概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章_幾種重要的分布

1、第四章幾種重要的分布第四章幾種重要的分布4.1 二項(xiàng)分布4.2 超幾何分布（了解）4.3 普哇松分布4.4 指數(shù)分布4.5 -分布（不講）4.6 正態(tài)分布4.14.1二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布主要內(nèi)容：（一）隨機(jī)變量（一）隨機(jī)變量的分布律的分布律（二）二項(xiàng)分布的期望和方差（二）二項(xiàng)分布的期望和方差（三）二項(xiàng)分布的最可能值（三）二項(xiàng)分布的最可能值貝努里貝努里(Bernoulli)(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布概型與二項(xiàng)分布1. (0-1)分布分布(p26) 若以若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從服從(01)分布分布(兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布) XPXkpk

2、(1p)1k, (0p1) k0，1或或X1 0kpp1p（一）隨機(jī)變量（一）隨機(jī)變量的分布律的分布律(P79)定義定義.1.1如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量有概率函數(shù)，有概率函數(shù)，2.(p24)定義定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n n次，每次試次，每次試驗(yàn)中，事件驗(yàn)中，事件A A發(fā)生的概率均為發(fā)生的概率均為p p，則稱這，則稱這n n次試驗(yàn)次試驗(yàn)為為n n重貝努里試驗(yàn)重貝努里試驗(yàn). .事件事件A A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k k次的概率為次的概率為(1), (0,1,., ) (1.16)kkn knPkppknC則稱則稱服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作的二項(xiàng)分布。記作B（n,p

3、)kP = q, (0,1,., ) (4.1)kkn knPkpknC其中0P0 0 ，則稱，則稱 服從普哇松服從普哇松(Poisson) (Poisson) 分布。分布。定義定義4.3 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)是的概率函數(shù)是mm,m0,1, 2,. (4.5)m!Pe 利用級(jí)數(shù)利用級(jí)數(shù) 易知易知kk=0=ek!xxkkk=0k=0e=e=ee =1k!k!mm 1m 0m 1( )m;m!(m 1)!Eee由于由于兩邊對(duì)兩邊對(duì) 求導(dǎo)得求導(dǎo)得或或或或m(m)= m,0,1, 2,.m!PPek( )Emm22m 0m 1m()mm!(m 1)!eEemm 1( )(m 1)!eEm

4、m 1(m 1)!em 1m 1m(1)(m 1)!emm 1m(1)(m 1)!e( )D2=普哇松密度函數(shù)圖像普哇松密度函數(shù)圖像普哇松分布函數(shù)圖像普哇松分布函數(shù)圖像普哇松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)普哇松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，常見于所謂稠密性的問題中。的概率分布，常見于所謂稠密性的問題中。如一段時(shí)間內(nèi)，電話用戶對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù)，如一段時(shí)間內(nèi)，電話用戶對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù)，候車的旅客數(shù)，原子放射粒子數(shù)，候車的旅客數(shù)，原子放射粒子數(shù)，織機(jī)上斷頭的次數(shù)，織機(jī)上斷頭的次數(shù)，以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個(gè)數(shù)等等。以及零件鑄造表面上一定大小的面

5、積內(nèi)砂眼的個(gè)數(shù)等等。在二項(xiàng)分布中，在二項(xiàng)分布中，B(n，p)當(dāng)當(dāng)n比較大，比較大，p很小時(shí)，很小時(shí)，用普哇松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式，其中用普哇松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式，其中 np普哇松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表普哇松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表（見附表一（見附表一P254-P257）可查，免于復(fù)雜的計(jì)算。）可查，免于復(fù)雜的計(jì)算。lim!kkkn knnC p qek因?yàn)槠胀鬯善胀鬯啥ɡ肀砻?，定理表明，普哇松分布是二?xiàng)分布的極限分布，普哇松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)當(dāng)n很大，很大，p很小時(shí)，很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)看成是參數(shù) =np的的普哇松分布

