《信號與系統(tǒng)》連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的S域分析 (1)

1、信號信號 以以傅里葉變換傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法有清楚的為基礎(chǔ)的頻域分析方法有清楚的物理意義物理意義 ，但是，但是 )(d21)(1jtfFeFtft * * 另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進行的無窮積分求解困難。行的無窮積分求解困難。* * 傅里葉變換只能處理符合傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件狄利克雷條件的信號，的信號，對不滿足絕對可積條件的信號分析受到限制；對不滿足絕對可積條件的信號分析受到限制； 為解決上述問題，本章將介紹為解決上述問題，本章將介紹拉普拉斯變換拉普拉斯變換法，法，以擴大信號變換的范圍、簡化逆變換的運算。以擴大信

2、號變換的范圍、簡化逆變換的運算。信號信號第四章第四章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的S S域分析域分析$ 拉普拉斯變換的定義與收斂域拉普拉斯變換的定義與收斂域$ 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)$ 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換$ 連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬 本章首先由本章首先由傅氏傅氏變換引出變換引出拉氏拉氏變換，然后對拉變換，然后對拉氏氏正正變換、拉氏變換、拉氏反反變換及拉氏變換的變換及拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)進行討論。進行討論。 注意與傅氏變換的注意與傅氏變換的對比對比，便于理解與記憶。，便于理解與記憶。 信號信號* * 從傅立葉變換到拉普拉斯變換從傅立葉變換到拉普拉斯變

3、換4.2 拉普拉斯變換的定義與收斂域拉普拉斯變換的定義與收斂域* * 拉普拉斯變換的收斂拉普拉斯變換的收斂* * 一般函數(shù)的拉普拉斯變換一般函數(shù)的拉普拉斯變換信號一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換f (t) = eat u(t) a 0的傅里葉變換？的傅里葉變換？ 不存在！不存在！將將 f(t) 乘以衰減因子乘以衰減因子 t0)()()(dteedteetfetfFtjttjtt0)(dtetsjs令s1若推廣到一般情況推廣到一般情況dtetfdteetfetfFtjtjtt)()()()()()(sFdtetfstjs令X拉氏變換對拉氏變換對起因信號：起因信號：考慮

4、到實際信號都是有考慮到實際信號都是有 jj1 dej21 detstsssFtfLtfttftfLsF逆變換逆變換正變換正變換 sFtf:記記作作 ,0 相應(yīng)的單邊拉氏變換為相應(yīng)的單邊拉氏變換為系統(tǒng)系統(tǒng)采用采用 jj10dej21detstsssFtfLtfttftfLsF 稱為象函數(shù)。稱為象函數(shù)。稱為原函數(shù)，稱為原函數(shù)，sFtf ttfFtdej0 X二拉氏變換的收斂二拉氏變換的收斂 0 0e)(limtftt 收斂域：收斂域：使使F(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域。的區(qū)域稱為收斂域。記為：記為：ROC(region of convergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；實際上就是

5、拉氏變換存在的條件；Oj0收斂坐標收斂坐標收斂軸收斂軸收收斂斂區(qū)區(qū)X說明說明 ；的信號成為指數(shù)階信號的信號成為指數(shù)階信號滿足滿足00e)(lim. 1tftt 0 0elim. 3 tntt ttt 0eelim. 46.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。進行拉氏變換。進行拉氏變換。為非指數(shù)階信號，無法為非指數(shù)階信號，無法，長快，找不到收斂坐標長快，找不到收斂坐標等信號比指數(shù)函數(shù)增等信號比指數(shù)函數(shù)增2e . 5t氏變換一定存在；氏變換一定存在；有界的非周期信號的拉有界的非周期信號的拉. 2X三一些常用函數(shù)的拉氏變換三一些常用函數(shù)的拉氏變

6、換 0de1)(ttuLst1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù) 0deeetLstttssst1e10 0estss 1 全全s域平面收斂域平面收斂 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.單位沖激信號X4tnu(t) 0 detttLst201e11sssst 0detttLstnn 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2 n 3222122ssstLstL 3 n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL 0estnst 0 1dettsnstn 1! nnsntL 1 n所所以以所所以以X4.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯

7、變換的性質(zhì)線性線性 原函數(shù)微分原函數(shù)微分原函數(shù)積分原函數(shù)積分 延時（時域平移）延時（時域平移）s域平移域平移 尺度變換尺度變換初值初值 終值終值卷積卷積 對對s域微分域微分對對s域積分域積分X一線性一線性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211212211sFKsFKtfKtfKLKKsFtfLsFtfL 則則為為常常數(shù)數(shù)，若若 ttttfj jee21)cos()( sstLj1j121cos22ss 已知已知則則 sLt 1e同理同理 22 sinstL 例例1X二原函數(shù)微分二原函數(shù)微分 )0()(d)(d),()( fssFttfLsFtfL則則若若 )0()0()

