[數(shù)學(xué)]高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第七節(jié) 立體幾何中的向量方法 理 新人教A版ppt課件

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法第七節(jié)立體幾何中的向量方法1直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：假設(shè)表示非零向量直線的方向向量：假設(shè)表示非零向量a的有向線段所的有向線段所在直線與直線在直線與直線l_或或_，那么稱此向量，那么稱此向量a為直線為直線l的方向向量的方向向量(2)平面的法向量：直線平面的法向量：直線l，取直線，取直線l的方向向量的方向向量a，那，那么向量么向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量平行平行重合重合2空間位置關(guān)系的向量表示空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系位置關(guān)系向量表示向量表示直線直線l1，l2的方向向量的方向向量分別為分別為n1，n2l1

2、l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線直線l的方向向量為的方向向量為n，平面平面的法向量為的法向量為mlnmnm0lnmnm平面平面，的法向量分的法向量分別為別為n，mnmnmnmnm03.利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角求兩條異面直線所成的角設(shè)設(shè)a，b分別是兩異面直線分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，那么的方向向量，那么l1與與l2所成的角所成的角a與與b的夾角的夾角a，b范圍范圍_0a，b 關(guān)系關(guān)系cos |cosa，b|_(2)求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a，平面，平面的法向量為的法向量

3、為n，直線，直線l與平與平面面所成的角為所成的角為，那么，那么sin _(3)求二面角的大小求二面角的大小假設(shè)假設(shè)AB、CD分別是二面角分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂 直 的 異 面 直 線 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是垂 直 的 異 面 直 線 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是_的夾角的夾角(如圖如圖771) |cosa，n|設(shè)設(shè)n1，n2分別是二面角分別是二面角l的兩個(gè)面的兩個(gè)面，的法向的法向量，那么向量量，那么向量n1與與n2的夾角的夾角(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角)的大小就是的大小就是_(如圖如圖771)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小1怎樣求平面

4、的法向量？怎樣求平面的法向量？2如何確定一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量夾角與如何確定一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量夾角與這個(gè)二面角的平面角的大小關(guān)系？這個(gè)二面角的平面角的大小關(guān)系？【提示】可從兩個(gè)方面判別：一是察看圖形，確定二【提示】可從兩個(gè)方面判別：一是察看圖形，確定二面角的平面角是銳角還是鈍角；二是根據(jù)兩個(gè)半平面的法向面角的平面角是銳角還是鈍角；二是根據(jù)兩個(gè)半平面的法向量的方向來(lái)確定量的方向來(lái)確定 1(人教人教A版教材習(xí)題改編版教材習(xí)題改編)設(shè)設(shè)u(2，2，t)，v(6，4，4)分別是平面分別是平面，的法向量假設(shè)的法向量假設(shè)，那么，那么t()A3B4C5D6【解析】【解析】，那么，那么uv

5、262(4)4t0，t5.【答案】【答案】C【答案】【答案】A3知兩平面的法向量分別為知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，那么兩平面所成的二面角為，那么兩平面所成的二面角為()A45 BC45或或 D90【答案】【答案】C【答案】【答案】A 如圖如圖774所示，在四棱錐所示，在四棱錐PABCD中，中，PC平平面面ABCD，PC2，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn)，點(diǎn)M在在PB上，上，PB4PM，PB與平面與平面ABCD成成30的角的角(1)求證：求證：CM平面平面PAD；(2)求證：平面求證：平面PAB平面平面PAD.【嘗試解答】以【嘗試解答

6、】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為所在直線為x軸，軸，CD所在直線所在直線為為y軸，軸，CP所在直線為所在直線為z軸建立如軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面平面ABCD，1恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵2證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后闡明

7、直線在平面外即可這的不共線的兩個(gè)向量共面，然后闡明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算3證明直線與直線垂直，只需求證明兩條直線的方向證明直線與直線垂直，只需求證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明線與直線垂直證明 如圖如圖775所示，知直三棱柱所示，知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC為等腰直為等腰直角三角形，角三角形，BAC90，且，且ABAA1，D、E、F分別為分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)求證：的中點(diǎn)求證：(1)DE平面平面ABC；