6、普哇松分布B(n,p)與與P(=k)的比較的比較 解 因普哇松分布的參數(shù)就是它的期望值E，故 =5查書后附表一，有p5(2)=0.084224 p5(5)=0.175467 P5(20)=0例1 服從普哇松分布，E=5,查表求P(=2)=P(=5)=P(=20)=例2（選講） 一大批產(chǎn)品的廢品率為 p=0.015 求任取一箱（有100個(gè)產(chǎn)品），箱中恰有一個(gè)廢品的概率。解 所取一箱中的廢品個(gè)數(shù) 服從超幾何分布，由于產(chǎn)品數(shù)量N很大，可按二項(xiàng)分布公式算，其中n=100, p=0.015但由于較大而很小，可用普哇松分布公式近似代替二項(xiàng)分布公式計(jì)算。其中 =np=1.5,查表得：199100P( =1)

7、=C0.015 0.9850.335953誤差不超過0.011.5P (1)=0.334695例檢查了100個(gè)零件上的疵點(diǎn)數(shù)，結(jié)果如表4-6: 疵點(diǎn)數(shù) 0123456頻用普哇松分布公式計(jì)算疵點(diǎn)數(shù)的分布，并與實(shí)際檢查結(jié)果比較。解：要用普哇松普哇松(Poisson) 分布公式計(jì)算，首先要求出分布公式計(jì)算，首先要求出1=(14 0+27 1+3 6)=2100頻率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.01204. 4 指數(shù)分布定義4.4 如果隨機(jī)變量的概率密度為0( ) (4.

8、6)00 xexxx其中0，則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布。+-00( )=e=e()=e=10 xxxx dxdxdx它的分布函數(shù)0 0F( )=P()=1 e 0 xxxxx當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí) 易知0 xx（ ）0( )xEx edx0 xxde 00 xxxeedx 1對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b （0a0) 時(shí)間失效的分布函數(shù)失效的分布函數(shù)tF(t)=P(t)=1 e 而產(chǎn)品的可靠度產(chǎn)品的可靠度為:tR(t)=P(t)=1 F(t)=e 例1 某元件壽命服從參數(shù)為(-1 =1000)的指數(shù)分布。3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)后，都沒有損壞的概率是多少？各元件壽命相互獨(dú)立，因此3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)都未損壞

9、的概率為 解 參數(shù)為的指數(shù)分布的分布函數(shù)為F( )=P()=1 e (0)xxxx1000F( )=P()=1 e xxx1P(1000)=1 P(1000)=1 F(1000)=e31 33P(1000) =e =e0.05例例 .電子元件的壽命電子元件的壽命 ( (年）年）服從參數(shù)為服從參數(shù)為3 3的指數(shù)分布的指數(shù)分布(1)(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.51.5年，求它還能使用兩年年，求它還能使用兩年的概率為多少？的概率為多少？解解333622(1) 233=,.xxxpedxedxee

10、+（）2363.531.533xxedxeedx3.5,1.5(2) 3.5|1.51.5ppp330( )00,xexxx例（選講）例（選講）. .某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T T，設(shè)設(shè)00，tt時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)X Xt t服從服從參數(shù)為參數(shù)為 t t的普哇松分布，求的普哇松分布，求T T的概率密度。的概率密度。解當(dāng)t 0時(shí)，當(dāng)t 0時(shí)，=1- 在在t t時(shí)刻之前無汽車過橋時(shí)刻之前無汽車過橋于是( )F tP Tt( )0F t ( )F tP Tt1P Tt 10tP X 1te 0( )( )00tettF ttP10116、17

11、、18、19、214.5 -分布（不講）r-1 -0(r)=e (r0)xxdx微積分里定義的 -函數(shù)復(fù)習(xí)判斷下列函數(shù)是否為-函數(shù):-的性質(zhì):(1) (r1)=r (r)(2) (r)=(r-1)!(3) (1)=11(4) =223-02.5-02-202-0(1) e (2) e (3) e (4) e xxxxxdxxdxxdxxdx= (4)不是-函數(shù)1=(3) 82.5-0(2) e xxdx= (3.5)= (2.5+1)=2.5(1.5+1)=2.5 1.5(0.5+1)=2.5 1.5 0.5(0.5)=2.5 1.5 0.5 =2.5 1.5 0.5 2-20(3) e xx

