高考數(shù)學(xué)圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題(教師版)

1、圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題【高考要求】1熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)，并靈活運用它們解決相關(guān)的問題。2掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其范圍等問題的求解策略；3靈活運用教學(xué)中的一些重要的思想方法（如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化的思想學(xué)）解決問題?！緹狳c透析】與圓錐曲線離心率及其范圍有關(guān)的問題的討論常用以下方法解決：（ 1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（ 2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的離心率（ a,b,c）適合的不等式（組） ，通過解不等式組得出離心率的變化范圍；（ 3）函數(shù)值域求解法：把所討論的

2、離心率作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求離心率的變化范圍。（ 4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；（ 5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點的坐標； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式 0。2.解題時所使用的數(shù)學(xué)思想方法。（ 1）數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關(guān)系不能倒置；

3、二是要會把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出來，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。（ 2）轉(zhuǎn)化的思想方漢。 如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、 求曲線交點問題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化，實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，動點與不動點間的轉(zhuǎn)化。（ 3）函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中的一元二次函數(shù)知識等。（ 4）分類討論的思想方法，如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標準方程的討論等。【題型分析】1. 已知雙曲線 C1x2y21(a0,b 0)F1 、 F2，拋物線 C2 的頂點在原點，:2b2的左、右焦點分別為a準線與雙曲線 C1 的左準線重合，若雙曲線C1

4、 與拋物線 C2 的交點 P 滿足 PF2F1F2 ，則雙曲線 C1 的離心率為（）A 2B3C232 2D3解：由已知可得拋物線的準線為直線xa2， 方程為 y24a2x ；cc圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 1 -頁由雙曲線可知P(c, b2) ， (b2)24a2c ， b22a2b22 ， e212 ， e3 aaca22橢圓x2y21 （ ab0 ）的兩個焦點分別為F 、 F2 ，以 F1、 F2 為邊作正三角形，若橢圓恰a 2b2好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率e為（ B ）31B3 1C 4( 23 )D32A24解析：設(shè)點 P 為橢圓上且平分正三角形一邊的

5、點，如圖，y由平面幾何知識可得| PF2 |:| PF1 |:| F1F2 |1:3 : 2，P所以由橢圓的定義及ec得：aOxF1F22c| F1F2 |23 1 ，故選 Be3 12a | PF1 | | PF2 |變式提醒 ：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率e31 3. （ 09浙江理）過雙曲線x2y 21(a0,b0) 的右頂點 A 作斜率為1的直線，該直線與雙曲線a2b2uuur1 uuur的兩條漸近線的交點分別為B,C 若 AB2BC ，則雙曲線的離心率是()A2B3C5D10【 解 析 】 對 于 A a,0， 則 直 線 方 程 為 xya0 ， 直 線 與

6、兩 漸 近 線 的 交 點 為 B ， C ，a2aba2abuuur2a2b2a2buuurababB, C(,) ， BC (22 ,2b2 ), AB,，a b a ba b a ba baa b a buuuruuur4a2b2 ,因此 2 ABBC,e5 答案： C4. （ 09江西理）過橢圓x2y21(ab0 ) 的左焦點F1 作 x 軸的垂線交橢圓于點P ， F2 為右焦點，a2b2若 F1PF260o ，則橢圓的離心率為 （） A2B3C1D12323【解析】因為P(c, b2) ，再由F1PF260o 有 3b22a, 從而可得 ec3，故選 Baaa35.（08 陜西理）雙

7、曲線x2y21 a 0 b 0F1，F(xiàn)2F130oa2b2（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 2 -頁的直線交雙曲線右支于M 點，若 MF2 垂直于 x 軸，則雙曲線的離心率為（B）A 6B 3C 23D36. （ 08 浙江理） 若雙曲線 x 2y 21 的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2, 則雙曲線的離心率是 （ D）a 2b2（ A）3（B）5（ C） 3（ D） 57. （ 08 全國一理）在 ABC 中， AB BC， cos B7C ，則若以 A，B 為焦點的橢圓經(jīng)過點 318該橢圓的離心率 e88. （ 10 遼寧文） 設(shè)雙

