電磁場：第4章靜態(tài)電磁場的解析方法

1、第4章靜態(tài)電磁場的解析方法p 靜態(tài)場的唯一性定理靜態(tài)場的唯一性定理p 分離變量法分離變量法p GreenGreen函數(shù)方法函數(shù)方法p 鏡像原理鏡像原理4.1 靜態(tài)電磁場的唯一性定理4.1.1 靜態(tài)場的基本方程靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的渦旋源。恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的渦旋源。靜態(tài)電磁場與時間無關(guān)，具有相同的基本特性。靜態(tài)電磁場與時間無關(guān)，具有相同的基本特性。 靜態(tài)電磁場數(shù)學(xué)上滿足Poisson方程 rr 2rr 為介質(zhì)的電磁特性參數(shù)，可以是 或4.1.1 靜態(tài)場的基本方程 靜態(tài)電磁場（恒

2、定電流源區(qū)外部）具有無旋特性，可用標(biāo)量函數(shù)（稱為位函數(shù)或勢函數(shù)）的梯度來表示： 00drrF rrrF rlr 介質(zhì)分界面上位函數(shù)滿足： 1212|SSsSSrrnn4.1.1 靜態(tài)場的基本方程靜態(tài)場的定解問題：靜態(tài)場的定解問題： 212121SSsSSrrrnn| 第一類：已知源和介質(zhì)及第一類：已知源和介質(zhì)及其邊界形狀，求場的分布其邊界形狀，求場的分布第二類：已知場和介質(zhì)特性，第二類：已知場和介質(zhì)特性，求邊界形狀求邊界形狀第三類：已知場和邊界分第三類：已知場和邊界分布，求介質(zhì)特性參數(shù)布，求介質(zhì)特性參數(shù) r r n4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理存在性、穩(wěn)定性、唯一性！存在性、穩(wěn)定性、唯一性！符

3、合物理世界的客觀規(guī)律符合物理世界的客觀規(guī)律唯一性定理：唯一性定理： 設(shè)區(qū)域 V 內(nèi)源已知，在區(qū)域的邊界S上， 已知（M為邊界上的變點(diǎn)）。則在區(qū)域V 內(nèi)存在唯一的解，它在該區(qū)域內(nèi)滿足Poisson方程；在區(qū)域的邊界S上滿給定的邊界條件。 |rMrMn邊界邊界或（反證法）（反證法）4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理 1r證：證：在區(qū)域V內(nèi)有兩個不同的解 和 分別滿足泊松方程和邊界條件。 2r 21,21,21,2rrrrMMn| 邊界邊界或令 ，根據(jù)線性疊加原理， 仍在區(qū)域V 內(nèi)滿足方程 21rrr r 2000rrrn|邊界邊界，或，在區(qū)域V內(nèi) 和 是同一個解。4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理利用Gr

4、een公式，得到： 2ddSVrrsrrrrV利用邊界條件，邊界面S上 dd0SSrrsrrsn 00rrn|邊界邊界或 22 dd0 0VVrrrrVrVrrC區(qū)域V內(nèi)和邊界S上 0rC 1r 2r【例例1】同心導(dǎo)體球殼間充滿兩種介質(zhì)。內(nèi)導(dǎo)體帶電荷量Q ,外導(dǎo)體球殼接地。求導(dǎo)體球殼內(nèi)電場分布。12分析：分析：內(nèi)外導(dǎo)體球殼為等勢體；外導(dǎo)體內(nèi)表面和內(nèi)導(dǎo)體外表面只有法向分量，切向?yàn)?，且具有對稱性；電荷只分布在內(nèi)球殼，導(dǎo)體內(nèi)部無電荷；左右半球的兩介質(zhì)交界面上滿足邊界條件：1212ttnnEEDD n解：解：假設(shè)假設(shè)左右半球介質(zhì)內(nèi)的電場為 112233; rrErAErArr左半球右半球由于在介質(zhì)交

5、界面上 ，則可根據(jù)電場表達(dá)式得到12ttEE12AAA對內(nèi)導(dǎo)體球面外側(cè)應(yīng)用高斯定理，則有112212ddd2SQDSESESQA左半球面右半球面因此得到的解為： 3122QrE rr 驗(yàn)證：驗(yàn)證：所求的解是否滿足方程！所求的解是否滿足邊界條件！4.2 分離變量法4.2.1 分離變量法的思想通過變量分離將偏微分方程轉(zhuǎn)化為含有待定參數(shù)的常微（本征值）方程；求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)；利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把待求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求展開系數(shù)；通過邊界條件等確定系數(shù)，求出待求解。分離變量方法又稱為Fourier級數(shù)方法：【例例2】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其

