振動力學(xué)第8章第3、4、5節(jié)

1、 極限環(huán)或自激振動是一種非線性現(xiàn)象。8.3 自激振動自激振動 極限環(huán)極限環(huán) 工程中有很多自激振動的實(shí)例，如鐘表的擺、干摩擦自振、輸電線舞動、管內(nèi)流體喘振、機(jī)翼的顫振、機(jī)床顫振和車輪制動閘瓦的尖叫聲等。 經(jīng)典的皮帶問題如圖8.3-1(a)所示，皮帶以等速v移動，在適當(dāng)條件下，此質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)可能為動力不穩(wěn)定；圖8.3-1(b)表示棒在穩(wěn)定流場中的可能振動。圖 8.3-1這些例子說明：一個非線性系統(tǒng)在一個常數(shù)激勵作用下，可能產(chǎn)生周期振動。 1. 自激振動自激振動 所謂的自激振動是系統(tǒng)內(nèi)部的非振動的能量轉(zhuǎn)換為振動的激勵而產(chǎn)生的振動。 對于自激振動可以做如下的物理解釋： 存在一個與系統(tǒng)有關(guān)的外部恒定的

2、能源，自激振動靠系統(tǒng)外部的來源補(bǔ)充能量，使運(yùn)動的系統(tǒng)與恒定能源之間產(chǎn)生交變力，這個交變力在運(yùn)動方程中體現(xiàn)為阻尼項(xiàng)。當(dāng)系統(tǒng)振動較小時，方程中的阻尼項(xiàng)成為負(fù)阻尼，使系統(tǒng)周期性地從恒定能源吸收能量而使運(yùn)動增長；當(dāng)運(yùn)動增長到一定程度，方程中的阻尼項(xiàng)成為正阻尼而使運(yùn)動衰減。當(dāng)系統(tǒng)在一個周期內(nèi)損失的能量和吸入的能量相等時，系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)的周期運(yùn)動。這種的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動就稱為自激振動，或簡稱自振。 線性系統(tǒng)不可能產(chǎn)生自激振動，能產(chǎn)生自激振動的系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。前面介紹的范德波方程和瑞利方程所代表的振動都屬于自激振動。 自激振動與保守系統(tǒng)的自由振動不相同。保守系統(tǒng)的自由振動的振幅由初始條件確定，而自激振動的振幅

3、與初始條件無關(guān)，它決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)。 自激振動由于能源恒定而不同于強(qiáng)迫振動。系統(tǒng)依靠自身運(yùn)動狀態(tài)的反饋?zhàn)饔谜{(diào)節(jié)能量輸入，以維持不衰減的持續(xù)振動。也就是說，在自激振動中，外界恒定的能源給予振動系統(tǒng)的交變力是由運(yùn)動本身產(chǎn)生或控制的，運(yùn)動一旦停止，交變力也隨之消失。而在強(qiáng)迫振動中，交變力是由外部能源獨(dú)立產(chǎn)生的，它不依賴于運(yùn)動，即使運(yùn)動消失了，交變力仍可存在。這樣，強(qiáng)迫振動的頻率完全決定于外加激勵頻率，而自激振動的頻率則很接近于系統(tǒng)的固有頻率。 例例8.3-1 分析電鈴(圖8.3-2)的自激振動。 通電后鈴錘在電磁力的作用下產(chǎn)生位移敲擊銅鈴，同時使電路斷開，鈴錘在彈簧恢復(fù)力作用下回到原處，如此往復(fù)

4、循環(huán)以產(chǎn)生持久的自激振動。 解：解：電鈴的鈴錘和彈簧片組成了振動系統(tǒng)，電源為恒定的能源，電磁斷續(xù)器為調(diào)節(jié)器。圖 8.3-2 例例 8.3-2 分析蒸汽機(jī)(圖8.3-3)的自激振動。蒸汽推動活塞，并通過連桿帶動飛輪轉(zhuǎn)動，同時使配汽閥移動以改變進(jìn)汽方向，使蒸汽朝相反的方向推動活塞?；钊谡羝耐鶑?fù)推動下的運(yùn)動帶動飛輪作持久的轉(zhuǎn)動。 解：解：蒸汽機(jī)的活塞、連桿和飛輪組成了振動系統(tǒng)，鍋爐供應(yīng)的蒸汽為恒定能源，配汽閥為調(diào)節(jié)器。圖 8.3-3 2. 自激振動的特征自激振動的特征 (1)振動過程中，存在能量的輸入與耗散，因此自振系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)。 (2)能源恒定，能量的輸入僅受運(yùn)動狀態(tài)，即振動系統(tǒng)的位移和速