8、曲線的一個焦點為F ，虛軸的一個端點為B , 如果直線 FB 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）（ A） 2（B） 3（C）31（ D）5122解析：選 D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在x 軸上，設(shè)其方程為：x2y 21(a0,b0)，a2b2則一個焦點為 F (c,0), B(0, b)一條漸近線斜率為：b ，直線 FB 的斜率為：b ，b( b )1，acacb2acc 2a2ac0，解得 ec5 1.a29. （ 10 全國卷 1 理）已知 F 是橢圓 C的一個焦點， B 是短軸的一個端點，線段BF 的延長線交uuuruuurC 于點 D，且 BF 2 FD ，則 C 的離心

9、率為 _解析：答案：33如圖，設(shè)橢圓的標準方程為x2 y 21(a 0) 不妨設(shè)B為上頂點，F(xiàn)為右焦點，設(shè)( ，) 由a 2b2bD xyuuuruuurcbxcyBF2FD，得 (2() ， )，c2( x c) ，解得x3c2， ( 3c， b ) 即b2 ybD2y22圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 3 -頁( 3 c)2(b) 2c21c3由D在橢圓上得：221， .a2b223e3aa3b2c2uuruur【解析 1】如圖， | BF |a ,作 DD1y 軸于點 D1, 則由 BF2FD ，得3| OF | BF |2,所以 | DD 1 |3 |OF |3 c

10、, 即 xD3c,由橢圓的第二定義得| DD1 | | BD | 3222| FD |e(a23ca3c2c)2a2又由 | BF |2 | FD | , 得 a 2a 3c2 ,e3a3【解 析 2 】設(shè)橢 圓 方程為 第一標 準形 式 x2y21 ，設(shè) D x2 , y2， F 分 BD 所成的 比為 2 ，a2b2xc02x2x233b 2 y2y23 ycb3 0 bb ，代入1 22 xc2 c; yc1 22229 c21 b21，e34 a24 b2310.（ 07 全國2理）設(shè)F1， F2 分別是雙曲線x2y2的左、右焦點，若雙曲線上存在點A ，使a2b2F1 AF290o 且

11、 AF13 AF2，則雙曲線的離心率為（B） A5B1022C15D52-AF2 = 2 AF2= 2a2c10? AF1?2 ?a? e解 22?102?( AF1 ) + ( AF2 ) = (2 c)11. 橢圓 x2y21(a0,b0) 的左焦點為F，若過點 F 且傾斜角為o 的直線與橢圓交于 A、B 兩點a2b245且 F 分向量 BA 的比為 2/3，橢圓的離心率e 為:。本題通法是設(shè)直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標的比。思路簡單，運算繁瑣。下面介紹兩種簡單解法。解法（一）：設(shè)點 A xA , yA，B xB , yB，由焦半徑公式可得aexA3 ，a

12、exB2圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 4 -頁則 2(a exA )3(aexB ) ，變形 2(a exA aexB ) a exB ，所 以2 (xB)a exB因 為 直 線傾 斜 角 為o， 所 以 有22， 所 以452e?ABABe xA252e5提示：本解法主要運用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標的關(guān)系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運用它解題，可以化繁為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點弦，應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。解法（二）：BE112BF?ABee5AD1 AF1 ? 3 ABee5AC2 AB2ADBEA

13、C1 ? 3AB1 ? 2AB2 ABe 5e 522e512. （ 10 遼寧理） (20)（本小題滿分12 分）x2y21(a b 0) 的左焦點為 F，過點 F 的直線與橢圓C 相交于 A， B 兩點，直線 l設(shè)橢圓 C：b2a2uuuruuur的傾斜角為 60o , AF2FB.橢圓 C 的離心率；解：設(shè) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，由題意知y1 0， y2 0.（）直線 l 的方程為y3( xc) ，其中 ca2 b2.y3( x c),得 (3a2b2 ) y22 3b2 cy3b4聯(lián)立 x2y210a2b2圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 -

