單自由度及多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析

1、單自由度及多自由度系統(tǒng)單自由度及多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析模態(tài)分析結(jié)構(gòu)振動分析基本理論結(jié)構(gòu)振動分析基本理論振動分析的振動分析的“理論路線理論路線”空間模型空間模型用于描述結(jié)構(gòu)的物理特性，即質(zhì)量、剛度和阻尼特性。模態(tài)模型模態(tài)模型一系列固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼系數(shù)和模態(tài)振型。響應(yīng)模型響應(yīng)模型一系列響應(yīng)函數(shù)組成在理論分析中，首先從空間模型開始最終到響應(yīng)模型。在實(shí)驗(yàn)分析中，首先從響應(yīng)特性開始，最終推求空間模型。單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)，承受單位脈沖荷載(t)時，響應(yīng)為h(t)單位脈單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）( )mxcxkxt該式的解為式中

2、，若系統(tǒng)受到任意函數(shù)f(t)激勵，則響應(yīng)為（Duhamel積分）：( )mxcxkxt1sin, 0( )( )0, 0tDDettmx th tt 21D ( )( )*( )() ( )dx th tf th tf單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)振動微分方程：單自由度系統(tǒng)振動微分方程：設(shè)系統(tǒng)作用簡諧激勵設(shè)系統(tǒng)作用簡諧激勵穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：( )mxcxkxf t( )ej tf tFej txXej txj X22()eej tj txjXX 單自由度系

3、統(tǒng)振動微分方程：單自由度系統(tǒng)振動微分方程：位移頻響函數(shù)位移頻響函數(shù)為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激勵幅值之比：為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激勵幅值之比：速度頻響函數(shù)速度頻響函數(shù)：加速度頻響函數(shù)加速度頻響函數(shù)：2()mj ck XF21( )XHFkmj c2( )VVjXjHFFkmj c22( )AAj VHFFkmj c 頻響函數(shù)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù) 頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為阻抗阻抗 位移阻抗：位移阻抗： 速度阻抗：速度阻抗： 加速度阻抗：加速度阻抗：2( )FZkmj cX( )VFkZcj mVj2( )AFkcZmAj單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)頻響

4、函數(shù)H()是h(t)的傅里葉變換。若系統(tǒng)的激勵為已知此時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為因此脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)一樣是反映振動系統(tǒng)動態(tài)特性的量，頻響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)在時域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性。( )( )*( )() ( )d() ( )dx th tf th tff thjj( )e( ) ettx tXHFj()j-j( )() ( )de( )de( )edttx tf thFhFh-j( )( )edHh( )( )h tH線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系( )ej tf tF根據(jù)傅里葉變換時域卷積性質(zhì)，在時域的卷積在頻域應(yīng)為乘積( )( )*( )x th

5、tf t( )( ) ( )XHF單位力作用下單位力作用下的系統(tǒng)時域與的系統(tǒng)時域與頻域的響應(yīng)頻域的響應(yīng)線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式簡諧激勵簡諧激勵下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵的幅值下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵的幅值之比之比周期激勵周期激勵f(t)（周期為（周期為T）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期T的函數(shù)的函數(shù)x(t)，都可寫為傅里葉級數(shù)的形式，都可寫為傅里葉級數(shù)的形式 系統(tǒng)在周期激勵下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值系統(tǒng)在周期激勵下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

6、幅值與激勵的幅值之比與激勵的幅值之比( )XHF0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkf tFFf tdtT0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkx tXXx tdtT()() () (1,2,)kkkXHFk瞬態(tài)激勵瞬態(tài)激勵f(t)下響應(yīng)為下響應(yīng)為x(t) ，一般可做傅里葉變換，一般可做傅里葉變換 系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的頻響函數(shù)定義為在響應(yīng)與激勵的傅里葉變換系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的頻響函數(shù)定義為在響應(yīng)與激勵的傅里葉變換之比之比隨機(jī)振動隨機(jī)振動中，無論是激勵和響應(yīng)信號都不能進(jìn)行傅里葉變換，只中，無論是激勵和響應(yīng)信號都不能進(jìn)行傅里葉變換，只能用概率統(tǒng)計方法來處理。頻響函

7、數(shù)定義為輸出與輸入的互功率能用概率統(tǒng)計方法來處理。頻響函數(shù)定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比譜與輸入的自功率譜之比()F( )Ff t( )( ) ( ) XHF()F ( )Xx t( )( ) ( )xfffGHG不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（1）由頻響函數(shù)表達(dá)式由頻響函數(shù)表達(dá)式可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式 式中式中 稱為頻率比稱為頻率比21( )XHFkmj c22222112( )e , arctan1(1)4iHk 幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（單自由度系統(tǒng)頻