5、度的調(diào)節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時間變量，為自治系統(tǒng)。 (3)振動的特征量，如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初始條件無關(guān)。 (4)自治的線性系統(tǒng)只能產(chǎn)生衰減自由振動，無耗散時也只能產(chǎn)生振幅由初始條件確定的等幅自由振動。因此自振系統(tǒng)必為非線性系統(tǒng)。 (5)自激振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值，則自激振動穩(wěn)定(圖8.3-4a)。反之，自激振動不穩(wěn)定(圖8.3-4b)。圖 8.3-4 3. 極限環(huán)極限環(huán) 自激振動是穩(wěn)態(tài)的周期性運(yùn)動，所以它在相平面上的相軌線構(gòu)成一條封閉的軌跡，相平面內(nèi)的封閉相軌跡與實(shí)際系統(tǒng)的周期運(yùn)動相對應(yīng)。保守系統(tǒng)在穩(wěn)

6、定平衡位置附近的等幅自由振動對應(yīng)于相平面內(nèi)圍繞中心奇點(diǎn)的封閉相軌跡族，在密集的封閉相軌跡族中，實(shí)際相軌跡的振幅由初始運(yùn)動狀態(tài)確定。 在封閉曲線周圍布滿了螺線型的相軌跡逐漸地趨近極限環(huán)，它們或者盤向極限環(huán)，或者盤向奇點(diǎn)。 自激振動是一種特殊的周期運(yùn)動，它的振幅和頻率由系統(tǒng)的物理參數(shù)唯一確定，與初始運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。 因此自激振動在相平面內(nèi)的相軌跡是孤立的封閉曲線，龐加萊(Poincare)稱此閉軌跡為極限環(huán)。 反之，若擾動后的相軌跡遠(yuǎn)離極限環(huán)，其中只要有一側(cè)的相軌線是離開極限環(huán)的，則這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的，如圖8.3-5中的M1和M3。 圖 8.3-5 極限環(huán)又有穩(wěn)定的和不穩(wěn)定之分。如果極限環(huán)兩側(cè)

7、的相軌線都趨近于它，既當(dāng)相點(diǎn)由于擾動偏離極限環(huán)后，即沿新的相軌跡運(yùn)動，若擾動后的相軌跡仍漸近地貼近極限環(huán)，則稱極限環(huán)是穩(wěn)定的如圖8.3-5中的M2。 自激振動在各種技術(shù)問題中占有極重要的地位，因此確定極限環(huán)的存在及其穩(wěn)定性就成為非線性自治系統(tǒng)理論中的一個重要問題。從上面的定性分析可知，極限環(huán)的存在是明顯的，但是對于一個給定的系統(tǒng)要想從理論上證實(shí)極限環(huán)的存在并具體地找到該極限環(huán)卻是困難的。在很多情況下，問題的解決還是要借助于圖解法。 不穩(wěn)定的極限環(huán)是實(shí)際系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動，它是用幾何作圖法畫不出來的。穩(wěn)定的極限環(huán)對應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動，即自激振動。 一個具有極限環(huán)系統(tǒng)的經(jīng)典例子是范德波振子。這

8、個例子可以說明極限環(huán)的一些性質(zhì)。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即210 0 xxxx (8.3-1)上式可認(rèn)為是一個具有可變阻尼的振子。確實(shí), 這一項(xiàng)可以看成一個與振幅相關(guān)的阻尼系數(shù)。對于|x|1它是正的。因此當(dāng)運(yùn)動在|x|1時正阻尼有助于減小振幅，所以預(yù)期會有極限環(huán)而且確實(shí)得到了極限環(huán)。12x2122112, 10 xxxxxx (8.3-2)顯然，原點(diǎn)是一個平衡點(diǎn)。為了了解這個平衡點(diǎn)的性質(zhì)，列出下面線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣110a(8.3-3)有根122221 (8.3-5)它導(dǎo)致特征方程012(8.3-4) 令 則方程(8.3-1)可以用兩個一階微分方程來代替12, ,xxxx 當(dāng)2