8、(2)B1F平面平面AEF.【證明】如圖建立空間直角坐標(biāo)系【證明】如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令，令A(yù)BAA14，那么那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4) (2021湖南高考湖南高考)如圖如圖776所示，在四棱錐所示，在四棱錐PABCD中，中，PA平面平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是是CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)證明：證明：CD平面平面PAE；(2)假設(shè)直線假設(shè)直線PB與平面與平面PAE所成的角和所成的角和PB與平面與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積的體積【思緒點(diǎn)撥】【思

9、緒點(diǎn)撥】(1)以點(diǎn)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，用向量法證為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，用向量法證明明CDAE，CDAP.(2)先確定平面先確定平面PAE和平面和平面ABCD的法向量，再根據(jù)直線的法向量，再根據(jù)直線PB的方向向量和兩個(gè)平面的法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值的方向向量和兩個(gè)平面的法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值相等求相等求AP.【嘗試解答】如下圖，以【嘗試解答】如下圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在所在直線分別為直線分別為x軸，軸，y軸，軸，z軸建立軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)空間直角坐標(biāo)系設(shè)PAh，那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0，0，0)，B(4，0，0)， (2021山東高考山

10、東高考)在如圖在如圖778所示的幾何體中，所示的幾何體中，四邊形四邊形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：求證：BD平面平面AED；(2)求二面角求二面角FBDC的余弦值的余弦值 【思緒點(diǎn)撥】【思緒點(diǎn)撥】(1)(1)先證先證ADBDADBD，再根據(jù)，再根據(jù)AEBDAEBD可證明可證明結(jié)論成立結(jié)論成立(2)(2)根據(jù)根據(jù)ADBDADBD知知ACBCACBC，以點(diǎn)，以點(diǎn)C C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解角坐標(biāo)系，用向量法求解【嘗試解答】證明【嘗試解答】證明 (1) (1)由于四邊形由于四邊

11、形ABCDABCD是等腰梯是等腰梯形，形，ABCDABCD，DABDAB6060，所以所以ADCADCBCDBCD120120. .又又CBCBCDCD，所以，所以CDBCDB3030，因此因此ADBADB9090，即，即ADBD.ADBD.又又AEBDAEBD，且，且AEADAEADA A，AEAE，ADAD平面平面AEDAED，所以所以BDBD平面平面AED.AED.(2)由由(1)知知ADBD，所以，所以ACBC.又又FC平面平面ABCD，因此因此CA，CB，CF兩兩垂直兩兩垂直以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為所在的直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建

12、立如下圖的空軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系無(wú)妨設(shè)間直角坐標(biāo)系無(wú)妨設(shè)CB1，1利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，那么這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面兩個(gè)向量，那么這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是經(jīng)過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半角的大小；二是經(jīng)過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為平面的法向量分別為n1和和n2，那么二面角的大小等于，那么二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利

13、用空間向量求二面角時(shí)，留意結(jié)合圖形判別二面利用空間向量求二面角時(shí)，留意結(jié)合圖形判別二面角是銳角還是鈍角角是銳角還是鈍角【解】【解】(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于于D為為AA1的中點(diǎn)，故的中點(diǎn)，故DCDC1. (2021北京高考北京高考)如圖如圖7710(1)，在，在RtABC中，中，C90，BC3，AC6.D，E分別是分別是AC，AB上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，且且DEBC，DE2，將，將ADE沿沿DE折起到折起到A1DE的位的位置，使置，使A1CCD，如圖，如圖(2)(1)求證：求證：A1C平面平面BCDE；(2)假設(shè)假設(shè)M是是A1D的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求CM

