第4章自動(dòng)控制原理根軌跡法

1、2022-6-264-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4-2 4-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4-3 4-3 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)2022-6-264-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 rkkdktkqitpiteBeAAtckki110)sin()( qirkkkkimjjsspszsabsRsCs1122100)2()()()()()( 反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的

2、特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律就知道了。但是對(duì)于就知道了。但是對(duì)于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更困難了。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更困難了。 2022-6-26 1948年，年，提出了一種提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法。在已知。在已知分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0 時(shí)，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s 平面上的變化軌跡，

3、就稱作平面上的變化軌跡，就稱作。一般取一般取（根軌跡增益（根軌跡增益KgKg）作為可）作為可變參數(shù)。變參數(shù)。2022-6-26式中，式中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的開(kāi)稱為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)環(huán)。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ggKssKs 2)(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為2022-6-26 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： s2 + 2s + Kg = 0 求得閉環(huán)特征根為：求得閉環(huán)特征根為：gKs112,

4、1(1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根跡的起點(diǎn)是根跡的起點(diǎn)(),用用“ ”表表示。示。 2 j 0 1(2) 0 Kg1：112, 1 gKjsKg= 0Kg= 0Kg=1KgKg )2( ssKsGg2022-6-26 根據(jù)根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)有如下的階系統(tǒng)，會(huì)有如下的結(jié)論：結(jié)論：（1）n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n個(gè)根，根軌跡有個(gè)根，根軌跡有n條分支條分支 ；（2）每條分支的起點(diǎn)）每條分支的起點(diǎn) (Kg= 0)位于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處；位于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處；（3）各分支的終點(diǎn)）各分支的終點(diǎn)(Kg )或?yàn)殚_(kāi)環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)；或?yàn)殚_(kāi)環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限

5、點(diǎn)；（4）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg1. 1. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)Kg從從0 時(shí)，圖中時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入的根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的對(duì)所有的Kg值都是穩(wěn)定的。值都是穩(wěn)定的。2022-6-26 如果高階系統(tǒng)的根軌跡如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入有可能進(jìn)入s 右半平面，此右半平面，此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的Kg 值，值，成為成為。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于系統(tǒng)，系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的因而

6、根規(guī)跡上的Kg 值就是靜值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果。如果給給定系統(tǒng)對(duì)定系統(tǒng)對(duì)ess 有要求，則對(duì)有要求，則對(duì)Kg有要求，由根跡圖可以確定有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg2022-6-26 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 由圖可見(jiàn)，由圖可見(jiàn)，閉環(huán)極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，閉環(huán)極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，系統(tǒng)為系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)兩時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位階躍響系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為

7、非周期過(guò)程。應(yīng)為非周期過(guò)程。 當(dāng)當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程。階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程。2022-6-26 研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: D(s) = 1 G(s)H(s) = 0 或或 G(s)H(s) = 1若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：寫成如下形

8、式： njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(2022-6-26 式中式中。上述方程又可寫為：。上述方程又可寫為：gnjjmiiKpszs1)()(11 由于滿足上式的任何由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的s在在s平面上描平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的。根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：gnjjmiiKpszs111 2022-6-26根軌跡的

9、幅角方程：根軌跡的幅角方程：)64()12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整數(shù)）。（全部整數(shù)）。（4-6）通常稱為）通常稱為（4-7） 根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡平面上根軌跡及及根軌跡上任一根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。值。是確定是確定s平面上根軌跡的平面上根軌跡的，因此，因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。值時(shí)，才使用幅值條件。)74(2)()(11 kpszsnjjmiignjjmiiKps

10、zs1)()(11 2022-6-26已知負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)已知負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。分布如圖示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一點(diǎn)平面找一點(diǎn)s1 ，畫出各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到畫出各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。點(diǎn)的向量。 檢驗(yàn)檢驗(yàn)s1是否滿足幅角條件：是否滿足幅角條件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找尋找2022-6-26在在s 平面內(nèi)滿足幅角條件的所有平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1 點(diǎn)，將這

11、些點(diǎn)連成光滑點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在在19481948年，年，（W.R.Evdns）提出了用圖解法繪提出了用圖解法繪制根跡的一些制根跡的一些，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。2022-6-264-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1 4.2.1 繪制繪制180180根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連

12、續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可畫出整個(gè)根軌跡。畫出整個(gè)根軌跡。gnjjmiiKpszs111 )64()12()()(11 kpszsnjjmii在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開(kāi)環(huán)根軌跡增益在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開(kāi)環(huán)根軌跡增益KgKg，這種根軌跡習(xí)慣上稱之為這種根軌跡習(xí)慣上稱之為。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法如下：如下：2022-6-26 由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是由于閉環(huán)特征

13、根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。 n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)個(gè)根。當(dāng)Kg 從從0連續(xù)連續(xù)變化時(shí)，變化時(shí)，n個(gè)根將繪出個(gè)根將繪出有有n條軌跡分支。因此根軌跡的條條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。2022-6-26 j 0K= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 2022-6-26 0 j

