著名的數(shù)學(xué)公式總結(jié)

1、一些著名的數(shù)學(xué)公式· 塞爾伯格跡公式· 泰勒公式· 乘法公式· 二倍角公式· 全期望公式· 全概率公式· 和差平方· 和平方· 和立方· 外爾特征標(biāo)公式· 婆羅摩笈多公式· 差平方· 差立方· 拉普拉斯展開· 斯托克斯公式· 斯特靈公式· 斯科倫范式· 柯西-阿達馬公式· 柯西積分公式· 格林公式· 格林第一公式· 格林第二公式· 歐拉-笛卡爾公式· 歐拉公

2、式· 海倫公式· 牛頓-寇次公式· 立方和差· 素數(shù)公式· 蔡勒公式· 角平分線長公式· 誘導(dǎo)公式· 默比烏斯反演公式基本乘法公式及恒等式 （因式分解）分配律和平方基本三數(shù)差平方平方差和立方差立方立方和立方差其他公式立方和是數(shù)學(xué)公式的一種，它屬于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數(shù)，加上另一個立方數(shù)，即是它們的總和。公式如下：同時立方和被因式分解后，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。此公式對幾何學(xué)及工程學(xué)等有很大作用。主驗證驗證此公式，可透過因式分解，首先運用環(huán)的原理，設(shè)以

3、下公式：然后代入：透過因式分解，可得：這樣便可驗證：和立方驗證透過和立方可驗證立方和的原理：那即是只要減去及便可得到立方和，可設(shè)：右邊的方程 運用因式分解的方法：這樣便可驗證出：幾何驗證圖象化透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。根據(jù)右圖，設(shè)兩個立方，總和為：把兩個立方體對角貼在一起，根據(jù)虛線，可間接得到：要得到，可使用的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：···把三個部分加在一起，便得：之后，把減去它，便得：  上公式發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)項皆有一個公因子，把它抽出，并得：可透過和平方公式，得到：這樣便可證明反驗證透過也可反驗證立方和。以上計算方

4、法亦可簡化為一個表格：x)這樣便可證明例題講解1. 把因式分解· 把兩個數(shù)項都轉(zhuǎn)為立方：· 運用立方和可得：2. 把因式分解· 把兩個數(shù)項都轉(zhuǎn)為立方：· 運用立方和便可得：· 但這個并非答案，因為答案仍可被因式分解：· 亦可使用另一個方法來減省步驟。首先把公因子抽出：· 直接使用立方和，并得：立方差立方差也可以使用立方和來驗證，例如：把兩個數(shù)項都轉(zhuǎn)為立方數(shù)：運用負正得負，可得：然后運用立方和，可得：這個方法更可驗證到立方差的公式是平方差平方差公式是數(shù)學(xué)公式的一種，它屬于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一個平方

5、數(shù)或正方形，減去另一個平方數(shù)或正方形得來的乘法公式：及的排列并不重要，可隨意排放。主驗證平方差可利用因式分解及分配律來驗證。先設(shè)及。那即是，同時運用了環(huán)的原理。把這公式代入：若上列公式是的話，就得到以下公式：以上運用了，也即是兩方是相等，就得到：· 注：塞爾伯格跡公式在數(shù)學(xué)中，塞爾伯格跡公式是非交換調(diào)和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間  的函數(shù)空間上某類算子的跡數(shù)，其中  是李群而  是其離散子群。塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格函數(shù)。此時的

6、公式相似于解析數(shù)論關(guān)注的“明確公式”：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數(shù)在明確公式里的角色。一般而言，塞爾伯格跡公式聯(lián)系了負常數(shù)曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的周期測地線長度。對于環(huán)面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。定義設(shè)  為緊致、負常曲率曲面，這類曲面可以表為上半平面  對  的某離散子群  的商?？紤]  上的拉普拉斯算子由于  為緊曲面，該算子有離散譜；換言之，下式定義的特征值  至多可數(shù)事實上，更可將其由小至大排列：對應(yīng)的特征函數(shù)&

7、#160;，并滿足以下周期條件： 行變元代換 于是特征值可依  排列。跡公式塞爾伯格跡公式寫作和式中的  取遍所有雙曲共軛類。所取函數(shù)  須滿足下述性質(zhì)：· 在帶狀區(qū)域  上為解析函數(shù)，在此  為某常數(shù)。· 偶性：。· 滿足估計：，在此  為某常數(shù)。函數(shù)  是  的傅里葉變換：。后續(xù)發(fā)展為了計算赫克算子作用于尖點形式上的跡，出現(xiàn)了 Eichler-塞爾伯格跡公式。志村五郎后來采取的方法省

8、去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調(diào)也為非緊黎曼曲面與模曲線的尖點問題提供了純粹的代數(shù)框架。最后， 為緊的情形可藉阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理處理，然而，一旦取  為算術(shù)子群，便不免要處理非緊的情形。在1960年代，塞爾伯格跡公式由蘇聯(lián)的蓋爾芳特學(xué)派、普林斯頓大學(xué)的 、羅伯特·郎蘭茲與日本的洼田富男接手推動。非緊情形的連續(xù)譜是郎蘭茲發(fā)展艾森斯坦級數(shù)理論的動機之一。拉普拉斯算子與赫克算子的跡公式表明了賦值向量環(huán)之妙用。亞瑟-塞爾伯格跡公式適用于一般的半單群（或約化群）。此公式的一側(cè)稱為譜側(cè)，與群的表示相關(guān)；另一側(cè)稱為幾何側(cè)，與函數(shù)之軌道積分相關(guān)。群表示通常帶有重要的

