機械振動演示文稿(三)

1、2-6多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)一引言一引言自由度與廣義坐標 廣義坐標：若系統(tǒng)用某一組獨立座標（參數）能完全確定系統(tǒng)的運動，則這組 座標稱為廣義坐標。 “獨立”指各坐標都能在一定范圍內任意取值，其間不存在函數關系。 “完全”指完全地確定系統(tǒng)在任一時刻的位置或形狀。自由度：完全確定系統(tǒng)運動所需的獨立座標數目。 一般情況下：自由度=廣義坐標數目（除不完全約束系統(tǒng)） 廣義坐標可以是長度，角度或某種其它含義，例比例等。 廣義坐標不是唯一的，各組廣義坐標之間存在確定函數關系。 例例：一雙擺，質量 限制在圖示平面內擺動，可用四個直角坐標 來 描述它的運 動，但這四個直角坐標并不獨立，它們滿足兩個約束條件：2

2、1,mm 2211,yxyx22212212212121LyyxxLyx 2121,yyxx或21,21,2211222112111111sincos,sinsincos,sinLLyLLxLyLx兩個是獨立的。因此，系統(tǒng)有兩個自由度其廣義坐標可選也可選與直角坐標之間存在確定關系：。3-1一般而言，總可以將系統(tǒng)中各質點的直角坐標表示成廣義坐標的函數：NiqqqrNNqqqZzNiqqqYyqqqXxniiniiniinii, 2 , 1,3, 2 , 1,21212121個向量函數為個等式可綜合成以上二多自由度系統(tǒng)的振方程式二多自由度系統(tǒng)的振方程式 確定實際結構動力學模型以及系統(tǒng)質量，剛度，阻

3、尼等參數后，有多種方 法 建立系統(tǒng)運動微分方程。常用：直接法 影響系數法 拉格朗日法。 （一）直接法（一）直接法：用達朗伯原理，牛頓二定律直接對系統(tǒng)中各質點建立方程，步驟：（1） 選描述系統(tǒng)運動的獨立坐標（廣義坐標）。本例選三個質量離開各自平衡位置的位移 為廣義坐標。（2）取分離體，并受力分析。321,xxx3-2 (3)分別對各質量塊用達朗伯原理，牛頓二定律直接建立方程： 2332333331221222332332221111122122111xxkxxctpxmxxkxxcxxkxxctpxmxkxcxxkxxctpxm 整理： tpxkxkxcxcxmtpxkxkkxkxcxccxcx

4、mtpxkxkkxcxccxm33323332333233232123323212221221212212111 寫成矩陣形式： tptptpxxxkkkkkkkkkxxxcccccccccxxxmmm3213213333222213213333222213213210000000000 形式上與單自由度系統(tǒng)運動方程相似。由慣性力，阻尼力，彈性恢復力和激振力四項組成。可推斷任何多自由度系統(tǒng)的運動方程有此形式，只是各矩陣具體內容不同。3-3 tpxKxCxM 因此，當選定坐標后，若直接求得質量，阻尼，剛度矩陣，就可按上面方程形式，寫出系統(tǒng)運動方程。下面介紹影響系數法。 nxxxx21 KNNnn

5、nnnnkkkkkkkkk212222111211例N自由度，位移列陣為：剛度矩陣：（二）影響系數法：（二）影響系數法：（A）剛度矩陣）剛度矩陣：元素的物理函義，由此函義直接求各元素。（1） ：使系統(tǒng)的j坐標產生單位位移，而其它坐標的位移均為0時， 在第i坐標上所需加的作用力的大小，定義為 (2) 反映整個系統(tǒng)剛度（柔度）特性 其中 （剛度影響系數）表示第i坐標與第j坐標之間的剛度相互影響 (3) 由互易原理（材力），求法的定義ijkijk Kijk TjiijKKKkk為對稱矩陣 對上例直接求剛度矩陣上不需加力沒有直接關系與求假定313312221212111312111321,011, 0