14、 5 -頁22uuuruuur解得 y13b (c2a), y23b (c2a)2 y2 .因為 AF2FB ，所以 y13a2b23a2b2即3b2 (c 2a)2 ?3b2 (c2a)得離心率3a2b23a2b2c2. 6 分e3a13. A 是橢圓長軸的一個端點，O 是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使 OPA=2,則橢圓離心率的范圍是_.x2y 2解析：設(shè)橢圓方程為a2b2 =1( a b 0),以 OA 為直徑的圓： x2ax+y2=0, 兩式聯(lián)立消 y得 a 2b2x2 ax+b2=0.即 e2x2 ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為 a,由韋達定理 x2=a a,0a 2e

15、2x2 a，即 0 a a a2 e 1.e22答案：2 e 1214. 在橢圓x2y21(ab0)M， F1 , F2 是橢圓的兩個焦點，若MF 1MF222b2上有一點2b ，a橢圓的離心率的取值范圍是;解析 : 由橢圓的定義，可得MF 1MF22a 又 MF 1MF2 2b2，所以 MF 1 , MF2是方程 x22ax2b20的兩根，由(2a) 242b20 ， 可得 a22b2 ，即 a22(c2a2 )所以 ec2，所以橢圓離心率的取值范圍是2 ,1)a2215. （ 08湖南）若雙曲線x2y21（ a0,b0）上橫坐標為3a 的點到右焦點的距離大于它到左準線的a2b22距離，則雙

16、曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)解析由題意可知B.(2,+ )C.(1,5)D. (5,+ )( 3 a a2 )e ( 3 aa2 ) 即 3 e 131 解得 e2 故選 B.2c2c22ex2y21(a b 0) 的焦點為F1 ， F2 ，兩條準線與x 軸的交點分別為M ，N ，16.（ 07 北京）橢圓b2a2圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 6 -頁若 MNF1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）1，2 1，2，(0(01)21)222解析 由題意得 2a222c e2故選 D.c217.（ 07 湖南）設(shè) F1， F2分別是橢圓x2y21（ a b0 ）的左、右

17、焦點，若在其右準線上存在 P,a2b2使線段 PF1 的中垂線過點 F2 ，則橢圓離心率的取值范圍是（）A (0，2B ，3C2，D.3，(021)1)233分析 通過題設(shè)條件可得PF22c ，求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，如何建立？PF1 的中垂線過點 F2 ， PF22c ，又點 P 在右準線上，a2解析：線段PF2cca2c33e1 ，故選 D.即 2cc 33ca點評 建立不等關(guān)系是解決問題的難點，而借助平面幾何知識相對來說比較簡便.x2y211 、 2, 若 P 為其上一點， 且|1|=2|2 |,18. （ 08 福建理）雙曲線a2b2（a 0,b 0）的兩個焦點為 FFPFP

18、F則雙曲線離心率的取值范圍為（B）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,分析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點與兩焦點之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義 .如何找不等關(guān)系呢？利用第二定義及焦半徑判斷x0 3 a解析： |PF1|=2|PF 2 |, |PF 1|PF2|=|PF 2|= 2a ，|PF 2| ca 即 2a c a 3a c所以雙曲線離心率的取值范圍為1e 3，故選 B.解 2如圖 2 所示，設(shè) PF2m ，F(xiàn)1 PF2(0) ，2cm2(2 m)24m2 cos54cos .em2a當點 P 在右頂點處有. 1cos1， e1,3 .圓錐曲線的相關(guān)離

19、心率問題共 12 頁本頁為第 - 7 -頁選 B.小結(jié)本題通過設(shè)角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數(shù)的形式表示出來，通過求角的余弦值的范圍，從而求得離心率的范圍.點評：本題建立不等關(guān)系是難點，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點到其對應(yīng)焦點的距離不小于 c a ）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.uuuuruuuur19. （08江西理）已知 F1 、 F2 是橢圓的兩個焦點，滿足MF1MF20 的點 M 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（C）A (0,1)B12D 2(0, C (0,),1)222解據(jù) 題 意 可 知 ， F1 M F2 是 直 角 ， 則 垂 足 M 的

