概統(tǒng)第一章34 節(jié)

1、 1.3 幾何概率幾何概率 概率的古典定義是在“有限等可能”的情形下給出的，不適用于試驗(yàn)的可能結(jié)果有無窮多個(gè)的情形。 下面仍以“等可能性”為基礎(chǔ)，把這個(gè)定義作推廣。幾何概型幾何概型 (古典概型的推廣)特點(diǎn)：特點(diǎn)：“無限等可能無限等可能” 引例引例 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率.9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘616010)(AP幾何概率（概率的幾何定義）幾何概率（概率的幾何定義） 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 S（線段、平面區(qū)域空間區(qū)域）, 若樣本點(diǎn)落入 S 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的可能性大小與區(qū)域G 的測度(長度、面積、或體積）成正比, 則樣本點(diǎn)落入G

2、內(nèi)的概率為的測度的測度SGAP)(（其中（其中A表示隨機(jī)事件：表示隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)落入 S 內(nèi)的 區(qū)域 G 中）例例 兩船欲停同一碼頭, 設(shè)兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭. 若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是 1 小時(shí)與 2 小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解解 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 x , 0 x 24 船2 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 y , 0 y 24設(shè)事件 A 表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待 空出碼頭xy2424y = xy = x + 1y = x - 2224SS面積22222321AS( )10.1207AsSP AS240,240),(yxyxS20,

3、 10,),(),(yxxySyxyxA作業(yè)作業(yè) 習(xí)題一：習(xí)題一：13，16，19，20。歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出 1.4 頻率頻率 概率的公理化定義概率的公理化定義 概率的概率的“統(tǒng)計(jì)定義統(tǒng)計(jì)定義”也稱為經(jīng)驗(yàn)觀點(diǎn)也稱為經(jīng)驗(yàn)觀點(diǎn) 或統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)，主要由德國應(yīng)用數(shù)學(xué)家或統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)，主要由德國應(yīng)用數(shù)學(xué)家 馮馮米塞斯在米塞斯在1919年所倡導(dǎo)。年所倡導(dǎo)。 設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次， 頻率頻率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率。頻率。頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)q 1)(0A

4、fn1)(Sfnq 若事件 A, B互斥，則)()()(BfAfBAfnnn（可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件）非負(fù)性非負(fù)性歸一性歸一性可加性可加性穩(wěn)定性穩(wěn)定性某一定數(shù)某一定數(shù))()(limAPAfnnq q 試驗(yàn) 投一枚硬幣觀察正面 H 向上的次數(shù) n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例頻率穩(wěn)定性的實(shí)例 蒲豐( Buffon )投幣 皮爾森( Pearson ) 投幣 頻 率 的 應(yīng)

5、用第五章指出第五章指出:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有事件發(fā)生事件發(fā)生的的概概 率率事件發(fā)生事件發(fā)生的的頻頻 率率根據(jù)如下百年統(tǒng)計(jì)資料可得根據(jù)如下百年統(tǒng)計(jì)資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率世界每年發(fā)生大地震的概率 近百年世界重大地震1905.04.04 克什米爾地區(qū) 8.0 88 萬1906.08.17 智利瓦爾帕萊索港地區(qū) 8.4 2 萬 1920.12.16 中國甘肅 8.6 10 萬1923.09.01 日本關(guān)東地區(qū) 7.9 14.2 萬1935.05.30 巴基斯坦基達(dá)地區(qū) 7.5 5 萬1948.06.28 日本福井地區(qū) 7.3 0.51 萬 時(shí) 間 地 點(diǎn) 級(jí)別死亡“重大”的標(biāo)

6、準(zhǔn) 震級(jí) 7 級(jí)左右 死亡 5000人以上 時(shí) 間 地 點(diǎn) 級(jí)別死亡1970.01.05 中國云南 7.7 1 萬1976.07.28 中國河北省唐山 7.8 24.2 萬 1978.09.16 伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū) 7.9 1.5 萬 1995.01.17 日本阪神工業(yè)區(qū) 7.2 0.6 萬1999.08.17 土耳其伊茲米特市 7.4 1.7 萬2003.12.26 伊朗克爾曼省 6.8 3 萬2004.12.26 印尼蘇門答臘島附近海域 9.1 15 萬2008.05.12 中國四川 汶川 8.0 6.9 萬2010.01.12 海地 7.3 22.26 萬世界每年發(fā)生大地震概率約為世界每年

7、發(fā)生大地震概率約為1515% %概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義如果在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動(dòng), 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂缺點(diǎn)：粗糙 模糊不便使用 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫 哥洛夫(A.H.)于1933年 建立. 柯爾莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德 等

8、國的外籍院士及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 為 20 世紀(jì)最有影響的俄國數(shù)學(xué)家.俄國數(shù)學(xué)家 設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間，對(duì)于E 的每一事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：q 非負(fù)性：0)(,APAq 歸一性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件. 概率的公理化定義概率的公理化定義概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)q 0)(Pq )(1)(APAP1)(APq 有限可加性: 設(shè) nAAA,21兩兩互斥niiniiAPAP11)(q 若BA)()()(APBPABP)()(BPAPq 對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 )(

9、)()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B A) B - ABABq 加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111111nnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 項(xiàng).12 n例例1 1 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2, 兩類問題都能答出的概率為0.1. 求小王解解 事件A , B分別

10、表示“能答出甲/乙類問題”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) 答出甲類而答不出乙類問題的概率； (2) 至少有一類問題能答出的概率； (3) 兩類問題都答不出的概率。(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP例例2 2 設(shè)A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)(BAP最小值在 時(shí)取得 6 . 0)()(A

11、PABP 最小值 最大值)()(BPBAP最大值在 時(shí)取得 2121AAAAA解解 設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的 乘積能被10整除”設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5”A = A1 A2例例3 3 在1,2,3, ,9中可重復(fù)地任取 n ( )個(gè)數(shù),求 n 個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率.2 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAP例例4 4 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有1,2,3,4 的 4 個(gè)盒子中，每盒放一球，求至少

12、有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致的概率.解解 設(shè) A 為所求的事件設(shè) Ai 表示 i 號(hào)球入 i 號(hào)盒， i = 1,2,3,4則41iiAA4 , 3 , 2 , 1,41! 4! 3)(iAPi41,121! 4! 2)(jiAAPji41,241! 4! 1)(kjiAAAPkji241)(4321AAAAP4141)()()(jijiiiAAPAPAP85)()(432141AAAAPAAAPkjikji由廣義加法公式 問問 題題 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 則事件A，B，C 全不發(fā)生的概率為 .通過做此題 你能發(fā)現(xiàn)什么問題？ （此題是1992年考研填空題） )(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.12/76/24/