6、, 1.mmmkkkkkkkkkkkkxxxa3-4 議論：對此類彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)一般有下述規(guī)律 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的對角元素 為聯結在質量 上所有彈簧剛度（或阻尼系數）之和。 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的非對角元素 為直接聯結質量 之間的彈簧剛度（或阻尼系數）取負值。33233332223222221123222123121,1,:, 0, 1.kkkmmkkkkkmmkkkkkkxxxb上加需在不動需加力一個單位位移對稱性求假定3333333322331133323132131, 0:, 0, 1.kkkmmkkkkkkkkxxxc需加力一個單位位移對稱性求假定 333322221

7、33323123222113121100kkkkkkkkkkkkkkkkkkKiiiickim ijijckjimm 和(結果與直接法相同) 一般而言，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱矩陣。 以系統(tǒng)質心為坐標原點，質量矩陣是對角矩陣。一般情況質量矩陣不一定是對角矩陣3-5 4321moooomoooomoooomM oooooccooccccoocccC333322221 544633633224626421kkookokkkkokkkkkkkkkkkK例例1：用上述方法求剛度，阻尼，質量矩陣：用上述方法求剛度，阻尼，質量矩陣3-611k21k060sin60sin:0060cos60cos:0030

8、2210302111FFkyFFFkx例例2：剛度影響系數法求剛度矩陣：剛度影響系數法求剛度矩陣如圖質量m為質點與三條剛度系數同為k的彈簧相聯互成，并限制在水平面oxy上運動。當它在平衡位置，各彈簧無變形，質點作微幅振動，可視為彈簧方向不變，求系統(tǒng)剛度矩陣。解：選x,y為廣義坐標a.令位移x=1,y=0 在質點上加沿x方向的廣義力 ，沿y方向的廣義力 。以質點為分離體，按平衡條件：; 0,23:260cos1; 1:,21110321321kkkkkFFkFFFF解方程組可用變形計算為彈簧力3-712k22k030cos30cos0sin:0030sin30sin0cos:0030201220

9、3020112FFFkyFFFkxkFFkkkkFFFk2330cos30cos, 0:2330cos1, 0,0302221203211解方程組而無伸長水平彈簧因微小振動 kkkkkkK23002322211211b. 令位移x=0,y=1 在質點上加沿x方向的廣義力 ，沿y方向的廣義力 。以質 點為分離體，按平衡條件：對角矩陣（無耦合項)（B）質量矩陣，阻尼矩陣）質量矩陣，阻尼矩陣與剛度矩陣類似，質量矩陣和阻尼矩分別反映了系統(tǒng)慣性和阻尼特性。質量矩陣：由慣性影響系數 組成。阻尼矩陣：由阻尼影響系數 組成。 其含義與剛度影響系數類似。只需將位移改為加速度和速度（例：坐標 上有單位速度，其它坐

10、標速度為0，在坐標 上所需施加的力）ijmijcjqiq3-8（C）柔度矩陣：）柔度矩陣：工程中常求如圖所示的梁，軸類系統(tǒng)的方程，此類系統(tǒng)剛度矩陣（ ）求法困難，而柔度矩陣（ ）求法容易。ijkijij：柔度影響系數定義：僅在系統(tǒng)第j坐標上，作用單位力，其它坐標上作用力為0時，在第i坐標上所產生的位移大小。如圖：求該系統(tǒng)柔度矩陣的諸元素 ii在處作用力地 ，由材力點和點的撓度（位移） i 首先處作用力 ，由材力點和點的撓度（位移） 11p慣性矩材料彈性模量抗彎剛度IEEIEIlEIl48524321311EIlEIl3485322312 1655248322211211EIl則12P12P3-