9、數(shù)論信息，而軌道積分則較容易操作。亞瑟-塞爾伯格跡公式是證明郎蘭茲函子性猜想的重要進路之一。泰勒公式在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式得名于英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的特例1。泰勒公式泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數(shù)在某點周圍的情況。比如說，指數(shù)函數(shù)ex

10、60;在x = 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示：稱為指數(shù)函數(shù)在0處的n 階泰勒展開公式。這個公式只對0附近的x 有用，x 離0 越遠，這個公式就越不準(zhǔn)確。實際函數(shù)值和多項式的偏差稱為泰勒公式的余項。對于一般的函數(shù)，泰勒公式的系數(shù)的選擇依賴于函數(shù)在一點的各階導(dǎo)數(shù)值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數(shù)在一點附近的最佳線性近似：，其中 是h 的高階無窮小。也就是說，或。注意到 和 在a 處的零階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)都相同。對足夠光滑的函數(shù)，如果一個多項式在a 處的前n 

11、;次導(dǎo)數(shù)值都與函數(shù)在a 處的前n 次導(dǎo)數(shù)值重合，那么這個多項式應(yīng)該能很好地近似描述函數(shù)在a 附近的情況。以下定理說明這是正確的：定理：設(shè)n 是一個正整數(shù)。如果函數(shù)f 是區(qū)間a, b 上的n 階連續(xù)可微函數(shù)，并且在區(qū)間a, b) 上n+1 次可導(dǎo)，那么對于a, b) 上的任意x，都有：2其中的多項式稱為函數(shù)在a 處的泰勒展開式，剩余的 是泰勒公式的余項，是 的高階無窮小。 的表達形式有若干種，分別以不同的數(shù)學(xué)家命名。帶有皮亞諾型余項的泰勒公式說明了多項式和函數(shù)的接近程

12、度：也就是說，當(dāng)x 無限趨近a 時，余項 將會是 的高階無窮小，或者說多項式和函數(shù)的誤差將遠小于3。這個結(jié)論可以由下面更強的結(jié)論推出。帶有拉格朗日型余項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣：即，其中4。帶有積分型余項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣5：余項估計拉格朗日型余項或積分型余項可以幫助估計泰勒展開式和函數(shù)在一定區(qū)間之內(nèi)的誤差。設(shè)函數(shù)在區(qū)間a  r, a + r上n 次連續(xù)可微并且在區(qū)間(a  r, a + r) 上

13、n + 1 次可導(dǎo)。如果存在正實數(shù)Mn 使得區(qū)間(a  r, a + r) 里的任意x 都有 ，那么：其中。這個上界估計對區(qū)間(a  r, a + r) 里的任意x 都成立，是一個一致估計。如果當(dāng)n 趨向于無窮大時，還有，那么可以推出 ，f 是區(qū)間(a  r, a + r) 上解析函數(shù)。f 在區(qū)間(a 

14、60;r, a + r) 上任一點的值都等于在這一點的泰勒展開式的極限。多元泰勒公式對于多元函數(shù)，也有類似的泰勒公式。設(shè)B(a, r ) 是歐幾里得空間RN 中的開球， 是定義在B(a, r ) 的閉包上的實值函數(shù)，并在每一點都存在所有的n+1 次偏導(dǎo)數(shù)。這時的泰勒公式為：對所有，其中的 是多重指標(biāo)。其中的余項也滿足不等式：對所有滿足 | = n + 1 的 ，的萊布尼茨公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，的萊布尼茨公式說明左邊的展式是一個無窮級數(shù)，被稱為萊布尼茨級數(shù)，這個級數(shù)收斂到&

15、#160; 4。它通常也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級數(shù)用以紀(jì)念萊布尼茨同時代的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符號可記作：證明考慮下面的冪級數(shù)對等式兩邊積分可得到反正切的冪級數(shù)：將x = 1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是  4)。這種推理產(chǎn)生的一個問題是1不在冪級數(shù)的收斂半徑以內(nèi)。因此，需要額外論證當(dāng)x = 1時級數(shù)收斂到tan1(1)。一種方法是利用交替級數(shù)判別法，然后使用阿貝爾定理證明級數(shù)收斂到tan1(1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。初等證明考慮如下分解對于|x| <&

16、#160;1，右側(cè)的分式是余下的幾何級數(shù)的和。然而，上面的方程并沒有包含無窮級數(shù)，并且對任何實數(shù)x成立。上式兩端從0到1積分可得：當(dāng)時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茨級數(shù)。同時，積分項收斂到0： 當(dāng) 這便證明了萊布尼茨公式。乘法公式乘法公式1. 分配律：。2. 和平方：。· 三數(shù)和平方：3. 差平方：。4. 平方差：。5. 和立方：。6. 差立方：。7. 立方和：。8. 立方差：。9. 。10. 。二倍角公式二倍角公式是數(shù)學(xué)三角函數(shù)中常用的一組公式，通過角的三角函數(shù)值的一些變換關(guān)系來表示其二倍角的三角函數(shù)值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍

17、角公式。二倍角公式均可通過和角公式推出。正弦二倍角公式此式就是正弦二倍角公式：余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三組表示形式，三組形式等價：正切二倍角公式此式就是正切二倍角公式：全概率公式假設(shè) Bn : n = 1, 2, 3, . 是一個概率空間的有限或者可數(shù)無限的分割，且每個集合Bn是一個可測集合，則對任意事件A有全概率公式：又因為此處Pr(A | B)是B發(fā)生后A的條件概率，所以全概率公式又可寫作：條件概率的期望值在離散情況下，上述公式等于下面這個公式。但后者在連續(xù)情況下仍然成立：此處N是任意隨機變量。這個公式還可以表達為：&quo

18、t;A的先驗概率等于A的后驗概率的先驗期望值。全期望公式全期望公式，即設(shè)X,Y,Z為隨機變量，g(·)和h(·)為連續(xù)函數(shù)，下列期望和條件期望均存在，則1.三數(shù)和平方三數(shù)和平方，指三個（或可多個）數(shù)目的總和的平方，得來的公式是：驗證驗證方法與兩數(shù)和平方差不多，可透過多項式乘法驗證：透過幾何驗證也同樣，根據(jù)右圖將所有部分加在一起：因式分解因式分解，在數(shù)學(xué)中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過后會得出一堆較原式簡單的多項式的積。兩個平方之和或兩個平方之差（請參見平方差）根據(jù)以上兩條恒等式，如原式符合以上條件，即可運用代用法直接分解。兩個n次方數(shù)之和與差兩

19、個立方數(shù)之和可分解為兩個立方數(shù)之差可分解為兩個n次方數(shù)之差兩個奇數(shù)次方數(shù)之和一次因式檢驗法一個整系數(shù)的一元多項式，假如它有整系數(shù)因式，且p,q互質(zhì)，則以下兩條必成立：（逆敘述并不真）··不過反過來說，即使當(dāng)和都成立時，整系數(shù)多項式也不一定是整系數(shù)多項式的因式另外一個看法是：一個整系數(shù)的次多項式，若是f(x)之因式，且p,q互質(zhì)，則：（逆敘述并不真）··因式定理在代數(shù)，因式定理(factor theorem)是關(guān)于一個多項式的因式和零點的定理。這是一個余式定理的特殊案件。因式定理指出，一個多項式有一個因式當(dāng)且僅當(dāng)。多項式的因式分解因式定理普遍應(yīng)用于找到一個

20、多項式的因式或多項式方程的根的兩類問題。從定理的推論結(jié)果，這些問題基本上是等價的。若多項式已知一個或數(shù)個零點，因式定理也可以移除多項式中已知零點的部份，變成一個階數(shù)較低的多項式，其零點即為原多項式中剩下的零點，以簡化多項式求根的過程。方法如下：1. 先設(shè)法找出多項式的一個零點。2. 利用因式定理確認是多項式的因式。3. 利用長除法計算多項式。4. 中，所有滿足條件的根都是方程式的根。因為的多項式階數(shù)較要小。因此要找出多項式的零點可能會比較簡單。另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,則被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式外爾特征標(biāo)

21、公式外爾特征標(biāo)公式（Weyl's character formula) 描述緊李群不可約表示的特征標(biāo)。其名來自證明者赫爾曼·外爾。定義：群G的表示r的特征標(biāo)為一函數(shù) ，其中Tr 為線性算子之跡。 （由彼得-外爾定理 可知緊李群的任何不可約表示都是有限維的；故跡之定義為線性代數(shù)中之定義。）特征標(biāo) 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外爾特征標(biāo)公式用群G的其他資料來表達 。 本文考慮復(fù)表示，不失一般亦設(shè)其為酉表示，因而“不可約”亦等價于“不可分解”（即非二子表示之直和）。公式緊李群G 之不可約表示之特征標(biāo)符合下式：其中&#

22、183; 為群G 之外爾向量，即各正根之和之半；· W 為 外爾群；· 為不可約表示之 最高權(quán)；· 遍歷G之每一正根。外爾分母公式在 1 維表示的特例中，特征標(biāo)為 1, 而外爾特征標(biāo)公式簡化成 外爾分母公式：若G為特殊么正群，則簡化成范德蒙行列式的等式：。外爾維度公式若只考慮單位元1之跡，則外爾特征標(biāo)公式 特殊化成 外爾維數(shù)公式,其中· V為有限維表示，其最高權(quán)為；· 為外爾向量，· 遍歷所有正根。由于式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。Freu

23、denthal 公式Hans Freudenthal發(fā)現(xiàn)了權(quán)重數(shù)1符合之一遞歸公式。此公式等價于外爾特征標(biāo)公式，而在某些情況下更簡便。式曰：；其中· 為一最高權(quán)，· 為另一權(quán)，· dim V 為權(quán) 之重數(shù)，· 為外爾向量，· 外和中之 歷遍所有正根。外爾-Kac 特征標(biāo)公式外爾特征標(biāo)公式 亦適用于卡茨-穆迪代數(shù)之可積最高權(quán)表示 外爾-Kac 特特征標(biāo)公式。同樣地，分母恒等式亦可推廣至卡茨-穆迪代數(shù)，其在仿射李代數(shù)之特例成為Macdonald 恒等式。其在 A1 仿射李代數(shù)之例成為經(jīng)典的 雅可比三