8、( )0(0d)(d22 fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推廣：推廣：X電感元件的電感元件的s s域模型域模型 )()(),()(sVtvLsItiLLLLL ttiLtvLLd)(d)( )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV)(tiL )(tvLL sILLs 0LLi sVL 電感元件的電感元件的s模型模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)設(shè)X三原函數(shù)的積分三原函數(shù)的積分 ，則，則若若)()(sFtfL sfssFfLt)0()(d)(1 )()( ),()(sVtvLsItiLCCCC 設(shè)設(shè) tcC

9、iCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC)0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCX電容元件的電容元件的s 域模型域模型 tcCiCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCsC1 01Cvs sIC sVC電容元件的電容元件的s模型模型X四延時（時域平移）四延時（時域平移） 0e)()()( )()(00stsFttuttfLsFtfL ，則則若若Xjhjh時移特性例題時移特性例題 22211111ssssssF 。求求已知已知)(,4co

10、s2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF例例2 2 sFttutf求求,1 已知已知例例3 3 tttttfsincos4sinsin24coscos2 sss e112X例例4 4 2020)(cos:sstutL 已知已知 2020)(cose sstutt 所以所以 20200)(sine:stutt 同理同理的的拉拉氏氏變變換換求求tt0cose 五五s域平移域平移)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，則若)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，則若)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，則若X六尺度變換六尺度變換時移和標度變換都有時時移和標度變換都有時

11、: : 0, 0 e1)()( baasFabatubatfLabs若若證明略證明略(同傅氏變換同傅氏變換)(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 則則可以進行拉氏變換，且可以進行拉氏變換，且及及若若七初值定理七初值定理Xjhjh例例6?)0(,12)( fsssF求求 21212 ssssF因因為為12lim)(lim)0( 1ssssFfss所以2112lim12lim sssss 項項中中有有ttf 2 應(yīng)化為真分式：應(yīng)化為真分式：不是真分式不是真分式若若,sFksFsF)()(1)(lim)0()(lim)0(11ssFfksFsfss 項

12、。項。中有中有中有常數(shù)項，說明中有常數(shù)項，說明ttfsF例例5 5?)0(,1)(: fssF求求已已知知1)(lim)(lim)0 (0 ssFtffstX終值存在的條件終值存在的條件: ，則，則的拉氏變換存在，若的拉氏變換存在，若設(shè)設(shè))()(d)(d),(sFtfLttftf )(lim)(lim0ssFtfst 上上無無極極點點。原原點點除除外外軸軸在在右右半半平平面面和和) ( j ssF八終值定理X九卷積 )()()()(2121sFsFtftfL )()(j21)()(2121sFsFtftfL 則則為有始信號，為有始信號，若若)(),()()()()(212211tftfsFtf

13、LsFtfL X十對十對s微分微分 ssFttfLd)(d)( 常用形式：常用形式：取正整數(shù)，則若nssFtftLsFtfLnnnnd)(d) 1()( )()(十一對十一對s積分積分 sssFttfLsFtfLd)()()()(，則則若若信號信號4.4 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換(1)(1)利用像函數(shù)直接求原函數(shù)利用像函數(shù)直接求原函數(shù)(2)(2)部分分式法部分分式法(3)(3)利用留數(shù)定理利用留數(shù)定理圍線積分法圍線積分法(4)(4)數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法利用計算機利用計算機信號信號* * 找找F(s)的極點的極點部分分式法部分分式法 求拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換* * 部分分式展開法

14、部分分式展開法* * 兩種特殊情況兩種特殊情況* * 求拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換拉氏逆變拉氏逆變換的過程換的過程X一找一找F(s)的極點的極點01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi為實數(shù)，為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 , 為有理真分式為有理真分式當當sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零點零點極點極點 0)(0)( sFsA因為因為 的零點的零點稱為稱為的根的根是是sFsAzzzzm,0,321 的極點的極點稱為稱為的根的根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB因為因為X二部分分式展開法二部分分式展開法(m0的信號，所以收斂域在收斂軸的信號，所以收斂域在收斂軸右右邊。對邊。對F(s)分解因式，分解因式，找出極點。收斂域中不應(yīng)有極點，最找出極點。收斂域中不應(yīng)有極點，最右右邊的極點為收斂邊的極點為收斂坐標坐標。 :)(j的的關(guān)關(guān)系系和和FsF nnnsksFF j 則則 ssFFsj0, 0 則則平面的左半平面平面的左半平面收斂軸位于收斂軸位于 不存在不存在則則平面的右半平面平面的右半平面收斂軸位于收斂軸位于Fs, 00 收斂軸位于虛軸收斂軸位于虛軸, 00 X傅氏