第十二章 結(jié)構(gòu)力學(xué)極限荷載

1、結(jié)構(gòu)的極限荷載結(jié)構(gòu)的極限荷載1. 極限荷載、強(qiáng)度條件和計(jì)算假定極限荷載、強(qiáng)度條件和計(jì)算假定結(jié)構(gòu)的彈性分析：結(jié)構(gòu)的彈性分析： 假定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的，結(jié)構(gòu)的位移與荷載關(guān)系是線性的。假定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的，結(jié)構(gòu)的位移與荷載關(guān)系是線性的。荷載卸去后，結(jié)構(gòu)會(huì)恢復(fù)到原來(lái)形狀無(wú)任何殘余變形。荷載卸去后，結(jié)構(gòu)會(huì)恢復(fù)到原來(lái)形狀無(wú)任何殘余變形。結(jié)構(gòu)的塑性分析：結(jié)構(gòu)的塑性分析： 基于考慮材料塑性性質(zhì)的結(jié)構(gòu)分析。其任務(wù)是研究結(jié)構(gòu)處于塑基于考慮材料塑性性質(zhì)的結(jié)構(gòu)分析。其任務(wù)是研究結(jié)構(gòu)處于塑性狀態(tài)下的性能，確定結(jié)構(gòu)破壞時(shí)所能承受的荷載性狀態(tài)下的性能，確定結(jié)構(gòu)破壞時(shí)所能承受的荷載-極限荷載。極限荷載。極限荷載：極限荷

2、載： 結(jié)構(gòu)的變形隨荷載的增加而增大。當(dāng)荷載達(dá)到某一臨界值時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形隨荷載的增加而增大。當(dāng)荷載達(dá)到某一臨界值時(shí)，不再增加荷載變形也會(huì)繼續(xù)增大，這時(shí)結(jié)構(gòu)喪失了進(jìn)一步的承載能不再增加荷載變形也會(huì)繼續(xù)增大，這時(shí)結(jié)構(gòu)喪失了進(jìn)一步的承載能力，這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，此時(shí)的荷載是結(jié)構(gòu)所能承受的力，這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，此時(shí)的荷載是結(jié)構(gòu)所能承受的荷載極限，稱為極限荷載，記作荷載極限，稱為極限荷載，記作P Pu u 。 彈性設(shè)計(jì)時(shí)的強(qiáng)度條件：彈性設(shè)計(jì)時(shí)的強(qiáng)度條件：塑性設(shè)計(jì)時(shí)的強(qiáng)度條件：塑性設(shè)計(jì)時(shí)的強(qiáng)度條件：ksmaxkPPPuW計(jì)算假定：計(jì)算假定： 材料為理想彈塑性材料。材料為理想彈塑性材料。ss

3、2. 極限彎矩、塑性鉸和破壞機(jī)構(gòu)極限彎矩、塑性鉸和破壞機(jī)構(gòu)MMhbMMhb1.1.彈性階段彈性階段smaxE-應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系yk-應(yīng)變與曲率關(guān)系應(yīng)變與曲率關(guān)系Eyk-應(yīng)力與曲率關(guān)系應(yīng)力與曲率關(guān)系EIkydAMA-彎矩與曲率關(guān)系彎矩與曲率關(guān)系sssmaxssbhM62-彈性極限彎矩彈性極限彎矩( (屈服彎矩屈服彎矩) )線性關(guān)系線性關(guān)系ssbhM62MMhb2.2.彈塑性階段彈塑性階段中性軸附近處于彈性狀態(tài)中性軸附近處于彈性狀態(tài). .處于彈性的部分稱為彈性核處于彈性的部分稱為彈性核. .)(322kkMMss-彎矩與曲率關(guān)系彎矩與曲率關(guān)系ss非線性關(guān)系非線性關(guān)系ss0y0yssMMkk

4、23或或3.3.塑性流動(dòng)階段塑性流動(dòng)階段sssubhM42-塑性極限彎矩塑性極限彎矩( (簡(jiǎn)稱為極限彎矩簡(jiǎn)稱為極限彎矩) )ssbhM625 . 1suMM極限彎矩與外力無(wú)關(guān)極限彎矩與外力無(wú)關(guān), ,只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān)。只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān)。設(shè)截面上受壓和受拉的面積分別為設(shè)截面上受壓和受拉的面積分別為 和和 ，當(dāng)截面上無(wú)軸力作用時(shí)，當(dāng)截面上無(wú)軸力作用時(shí)1A2A021AAss2/21AAA中性軸亦為等分截面軸。中性軸亦為等分截面軸。)(212211SSaAaAMsssu由此可得極限彎矩的計(jì)算方法由此可得極限彎矩的計(jì)算方法式中式中距離，的形心到等分截面軸