24、重乘積恒等式：此特征公式可推廣至廣義卡茨-穆迪代數(shù)之可積最高權(quán)表示：其中 S 為一修正項：其中 I歷遍虛簡單根集內(nèi) 所有與最高權(quán) 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數(shù)，而 I為集 I 內(nèi)元素之和。而Monster 李代數(shù)之 分母公式 則為橢圓模函數(shù)2j之積公式：。Peterson 發(fā)現(xiàn)了（廣義）可對稱化3卡茨-穆迪代數(shù)之根重數(shù) mult() 遞歸公式。此公式等價于外爾-卡茨分母公式，但更便于計算：,其中 與 遍歷所有正根，而。婆羅摩笈多公式歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算四邊形的面積。它最常用于計算圓內(nèi)接四邊形面

25、積基本形式婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內(nèi)接四邊形面積計算。若圓內(nèi)接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為：其中p為半周長：證明圓內(nèi)接四邊形的面積 = 的面積 + 的面積但由于是圓內(nèi)接四邊形，因此。故。所以：對和利用余弦定理，我們有：代入（這是由于和是互補角），并整理，得：把這個等式代入面積的公式中，得：它是的形式，因此可以寫成的形式：引入，兩邊開平方，得：證畢。更特殊情況若圓O的圓內(nèi)接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圓C，則其面積為：證明由于四邊形內(nèi)接于圓O，所以：其中p為半周長：

26、又因為四邊形外切圓C，所以：則：同理:， ， 綜上：證畢。一般情況對一般四邊形的面積，擴展的婆羅摩笈多公式用到了四邊形的對角和：其中是四邊形一對角和的一半。（選取另一對角也不會影響答案，因其和的一半是。而，所以。)因為圓內(nèi)接四邊形的對角和為，而，所以項為零，給出公式的基本形式。差分差分，又名差分函數(shù)或差分運算，是數(shù)學(xué)中的一個概念。它將原函數(shù)  映射到 。差分運算，相應(yīng)于微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分的定義差分的定義分為前向差分和逆向差分兩種。前向差分函數(shù)的前向差分通常簡稱為函數(shù)的差分。對于函數(shù)，如果：，則稱為的一階前向差分。在微積分學(xué)

27、中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數(shù)中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當(dāng)是多項式時，前向差分為Delta算子，一種線性算子。前向差分會將多項式階數(shù)降低1。逆向差分對于函數(shù)，如果：則稱為的一階逆向差分。差分的階稱為的階差分，即前向階差分 ，如果根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，有其中，為二項式系數(shù)。特別的，有前向差分有時候也稱作數(shù)列的二項式變換差分的性質(zhì)對比解析函數(shù)中的微分的屬性，差分的性質(zhì)有：· 如果C為常數(shù)，則有· 線性：如果  和  為常數(shù)，則有· 乘法定則：·

28、除法定則：或· 級數(shù)：牛頓數(shù)列牛頓數(shù)列（級數(shù)），也稱作牛頓前向差分方程是一個以數(shù)學(xué)與物理學(xué)家牛頓命名的函數(shù)關(guān)系。具體為：要注意的是，上式對所有的多項式都成立，但只對部分解析函數(shù)成立。其中為二項式系數(shù)，為  的  階下降階乘冪。牛頓數(shù)列與泰勒級數(shù)的相似性是啞微積分的一個典型?？柹ɡ恚–arlson's theorem）指出，如果一個函數(shù)的牛頓數(shù)列存在，則該函數(shù)存在的牛頓數(shù)列是唯一的。然而牛頓數(shù)列并不總存在。牛頓數(shù)列是差分多項式（差分級數(shù)）的特例。差立方差立方是數(shù)學(xué)公式的一種，它屬于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。差立方是指一個

29、數(shù)項，減去另一個數(shù)項后，得出來的差的立方：主驗證差立方可直接計算驗證：以上計算方式便可證明:布巴克爾多項式布巴克爾多項式在數(shù)學(xué)中，布巴克爾 多項式 1有兩種常見定義。第一種是 :有時也會使用另一種定義,可以通過遞歸的方式進行定義。首先，規(guī)定前三 個布巴克爾多項式為：然后運用下面的遞推關(guān)系得到更高階的多項式。布巴克爾 多項式也可以用母函數(shù)表示 :產(chǎn)生了許多整數(shù)序列在On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)2 e PlanetMath.生成解布巴克爾 多項式的通解為 :微分

30、操作代表布巴克爾 多項式亦可記為 :布雷特施奈德公式在幾何學(xué)當(dāng)中, 布雷特施奈德公式 是一條任意 四邊形 的 面積 公式:在公式當(dāng)中, a, b, c, d 均是四邊形的邊長, s 則是半周界,亦即是a+ b+c+ d再除以2, 而  and  則是其中兩個對角。半周界Bretschneider's 公式可運用于任何四邊形,不論是否為圓內(nèi)接四邊形公式是由一位德國的數(shù)學(xué)家 Carl