12、dx2-201=(2 ) e(2 )8xxdx1=(3) 81()=211-201()=2xxe dx1-20 xx e dx2-0Ite dt令 222-00II Ixyedxedy2-02te dtt=x令-0=2xe dx222-00II Ixyedxedy22-00 xyedxdy （）22-r-r220001r r=r2r cos =r s n2ixdedeyd令 22-r2-r01=r =02 244e deI=21()=2I=2yxy定義4.5 如果連續(xù)性隨即變量具有概率密度rr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx其中0，r0，則稱服從-分布，記作(,r)這里的

13、(r)就是微積分里定義的 -函數(shù)，即r-1 -0(r)=e (r0)xxdx-分布在概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程中都有不少應(yīng)用。當(dāng)r=1時(shí)，為指數(shù)分布rr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx當(dāng)r0時(shí)這個(gè)積分式收斂的，利用-函數(shù)的定義可以證明-( )=1x dx還可以計(jì)算出2rrE = D =0( ) 00 xexxx 當(dāng)r為正整數(shù)時(shí)，它是排隊(duì)論中常用到的r階愛而朗分布；rr-1e 0( )= (4.8)(r-1)!0 0 xxxxxrr-1e 0( )= (4.7)(r)0 0 xxxxx 當(dāng)r =n/2(n是正整數(shù)），=1/2時(shí)n2n-12212e 0( )= (4.9)n2

14、0 0 xxxxx就是具有n個(gè)自由度的2分布 簡(jiǎn)記作2 (n) 它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布之一。表示進(jìn)入到所要考慮的統(tǒng)計(jì)問題中自由變量的個(gè)數(shù)自由度:多一個(gè)約束條件,就少一個(gè)自由變量. 定理4.1 如果1,2,n相互獨(dú)立，且i服從參數(shù)為,ri的-分布，則它們的和 1+2+n服從參數(shù)為 r1+r2+rn的分布證明：略-分布具有可加性4.6 正態(tài)分布主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：了解正態(tài)分布的應(yīng)用了解正態(tài)分布的應(yīng)用（一）正態(tài)分布的密度函數(shù)（一）正態(tài)分布的密度函數(shù)（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)（三）一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系（三）一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

15、分布的關(guān)系（四）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)及分布函數(shù)表（四）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)及分布函數(shù)表實(shí)例實(shí)例1 零件的尺寸零件的尺寸在自動(dòng)機(jī)床加工制造零在自動(dòng)機(jī)床加工制造零件的過程中，我們周期地抽取一些樣品，件的過程中，我們周期地抽取一些樣品，測(cè)量它們的尺寸，并記錄在專用的表格上。測(cè)量它們的尺寸，并記錄在專用的表格上。設(shè)共抽取設(shè)共抽取250個(gè)零件，測(cè)得零件尺寸與規(guī)定個(gè)零件，測(cè)得零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差如下表尺寸的偏差如下表正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上論上 研究最多的分布之一，故它在概率研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。別重要

16、的地位。如：如：頻數(shù)頻數(shù)偏差偏差/m偏差適中的零偏差適中的零件較多，偏差件較多，偏差大的零件只是大的零件只是少數(shù)少數(shù)其直方圖如下圖其直方圖如下圖實(shí)例實(shí)例2 年降雨量問題，我們用上海九十九年降雨量問題，我們用上海九十九年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。年降雨量在年降雨量在1100附近的較多，降雨量特多或附近的較多，降雨量特多或者特少的情形只是少數(shù)年份者特少的情形只是少數(shù)年份實(shí)例實(shí)例3 (某大學(xué)大學(xué)生某大學(xué)大學(xué)生)下圖是用某大學(xué)大學(xué)下圖是用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬紅線是擬合的曲線合的曲線具有具有“兩兩頭低，