9、時根1與2都是正實(shí)數(shù)，所以原點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。另一方面，當(dāng)2時根1與2是具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，所以這個原點(diǎn)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。不管怎么樣，原點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而在它鄰域內(nèi)開始的任何運(yùn)動趨向于離開這個鄰域而達(dá)到極限環(huán)。 為得到軌跡的方程，把式(8.3-2)的第二式除以第一式，結(jié)果有2121121ddxxxxx(8.3-6)要求得上式的一個封閉解是不可能的。 軌線可以用某種圖解方法來求得，例如用等傾線法，或者用計算機(jī)摸擬。圖8.3-6給出了對=0.2和=1.0的值用計算機(jī)摸擬求得的極限環(huán)。圖 8.3-6 可見，一個穩(wěn)定的極限環(huán)包圍一個不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而一個不穩(wěn)定極限環(huán)包圍了一個穩(wěn)定平衡點(diǎn)。 注意到，當(dāng)0時則

10、是軌道漸近穩(wěn)定的。q 從圖8.3-6顯然可見極限環(huán)的形狀決定于參數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)0極限環(huán)趨于一個圓。因?yàn)樗熊壽E不論從外面或從里面都趨近于極限環(huán)，所以這極限環(huán)是穩(wěn)定的。 對于0的情況線性化分析會判定不穩(wěn)定，其運(yùn)動要無限增大?？刂普穹笮〉氖欠蔷€性,即 。在這種情形，恰當(dāng)?shù)木€性化必須在極限環(huán)的附近，這樣會得出一個帶有周期性系數(shù)的線性系統(tǒng)。xx 2q 最后，必須指出，對于呈現(xiàn)有極限環(huán)的系統(tǒng)，在其原點(diǎn)周圍用線性化分析是不適當(dāng)?shù)摹?攝動方法是針對所謂弱非線性系統(tǒng)的漸近的解析法，也稱為小參數(shù)法，它是求解非線性振動方程最有效的方法之一，是由龐加萊和李亞普諾夫所擬定、在解決各種問題時廣泛應(yīng)用的方法，其基本做法

11、是把解展開成小參數(shù)的冪級數(shù)，以尋求滿足一定誤差要求的漸近解。8.4 基本的攝動方法基本的攝動方法 求解非線性振動的攝動法中有各種漸近的解析方法，包括基本攝動法和各種奇異攝動法。奇異攝動法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非線性振動的許多特性都可以用攝動漸近解描述出來。 描述物理系統(tǒng)的微分方程，可分為一部分只包含常系數(shù)的線性項(xiàng)，另一部分與前者相比是微小的非線性項(xiàng)(自治的或非自治的)，其微分方程為如下形式t , x , xfxx 20(8.4-1)式中為一個小參數(shù)，函數(shù)f是關(guān)于x和 解析的非線性函數(shù)，也可以與時間t有關(guān)。這樣的系統(tǒng)稱為弱非線性系統(tǒng)，相應(yīng)地方程(8.4-1)稱為弱非線性方程，使系統(tǒng)成為

12、非線性的微小項(xiàng)稱為攝動項(xiàng)。 x 020 xx (8.4-3)如果f中不顯含時間t，則得到弱非線性自治方程 x , xfxx 20 (8.4-2)這是大家所熟知的最簡單的無阻尼單自由度線性振動問題，0為固有頻率。 設(shè)有弱非線性自治系統(tǒng)由微分方程(8.4-2)所描述。當(dāng)=0時，此方程成為 方程(8.4-2)的解除了依賴于時間t還依賴于小參數(shù)，通常方程(8.4-2)沒有精確解，根據(jù)龐加萊展開定理，解x(t,)可以展開為的冪級數(shù)的形式，即 txtxtx, tx2210(8.4-4)式中函數(shù)xi(t)( )為各階漸近解，是時間t的函數(shù)而與無關(guān)。x0(t)是方程(8.4-2)當(dāng)=0時的解，即方程(8.4-

13、3)的解，稱為零次漸近解或母解。,2, 1 ,0i 把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的左端，有2222001200122222000101202xxxxxxxxxxxxxx(8.4-5)0000002222200022,122!f x xf xx xxfff x xxxxxfffxx xxxx xx (8.4-6)把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的右端的 , 因?yàn)?是解析函數(shù)，故可將它在母解 的鄰域展成泰勒級數(shù)，即xxf,xxf,00,xx式中221212,xxxxxx (8.4-7)000011222222000002211 1122,112!2!fff x xf x xxxxx