14、與平面與平面A1BE所成角的所成角的大?。淮笮?；(3)線段線段BC上能否存在點(diǎn)上能否存在點(diǎn)P，使平面，使平面A1DP與平面與平面A1BE垂直？闡明理由垂直？闡明理由【思緒點(diǎn)撥】【思緒點(diǎn)撥】(1)經(jīng)過(guò)證明經(jīng)過(guò)證明DE平面平面A1CD來(lái)證明來(lái)證明DEA1C.(2)以點(diǎn)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解的法向量，用向量法求解(3)假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)出其坐標(biāo)，然后求出平面存在，設(shè)出其坐標(biāo)，然后求出平面A1DP的的法向量，利用兩個(gè)平面的法向量垂直求解法向量，利用兩個(gè)平面的法向量垂直求解【嘗試解答】【嘗試解答】(1)ACBC，D

15、EBC，DEAC.DEA1D，DECD，又，又A1DCDD，DE平面平面A1DC.DEA1C.又又A1CCD，CDDED，A1C平面平面BCDE.立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種：立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種：(1)根據(jù)標(biāo)題的知條件進(jìn)展綜合分析和察看猜測(cè)，找出點(diǎn)根據(jù)標(biāo)題的知條件進(jìn)展綜合分析和察看猜測(cè)，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)知條件，根假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)知條件，根據(jù)標(biāo)題進(jìn)展求解，假設(shè)能求出參數(shù)的值且符合知限定的范據(jù)標(biāo)題進(jìn)展求解，假設(shè)能求出參數(shù)的值且符合知限定的范圍，那么存

16、在這樣的點(diǎn)或線，否那么不存在圍，那么存在這樣的點(diǎn)或線，否那么不存在如圖如圖7711，在三棱錐，在三棱錐PABC中，中，ABAC，D為為BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在線段落在線段AD上，知上，知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：證明：APBC；(2)在線段在線段AP上能否存在點(diǎn)上能否存在點(diǎn)M，使得二面角，使得二面角AMCB為直二面角？假設(shè)存在，求出為直二面角？假設(shè)存在，求出AM的長(zhǎng)；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡的長(zhǎng)；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡明理由明理由用向量法處理立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)詳細(xì)運(yùn)用向量法處理立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)詳細(xì)運(yùn)用，表達(dá)了向量的工具性，這種方法可

17、把復(fù)雜的推理證明、用，表達(dá)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，表達(dá)了由推理的難度，表達(dá)了由“形轉(zhuǎn)形轉(zhuǎn)“數(shù)的轉(zhuǎn)化思想數(shù)的轉(zhuǎn)化思想利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面、的法向量的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中察看法向時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中察看法向量的方向，從而確定二面角與向量量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)是互補(bǔ)，這是利

18、用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)從近兩年高考試題看，利用空間向量求空間角是每年必從近兩年高考試題看，利用空間向量求空間角是每年必考內(nèi)容，重點(diǎn)調(diào)查向量方法的運(yùn)用，在利用平面的法向量求考內(nèi)容，重點(diǎn)調(diào)查向量方法的運(yùn)用，在利用平面的法向量求二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量的夾角與二面角的平面角相等還是二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量的夾角與二面角的平面角相等還是互補(bǔ)，是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)，解答此類標(biāo)題時(shí)應(yīng)特別留意答互補(bǔ)，是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)，解答此類標(biāo)題時(shí)應(yīng)特別留意答題的規(guī)范化題的規(guī)范化(1)證明：證明：AA1BC；(2)求求AA1的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦值的余弦值【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)取取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為D和和D1，銜接銜接A1D1，DD1，AD.由由BB1C1C為矩形知，為矩形知，DD1B1C1.由于平面由于平面BB1C1C平面平面A1B1C1，所以所以DD1平面平面A1B1C1.又由又由A1B1A1C1知，知，A1D1B1C1.(2)判別法向量的夾角與二面角的大小關(guān)系，普通有兩種判別法向量的夾角與二面角的大小關(guān)系，普通有兩種方法：一是察看法，借助幾何體察看二面角是銳二面角還是方法：一是察看法，借助幾何體察看二面角是銳二面角還是鈍二面角；二是判別法向量的方向，同指向二面