5、的、為、2121AAaa對(duì)該軸的靜矩。、為、2121AASSMMhbssss0y0y3.3.塑性流動(dòng)階段塑性流動(dòng)階段sssubhM42-塑性極限彎矩塑性極限彎矩( (簡(jiǎn)稱為極限彎矩簡(jiǎn)稱為極限彎矩) )5 . 1suMMssbhM62極限彎矩與外力無(wú)關(guān)極限彎矩與外力無(wú)關(guān), ,只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān)。只與材料的物理性質(zhì)和截面幾何形狀、尺寸有關(guān)。設(shè)截面上受壓和受拉的面積分別為設(shè)截面上受壓和受拉的面積分別為 和和 ，當(dāng)截面上無(wú)軸力作用時(shí)，當(dāng)截面上無(wú)軸力作用時(shí)1A2A021AAss2/21AAA中性軸亦為等分截面軸。中性軸亦為等分截面軸。)(212211SSaAaAMsssu由此可得

6、極限彎矩的計(jì)算方法由此可得極限彎矩的計(jì)算方法式中式中距離，的形心到等分截面軸的、為、2121AAaa對(duì)該軸的靜矩。、為、2121AASS例：已知材料的屈服極限例：已知材料的屈服極限 ，求圖示截面的極限彎矩。，求圖示截面的極限彎矩。MPa240smm80mm20100100mm2020mm解解: :2m0036. 0A221m0018. 02/AAAA A1 1形心距下端形心距下端0.045m, A0.045m, A2 2形心距上端形心距上端0.01167m,0.01167m,A A1 1與與A A2 2的形心距為的形心距為0.0633m.0.0633m.)(21SSMsukN.m36.2706

7、33. 02As塑性鉸塑性鉸uk若截面彎矩達(dá)到極限彎矩若截面彎矩達(dá)到極限彎矩, ,這時(shí)的曲率記作這時(shí)的曲率記作 。ssMMkk235 . 1suMM023suusMMkkuk意味著該截面兩側(cè)可以發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)角，形如一個(gè)鉸鏈。意味著該截面兩側(cè)可以發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)角，形如一個(gè)鉸鏈。稱為塑性鉸。稱為塑性鉸。塑性鉸與鉸的差別：塑性鉸與鉸的差別：1.1.塑性鉸可承受極限彎矩塑性鉸可承受極限彎矩; ;2.2.塑性鉸是單向的塑性鉸是單向的; ;3.3.卸載時(shí)消失卸載時(shí)消失; ;4.4.隨荷載分布而出現(xiàn)于不同截面。隨荷載分布而出現(xiàn)于不同截面。破壞機(jī)構(gòu)破壞機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)由于出現(xiàn)塑性鉸而形成的機(jī)構(gòu)稱為破壞機(jī)構(gòu)。結(jié)構(gòu)由于出現(xiàn)塑性

8、鉸而形成的機(jī)構(gòu)稱為破壞機(jī)構(gòu)。破壞機(jī)構(gòu)可以是整體性的，也可能是局部的。破壞機(jī)構(gòu)可以是整體性的，也可能是局部的。3. 靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載 靜定結(jié)構(gòu)無(wú)多余約束，出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。這時(shí)結(jié)構(gòu)上靜定結(jié)構(gòu)無(wú)多余約束，出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。這時(shí)結(jié)構(gòu)上的荷載即為極限荷載。的荷載即為極限荷載。 塑性鉸出現(xiàn)的位置應(yīng)為截面彎矩與極限彎矩之比的絕對(duì)值最大的截面。塑性鉸出現(xiàn)的位置應(yīng)為截面彎矩與極限彎矩之比的絕對(duì)值最大的截面。 求出塑性鉸發(fā)生的截面后，令該截面的彎矩等于極限彎矩，利用平衡求出塑性鉸發(fā)生的截面后，令該截面的彎矩等于極限彎矩，利用平衡條件即可求出極限荷載。條件即可求出極限荷