14、 0 j -1-2 j12022-6-26 根軌跡上根軌跡上的點(diǎn)為起點(diǎn)，的點(diǎn)為起點(diǎn)，時(shí)的點(diǎn)為終點(diǎn)。時(shí)的點(diǎn)為終點(diǎn)。 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1 + G(s)H(s) = 0證明：證明： 當(dāng)當(dāng) Kg= 0 時(shí)，有時(shí)，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式說(shuō)明上式說(shuō)明Kg= 0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。2022-6-26 當(dāng)當(dāng) Kg 時(shí)，有時(shí)，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根軌跡必終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。所以根軌跡必終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 在實(shí)際

15、系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳函中在實(shí)際系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳函中 m n ，有，有m 條根軌跡終條根軌跡終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，另有點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，另有n m條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處，條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為可以認(rèn)為。 0)()(111 njmiijgzspsK將特征方程改寫為：將特征方程改寫為：2022-6-26 根據(jù)根據(jù)，當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中，當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中m 0Kg0否？否？) 分分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為離點(diǎn)上根軌跡的分離角為90。 0j 如果方程的階次高時(shí)，可用如果方程的階次高時(shí)，可用試探法試探法確定分離點(diǎn)（或極大確定分離點(diǎn)（或極大值方法）。值方法）。d1 = 0.472)5)(1()( sssKsG

16、gkkd/180 2022-6-26 例例4-34-3 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為)3)(2()1()( ssssKsG試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解：解： 0j 213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd = 2.5 左左= 0.67 右右= 0.4d = 2.01 左左= 0.99 右右= 99.49d = 2.25 左左= 0.8 右右= 3.11d = 2.47 左左= 0.68 右右= 0.65d = 2.472022-6-26 若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)）

17、，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（）可按下述兩種方法求出：）可按下述兩種方法求出： 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。 例例4-54-5 求例求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。平面虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。 解：解：0)5)(1(1)()(1)( sssKsHsGsDg方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0令令s=j，則，則 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 02022-6-26 3 + 5 = 0 62 + Kg= 05, 0 Kg= 0()， Kg= 30方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + K

18、g= 0勞斯表為勞斯表為s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 當(dāng)當(dāng)Kg=30時(shí)，時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：行的輔助方程求出： 6s 2+ Kg= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 02022-6-26 0 j d = 0.472 Kg= 305jKg Kg Kg j2.24 Kg= 30)5)(1()( sssKsGgk2022-6-26 根軌跡離開(kāi)根軌跡離開(kāi)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為出處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，

19、稱為出射角射角(起始角起始角)，用，用 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180 xp xz 根軌跡進(jìn)入根軌跡進(jìn)入處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入射角射角(終止角終止角)，用，用 表示；表示；求出這些角度可按如下關(guān)系求出這些角度可按如下關(guān)系表示。表示。 證明：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)證明：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px,x+1 。在十分靠近待。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px 的根軌跡上取一點(diǎn)的根軌跡上取一點(diǎn)s1 。pxpx 1zxzx 12022-6-26pxP

20、x+1 j 0s1xp 由于由于s1無(wú)限接近無(wú)限接近 px，因此，因此，除除px 外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到到s1點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們到到px 的向量幅角來(lái)代替，而的向量幅角來(lái)代替，而px到到s1點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。 證畢證畢180)()(, 11 xpnxjjjxmiixppzp 180)()()(1, 1111 xnxjjjmiipspszs2022-6-26 0 j -1-2 j1試?yán)L制出系

21、統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始角與終止角起始角與終止角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 2022-6-26 0 j -1-2 j1 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5 202

22、2-6-26試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1= 0、p2,3 = 1 j 漸近線：漸近線： 3條條32332111 pppmnzpnjmiija 35 312 ， mnka 0 j )22()()(2 sssKsHsGg2p2022-6-262js 根軌跡與虛軸交點(diǎn)根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 勞斯表勞斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令令s1系數(shù)為系數(shù)為0，得，得 Kg = 4代入輔助方程代入輔助方程 2s2 + Kg= 0 實(shí)軸上根軌

23、跡實(shí)軸上根軌跡：(，0 0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。45)()(18032122 ppppp 出射角出射角：)22()(2 sssKsGgk2022-6-26繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。 0 j 1 2Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4)22()(2 sssKsGgk2022-6-26 繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時(shí)，可利用該法則。繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時(shí)，可利用該法則。 若開(kāi)環(huán)傳函分母階次若開(kāi)環(huán)傳函分母階次n比分子階次比分子階次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，則則。證明：證明： )()()()()()(

24、ijggpszsKsNsMKsHsGnnnnmmmmgasasasbsbsbsK 111111)(nnniiniiapap)1(111 式中式中()mmmjjmjjbzbz)1(111 2022-6-26根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若若n m 2 ，則，則0)()()()(1)(111111 mmmmgnnnnbsbsbsKasasassHsGsD 利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精