17、中頭低，中間高，左間高，左右對(duì)稱右對(duì)稱” 除了我們?cè)谇懊娼榻B過的除了我們?cè)谇懊娼榻B過的零件的尺寸零件的尺寸、年降雨量和身高外年降雨量和身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品在正常條件下各種產(chǎn)品的其它質(zhì)量指標(biāo)如纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)的其它質(zhì)量指標(biāo)如纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從這樣一種分聲等等，都服從或近似服從這樣一種分布布正態(tài)分布正態(tài)分布. .（一） 正態(tài)分布的概率密度定義4.6 如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為22()21( ), (4.11)2

18、xxex 其中,為常數(shù)，并且0，則稱服從參數(shù)為,正態(tài)分布，簡(jiǎn)記作N( , 2)利用普哇松積分22-0222xxedxedx可以驗(yàn)證( )1x dx22()2( )2xxEedx222txttedt令2222=22tttedtedt0= 22220=22()22tted2 E22()222()2xxEedx22=2 D = 特別地，當(dāng)參數(shù)=0， =1時(shí)，(x) 可以寫成2201( ) (4.12)2xxe稱它為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，簡(jiǎn)記作N(0,1)其中其中 為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 0 ，則稱，則稱服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)正態(tài)分布分布,記為記為N( , 2)，可表為可表為N( , 2).

19、若隨機(jī)變量隨機(jī)變量22()21( ),2xxex 特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱兩頭低，中間高，左右對(duì)稱”. . (1) 單峰對(duì)稱單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱對(duì)稱；(p93)()max(x) .正態(tài)分布有兩個(gè)特性正態(tài)分布有兩個(gè)特性：1222()21( )2xxe0 f x01x55 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置(2) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦，越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻，。越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布分布22()21( )2xxe分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表

20、示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)表示為密度函數(shù)表示為2201( ), 4.12 2xxex （）21202( )txxPxedtx （二） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度0(x)的性質(zhì)及概率密度函數(shù)表0(x)除具有一般概率密度的性質(zhì)外，還有下列性質(zhì)：（1） 0(x)有各階導(dǎo)數(shù)；（2） 0(-x) = 0(x) ，即 0(x) 的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；（3） 0(x)在( -，0)內(nèi)嚴(yán)格上升，在 ( 0,+) 內(nèi)嚴(yán)格下降，在x=0處達(dá)到最大值：（4） 0(x) 在x= 1處有兩個(gè)拐點(diǎn)； 即x軸是曲線 0(x) 的水平漸近線。0lim( )=0 xx例1 介紹查概率密度函數(shù)表（5）例1 N(0,

21、1) 求0000000(1.81)=(-1)=(0.57)=(0)=(6.4)=(2)=(3.24)=0.077540(1)=0.24200.33910.398900(2)=0.053990.002096定理4.2 如果（三）一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系22N( ,) , N(0,1 ) 其概率密度分別記為分布函數(shù)分別記為 0( )( )xx及0( )( )xx及0-(2) ( )= (4.14)xx01-(1) ( )= (4.13)xx證:22()21(1) ( )2xxe01- ( ) xx21211=2xe01-=x(2) ( )P()xx22(t)2-11=t2xedt- y令

22、2-2-1 2xyedy0- = ()x0- ( )()xx 定理4.3 如果2N(0,1 )則2( - )N( ,) , , 而 稱隨機(jī)變量函數(shù)( - ) 為標(biāo)準(zhǔn)化變換。證： F ( )=P()xx-=P()x =P()x= ()x0-=()x 0=( )x2 N(0,1 )（四） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表 如果N(0,1),則對(duì)大于零的實(shí)數(shù)x,2t-20-1( )=P()=t2xxxed的值可以由附表三直接查到。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：()1( );xx ()1()1( );PxPxx ()( )( );P abba ()2 ( ) 1.Pcc 例2= 0.975P(1.96)=1- P(1.9

23、6)=0.025=P(-1.961.96)=02(1.96)-1=0.9500=(2)(-1)=0.8185500=(2)(1)1P(5.9)N(0,1),P(1.96)P(-1.96)P(1.96)P(-12)求=0.97725+0.841311如果N(0,1)，則00( ) 01 P()= 0.5 = 01-(- ) 0 xxxxxx（）0(2) P()=2( )-1 (0 ()xxx當(dāng)時(shí)）4.150 5 (-5)0 x 當(dāng)時(shí) ，；00(3) P(ab)=(b)(a)05 (5)1x 當(dāng)時(shí) ，；例32N(8 , 0.5 ),P(81)P(10)求及解：228 N(8 , 0.5 ) N(0