11、9 :的關系與 K（D）對于線性系統(tǒng)，力與位移成正比，而且可以應用疊加原理i如圖（a）111111pp有位移點作用下在質點212212pp有位移點作用下在質點ii如圖（b）iii如圖（c）212111112, 1121ppyypp此時有位移質點和分別同時作用質點對于n自由度系統(tǒng)：觀察i坐標位移 時iyjijjijpipjij坐標位移第坐標受靜力為當坐標位移第坐標受靜力為當,1, 1jpnjjijipy1 ypppppynnnnnnn121212222111211或當系統(tǒng)各坐標都同時受到靜力 （j=1,2,3,n）時，第i坐標產生的位移：令i=1. 2. n 則可得系統(tǒng)的位移與作用力的關系：同樣

12、按照剛度影響系數的定義：比較兩式顯然： ykp 11kk或結論：結論：同一系統(tǒng)，選同一坐標系 和 互為逆矩陣 k 3-10（F）作用力方程與位移方程）作用力方程與位移方程 tpxKxCxM 位移為稱位移方程其每項量綱tpxxCxMtpxKxCxM 稱為作用力方程，其每項量綱為“力”方程兩邊乘 得（三）拉格朗日法建立振動運動方程（略）（三）拉格朗日法建立振動運動方程（略）3-11三耦合與坐標變換三耦合與坐標變換多自由度系統(tǒng)的運動方程是二階常系數線性微分方程組，困難在于：a.方程數目多 b.方程之間相互耦合（主要難點）方程耦合 以矯車振動為例經簡化，桿質量m質心c繞軸轉動慣量CJ下面分析可看出，選

13、不同坐標系，所建立的方程式有所不同。（一） 選參考點C： 直線位移， 繞C轉角，為廣義坐標 分析受力： cccccccccJymlyklykTp ,:;,:;,:2211慣性力約束力外力以上力形成平衡力系cyc3-12ccccccplyklykym2211 cccccccTllykllykJ222111 ccccccCTpylklklklklklkkkyJm211222112211222100 y方向，所有力平衡： 以質心C為力矩中心，力和力偶對C點力矩和0 : 合并上兩式： 分析分析：彈性恢復力項把兩方程耦合起來，稱為彈性耦合（剛度矩陣為 非對角矩陣）。AAAATPy,作用力AAAAAAcT

14、PylklklkkkymlJmlmlm2222212111 （二） 選參考點A：廣義坐標 得方程： 分析：分析： 慣性矩陣，剛度矩陣都是非對角矩陣， 因此，方程既有慣性耦合，又有彈性耦合。 選用不同廣義坐標，方程形式不同，方程耦合情況也不同 。由此：方程耦合并不是系統(tǒng)固有性質，只是坐標選用結果。顯顯然然，希望希望找到一組廣義坐標，使方程既無慣性耦合，又無彈性耦合既無慣性耦合，又無彈性耦合，方程組各方程相互獨立。每個方程可象單自由度系統(tǒng)一樣。3-13nixi. 3 . 2 . 1njqj. 3 . 2 . 1 nnnnnnnnnnqaqaqaxqaqaqaxqaqaqax221122221212

15、12121111nixi. 3 . 2 . 1njqj. 3 . 2 . 1nnnnnnnnqqqaaaaaaaaaxxx2121222211121121 qAx A Ax q qAx 下面講述下面講述：一個振動系統(tǒng)，若已知某一組廣義坐標的運動方程，可通過坐標變換 直接得 到其它廣義坐標所表示的運動方程。線性代數中“線性變換”概念：線性變換：如果變量 能用變量 線性表示，即 此式稱為變量 到變量 的線性變換。矩陣形式：簡寫：變換矩陣：線性變換中的系數矩陣 稱為變換矩陣（ 非奇異n階常數方陣）坐標變換：對線性振動系統(tǒng)，當列陣 和 都表示廣義坐標時，則線性變換 就叫做“坐標變換”。3-14 方程方

16、程坐標變換qx qAxqAxqAxtpxkxm ;:坐標變換 TA PqKqMtpAqAkAqAmATTT KM ,將已知方程，通過坐標變換得另一組廣義坐標下的運動方程：代入方程并前乘 得： 有可能是對角矩陣，耦合情況可能得到改變。例：車身振動為例，ccAAyy坐標變換AAyAAAAAAcTPylklklkkkymlJmlmlm2222212111 確定變換矩陣：由幾何關系： CAcCAlyy1ccAAyly10111011l 對角矩陣CcTJmlmlJmlmlAmAM0010110112111 211222112211222112222211101101lklklklklklkkkllklk