8、響函數(shù)曲線（2）頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：其中其中 ( )( )( )RIHHjH2222211( )(1)4RHk 實(shí)頻特性實(shí)頻特性虛頻特性虛頻特性222212( )(1)4IHk 單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（3） 對于任一對于任一 ，根據(jù)上式可計算得到對應(yīng)的一對，根據(jù)上式可計算得到對應(yīng)的一對HR( )、 HI( )值，從而得到復(fù)平面上的一條矢量。值，從而得到復(fù)平面上的一條矢量。 從從0變到變到，矢端將畫出變化過程的軌跡，該軌跡矢端將畫出變化過程的軌跡，該軌跡近似近似為一個圓。（為一個圓。（Nyquist圖）圖）22211( )( )44RIHH

9、kk 222212( )(1)4IHk 2222211( )(1)4RHk 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動無阻尼系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)多自由度無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：多自由度無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：1、自由振動、自由振動設(shè)特解設(shè)特解 代入上式得代入上式得該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即解得解得 的的n個互異正根個互異正根 0i，稱為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率（特征方，稱為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率（特征方程的特征值）程的特征值） ( )MxKxf t 0MxKxej tx 2( )0KM 2| 0KM系統(tǒng)特征方程多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的

10、振動無阻尼系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)將將 0i代入：代入：解得解得n個線性無關(guān)非零矢量個線性無關(guān)非零矢量 i的比例解，通常選擇一定方法進(jìn)行歸的比例解，通常選擇一定方法進(jìn)行歸一化，稱為模態(tài)振型（特征方程的特征向量）一化，稱為模態(tài)振型（特征方程的特征向量）模態(tài)振型具有正交性模態(tài)振型具有正交性2( )0KM 12 ,n 0, , 0, , TijiTijiijMmijijKkij多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動粘性阻尼系統(tǒng)粘性阻尼系統(tǒng)多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：其中其中進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量x在模態(tài)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為在模態(tài)坐標(biāo)系中的

11、坐標(biāo)為 ，則，則代入運(yùn)動方程得代入運(yùn)動方程得 ( )MxCxKxf t CMK1 nrrrxq111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t, 1,2,iqin多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動粘性阻尼系統(tǒng)粘性阻尼系統(tǒng)左乘sT，考慮到模態(tài)振型的正交性，得ms第s階模態(tài)質(zhì)量ks第s階模態(tài)剛度cs第s階模態(tài)阻尼系數(shù)qs第s階模態(tài)坐標(biāo)令 ，則 111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t ( )Tsssssssm qc qk qf tssscmk ( ) ej tf tFej tssqQ多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動粘性阻尼系統(tǒng)粘性阻尼系統(tǒng)不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)：

12、22()e e j tTj tsssssTsssssmj ck QFFQmj ck11 eennj tj trrrrrrxXqQ12211 TnnrrrrrrrrrnXXXQFmj ckX振動系統(tǒng)的空間模型和振動系統(tǒng)的空間模型和模態(tài)模型間的轉(zhuǎn)換模態(tài)模型間的轉(zhuǎn)換物理坐標(biāo)系中，物理坐標(biāo)系中，n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程：自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程：模態(tài)坐標(biāo)系中，模態(tài)坐標(biāo)系中， n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程：自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程：從物理模型到模態(tài)模型轉(zhuǎn)換，是方程從物理模型到模態(tài)模型轉(zhuǎn)換，是方程解耦解耦的數(shù)學(xué)變換過程的數(shù)學(xué)變換過程 ( )MxCxKxf t ( ), 1,2,3,Tiiiiiiim qc qk qf t

13、in ( )Trrrmqcqkqf t 121212, , , TrniiiTrniiiTrniiimdiag m mmmMcdiag c cccCkdiag k kkkK多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)令令令令頻響函數(shù)頻響函數(shù)2211 12TTnnrrrrrrrrrrrrrFFXmj ckkj rr21 12TnrrrrrFXkj 21 12rrrYkj 211( )NNirjrijrirjrrrrrrHYkmj c 1 nTrrrrXHYF物理意義為：在j點(diǎn)作用單位力時，在i點(diǎn)引起的響應(yīng) 頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系 頻響函數(shù)矩陣中任一行為 如果在結(jié)構(gòu)上的某一固

14、定點(diǎn)i點(diǎn)拾振，輪流激勵所有點(diǎn)，即可求得H中的一行。（單點(diǎn)拾振法單點(diǎn)拾振法）1211211221 NTiiiNrirrrNrirrrNrrNirrrNrrrrrHHHYYkmj c 頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系 頻響函數(shù)矩陣中任一列為 如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)j點(diǎn)激振，在其他各點(diǎn)拾振，即可求得H中的一列。（單點(diǎn)激勵法單點(diǎn)激勵法）111222211 jrrNNjjrrrrjrrrrrrNrNrNjHHYkmj cH 頻響函數(shù)圖像頻響函數(shù)圖像 頻響函數(shù)表達(dá)式 頻響函數(shù)的圖像可以看作為一系列單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線的迭加。2111( )NNNirjrijrirjrrijrrrrr

15、rHYHkmj c 1234523456F11234512345123451234512345模態(tài)階數(shù)模態(tài)階數(shù)12345頻率(Hz)34.4994100.6979 158.7263203.8849 232.524100.511.522.5-202x 10-5時 間 (s)加速度 (g)00.511.522.5-202x 10-5時 間 (s)加速度 (g)00.511.522.5-202x 10-5時 間 (s)加速度 (g)00.511.522.5-202x 10-5時 間 (s)加速度 (g)00.511.522.5-505x 10-5時 間 (s)加速度 (g)0501001502002

