最新數(shù)學建模-傳染病模型精品課件復習進程

1、數(shù)學建模-傳染病模型 設某地區(qū)共有設某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有人，最初時刻共有i人得病，人得病，t時刻已時刻已感染（感染（infective）的病人數(shù)為）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位，假定每一已感染者在單位時間內將疾病傳播給時間內將疾病傳播給k個人（個人（k稱為該疾病的傳染強度），且稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復設此疾病既不導致死亡也不會康復模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的

2、參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。推移，將越來越偏離實際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。 ( )odikidti oi則可導出：則可導出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定

3、流）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。 （3 3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。 模型檢驗：模型檢驗： 醫(yī)療機構一般依據(jù)醫(yī)療機構一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù) ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時刻已就醫(yī)而被

4、隔離的人數(shù)，是康復還是死亡對時刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復還是死亡對模型并無影響。模型并無影響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總人數(shù)的百分比不會通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總人數(shù)的百分比不會太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooSr tmml

5、tS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數(shù)這里雙曲正切函數(shù) ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對對r(t)求導求導 ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲線曲線 2221sec22odrlmhmltdtS在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。圖圖3-14（a）給出了（）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。 圖3-14（a）圖圖3-14（b）記錄了）記錄了1905年下半年至年下半年至1906年