17、lkkklK 已知在 下有方程：；（ 是變換矩陣）因此3-15 ccAAAAATTplPTpTplpAP11101小結小結：1.方程耦合不是系統(tǒng)固有性質，只是廣義坐標選用的結果。 2.通過坐標變換，可以改變方程耦合情況。關鍵是如何選擇線性變換矩 陣，使質量矩陣和剛度矩陣同時對角化。會證明這種變換矩陣存在 （主振型所組成的矩陣）。11;:,lPTTPPClPPCAPTCATAACAcAAAAA點處因此上還加上點應是點由但力點還是點由注：力矩結果與前面相同。3-16四、四、 固有頻率和主振型固有頻率和主振型前面已述：1.N自由度系統(tǒng)的振動方程組各方程相互耦合。 2.方程耦合不是系統(tǒng)固有性質，只是廣

18、義坐標選用的結果。 3.坐標變換，可改變方程耦合。 關鍵: 選擇線性變換矩陣，得新廣義坐標，使其描述的方程，相互獨 立,互不耦合。16200002121222211121121212222111211nnnnnnnnnnnnnnxxxkkkkkkkkkxxxmmmmmmmmm 0:,xkxmkkmmkmjiijjiij 簡寫對稱矩陣（一） 自由振動的一般解已知無阻尼n自由度系統(tǒng)自由振動微分方程式設方程解形式為：作自由振動時，各值都按同一頻率，同相位角作簡諧振動：nitAxnitAxiiii . 2 . 1sin. 2 . 1sin2因此3-17上式展開得 的n次代數方程:20212221212

19、nnnnnaaaa因系統(tǒng)是正定的（系統(tǒng)沒有剛體位移），n次代數方程有n個正實根 稱 的n個根為特征值 ,也稱為n自由度系統(tǒng)的各階“固有頻率平方”。一般說：2,22221nnnnnnnnnn1210方程組系數行列式為0 ，n個方程中至少一個方程不獨立。去掉不獨立方程，剩下(n-1)個方程是獨立的，將方程中某一相同的 項（例 項）移到等到式右邊，再相繼代入方程求出的 個特征根到方程組中。如j階 代入方程組得：iAnAnjnj. 2 , 12nj562. 12. 111. 121. 122 . 122.111121 . 1. 22. 211. 221. 222 . 222 . 2121221. 12

20、111. 1211212212111211nnnnjnnnnnnjnnnnjnnnjnnnnjnnnnjnnjnjnnnjnnnnjnnjnjAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmk3-19nnnnnnnnnnnnnnnnnMKKJMKKJMKKJMKJ)()()()()()(1111121211232212122121111nnnnnnnnnnnnnnnMKJKMKJKKKMKJKKKMKJK112111112212223222221111211121)()()()(026200222221121222222222121221121212212111211nn

21、nnnnnnnnnnnnnAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmkAmk矩陣形式： 坐標振幅列陣其中nAAAAAmk21236204620222212122222222212211211221211211nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk將假設解代入方程：觀察方程（2-6-2）是以 為未知數的n元線性齊次代數方程組，解這類方程組的問題，既所謂特征值問題 線性齊次代數方程組有非零解的條件是系數行列式等于0。稱特征方程或頻率方程nAAA,2, 13-18nnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAAAA11332211121121,:,.,0,.,成正比都與求得的假