16、5010-1010-5Frequency Hz Magnitude05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude050100150200250-2000200Frequency HzPhaseo050100150200250-2000200Frequency HzPhaseo0

17、50100150200250-2000200Frequency HzPhaseo050100150200250-2000200Frequency HzPhaseo050100150200250-2000200Frequency HzPhaseo00.511.522.5-202x 10-5時 間 /Time (s)加速度/Acceleration (g)05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude050100150200250-200-1000100Frequency HzPhaseo00.511.522.5-2024x 10-5時 間 /Time

18、 (s)加速度/Acceleration (g)05010015020025010-1010-5Frequency Hz Magnitude050100150200250-2000200Frequency HzPhaseo結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)是要通過某種激勵方法，人為地使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，是要通過某種激勵方法，人為地使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，提取激勵輸入和結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出的時域或頻域數(shù)據(jù)；或者在自然環(huán)提取激勵輸入和結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出的時域或頻域數(shù)據(jù)；或者在自然環(huán)境激勵下，現(xiàn)場提取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)輸出數(shù)據(jù)。境激勵下，現(xiàn)場提取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)輸出數(shù)據(jù)。頻響函數(shù)矩陣或單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣中的任一列或

19、任一行，蘊(yùn)頻響函數(shù)矩陣或單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣中的任一列或任一行，蘊(yùn)含了系統(tǒng)全部的模態(tài)參數(shù)信息。含了系統(tǒng)全部的模態(tài)參數(shù)信息。測量方法：測量方法：SISO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)依次測量響應(yīng)：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)依次測量響應(yīng) 或選取一點(diǎn)作測量響應(yīng)，在所有測量點(diǎn)輪流測量激振或選取一點(diǎn)作測量響應(yīng)，在所有測量點(diǎn)輪流測量激振SIMO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)MIMO：選取多點(diǎn)同時激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)：選取多點(diǎn)同時激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)試件支承試件支承原則：盡量實(shí)現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)所要求的邊界條件原則：盡量實(shí)現(xiàn)

20、實(shí)際結(jié)構(gòu)所要求的邊界條件支承方式：支承方式：約束支承方式：將試件安裝在基礎(chǔ)上約束支承方式：將試件安裝在基礎(chǔ)上 理想狀態(tài)：基礎(chǔ)絕對剛性。（難以達(dá)到）理想狀態(tài)：基礎(chǔ)絕對剛性。（難以達(dá)到） 試驗(yàn)中：基礎(chǔ)的頻響函數(shù)值遠(yuǎn)小于試件結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)值試驗(yàn)中：基礎(chǔ)的頻響函數(shù)值遠(yuǎn)小于試件結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)值 基礎(chǔ)質(zhì)量至少為試件質(zhì)量的基礎(chǔ)質(zhì)量至少為試件質(zhì)量的10倍倍試件支承試件支承支承方式：支承方式：自由支承方式：試件處于懸空狀態(tài)自由支承方式：試件處于懸空狀態(tài) 理想狀態(tài)：系統(tǒng)具有六個剛體模態(tài)（難以達(dá)到）理想狀態(tài)：系統(tǒng)具有六個剛體模態(tài)（難以達(dá)到） 試驗(yàn)中：試驗(yàn)中：氣、磁懸掛氣、磁懸掛2. 空氣彈簧支承空氣彈簧支承測點(diǎn)及測

21、量方法安排測點(diǎn)及測量方法安排測試系統(tǒng)測試系統(tǒng)激勵設(shè)備傳感系統(tǒng)分析設(shè)備模態(tài)實(shí)驗(yàn)方法模態(tài)實(shí)驗(yàn)方法時域模態(tài)參數(shù)識別方法SIMOMIMOTime Domain methodsIndirect methodsDirect methodsMDOFMDOFSIMOSISOMIMOLSCEITDCEPRCEERAARMADSPI模態(tài)試驗(yàn)激勵信號模態(tài)試驗(yàn)激勵信號正弦信號正弦信號 最常采用的激勵信號最常采用的激勵信號步進(jìn)式正弦激勵法步進(jìn)式正弦激勵法自動正弦慢掃描激勵自動正弦慢掃描激勵快速掃描正弦激勵快速掃描正弦激勵平穩(wěn)隨機(jī)信號平穩(wěn)隨機(jī)信號自然隨機(jī)信號自然隨機(jī)信號偽隨機(jī)信號偽隨機(jī)信號瞬態(tài)隨機(jī)信號瞬態(tài)隨機(jī)信號周期偽隨機(jī)信號周期偽隨機(jī)信號模態(tài)試驗(yàn)激勵信號模態(tài)試驗(yàn)激勵信號瞬態(tài)沖擊信號瞬態(tài)沖擊信號 一般由錘擊法產(chǎn)生一般由錘擊法產(chǎn)生階躍