9、載。例：已知屈服應(yīng)力為例：已知屈服應(yīng)力為 。求極限荷載。求極限荷載。m4,cm/kN5 .232lsP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：極限彎矩為極限彎矩為kM.m646.19uM梁中最大彎矩為梁中最大彎矩為4/maxPlM令令 ，得，得uMMmaxkN646.19646.1944/4lMPuu例：已知屈服應(yīng)力為例：已知屈服應(yīng)力為 。求極限荷載。求極限荷載。m4,cm/kN5 .232lsP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：極限彎矩為極限彎矩為kM.m646.19uM梁中最大彎矩為梁中最大彎矩為4/maxPlM令令 ，得，得uMMmaxkN646.196

10、46.1944/4lMPuu若能判斷出塑性鉸的位置，利用極限狀態(tài)的平衡可直接求出極限荷載。若能判斷出塑性鉸的位置，利用極限狀態(tài)的平衡可直接求出極限荷載。P Pu/2ABuMP PuC 0CM22lPMuu也可列虛功方程也可列虛功方程2022uuMlP本例中，截面上有剪力，剪力本例中，截面上有剪力，剪力會(huì)使極限彎矩值降低，但一般會(huì)使極限彎矩值降低，但一般影響較小，可略去不計(jì)。影響較小，可略去不計(jì)。4. 單跨超靜定梁的極限荷載單跨超靜定梁的極限荷載超靜定梁有多余約束，出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸后仍是幾何不變體系。超靜定梁有多余約束，出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸后仍是幾何不變體系。P PAl/2l/2BCP PABC16/3

11、Pl32/5PluAMPlM16/3A截面先出現(xiàn)塑性鉸，這時(shí)截面先出現(xiàn)塑性鉸，這時(shí)lMPu3/16ABPC4/ lP4/32/5PlPlMC再增加荷載再增加荷載令令uCMM4/32/5PlPlMu將將P P代入，得代入，得4/316325PllMlMuulMPu3/2lMPPPuu/6逐漸加載法（增量法）逐漸加載法（增量法）lMPu3/2lMPPPuu/6 從受力情況，可判斷出塑性鉸發(fā)生的位置應(yīng)為從受力情況，可判斷出塑性鉸發(fā)生的位置應(yīng)為A A、C C。利用極限狀態(tài)的。利用極限狀態(tài)的平衡可直接求出極限荷載。平衡可直接求出極限荷載。2ABuMP PuCuM逐漸加載法（增量法）逐漸加載法（增量法）P

12、 PAl/2l/2BCP PABC16/3Pl32/5PlABPC4/ lP 0AM)2(1uuBMlPlR 0CM242uuBuMlPlRMuuuuMlMMlP6)21(4或列虛功方程或列虛功方程022uuuMMlPuuMlP6極限平衡法極限平衡法 例例: :求圖示等截面梁的極限荷載求圖示等截面梁的極限荷載. .已知梁的極限彎矩為已知梁的極限彎矩為Mu。 0AM221xqxRMuBC 0CM)2(1uuBMllqlR221)2(xqxlMlquuu因?yàn)橐驗(yàn)?是最大彎矩，是最大彎矩，CMAlBq 解解: : 梁中出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸即為破壞機(jī)構(gòu)，根據(jù)彈性梁中出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸即為破壞機(jī)構(gòu)，根據(jù)彈性分析，

13、一個(gè)在分析，一個(gè)在A截面，設(shè)另一個(gè)在截面，設(shè)另一個(gè)在C截面。截面。RBABuMCuMxuq0dxdMC02xqlMlquuu)2(2xllMquu0222llxxlx)21(llx4142. 0) 12(uuMlq266.11 例例: :求圖示變截面梁的極限荷載求圖示變截面梁的極限荷載. .已知已知ABAB段的極限彎矩為段的極限彎矩為2 2Mu,BC段為段為Mu 。這種情況不會(huì)出現(xiàn)。這種情況不會(huì)出現(xiàn)。uAMM3 解解: : 確定塑性鉸的位置：確定塑性鉸的位置：ylA32Al/3BCP Pl/3l/3D若若B B、D D出現(xiàn)塑性鉸，則出現(xiàn)塑性鉸，則B B、D D兩截面的彎矩兩截面的彎矩為為Mu，