20、 軌 跡 是 以 焦 距 為 直 徑 的 圓 . 所 以c bc2b2a2c2e21. 又 e(0,1) ，所以 e (0,2) . 選 C.22小結(jié)本題是最常見的求離心率范圍的問題，其方法就是根據(jù)已知條件，直接列出關(guān)于a，b， c 間的不等量關(guān)系，然后利用， b， c 間的平方關(guān)系化為關(guān)于， c 的齊次不等式，除以a2aa即為關(guān)于離心率 e 的一元二次不等式，解不等式，再結(jié)合橢圓或雙曲線的離心率的范圍，就得到了離心率的取值范圍.x2y21,(a0,b0) 的左，右焦點分別為F1, F2 ,點 P 在雙曲線的右支20. （ 04 重慶）已知雙曲線b2a2上，且 | PF1 | 4 | PF2|

21、 ,則此雙曲線的離心率e 的最大值為： ()45C2D7AB333 |PF1 |=4PF2|, |PF1| |PF2|=3|PF 2 |= 2a ， |PF2|c2ac5aca 即a 533所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e，故選 B.3x2y2221. 已知 F1，F(xiàn)2 分別為1(a0, bPF1a2b20) 的左、右焦點，P 為雙曲線右支上任一點， 若PF2的最小值為8a ，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A(1,2B (1,3C2,3 D3,)PF12PF2 )24a2(2a4a24a24a8a ，欲使最小值為 8a解析PF2PF2，需右支PF2PF2上存在一點P，使 PF22a ，而

22、 PF2 ca 即 2aca 所以 1e3 .圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 8 -頁22. 已知橢圓x2y21(a b0) 右頂為 A,點 P 在橢圓上， O 為坐標原點，且OP 垂直于 PA，橢圓的a2b2離心率 e 的取值范圍是 ;。x02y021解：設(shè) P 點坐標為（ x0 , y0）,則有 a2b2x02ax0y020消去 y02 得 (a2b2 )x02a3x0a2 b20 若利用求根公式求x0 運算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個根為 a,由根與系數(shù)關(guān)系知ax0a2b2x0ab2由 0x0a得2e 1a2 b2a22b223. 橢 圓 G ：x2y21(ab0) 的 兩

23、 焦 點 為 F1 (c,0), F2 (c,0) ， 橢 圓 上 存 在 點 M 使a2b2uuuuvuuuuv0 .求橢圓離心率 e 的取值范圍F1MF2 M；uuuuvuuuuv0x2y2c2 解析 設(shè) M (x, y), F1MF2M222將 y2b2b2x2代入得 x2a2abQ 0x2a2求得2e 1.a22點評： x2y21(ab0) 中 xa ，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)范圍問題中經(jīng)a2b2常使用，應(yīng)給予重視 .24. （ 06 福建）已知雙曲線x2y21(a 0,b0) 的右焦點為F，若過點 F 且傾斜角為60 的直線與a2b2雙曲線的右支有且只有一個交點，則

24、此雙曲線離心率的取值范圍是（A） (1,2（B） (1,2)（ C） 2,)（D） (2,)解析欲使過點 F 且傾斜角為 60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率b ，b 3 ，即 b3a 即 c2a23a2 c24a2 即 e 2故選 C.aa25. （ 04 全國）設(shè)雙曲線C： x2y 21( a0)與直線 l : xy 1 相交于兩個不同的點 A、B.求雙a 2曲線 C 的離心率e 的取值范圍：解析由 C 與 l 相交于兩個不同的點，故知方程組圓錐曲線的相關(guān)離心率問題共 12 頁本頁為第 - 9 -頁x2y21,a2.消去 y 并整理得有兩個不同的實數(shù)解x y1.（ 1 a2）x2+2a2x 2a2=0.1 a20.解得 0a2且 a1.所以8a2 (1a2 )4a40.雙曲線的離心率： e1a211 Q 0a2且 a 1, e6 且 e2aa22所以雙曲線的離心率取值范圍是(6 ,2) U (2,)2總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，一定要認真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運用數(shù)形結(jié)合時要注意焦點的位置等 .26設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