25、確化，一般而言，應(yīng)盡可，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制。能的準(zhǔn)確繪制。 niiniipas111證畢證畢 -a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的。表明當(dāng)。表明當(dāng)Kg變化時(shí)，一變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減??；即一些根軌跡右行，一些必然左些根增大時(shí)，另一些必然減小；即一些根軌跡右行，一些必然左行，重心保持不變。行，重心保持不變。 2022-6-26試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：例例4-74-7 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為15 . 0)15 . 0()()(2 sssKsHsGg22)2()()(2 sssKsHsGg2022-

26、6-26 0 j -1-2 j1jdjdd 111121 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)，當(dāng)K從從0 時(shí)，時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。d22)2()()(2 sssKsHsGg2022-6-26 0 j -1 -4 -2 j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解： 例例4-84-8 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)

27、反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)204)(4()()(2 ssssKsHsGg漸近線：漸近線： a = 2 a = 45 , 135 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)： d = 2 d = 2 j2.45與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：Kg=260 s = j3.162022-6-26 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或gnjjmiiKpszs1)()(11 此時(shí)的根軌跡稱為此時(shí)的根軌跡稱為2022-6-26根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅角方程： kpszsnjjmi

28、i2)()(11 gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：繪制繪制0 0 根軌跡的基本法則如下：根軌跡的基本法則如下： 2022-6-26 當(dāng)開(kāi)環(huán)傳函中當(dāng)開(kāi)環(huán)傳函中m a； （3 3）b=a （4 4）ba時(shí)，起始于時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于右半漸近線位于右半s平面，平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。)()()(2assbsKsHsGg 0 j a(b a)/2 0 j b2022-6-26 （3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和

29、和z=-b構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子。構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子。221)()()(sKassbsKsHsGgg j 0 j b=-a2022-6-26 （4）ba時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于左半線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。 0 j a(b a)/2 0 j b)()()(2assbsKsHsGg 2022-6-26 （5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。)(1)()()(2assKassbsKsHsGgg j 0 j -a-a/22022-6-26 從上例可以看

30、出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌從上例可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：跡有如下影響： （1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。 （2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。標(biāo)及夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 （4）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開(kāi)環(huán)）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。抵消有損系統(tǒng)性能的

31、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。 分析例分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響： （1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。2022-6-26 （2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。 開(kāi)環(huán)偶極子開(kāi)環(huán)偶極子(零極點(diǎn)重合或相

32、近零極點(diǎn)重合或相近)，提供相同的幅角，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對(duì)根軌跡的影響為：和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對(duì)根軌跡的影響為： （1）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀； （2）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開(kāi)環(huán)比例系數(shù)的值；值，但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開(kāi)環(huán)比例系數(shù)的值； （3）合理配置偶極子中的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，可以在不）合理配置偶極子中的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2022-6-26增加一對(duì)離原點(diǎn)很近的零極點(diǎn)構(gòu)

33、成開(kāi)環(huán)偶極子，則增加一對(duì)離原點(diǎn)很近的零極點(diǎn)構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則ccccnvijmjjgcpzKpzpzKK 11)()(若取若取zc=-0.1, pc=-0.01, 則則Kc=10K。不影響動(dòng)態(tài)性不影響動(dòng)態(tài)性能但提高了穩(wěn)態(tài)性能能但提高了穩(wěn)態(tài)性能2022-6-26 1.基本要求基本要求 通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到： （1）掌握開(kāi)環(huán)根軌跡增益）掌握開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kg變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅值方程求特定的值方程求特定的Kg值。值。 （2）了解閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍

34、響應(yīng)的定）了解閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。性關(guān)系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。 （3）掌握）掌握0根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡繪制的基本思路和方法。根軌跡繪制的基本思路和方法。 2.內(nèi)容提要內(nèi)容提要 本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。2022-6-261)()(11 njjmiigpszsK系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為gnjjmiiKpszs111

35、系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為 minjjikpszs11)12()()( 1）根軌跡的基本概念）根軌跡的基本概念 根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)由根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)由0變化時(shí)，系統(tǒng)的閉變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在環(huán)極點(diǎn)在s平面上移動(dòng)的軌跡。平面上移動(dòng)的軌跡。 2 2）根軌跡方程）根軌跡方程 負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為2022-6-26 3）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則 根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則，即可由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的分布直接繪制出閉環(huán)系本法則，即可由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的分布直接繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。統(tǒng)的概略根軌跡。 4）控制系統(tǒng)的根軌跡分析）控制系統(tǒng)的根軌跡分析 控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應(yīng)用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應(yīng)用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，或分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，或在根軌跡圖上可以進(jìn)行反饋系統(tǒng)的綜合或校正。在根軌跡圖上可以進(jìn)行反饋系統(tǒng)的綜