第三章 泊松(Poisson)過程

1、基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成第四章 泊松過程基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四X tt( ),0, 給給定定二二階階矩矩過過程程定定n如如果果對(duì)對(duì)任任意意選選定定的的正正整整數(shù)數(shù)和和任任意意選選定定的的在互不相交的區(qū)間上在互不相交的區(qū)間上, ,狀態(tài)的增量是相狀態(tài)的增量是相 X tX ssts t( )( ), 0( , 為為隨隨機(jī)機(jī)過過程程 在在上上的的.增增量量,0210ntttt )()(,),()(),()( 11201 nntXtXtXtXtXtX,相相互互獨(dú)獨(dú)立立互獨(dú)立的，有互獨(dú)立的，有 X tt( ),0 則則稱稱為為義義隨隨機(jī)機(jī)變變量量n個(gè)

2、個(gè)增增量量特征特征: : .獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程 ),(tsCX).,(min(tsDX一、齊次泊松過程一、齊次泊松過程1、獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四則稱則稱增量具有平穩(wěn)性增量具有平穩(wěn)性. .hshth0, 如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 和和X thX shX tX s()()( )( ),和和具具有有相相同同的的分分布布增量增量 X(t)-X(s) 的分布函數(shù)只依賴于的分布函數(shù)只依賴于當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí), , 是是齊次的齊次的或或時(shí)齊的時(shí)齊的. . 稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程程

3、特征特征: : 區(qū)間的長度區(qū)間的長度t-s, , 而與它的位置無關(guān)而與它的位置無關(guān). .基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四考慮下列隨時(shí)間的推移遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的事件：考慮下列隨時(shí)間的推移遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的事件： (1)(1)自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽極自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽極; ;(2)(2)意外事故或意外差錯(cuò)的發(fā)生意外事故或意外差錯(cuò)的發(fā)生; ;(3)(3)要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站. .2、齊次泊松過程的概念齊次泊松過程的概念電子到電子到達(dá)陽極、顧客到達(dá)服務(wù)站等事件會(huì)隨達(dá)陽極、顧客到達(dá)服務(wù)站等事件會(huì)隨時(shí)間推移時(shí)間推移隨機(jī)發(fā)

4、生在時(shí)間軸上的不同時(shí)刻隨機(jī)發(fā)生在時(shí)間軸上的不同時(shí)刻.基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四N t tt( ),0(0, 用用表表示示在在時(shí)時(shí)間間間間隔隔內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)生生的的某某種種( ),0N tt 則則稱稱為為計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)過過程程. .事事件件的的數(shù)數(shù)目目，0,( , )( )( )stN s tN tN s 對(duì)對(duì)于于等等于于在在( , .s t時(shí)時(shí)間間間間隔隔中中發(fā)發(fā)生生的的事事件件數(shù)數(shù)一個(gè)計(jì)數(shù)過程一定滿足：一個(gè)計(jì)數(shù)過程一定滿足：(1) N(t)取非負(fù)整數(shù)值取非負(fù)整數(shù)值；(2) 如果如果st|T1=s=P在在(s, s+t內(nèi)沒有事件發(fā)生內(nèi)沒有事件發(fā)生| |T

5、1=s=PN(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1= PN(s+t) -N(s)=0 te. 故故T TFt sP Tt Ts2121()P Tt Ts211.te1 表明表明 服從均值為服從均值為1/ 的指數(shù)分布，且與的指數(shù)分布，且與T1 1獨(dú)立獨(dú)立. .T2(獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程)基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四重復(fù)上面的推導(dǎo)，可得下面的結(jié)論：重復(fù)上面的推導(dǎo)，可得下面的結(jié)論：結(jié)結(jié)論論: :設(shè)設(shè)N(t), t 0是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為 的泊松過程，則的泊松過程，則iT TT12,相相互互獨(dú)獨(dú)立立且且服服從從相相同同的的指指數(shù)數(shù)分分

6、布布itTtftite, 0,( )1,2, 3,.0, 0. 意義意義: : 表明在概率意義上過程在任何時(shí)刻重新開始，表明在概率意義上過程在任何時(shí)刻重新開始，即泊松過程是即泊松過程是無記憶的無記憶的.基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四(2) 等待時(shí)間的分布等待時(shí)間的分布由于由于nniiWT1, 利用矩母函數(shù)容易證明利用矩母函數(shù)容易證明nWn( , ), 即即Wn具有概率密度具有概率密度nntWtetftnt1(),0( )(1)!0,0 基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四二、泊松過程的推廣二、泊松過程的推

7、廣1、非齊次泊松過程非齊次泊松過程, 0),( ttt 的函數(shù)的函數(shù)是時(shí)間是時(shí)間若若則稱泊松過則稱泊松過注：注：從而從而非齊次泊松過程不再具有平穩(wěn)增量性非齊次泊松過程不再具有平穩(wěn)增量性. .( ),0( ).N ttt 是是強(qiáng)強(qiáng)度度函函數(shù)數(shù)為為的的非非齊齊次次泊泊松松過過程程稱稱 0( )( )tm ts ds 為為累積強(qiáng)度函數(shù)累積強(qiáng)度函數(shù)或或均值函數(shù)均值函數(shù)，則有則有( )( ) ( )( )N tN sm tm s 基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四 某路公交車從早晨某路公交車從早晨5時(shí)到晚上時(shí)到晚上9時(shí)有車時(shí)有車, ,乘客乘客 流量如下流量如下

