導(dǎo)數(shù)的背景 曲線在某點處的切線、瞬時速度

1、引入引入:一、切線問題：一、切線問題：（1）對于簡單的曲線，如圓和圓錐曲線，它們）對于簡單的曲線，如圓和圓錐曲線，它們的切線是如何定義的？的切線是如何定義的？（2）與曲線只有一個交點的直線是否一定是曲）與曲線只有一個交點的直線是否一定是曲線的切線？線的切線？（3）曲線的切線與直線是否只有一個交點？）曲線的切線與直線是否只有一個交點？二、最值問題：二、最值問題：求函數(shù)求函數(shù)y=x3-2x-1，x-1，1的最大值和最小值。的最大值和最小值。第三章第三章 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)3.1.1曲線的切線曲線的切線一一.曲線的切線曲線的切線y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖，曲線如圖，曲線C是

2、函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，P(x0,y0)是是曲線曲線C上的任意一點，上的任意一點，Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近鄰近一點，一點，PQ為為C的割線，的割線，.tan,: xyyMQxMP則則.就就是是割割線線的的斜斜率率表表明明：xy PM/x軸軸,QM/y軸，軸，為為PQ的傾斜角的傾斜角.PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T請看當(dāng)點請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點P接近時，割線接近時，割線PQ繞著點繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P,即即x0時時,若割線若割線PQ有一個極限位置有一個極限位置

3、PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲稱為曲線在點線在點P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線PQ的的斜率斜率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切線線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)平均變化率的極限函數(shù)平均變化率的極限.注：（注：（1）切線是割線的極限位置，切線的斜率是一個）切線是割線的極限位置，切線的斜率是一個 極限極限 （2）若割線在）若割線在P點有極限

4、位置，則在此點有切線點有極限位置，則在此點有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在,則在此點處無切線則在此點處無切線; （3）曲線的切線）曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點并不一定與曲線只有一個交點,可可以有多個以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個.（3）曲線的切線與曲線是否只有一個交點嗎？）曲線的切線與曲線是否只有一個交點嗎？例例1: 求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線的斜率、切線方程處的切線的斜率、切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx求曲線上一點的切線的斜率一般可以分為三步：求曲線上一點的切線的斜率一般可以分為三步：（1）求）

5、求y；并整理；求xy)2(；求xyx0lim)3(求曲線在某點處的切線方程：先利用切線的斜率，求曲線在某點處的切線方程：先利用切線的斜率，然后利用點斜式求切線方程然后利用點斜式求切線方程.的切線的斜率。處，在點：求曲線例) 11 (12Pxy 練習(xí)練習(xí):如圖如圖,已知曲線已知曲線 , 求求: (1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上上一一點點 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxy

6、yxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是ss(t)，則物，則物 體在體在t到到t+t這段時間內(nèi)的平均速度為這段時間內(nèi)的平均速度為 ttsttsts)()(二、瞬時速度：二、瞬時速度：ttsttststvtt)()(limlim)(00 平均速度反映了物體運動時的快慢程度平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確但要精確地描述非勻速直線運動地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動就要

7、知道物體在每一時刻運動的快慢程度的快慢程度,也既需要通過瞬時速度來反映也既需要通過瞬時速度來反映.物體在時刻物體在時刻t的瞬時速度的瞬時速度，就是物體在，就是物體在t到到t+t這這段時間內(nèi)，當(dāng)段時間內(nèi)，當(dāng)t0時的平均速度的極限；時的平均速度的極限；例例3: 物體作自由落體運動物體作自由落體運動,運動方程為：運動方程為： g=10m/s2 ，位移單位是，位移單位是m，時間單位是，時間單位是s，.求：求：221gts (1) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(

8、s)時的瞬時速度時的瞬時速度.解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當(dāng)當(dāng)_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 即物體在時刻即物體在時刻t0=2(s)的的瞬時速度瞬時速度等于等于20(m/s).當(dāng)時間間隔當(dāng)時間間隔t 逐漸變小時逐漸變小時,平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s) 時的時的瞬時速度瞬時速度v=20

9、(m/s).練習(xí)練習(xí): 某質(zhì)點沿直線運動某質(zhì)點沿直線運動,運動規(guī)律是運動規(guī)律是s=5t2+6，求，求t=1時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度.求瞬時速度一般可以分為三步：求瞬時速度一般可以分為三步：（1）求）求s；并整理；求ts)2(；求tst0lim)3(（1）能從極限的角度理解曲線在點）能從極限的角度理解曲線在點P處切線處切線的定義；的定義；小結(jié)：小結(jié)：能求曲線在點能求曲線在點P處切線的斜率及方程；處切線的斜率及方程；（2）能從極限的角度理解某時刻的瞬時速度）能從極限的角度理解某時刻的瞬時速度能求某時刻的瞬時速度能求某時刻的瞬時速度白榆樹 白榆樹小苗http:/備用備用:已知曲線已知曲線 上一點上一點P(1,2),用斜率的定義求用斜率的定義求 過點過點P的切線的傾斜角和切線方程的切線的傾斜角和切線方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解. 12212422)1 ( 24lim22)1 ( 2)( 24lim22)1 ( 2limlim20220