31、 Anton Bretschneider 所發(fā)現(xiàn)一個四邊形在幾何學(xué)當(dāng)中, 布雷特施奈德公式 是一條任意 四邊形 的 面積 公式:布雷特施奈德公式的證明設(shè)四邊形的面積為 A。由此得到因此由 余弦定理 所指出這亦可改寫為接著在中代入這亦可改寫為剛才半周界的公式因此上式成為得證。弗萊納公式在向量微積分中，弗萊納公式(FrenetSerret 公式)用來描述歐幾里得空間R3中的粒子在連續(xù)可微曲線上的運動。更具體的說，弗萊納公式描述了曲線的切向，法向，副法方向之間的關(guān)系。單位切向量 T，單位法向

32、量 N，單位副法向量 B，被稱作 弗萊納標(biāo)架，他們的具體定義如下：· T 是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。· N 是切向量 T 對弧長參數(shù)的微分單位化得到的向量。· B 是 T 和 N 的外積。弗萊納公式如下：其中d/ds 是對弧長的微分， 為曲線的曲率， 為曲線的撓率。弗萊納公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規(guī)律。弗萊納公式平面曲線上的亮點的切向量和法向量，以及標(biāo)架在運動過程中的旋轉(zhuǎn)。記r(t) 為歐式空間R3中的曲線，表示粒子在

33、時間 t 時刻的位置向量。 弗萊納公式只適用于正則曲線，即速度向量r(t)和加速度向量r(t)不為零的曲線。記 s(t) 為 t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：由于假設(shè)r 0，因此可以將 t 表示為 s 的函數(shù)，因此可將曲線表示為弧長 s 的函數(shù) r(s) = r(t(s)。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數(shù)。對于由弧長參數(shù)定義的正則曲線 r(s)，弗萊納標(biāo)架 (或弗萊納基底)定義如下：· 單位切向量 T：· 主

34、法向量 N：· 副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積：螺旋線上弗萊納標(biāo)架的運動。藍色的箭頭表示切向量，紅色的箭頭表示法向量，黑絲的箭頭表示副法向量。由于  所以 N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。弗萊納公式如下：其中 為曲線的曲率， 為曲線的撓率。弗萊納公式有時也被稱作弗萊納定理，并且可以寫做矩陣的形式：1其中的矩陣是反對

35、稱矩陣。對弧長s求導(dǎo)，可以看成是對切方向的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。拉普拉斯展開在數(shù)學(xué)中，拉普拉斯展開（或稱拉普拉斯公式）是一個關(guān)于行列式的展開式。將一個n×n矩陣B的行列式進行拉普拉斯展開，即是將其表示成關(guān)于矩陣B的某一行（或某一列）的 n 個元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開。由于矩陣B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展開一共有 2n 種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關(guān)于k行的一切子式。它們的每一項和對應(yīng)的代數(shù)余子

36、式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開可以減少對于矩陣B之行列式的計算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推導(dǎo)中。公式設(shè)B = (bij)是一個n × n矩陣。B關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的（i，j）余子式。B的（i，j）代數(shù)余子式：Cij 是指B的（i，j）余子式Mij與(1)i + j的乘積：Cij = (1)i + j Mij拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對于任意i,j  1,

37、 2, .,n：例子考慮以下的矩陣：這個矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計算：也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計算：很容易看到這個結(jié)果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。證明設(shè)B是一個n × n的矩陣，i、j  1, 2, ., n。為了明確起見，將的系數(shù)記為，其中1  s,t  n  1.考慮B的行列式|B|中的每個含有的項，它的形式為：其中的置換   Sn使得(i) = j，而 &

38、#160;Sn-1 是唯一的將除了 i 以外的其他元素都映射到與 相同的像上去的置換。顯然，每個 都對應(yīng)著唯一的 ，每一個 也對應(yīng)著唯一的 。因此我們創(chuàng)建了Sn  1與  Sn : (i) = j之間的一個雙射。 置換 可以經(jīng)過如下方式從 得到：定義 '  Sn 使得對于 1  k  n  1，'(k) = (k) 并且 '(n) = n，于是 sgn ' = sg

39、n 。然后由于兩個輪換分別可以被寫成 n  i 和 n  j 個對換，因此因此映射 是雙射。由此，從而拉普拉斯展開成立。拉普拉斯定理拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，現(xiàn)在稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基礎(chǔ)上，說明了如果將B關(guān)于某k行的每一個子式和對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積加起來，那么得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。斯托克斯公式斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分幾何中，關(guān)于微分形式的積

40、分的一個命題，它一般化了幾個向量微積分的定理。它以斯托克斯爵士命名³上的斯托克斯公式設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，S是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與S的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面S（連同邊界）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內(nèi)，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。這個公式叫做³上的斯托克斯公式或開爾文斯托克斯定理、旋度定理。這和函數(shù)的旋度有關(guān)，用梯度算符可寫成：它在歐氏3維空間上的向量場的旋度的曲

