基于matlab求解非線性規(guī)劃問題實用教案

1、例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20 1、寫成標準(biozhn)形式： 2、 輸入(shr)命令： H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運算(yn sun)結果為： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222212121622 11- 1 ),(minxxxxxxzT212100222 11 1 xxxx

2、s.t.第1頁/共23頁第一頁，共24頁。 1. 首先建立M文件fun.m,定義目標(mbio)函數(shù)F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2、一般(ybn)非線性規(guī)劃 其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它(qt)變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：第2頁/共23頁第二頁，共24頁。3. 建立主程序.非線性規(guī)劃求解(qi ji)的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)

3、(3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,fval,exitflag,output= fmincon(.)輸出(shch)極值點M文件(wnjin)迭代的初值參數(shù)說明變量上下限第3頁/共23頁第三頁，共24頁。注意：1 fm

4、incon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認時，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設置為on），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。2 fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣(j zhn)。3 fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關。第4頁/共23頁第四頁，共24頁。1、寫成標準形式： s.t. 00546322121xxxx2100 xx22212121212minx

5、xxxf22212121212minxxxxf 2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例2第5頁/共23頁第五頁，共24頁。2、先建立(jinl)M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)23、再建立(jinl)主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運算(yn sun)結果為： x = 0.764

6、7 1.0588 fval = -2.0294第6頁/共23頁第六頁，共24頁。1先建立(jinl)M文件 fun4.m,定義目標函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);) 12424()(22122211xxxxxexfx x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0例32再建立M文件mycon.m定義(dngy)非線性約束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(

7、2);-x(1)*x(2)-10;第7頁/共23頁第七頁，共24頁。3主程序youh3.m為:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)3. 運算(yn sun)結果為： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951第8頁/共23頁第八頁，共24頁。 例4 100 , 50 07 025 . .2min 21222122221121xxxxXgxxXgtsxxXf1先建立M-文件fun.m定義(dngy)目標函數(shù): function f=fun

8、(x); f=-2*x(1)-x(2);2再建立M文件mycon2.m定義(dngy)非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;第9頁/共23頁第九頁，共24頁。3. 主程序fxx.m為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)第10頁/共23頁第十頁，共24頁。4. 運算(yn sun)結果為: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1ou

9、tput = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: 第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。應用(yngyng)實例： 供應與選址 某公司有6個建筑工地要開工，每個工地的位置（用平面坐標系a，b表示，距離單位：千米 ）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個臨時料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設從料場到工地之間均有直線道路相連。 （1）試制定每天的供應計劃(jhu)，即從A，B兩料場分別向各工地運送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。

10、 （2）為了進一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個臨時料場，改建兩個新的，日儲量各為20噸，問應建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？工地位置（a，b）及水泥日用量 d 1 2 3 4 5 6 a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25 d 3 5 4 7 6 11 第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。（一）、建立(jinl)模型 記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,6;料場位置為(xj，yj)，日儲量(ch lin)為ej，j=1,2；從料場j向工地i的運送量為Xij。目標函數(shù)為：216122)()(minjiij

11、ijijbyaxXf 約束條件為：2 , 1 ,6 , 2 , 1 ,6121jeXidXjiijijij 當用臨時料場時決策(juc)變量為：Xij，當不用臨時料場時決策(juc)變量為：Xij，xj，yj。第13頁/共23頁第十三頁，共24頁。（二）使用(shyng)臨時料場的情形 使用兩個臨時(ln sh)料場A(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運送量不超過日儲量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問題. 線性規(guī)劃模型為：2161),(minjiijXjiaaf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , s.t.6121jeXid

12、Xjiijijij其中 22)()(),(ijijbyaxjiaa，i=1,2,6,j=1,2,為常數(shù)。 設X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12 編寫程序gying1.m:第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。cleara=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25;b=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75;d=3 5 4 7 6 11;x=5 2;y=1 7;e=20 20;

13、for i=1:6 for j=1:2 aa(i,j)=sqrt(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2); endendCC=aa(:,1); aa(:,2);A=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1;B=20;20;Aeq=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ;beq=d(1);

14、d(2);d(3);d(4);d(5);d(6);VLB=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;VUB=;x0=1 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1;xx,fval=linprog(CC,A,B,Aeq,beq,VLB,VUB,x0)第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。計算結果為：x = 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000fval = 136.2275即由料場A、B向6 個工地運料方案為： 1 2 3 4 5 6 料場A 3 5 0 7 0

15、 1 料場B 0 0 4 0 6 10 總的噸千米數(shù)為136.2275。 第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。（三）改建兩個(lin )新料場的情形 改建兩個新料場，要同時確定料場的位置(xj,yj)和運送(yn sn)量Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃模型為：216122)()(minjiijijijbyaxXf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , . .6121jeXidXtsjiijijij第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。function f=liaoch(x)a=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25;b=1.25 0.75 4

16、.75 5 6.5 7.75;d=3 5 4 7 6 11;e=20 20;f1=0;for i=1:6 s(i)=sqrt(x(13)-a(i)2+(x(14)-b(i)2); f1=s(i)*x(i)+f1;endf2=0;for i=7:12 s(i)=sqrt(x(15)-a(i-6)2+(x(16)-b(i-6)2); f2=s(i)*x(i)+f2;endf=f1+f2;設 X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X

17、11, X62= X 12 x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16 （1）先編寫M文件liaoch.m定義(dngy)目標函數(shù):第18頁/共23頁第十八頁，共24頁。(2) 取初值為線性規(guī)劃的計算結果及臨時(ln sh)料場的坐標: x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7;編寫主程序gying2.m.clear% x0=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7;A=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18、0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0;B=20;20;Aeq=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;beq=3 5 4 7 6 11;vlb=zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf;vub=;x,fval,exitflag=

19、fmincon(liaoch,x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)第19頁/共23頁第十九頁，共24頁。(3) 計算結果為：x= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867fval = 105.4626exitflag = 1即兩個新料場的坐標分別為(6.3875, 4.3943),(5.7511, 7.1867),由料場 A、B 向 6 個 工地運料方案為： 1 2 3 4 5 6 料場 A 3 5 0.0707 7 0 0.9293 料場 B 0 0 3.9293 0 6 10.0707 總的噸千米數(shù)為105.4626。比用臨時料場節(jié)省約 31 噸千米. 第20頁/共23頁第二十頁，共24頁。(4) 若修改(xigi)主程序gying2.m, 取初值為上面的計算結果:x0= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867得結果(ji gu)為:x=3.0000 5.0000 0.3094 7.0000 0.0108 0.