14、 若若A出現(xiàn)塑性鉸，再加荷載時(shí)，出現(xiàn)塑性鉸，再加荷載時(shí)，B B截面彎矩截面彎矩減少減少D D截面彎矩增加，故另一塑性鉸出現(xiàn)于截面彎矩增加，故另一塑性鉸出現(xiàn)于D D截面。截面。uMuM3uMABPuM2uMuPACuM2yDACylC3lyCAD2/902DuAuuMMyP029232ylMylMyPuuuuuMlP215列虛功方程列虛功方程 由前面例題可見(jiàn)由前面例題可見(jiàn): :若分析出塑性鉸的位置，由結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)的平衡即若分析出塑性鉸的位置，由結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)的平衡即可求出極限荷載可求出極限荷載。 同時(shí)也可推知超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載與結(jié)構(gòu)的溫度變化、支座移動(dòng)等同時(shí)也可推知超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載與結(jié)構(gòu)

15、的溫度變化、支座移動(dòng)等因素?zé)o關(guān)因素?zé)o關(guān)。5. 比例加載時(shí)判定極限荷載的定理比例加載時(shí)判定極限荷載的定理比例加載比例加載-作用于結(jié)構(gòu)上的所有荷載按同一比例增加，且不出現(xiàn)作用于結(jié)構(gòu)上的所有荷載按同一比例增加，且不出現(xiàn) 卸載的加載方式。卸載的加載方式。1P2P1q2qPP11PP22Pq22Pq11求極限荷載相當(dāng)于求求極限荷載相當(dāng)于求P P的極限值。的極限值。結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：1.1.單向機(jī)構(gòu)條件；單向機(jī)構(gòu)條件； 2.2.內(nèi)力局限條件；內(nèi)力局限條件； 3.3.平衡條件。平衡條件?？善茐暮奢d可破壞荷載-同時(shí)滿足單向機(jī)構(gòu)條件和平衡條件

16、的荷載。同時(shí)滿足單向機(jī)構(gòu)條件和平衡條件的荷載。可接受荷載可接受荷載-同時(shí)滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載。同時(shí)滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載。PP極限荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載。極限荷載既是可破壞荷載又是可接受荷載。1.1.基本定理：可破壞荷載恒不小于可接受荷載?；径ɡ恚嚎善茐暮奢d恒不小于可接受荷載。比例加載時(shí)關(guān)于極限荷載的定理：比例加載時(shí)關(guān)于極限荷載的定理： PP證明：證明： 取任一可破壞荷載取任一可破壞荷載P，給與其相應(yīng)的破壞機(jī)構(gòu)虛位移，列虛功方程，給與其相應(yīng)的破壞機(jī)構(gòu)虛位移，列虛功方程niiuiMP1取任一可接受荷載取任一可接受荷載P，在與上面相同虛位移上列虛功方程，在與上面相

17、同虛位移上列虛功方程niiiMP1uiiMM PP1.1.基本定理：可破壞荷載恒不小于可接受荷載。基本定理：可破壞荷載恒不小于可接受荷載。 PP證明：證明： 取任一可破壞荷載取任一可破壞荷載P，給與其相應(yīng)的破壞機(jī)構(gòu)虛位移，列虛功方程，給與其相應(yīng)的破壞機(jī)構(gòu)虛位移，列虛功方程niiuiMP1取任一可接受荷載取任一可接受荷載P，在與上面相同虛位移上列虛功方程，在與上面相同虛位移上列虛功方程niiiMP1uiiMM PP2.2.唯一性定理：極限荷載是唯一的。唯一性定理：極限荷載是唯一的。證明：證明：設(shè)同一結(jié)構(gòu)有兩個(gè)極限荷載設(shè)同一結(jié)構(gòu)有兩個(gè)極限荷載 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破壞荷載，看成可破

18、壞荷載， 看成可接受荷載。看成可接受荷載。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破壞荷載，看成可破壞荷載， 看成可接受荷載。看成可接受荷載。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP 3.3.上限定理（極小定理）：極限荷載是所有可破壞荷載中最小的。上限定理（極小定理）：極限荷載是所有可破壞荷載中最小的。證明：證明： 由于極限荷載由于極限荷載 是可接受荷載，由基本定理是可接受荷載，由基本定理uP2.2.唯一性定理：極限荷載是唯一的。唯一性定理：極限荷載是唯一的。證明：證明：設(shè)同一結(jié)構(gòu)有兩個(gè)極限荷載設(shè)同一結(jié)構(gòu)有兩個(gè)極限荷載 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破壞荷載，看成可破壞荷載， 看