41、面積分和向量場在曲面邊界上的線積分之間建立了聯(lián)系，這是一般的斯托克斯公式（在n=2時）的特例，我們只需用歐氏3維空間上的度量把向量場看作等價的1形式。該定理的第一個已知的書面形式由威廉·湯姆森 (開爾文勛爵)給出，出現(xiàn)在他給斯托克斯的信中。類似的，高斯散度定理也是一般的斯托克斯公式的一個特例，如果我們把向量場看成是等價的n-1形式，可以通過和體積形式的內(nèi)積實現(xiàn)。微積分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理當(dāng)然比其特例更強，雖然后者更直觀而且經(jīng)常被使用它的科學(xué)工作者或工程師認為更方便。另一種形式通過以下公式可以在對坐標(biāo)的曲線積分和對面

42、積的面積積分之間相互轉(zhuǎn)換：流形上的斯托克斯公式令M為一個可定向分段光滑n維流形，令為M上的n1階C1類緊支撐微分形式。如果M表示M的邊界，并以M的方向誘導(dǎo)的方向為邊界的方向，則這里d是的外微分, 只用流形的結(jié)構(gòu)定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高奧公式、³上的斯托克斯公式的推廣；后者實際上是前者的簡單推論。該定理經(jīng)常用于M是嵌入到某個定義了的更大的流形中的子流形的情形。定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當(dāng)形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上

43、的積分相同。這就是同調(diào)群和德拉姆上同調(diào)可以配對的基礎(chǔ)。斯特靈公式斯特靈公式是一條用來取n階乘近似值的數(shù)學(xué)公式。一般來說，當(dāng)n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以斯特靈公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，斯特靈公式的取值已經(jīng)十分準(zhǔn)確。公式為：這就是說，對于足夠大的整數(shù)n，這兩個數(shù)互為近似值。更加精確地：或歷史這個公式是亞伯拉罕·棣莫弗首先發(fā)現(xiàn)的，形式為： 常數(shù) ×斯特靈證明了公式中的常數(shù)為。更加精確的形式是雅克·比內(nèi)發(fā)現(xiàn)的。推導(dǎo)這個公式，以及誤差的估計，可以推導(dǎo)如下。我們不直接估計n!，而是考慮它的自然對數(shù)：這個方程的右面是積分的近似值（利用梯形法則

44、），而它的誤差由歐拉-麥克勞林公式給出：其中Bk是伯努利數(shù)，Rm,n是歐拉-麥克勞林公式中的余項。取極限，可得：我們把這個極限記為y。由于歐拉-麥克勞林公式中的余項Rm,n滿足：其中我們用到了大O符號，與以上的方程結(jié)合，便得出對數(shù)形式的近似公式：兩邊取指數(shù)，并選擇任何正整數(shù)m，我們便得到了一個含有未知數(shù)ey的公式。當(dāng)m=1時，公式為：將上述表達式代入沃利斯乘積公式，并令n趨于無窮，便可以得出ey（）。因此，我們便得出斯特靈公式：這個公式也可以反復(fù)使用分部積分法來得出，首項可以通過最速下降法得到。把以下的和用積分近似代替，可以得出不含的因子的斯特靈公式（這個因子通常在實際應(yīng)用中無關(guān)）：收斂速率和

45、誤差估計y軸表示截斷的斯特靈級數(shù)的相對誤差，x軸表示所使用的項數(shù)。更加精確的近似公式為：其中：斯特靈公式實際上是以下級數(shù)（現(xiàn)在稱為斯特靈級數(shù)）的第一個近似值：當(dāng)時，截斷級數(shù)的誤差等于第一個省略掉的項。這是漸近展開式的一個例子。它不是一個收斂級數(shù)；對于任何特殊值n，級數(shù)的準(zhǔn)確性只在取有限個項時達到最大，如果再取更多的項，則準(zhǔn)確性將變得越來越差。階乘的對數(shù)的漸近展開式也稱為斯特靈級數(shù)：在這種情況下，級數(shù)的誤差總是與第一個省略掉的項同號，且最多同大小。伽瑪函數(shù)的斯特靈公式對于所有正整數(shù)，有：然而，伽瑪函數(shù)與階乘不一樣，它對于所有復(fù)數(shù)都有定義。盡管如此，斯特靈公式仍然適用。如果，那么：反復(fù)使用分部積分

46、法，可得以下漸近展開式：其中Bn是第n個伯努利數(shù)。當(dāng)，其中是正數(shù)時，這個公式對于絕對值足夠大的z是適用的，當(dāng)使用了最初m個項時，誤差項為。對應(yīng)的近似值可以寫為：斯特靈公式的收斂形式欲得出斯特靈公式的一個收斂形式，我們必須計算：一種方法是利用含有上升階乘冪的級數(shù)。如果，那么：其中：從中可以得出斯特靈級數(shù)的一個收斂形式：它在時收斂。適用于計算器的形式以下的近似值或可以通過把斯特靈公式整理，并注意到它的冪級數(shù)與雙曲正弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式的相似性來得出。當(dāng)z的實數(shù)部分大于8時，這個近似值精確到小數(shù)點后8位。2002年，Robert H. Windschitl建議計算器用這個公式來計算伽瑪函數(shù)。Ger