22、定行列式不等于求解對上式121,.,nAAAnj ;,121jnjnjjnjAAAAnj ;,121jnjnjjAAAA:振動形態(tài)固有頻率系統(tǒng)振動上特征矢量一組特征值數學上njnj所有的 都與 有確定的比例，則這個振幅之間相互比值就確定nA對應某一j 階固有頻率 的n個振幅值：上標（j）表示第j 階固有頻率下的各坐標的振幅值。說明：當系統(tǒng)按第j 階固有頻率 簡諧振動時,各振幅 間有確定的“相對比值”,或者說系統(tǒng)各質點按一定“形態(tài)”進行振動（振動形態(tài)）n個固有頻率分別對應n個振動形態(tài)（特征矢量）n個固有頻率分別對應n個振動形態(tài)（特征矢量） ;21222221221121121nnnnnnnnnn

23、AAAAAAAAAnitAxii, 2 , 1sin當上式回代到前面的 得n組特解，將n組特解相加,得系統(tǒng)自由振動的一般解:3-20,21nn個 nnnnnnAAAAAAAAAnn212221212111個振幅 jnA nnnnAAA21n個不同固有頻率簡諧振動的疊加，其結果不一定是簡諧振動。一般解中，共有n(n+1)個待定系數 因同固有頻率的各振幅之間相對比值已定，只要確定一個（如 ）其它（n-1）個就確定了。因此，只要確定n個振幅常數,如 : jnA nnnnAAA21所以只有2n個待定常數需用2n個初始條件唯一確定： 總之，多自由度系統(tǒng)自由振動一般解形式是n個系統(tǒng)固有頻率簡諧振動的疊加。

24、在特殊情況下會出現“主振動主振動”。nixxxxtiiii, 2 , 1000 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnntAtAtAxtAtAtAxtAtAtAxsinsinsinsinsinsinsinsinsin222111222221112212221111113-21 11111112211111sinsinsintAxtAxtAxnnnnnxxx,211n1(二)主振動在一定條件下，待定系數只有 ，其余全為0，系統(tǒng)一般自由振動解只保留第一項，其它項沒有，即有如下形式： 01iA（2-6-7）系統(tǒng)每一坐標 均按同一圓頻率 ,同一相位角 作諧振。振動過程中，各坐標同時經過平衡位置，同

25、時達到最大偏離值，各坐標在任一瞬間保持固定不變的比值，恒有： 862:sin11121121111122111AAAAxxxtAxAxAxnnnnn即 112111nAAAA 1A上式說明： 完全確定了系統(tǒng)振動形態(tài)（第一階主振型） 1x 保持相對比值不變，那么 在任一瞬間也保持相對比值不變。式（2-6-7）所描述的系統(tǒng)運動稱為系統(tǒng)第一階主振動。3-22 ;,121jnjnjjAAAA TjnjnjjAAAA,121類似：有第二，第三，第n階主振動。各主振動共同點共同點：各坐標值在任一瞬間保持不變比值。 不同點不同點:各自相對比值不同,振頻不同定義：定義：主振型主振型：n自由度振動系統(tǒng)按某一j

26、階固有頻率 作簡諧振動時，各坐標點 的振幅 間具有確定的相對比值，而且在任一瞬時，各坐標位移之間比值始終保持不變，即向量 描繪了系統(tǒng)的振動位移的一種形態(tài)，稱這個向量為第j 階主振型（或第j階主模態(tài)）。nj定義：定義：主振動主振動：N自由度振動系統(tǒng)，在某一特殊條件下,系統(tǒng)各坐標點都以同一j 階固有頻率，按其相應的主振型作簡諧振動，稱為系統(tǒng)的主振動。小結小結：系統(tǒng)作主振動，各坐標的振幅的絕對大小是任意的（由初始條件定）。但各 坐標點間振幅的相對比值是確定的。這是系統(tǒng)的固有特性，稱固有主振型N自由度系統(tǒng) n個固有頻率 nrAAArnrrnr, 2 , 121 nrAAAAAAArnrnrnrrnrrn, 2 , 11:, 1121則主振型常作一定處理：令稱為主振型的“正則化”3-23,2,3241321kkkkkkmmmm 100010001000000321mmmmm 310121013004333322221kkkkkkkkkkkk 02Amk例：例：如圖三自由度系統(tǒng)，已知計