14、fffffxxxx xxxxxx xx (8.4-8) 是指 在 取值，其余的類同。將式(8.4-7)代入式(8.4-6)，按的冪次整理得到xxxf,xf000 ,xxxx 將式(8.4-5)和式(8.4-8)同時代入式(8.4-2)得到22220001012022000011,xxxxxxfffxxxxxx(8.4-9)方程(8.4-9)必須對的一切值都成立，而且函數(shù)xi(t)( )與無關(guān)，故方程(8.4-9)兩端同次冪的系數(shù)必須相等，這就得到方程組,2, 1i上面的每個方程都是線性方程。第一個方程(8.4-10a)無右端項(xiàng)，可以直接寫出它的解，其余各關(guān)于xi(t)(i=0,1,2,)的方程

15、，其右端所包含的變量與導(dǎo)數(shù)只到xi-1(t)與 為止，因此方程組(8.4-10)可依次求解。1ix 00200 xx (8.4-10a)001201, xxfxx (8.4-10b)10102202xxfxxfxx (8.4-10c) 2012201200000000 xxxxxxxx (8.4-11)可以取各階漸近解的初始條件為式(8.4-12)中各組初始條件可以決定方程(8.4-10)中各階漸近解的積分常數(shù)。 0000 , 00 1,2,00 , 00iixxxixxx (8.4-12) 上述各階漸近解均包含有積分常數(shù)，這些積分常數(shù)的確定，可以由已給定的初始條件x(0)和 定出。把初始條件

16、按式(8.4-4)的形式展開得 0 x 式(8.4-4)所表示的級數(shù)解稱為方程(8.4-2)的形式解。龐加萊定理指出，只要小參數(shù)的模充分的小，級數(shù)就是收斂的。如果截取級數(shù)(8.4-4)的前n項(xiàng)作為n次漸近解，由此引起的截斷誤差與的(n+1)次冪同階。即滿足條件 12210O,nnntxtxtxtxtx(8.4-13)式中符號O(n+1)表示一個量級為n+1的小量，它是截斷誤差。式(8.4-13)所代表的意義是級數(shù)中的每一項(xiàng)只是它前面一項(xiàng)的微小修正。所以，當(dāng)?shù)哪３浞中r，取漸近級數(shù)的開頭幾項(xiàng)來表示解就有很好的近似。 但是對于一個實(shí)際問題，小參數(shù)是有確定的值的，不可能任意地小，所以級數(shù)(8.4-4

17、)只能在自變量t的某個區(qū)間內(nèi)才能一致地滿足式(8.4-13)。也就是說用級數(shù)(8.4-4)表示解只能在自變量的某個區(qū)間內(nèi)才一致有效。 現(xiàn)舉例說明如下。 例例8.4-1 系統(tǒng)有最簡單的非線性彈性時，可近似地化簡成下面的杜芬(Duffing)方程 00 00 x,Ax給定初始條件為用基本攝動法求此問題的解。0320 xxx (8.4-14a)32020 xxx 或(8.4-14b) 解：解：取方程(8.4-14)有如式(8.4-4)的解，由式(8.4-10)得到下列方程組20002231010022220200103xxxxxxxx x 可以把初始條件取成下列形式 0000, 0000, 00 1

18、,2,iixAxxxi并利用三角恒等式ttt0003cos33cos41cos得tAtAxx030200302012013cos41cos43 它的解為tAttAtDtCx03003000013cos321sin83sincos將初始條件代入方程組，得tAx000cos考慮i=1的初始條件，x1為tAttAtAx030030003013cos321sin83cos321將x0和x1代入式(8.4-4)，就得到精確到O()的漸近解ttttAtAx000030003cos321sin83cos321cos從x1式看到，x1中包含有tsin0t項(xiàng)，稱為長期項(xiàng)(或稱永年項(xiàng))。常數(shù)22242202xxx因此x不可能為無窮大。由于長期項(xiàng)的出現(xiàn)，使得漸近解x隨時間t的增加而無限增長，即當(dāng) 時， ，這與事實(shí)相矛盾。實(shí)際上，方程(8.4-14)經(jīng)過一次積分后可得tx 級數(shù)只有當(dāng)t=O(0)時，即在t0)的彈簧，頻率比線性系統(tǒng)提高，反之0，頻率減小。 例例8.