47、g Nemes在2007年提出了一個近似公式，它的精確度與Windschitl的公式相等，但更加簡單：或斯科倫范式一階邏輯的公式是Skolem 范式的，如果它的前束范式只有全稱量詞。一個公式可以被Skolem 化，就是說消除它的存在量詞并生成最初的公式的等價可滿足的公式。Skolem 化是如下(二階的)等價的應(yīng)用Skolem 化的本質(zhì)是對如下形式的公式的觀察它在某個模型中是可滿足的，在這個模型必定對于所有的有某些點 使得為真，并且必定存在某個函數(shù)(選擇函數(shù))使得公式為真。函數(shù) f 叫做 Skolem 函數(shù)。舉例說明: 其中a為常數(shù)在一階邏輯中為

48、何我們需要Skolem范式?首先當(dāng)我們根據(jù)一階邏輯構(gòu)成法則構(gòu)建一個公式，為了測試證明是否該公式存在一個模型（或解釋），也就是說他是否是可滿足的· 所謂可滿足式的公式是指該公式至少擁有一個模型(或稱解釋)，使該公式為真(也就是說使該公式在一定的解釋下有意義)為了能夠測試證明所有公式的滿足性問題，我們就使用一種通過讓公式變形達到公式統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)為目的的方法，來證明公式的滿足性問題 因此我們引入(Clause)句子的概念，也就是說把公式變形成Clause()的形式來判斷公式的可滿足性問題· 為何要把公式統(tǒng)一化？其目的是為了更好地使判斷可滿足性的算法應(yīng)用于任何公式中，因此公式變形成統(tǒng)一

49、的表達標(biāo)準(zhǔn)我們有一個定理: 如果是可滿足的當(dāng)且僅當(dāng)Clause()是可滿足性的由于該定理的存在，確保公式的可滿足性在Clause()中是等價的，所以我們應(yīng)用算法，來使公式變形 在公式轉(zhuǎn)變成Clause()過程中，由于根據(jù)公式構(gòu)成規(guī)則，公式中可能有存在量詞，所以我們使用Skolemisation方法，其目的是消減公式中所有的存在量詞 根據(jù)(Clause)句子的定義，句子中的每個變量必須是以所有量詞限定的約束變量· 我們有一個定理: 前提如果有公式且是(formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式，如果公式是由公式通過Skolemisation方法所得到公式，那么

50、3; 如果 I |= ,那么 I |= · 如果 I |= ,那么存在I的保守擴展J J|= 根據(jù)如上定理我們確保在使用Skolemisation方法后，公式和公式的可滿足性是等價的在應(yīng)用Skolemisation方法之前，公式必須是(formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式，否則可滿足性就有問題比如有公式：=(xp(x)(xp(x)不是(formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式，我們?nèi)绻话炎兂?formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式，當(dāng)我們應(yīng)用Skolemisation方法后(xp(x)(xp(x)就變成p(a)p(b

51、),a,b是常數(shù)，因此p(a)p(b)是可滿足式的，然而當(dāng)我們先把轉(zhuǎn)換成(formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式，于是(xp(x)(xp(x)就變成xp(x)(xp(x),我們應(yīng)用Skolemisation方法以后就變成xp(x)p(a),a為常數(shù)，此時xp(x)p(a)為永假式，所以當(dāng)應(yīng)用Skolemisation方法前，公式必須是(formule normale negative)否定標(biāo)準(zhǔn)式柯西比內(nèi)公式線性代數(shù)中，柯西比內(nèi)公式（CauchyBinet formula）將行列式的可乘性（兩個方塊矩陣的行列式等于兩個行列式的乘積）推廣到非方塊矩陣。假設(shè) A

52、60;是一個 m×n 矩陣，而 B 是一個 n×m 矩陣。如果 S 是 1, ., n  中具有 m 個元素的子集，我們記AS 為 A 中列指標(biāo)位于 S 中的 m×m 子矩陣。類似地，記 BS 為 B 中行指標(biāo)位于 S 中的 m× m 子矩陣?？挛鞅葍?nèi)公式說這里求遍 1, .,&

53、#160;n  中 m 個元素的所有可能子集 S（共有 C(n,m) 個）。如果 m = n，即 A 與 B 是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個容許集合 S，柯西比內(nèi)公式退化為通常行列式的可乘性。如過 m = 1 則有 n 容許集合 S，這個公式退化為點積。如果 m > n，沒有容許集合 S，行列式 det(AB) 是零（參見空和（empty sum）。這個公式對

54、矩陣元素取值于任何交換環(huán)都成立。證明可將 AB 的列寫成系數(shù)來自 B 的 A 的列的線性組合，利用行列式的可乘性，將屬于一個 det(AS) 的項收集起來，并利用行列式的反對稱性。利用行列式的萊布尼茲公式，得出 det(AS) 的系數(shù)是 det(BS)。這個證明沒有利用行列式的可乘性，相反這個證明建立了它。如果 A 是一個實 m×n 矩陣，則 det(A AT) 等于由 A 中行向量在 Rn 中張成的平行多面體 m-維體積的平