24、 , 1 )0.5=0.999 968 33P(81)8=P20.50=2(2) 1=20.97725-1=0.9545P(10)8108=P0.50.50=(4)例42N( ,),P(5)=0.045P(3)=0.618 求及解：0-5P(-5)=()=0.04505=1-()=0.04500-5-5()=(-)05 ()=1-0.0450.955得03P(30.618）查表得：51.730.30.84P10120、23、25、26、27、28若若N（0，1）, （0.5)=0.6915,P1.320時(shí)2()+(-)( )=2xxxx1 12 2，當(dāng)x0時(shí)2221 1 N(0,1) (1)2

25、 2，即2112xex1211221212xxe（六） 二元正態(tài)分布（選講）定義4.7 若二元連續(xù)型隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合概率密度為( , )=x y（4.16）其中1212, 均為常數(shù) 。120,0,1時(shí)，稱（，）服從二元正態(tài)分布22112221122()()122(1)212121-xxyye 1 定理 4.5 二元正態(tài)分布的邊緣概率密度是一元正態(tài)分布。證：設(shè)（，）的聯(lián)合概率密度由（4.16）式給出，的邊緣概率密度記為22t=y令1( )x2121()2112xe+1-( )=( , )xx y dy2211211()12t t2(1)211=t21-xxed2211211()11t22(1

26、)2111t221-xxeed由第三章的知識(shí)我們知道：相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量一定不相關(guān)0但是不相關(guān)的隨機(jī)變量不一定獨(dú)立然而對(duì)于二元正態(tài)分布來說，有定理4.6成立定理4.6 服從二元正態(tài)分布的隨機(jī)變量（, ) 它們獨(dú)立的充分必要條件是與的相關(guān)系數(shù)=0證：必要性充分性22112221122()()122(1)2121 ( , )=21-xxyyx ye 0 ）221212121212xye 2212121122121122xyee12( )( )xy) 與 獨(dú)立0 定義4.8 若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為 稱服從具有n個(gè)自由度的t分布，簡(jiǎn)記為t（n）。n 122n12( )=1 (4.17)nnn

27、2xx定義4.9 若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為稱 服從具有第一個(gè)自由度為 n1 ，第二個(gè)自由度為n2 的F分布，簡(jiǎn)記為 1121nnn12n2211121222nnnn21 0nnnn22( )= (4.18)0 0 xxxxx12F(n ,n )第四章復(fù)習(xí)要求2、熟練掌握幾種重要分布的數(shù)字特征： 期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)1、 熟練掌握幾種重要的分布： 01分布；二項(xiàng)分布；超幾何分布；幾何分布； 普哇松分布；均勻分布；指數(shù)分布； 正態(tài)分布。4、掌握常用分布的數(shù)字特征與分布參數(shù)之間的關(guān)系3、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念 掌握獨(dú)立性的條件與判定方法。EX1 設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，Y

28、U(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨(dú)立，求隨機(jī)變量U=（2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期望EX2 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從分布，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望答答:答答:27( )(23 ) (41)2E UEXY EZ1,.,nXX2( ,)N 11niiXXn11()()niiE XE Xn27or: ( )(82123 )2E UEXZXYZY設(shè)的概率密度為，求 E(2), E(3) ，E(4)。并求2的方差221( )2xxe2222()2xxEedx222xxde 2212xedx1解：分部積分法2332()2xxEedx02442()2xxEedx2322xxde 22232xxedx3使用分部積分法12222()=12xxEedx2422D=E-(E) =224E=1 E=3N(0,1)221( )2xxe設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量N(-1,22),P-2.452.45=?正態(tài)分布表解：=0.723482.45 112.45 1P2.452.45=P2221=P0.7251.725200=(1.725)(-0.725)00=(1.725)1(0.725)=0.9