19、成可接受荷載?？闯煽山邮芎奢d。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破壞荷載，看成可破壞荷載， 看成可接受荷載。看成可接受荷載。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP PPu4.4.下限定理（極大定理）：極限荷載是所有可接受荷載中最大的。下限定理（極大定理）：極限荷載是所有可接受荷載中最大的。證明：證明： 由于極限荷載由于極限荷載 是可破壞荷載，由基本定理是可破壞荷載，由基本定理uP PPu列出所有可能的破壞機(jī)構(gòu)，用平衡條件求出這些破壞機(jī)列出所有可能的破壞機(jī)構(gòu)，用平衡條件求出這些破壞機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的可破壞荷載，其中最小者既是極限荷載。構(gòu)對(duì)應(yīng)的可破壞荷載，其中最小者既是極限荷載。定理的應(yīng)用

20、：定理的應(yīng)用：窮舉法：窮舉法：每次任選一種破壞機(jī)構(gòu)，由平衡條件求出相應(yīng)的可破壞每次任選一種破壞機(jī)構(gòu)，由平衡條件求出相應(yīng)的可破壞荷載，再檢驗(yàn)是否滿足內(nèi)力局限性條件；若滿足，該可荷載，再檢驗(yàn)是否滿足內(nèi)力局限性條件；若滿足，該可破壞荷載既為極限荷載；若不滿足，另選一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)破壞荷載既為極限荷載；若不滿足，另選一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)繼續(xù)運(yùn)算。繼續(xù)運(yùn)算。試算法：試算法：極小定理的應(yīng)用極小定理的應(yīng)用唯一性定理的應(yīng)用唯一性定理的應(yīng)用例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為Mu 。P PAl/3l/3BCP Pl/3D解：解：1.1.用窮舉法求解用窮舉法求解共有三種可能的破壞機(jī)

21、構(gòu)共有三種可能的破壞機(jī)構(gòu)P PAl/3l/3BCP Pl/3D例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為Mu 。解：解：1.1.用窮舉法求解用窮舉法求解共有三種可能的破壞機(jī)構(gòu)：共有三種可能的破壞機(jī)構(gòu)：（1 1）A A、B B出現(xiàn)塑性鉸出現(xiàn)塑性鉸323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP5（2 2）A A、C C出現(xiàn)塑性鉸出現(xiàn)塑性鉸03332uuMMlPlPuMlP4323/2l3/l23/l（3 3）B B、C C出現(xiàn)塑性鉸出現(xiàn)塑性鉸023uuMMlPuMlP9uuMlP4例：求圖示等截面梁的極限荷載。極限彎矩為例：求圖示等截面梁的極限荷載。極

22、限彎矩為Mu 。P PABCP PD解：解：（1 1）選）選A A、B B出現(xiàn)塑性鉸形成的破壞機(jī)構(gòu)出現(xiàn)塑性鉸形成的破壞機(jī)構(gòu)323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP52.2.用試算法求解用試算法求解lMu/5uMuMlMu/53/4uM 由作出的彎矩圖可見(jiàn)，由作出的彎矩圖可見(jiàn)，C C截面不滿足內(nèi)力截面不滿足內(nèi)力局限性條件。局限性條件。（2 2）選）選A A、C C出現(xiàn)塑性鉸形成的破壞機(jī)構(gòu)出現(xiàn)塑性鉸形成的破壞機(jī)構(gòu)由作出的彎矩圖可見(jiàn)，滿足內(nèi)力局限性條件。由作出的彎矩圖可見(jiàn)，滿足內(nèi)力局限性條件。03332uuMMlPlP323/2l3/luMuMlMu/4lMu/43/uMuMlP4uu

23、MlP4 例例: :求圖示等截面梁的極限荷載求圖示等截面梁的極限荷載. .已知梁的極限彎矩為已知梁的極限彎矩為Mu。AlBq 解解: : 用上限定理（極小定理）計(jì)算。用上限定理（極小定理）計(jì)算。lMxlxxlqu2)(202422llxx0dxdqABuMCuMxq021CuAuMMlqABCxxlAB;)11(xxlBAC0)11(2xxlMxMlquu0)11(12xxlMxMlquulxlx)22()22(212min66.11lMqquu6. 連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁的破壞機(jī)構(gòu)連續(xù)梁的破壞機(jī)構(gòu)一跨單獨(dú)破壞一跨單獨(dú)破壞相鄰跨聯(lián)合破壞相鄰跨聯(lián)合破壞不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)在各跨等截面、荷在各跨