA，其中，F(xiàn)是NN圖像矩陣， T是變換后的NN圖像矩陣， A是NN對稱(duchn)變換矩陣，其元素為 若要實(shí)現(xiàn)(shxin)反變換，則 BTBBAFAB，B是反變換矩陣。如果B= A-1，圖像可以完全恢復(fù)為F，即 FBTB。如果BA-1 ，則只能得到F的近似圖像 F BAFAB。第42頁/共66頁第四十三頁，共66頁。 利用矩陣形式的優(yōu)點(diǎn)，所得到的變換矩陣

23、可分解成若干個(gè)具有(jyu)較少非零元素的矩陣的乘積，可減少冗余，減少操作次數(shù)。第43頁/共66頁第四十四頁，共66頁。 從上節(jié)內(nèi)容我們可以(ky)看到，傅立葉變換是用無窮區(qū)間上的復(fù)正弦基函數(shù)和信號的內(nèi)積描述信號中總體頻率分布，或者是將信號向不同頻率變量基函數(shù)矢量投影。實(shí)際上，基函數(shù)可以(ky)有其它不同類型，相當(dāng)于用不同類型基函數(shù)去分解信號（圖象）。余弦變換是其中常用的一種。第44頁/共66頁第四十五頁，共66頁。一個(gè)任意函數(shù)采樣從0,1,2,N-1，若向負(fù)方向折疊形成2N采樣的偶函數(shù)，就可以(ky)進(jìn)行2N的偶函數(shù)傅立葉變換。當(dāng)f(x)或f(x,y)為偶函數(shù)時(shí)，變換(binhun)的計(jì)算公

24、式只有余弦項(xiàng)。余弦(yxin)變換是簡化傅立葉變換的一種方法第45頁/共66頁第四十六頁，共66頁。一維離散余弦(yxin)變換為：10102212100 11NxNF( u )f ( x )cos(x)uNNF()f ( x ),x, ,NN 歸一化后，為：1, 2 , 11021)() 12(2cos)(2)()(10NuuuCuxNxfNucuFNx 矩陣(j zhn)形式：CfF 第46頁/共66頁第四十七頁，共66頁。令 N4，其展開式如下(rxi)：F 00 50000 50010 50020 5003F 10 65300 27110 27120 6533F 20 50000 50

25、010 50020 5003F 10 27100 65310 65320 2713().f ().f ().f ().f ()().f ().f ().f ().f ()().f ().f ().f ().f ()().f ().f ().f ().f () 00 50 50 50 5010 6530 2710 2710 653120 50 50 50 5230 2710 6530 6530 2713F().f ()F().f ()F().f ()F().f () 矩陣(j zhn)形式：CfF 3第47頁/共66頁第四十八頁，共66頁。 正變換矩陣(j zhn)的一般形式為：NNNNNNNN

26、NNNN2) 1)(12(cos2) 1(3cos2) 1(cos2) 12(cos23cos2cos2121212第48頁/共66頁第四十九頁，共66頁。 一維余弦(yxin)變換的反變換為：1, 2 , 11021)() 12(2cos)()(2)(10NuuuCuxNuFucNxfNu1, 2 , 11021)() 12(2cos)(2)()(10NuuuCuxNxfNucuFNx第49頁/共66頁第五十頁，共66頁。 矩陣(j zhn)形式：FCfT00 50 6550 50 5010 50 2710 50 653120 50 2710 50 653230 50 6530 50 271

27、3f ().F()f ().F()f ().F()f ().F() 同理，可得到(d do)反變換展開式：第50頁/共66頁第五十一頁，共66頁。 根據(jù)對稱點(diǎn)的傅立葉變換(binhun)，可得余弦變換(binhun)為：11002212122NNxyF(u,v )f ( x, y )cos( x)u cos(y)vNNN 110010 0NNxyF( , )f ( x, y )N 110020212NNxyF( ,v )f ( x, y )cos(y)vNN 110020212NNxyF(u, )f ( x, y )cos(y)uNN 第51頁/共66頁第五十二頁，共66頁。 表為矩陣(j z

28、hn)形式：TCfCF 以N2為例，則有：11110 00 00 11 01 1222211110 10 00 11 01 1222211111 00 00 11 01 1222211111 10 00 11 01 12222F( , )f ( , )f ( , )f ( , )f ( , )F( , )f ( , )f ( , )f ( , )f ( , )F( , )f ( , )f ( , )f ( , )f ( , )F( , )f ( , )f ( , )f ( , )f ( , )22220 00 10 00 122221 01 11 01 122222222F( , )F( ,

29、)f ( , )f ( , )F( , )F( , )f ( , )f ( , ) 第52頁/共66頁第五十三頁，共66頁。 反變換(binhun)為：1010) 12(2cos) 12(2cos),(2),(NuNvvyNuxNvuFNyxf 反變換(binhun)矩陣形式：FCCfT第53頁/共66頁第五十四頁，共66頁。(1)二維余弦變換(binhun)具有可分離性：1010212cos212cos,22,NxNycNxuNyvyxfNNvuF表示(biosh)成矩陣形式:TCfCF 1112222132222131211222NcoscoscosCNNNNNNNNcoscoscosNN

30、N 第54頁/共66頁第五十五頁，共66頁。(2)余弦變換可以(ky)利用傅立葉變換實(shí)現(xiàn):1010212expRe2212cos2NxNxcNxujxfNNxuxfNuF將 f(x) 延拓為： 12 , 1, 01, 1 , 0,NNNxNxxfxfe第55頁/共66頁第五十六頁，共66頁。則有： 2100NcexFfx; 2102122NcexuxFufx cosNN 2102122NexuxRefx expjNN 2102222NexuuxRe expjfx expjNNN 第56頁/共66頁第五十七頁，共66頁。借助(jizh)傅立葉變換計(jì)算余弦變換的步驟：(5)取F(u)的前N項(xiàng)，即為

31、 f(x)的余弦(yxin)變換。（2）求fe(x) 的2N點(diǎn)的FFT；（3）對各項(xiàng)乘上對應(yīng)的因子 ；2exp2ujN （4）取實(shí)部，并乘上因子 ；N1（1）把f(x)延拓成fe(x) ，長度(chngd)為 2N ；第57頁/共66頁第五十八頁，共66頁。附 matlab的圖象變換(binhun)函數(shù)：圖象(t xin)數(shù)據(jù)的讀?。篿mread圖象(t xin)的顯示：imshow圖象數(shù)據(jù)的存儲：imwrite查看圖像文件信息：imfinfo二維fft變換與逆變換：fft2,ifft2二維DCT變換與逆變換：dct2,idct2第58頁/共66頁第五十九頁，共66頁。彩色圖與灰度圖的轉(zhuǎn)換(zhunhun)函數(shù)：rgb2gray彩色圖與索引(suyn)圖的轉(zhuǎn)換函數(shù)：rgb2idx第59頁/共66頁第六十頁，共66頁。imshow(I); %顯示原圖象I_fft=fft2(i); 對原始圖象進(jìn)行(jnxng)傅立葉變換I_shift=fftshift(I_fft); 將頻譜移到中心點(diǎn)處A=abs(I_shift);計(jì)算頻譜的幅度譜A(Amin(min(A)(max(max(A)