8、: :5時(shí)平均乘客為時(shí)平均乘客為200人人/ /小時(shí)小時(shí); ;5時(shí)至?xí)r至8時(shí)時(shí) 乘客平均到達(dá)率線性增加乘客平均到達(dá)率線性增加, ,8時(shí)到達(dá)率為時(shí)到達(dá)率為1400人人/ / 小時(shí)小時(shí); ;8時(shí)至?xí)r至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變時(shí)保持平均到達(dá)率不變; ;18時(shí)到時(shí)到21 時(shí)到達(dá)率線性下降時(shí)到達(dá)率線性下降,到到21時(shí)為時(shí)為200人人/ /小時(shí)小時(shí), ,假定假定 乘客數(shù)在不重疊的區(qū)間內(nèi)是相互獨(dú)立的乘客數(shù)在不重疊的區(qū)間內(nèi)是相互獨(dú)立的, ,求求 (1) (1)7時(shí)至?xí)r至9時(shí)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；時(shí)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望； (2) (2)12時(shí)至?xí)r至14時(shí)有時(shí)有2000人人乘車的概率乘車的概率. . t=0為

9、早晨為早晨5時(shí)時(shí), ,t=16為晚上為晚上9時(shí)時(shí), ,則均值函數(shù)則均值函數(shù)200400 ,03( )1400,3131400400(13),1316tttttt 基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四(1) 7時(shí)至?xí)r至9時(shí)為時(shí)為t (2,4,則由非齊次泊松過程的則由非齊次泊松過程的性質(zhì)可得性質(zhì)可得7時(shí)至?xí)r至9時(shí)乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為時(shí)乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為(4)(2)E NN (9)(7)2000P NN 12時(shí)至?xí)r至14時(shí)有時(shí)有2000人來站乘車的概率為人來站乘車的概率為(4)(2)mm 42( ) t dt 32(200400 ) t dt 2600 4

10、31400dt (2)20002800(2800)2000!e 基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四 設(shè)設(shè)N(t), t 0是強(qiáng)度是強(qiáng)度 的泊松過程的泊松過程, ,Yk,k=1,2,是是 獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, ,且與且與N(t), t 0獨(dú)立獨(dú)立, ,令令 則稱為則稱為復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程.例例 設(shè)設(shè)N(t)是在是在(0, t內(nèi)來到某商店的顧客數(shù)內(nèi)來到某商店的顧客數(shù), ,Yk是是0,)()(1tYtXtNkk2、復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程)(1)(tNkkYtX第第k個(gè)顧客的花費(fèi)個(gè)顧客的花費(fèi), ,則則 是是 (0, t內(nèi)的營

11、業(yè)額內(nèi)的營業(yè)額.基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四設(shè)設(shè) 是復(fù)合泊松過程，則是復(fù)合泊松過程，則(1) X(t), t 0是獨(dú)立增量過程；是獨(dú)立增量過程；(2) X(t)的特征函數(shù)的特征函數(shù) 是事件的到達(dá)率是事件的到達(dá)率, ,gY(u)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù)；的特征函數(shù)；(3)若若 ，則，則0,)()(1tYtXtNkk)(21YEE X ttE Y 1( ) 1)(exp)()(ugtugYtX 定理：定理：D X ttE Y 21( ) 基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四.10 1nP Y，.2

12、0 4nP Y，.30 4nP Y，. .40 1nP Y 2例例2 設(shè)移民到某地的戶數(shù)是一個(gè)速率為設(shè)移民到某地的戶數(shù)是一個(gè)速率為( ),0,N tt （每周）的泊松過程（每周）的泊松過程若每戶人口若每戶人口求在五周內(nèi)移民到該地人口數(shù)的的期望和方差求在五周內(nèi)移民到該地人口數(shù)的的期望和方差. .nY ：數(shù)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量數(shù)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量()2.5,nE Y 2( )(),(t)()nnE X ttE YD XtE Y (t)25,E X (t)69D X X(t)設(shè)設(shè)0 , ) t 表示表示 時(shí)間內(nèi)移民到該地的人口數(shù)，時(shí)間內(nèi)移民到該地的人口數(shù)， 可得五周內(nèi)移民到該地人口數(shù)的的期望可得五周內(nèi)移民到該地人口數(shù)的的期望解：解： 是復(fù)合泊松過程是復(fù)合泊松過程, ,( )1( )N tnnX tY2()6.9nE Y 2,5t 將將 代入代入由由Yn的分布律可得的分布律可得基礎(chǔ)部張守成基礎(chǔ)部張守成20222022年年6 6月月3030日星期四日星期四100設(shè)進(jìn)入到某超市的人數(shù)是一個(gè)速率設(shè)進(jìn)入到某超市