55、方?？挛鞅葍?nèi)公式說這等于該平行多面體在所有 m-維坐標(biāo)平面（共有 C(n,m) 個）的正交投影的平行多面體的 m-維體積的平方之總和。m=1 的情形是關(guān)于一條線段的長度，這恰是畢達哥拉斯定理?？挛鞅葍?nèi)公式可直接推廣到兩個矩陣乘積的子式的一個一般公式。該公式在子式一文給出。例如果  與  則柯西-比內(nèi)公式給出行列式：柯西積分公式在數(shù)學(xué)中，柯西積分公式是復(fù)分析的一個核心理論。以著名數(shù)學(xué)家柯西命名。它主要表述了任何一個在閉圓盤上復(fù)可微的方程在圓盤內(nèi)的值完全取決于它在盤邊界上的值。并且圓盤內(nèi)每一點的所有的導(dǎo)數(shù)也可通過柯西積分公式計算。而在實分

56、析中這樣的結(jié)果是完全不可能達到的。定理假設(shè) U 是復(fù)平面C的一個開子集，f : U  C 是一個在閉圓盤D上復(fù)可微的方程，并且閉圓盤 D =  z : | z  z0|  r 是U的子集。 設(shè)C 為D 的邊界。則可以推得每個在D 內(nèi)部的點a:其中的積分為逆時針方向沿著C的積分?？挛靼⑦_馬公式柯西-阿達馬公式(Cauchy-Hadamard Formula)為復(fù)分析（Complex analysis）中求單復(fù)變形式冪級

57、數(shù)收斂半徑的公式，以法國數(shù)學(xué)家奧古斯丁·路易·柯西和雅克·阿達馬的名字命名。公式陳述對于單一復(fù)數(shù)變量“z”的形式冪級數(shù)上式中,則該級數(shù)收斂半徑 R 由下式給出：其中 limsup 定義為其中 sup 為集合的最小上界。格林公式在物理學(xué)與數(shù)學(xué)中， 格林定理連結(jié)了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區(qū)域為D的雙重積分。 格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數(shù)學(xué)家喬治·格林（George Green）命名。設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

58、數(shù)，則有其中L是D的取正向的邊界曲線。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線C的曲線積分與C所包圍的區(qū)域D上的二重積分之間的關(guān)系。另見格林第一公式、格林第二公式。特殊情況的證明以下是特殊情況下定理的一個證明，其中D是一種I型的區(qū)域，C2和C4是豎直的直線。對于II型的區(qū)域D，其中C1和C3是水平的直線。如果我們可以證明以及那么就證明了格林公式是正確的。把右圖中I型的區(qū)域D定義為：其中g(shù)1和g2是區(qū)間a, b內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。計算(1)式中的二重積分：現(xiàn)在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C1、C2、C3和C4的交集。對于C1，使用參數(shù)方程：

59、x = x，y = g1(x)，a  x  b。那么：對于C3，使用參數(shù)方程：x = x，y = g2(x)，a  x  b。那么：沿著C3的積分是負數(shù)，因為它是沿著反方向從b到a。在C2和C4上，x是常數(shù)，因此：所以：(3)和(4)相加，便得到(1)。類似地，也可以得到(2)。高斯散度定理高斯公式，又稱為散度定理、高斯散度定理、高斯奧斯特羅格拉德斯基公式或高奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內(nèi)部的向量

60、場的表現(xiàn)聯(lián)系起來的定理。更加精確地說，高斯公式說明向量場穿過曲面的通量，等于曲面內(nèi)部區(qū)域的散度的三重積分。直觀地，所有源點的和減去所有匯點的和，就是流出一個區(qū)域的流量。高斯公式在工程數(shù)學(xué)中是一個很重要的結(jié)果，特別是靜電學(xué)和流體力學(xué)。定理設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或這里是的整個邊界曲面的外側(cè)，cos 、cos 、cos 是在點(x,y,z)處的法向量的方向余弦這兩個公式叫做高斯公式。用散度表示高斯公式用散度表示為：其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面，而n是向量A在曲面的外側(cè)法向量上的投影。用向量表示令V代表

61、有一間單閉曲面S為邊界的體積，是定義在V中和S上連續(xù)可微的矢量場。如果是外法向矢量面元，則推論· 對于標(biāo)量函數(shù)g和向量場F的積，應(yīng)用高斯公式可得：· 對于兩個向量場的向量積，應(yīng)用高斯公式可得：· 對于標(biāo)量函數(shù)f和非零常向量的積，應(yīng)用高斯公式可得：· 對于向量場F和非零常向量的向量積，應(yīng)用高斯公式可得：二階張量的高斯公式二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內(nèi)容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見并矢張量或張量積）以及相關(guān)的概念和記號。在這里，矢量和矢量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。1. 兩個矢量 &

62、#160;和  并排放在一起所形成的量  被稱為矢量  和  的并矢或并矢張量。要注意，一般來說，。2.  的充分必要條件是  或 。3. 二階張量就是有限個并矢的線性組合。4.  分別線性地依賴于  和 。5. 二階張量  和矢量  的縮并  以及  對  和  都是線性的。6. 特別是，當(dāng)  時，所以，一般說來，。下面舉一個例子：用二階張量及其與矢量的縮并來重新寫  和 。我們還用到二階張量  的轉(zhuǎn)置  （又可以記為 ），定義如下：1.  仍然是一個二階張量，并且線性地依賴于 。2