6、余接地，求盒內(nèi)的電位分布。0CAB0解：解：定解問題為 （選直角坐標(biāo)系最為簡單） 200000000r,y,zx, ,zA,y,zx,B,zx,y,x,y,C電位函數(shù)為 rX x Y y Z z拉普拉斯方程則為2222221 d1 d1 d0dddXYZXxYyZz2k2l2p2220klp邊界條件： , ,0, ,000, ,0,000, ,0000A y zy zX AXx B zxzY BYx yZ偏微分的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)變?yōu)槿齻€常微分方程： 222dd00Xk X xxXX A 222dd00Yl Y xyYY B 222dd00Zp Z zzZ 分別求解得 1222sin,1,2,3,

7、sin,1,2,3,sinhklnnX xAxknAAmmY yAylmBAZ zCkl z22,1, ,sinsinsinhnmn mnmnmx y zCxyzABAB解為利用邊界條件 確定系數(shù) ：0 x,y,CnmC220,1, ,sinsinsinhnmn mnmnmx y CCxyCABAB將 在0，A和0，B上按 做傅里葉展開求得系數(shù) 。sinsinnmxyAB0nmC22000022222sinhsinsind d16 sinhABnmnmnmCCxy y xA BABABnmmnCAB ,1,3,5,n m 4.2.1 分離變量法的思想分離變量方法的程序： 提煉出定解問題的數(shù)學(xué)表

8、達(dá)式，即方程和邊界條件 根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標(biāo)系 把方程和邊界條件進(jìn)行變量分離，得到本征方程 求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù) 根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問題的解 利用邊界條件確定展開系數(shù)，驗(yàn)證解的正確性4.2.2 分離變量法的應(yīng)用【例例3】無窮長導(dǎo)體圓筒，半徑為 a，厚度可以忽略不計(jì)。圓筒分成相等的兩個半片，相互絕緣,其電位分別是V0和 -V0 ，求筒內(nèi)電位。xy解：解：定解問題為 （選圓柱坐標(biāo)系最為簡單） 22220011002rrrrrra,V ,a,V , 自然邊界條件：0,2 ,lim,rrnrr有限值電位函數(shù)為 rR r拉普拉斯方程則為222ddd0d

9、ddRRrrrrr 222d0d 2 nn 自然邊界條件： 02 limrnR r 有限值 22220dd0ddlimrRRrrn RrrR r有限值分別求解 sincosnnAnBn nnR ra r0,cossinnnnnrrAnBn0,1,2,3,n 由邊界條件得000,0,cossin,2nnnnVaaAnBnV利用傅里葉級數(shù)展開，得到系數(shù)00211nnnnAVBn a 210041,sin 2121knVrrkka4.3 格林函數(shù)法4.3.1 格林函數(shù)方法的基本思想 2lim0rrrr 場點(diǎn)源點(diǎn)區(qū)域 V上體電荷在無界空間產(chǎn)生的電位的定解問題：rrrr drV d1dd44iiiiir

10、VrrVrrrr（電荷元產(chǎn)生的電位）（電荷元產(chǎn)生的電位） dd4VVrVrG r,rrVrr 體電荷產(chǎn)生體電荷產(chǎn)生的電位是全的電位是全體電荷元的體電荷元的線性疊加！線性疊加！4.3.1 格林函數(shù)方法的基本思想只要單位點(diǎn)電荷元在空間的電位求得，任意電荷分布的電位利用疊加原理求得。 Green 函數(shù)的基本思想4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 2Srrrrh Mn 一般靜態(tài)電磁場問題滿足Poisson方程：,Vr n210G r,rrrG r,rG r,rn Green函數(shù)函數(shù)， 不同時為零2()ddVSVS 利用4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法()()0 0G r rG r rG r ,rG

11、r,r,nn , ( , ),ddVsG r rrr G r rVh rsn 得相互矛盾！相互矛盾！利用Green函數(shù)的對稱性： ( , ),ddVsG r rrr G r rVh rSn 和 互換后整理得rr4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 ( )()d()d( )dVssh MrG r rrr G r rVG r rsrsnn 還原表達(dá)式，得到：,區(qū)域V上的體電荷在 處對電位的貢獻(xiàn)rsnE導(dǎo)體表面：區(qū)域邊界面上面電荷對電位的貢獻(xiàn)sn Dns()()dsG r rr rs ,4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 rsP ()( )sG r rrr nG r rnPG r r , 300144

12、eeeP rrPPG rrr 第三項(xiàng)：區(qū)域邊界面上因感應(yīng)出現(xiàn)的電偶極矩對電位的貢獻(xiàn)4.3.4 格林函數(shù)的物理模型21,0|sG r rrrG r r 2SrrrM Green函數(shù)的物理模型rGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位第一類邊界條件的Green函數(shù)： ddVsG r rrr G r rVrsn, r4.3.4 格林函數(shù)的物理模型第二類邊界條件的Green函數(shù)：Green函數(shù)物理模型 2SrrrMn 21,0|sG r rrrG r rn rr ddVsrr G r rVG r rrs, GreenGreen函數(shù)

13、的物理意義：函數(shù)的物理意義： 表示絕熱邊界條件的封閉系統(tǒng)內(nèi)單位熱源產(chǎn)生的溫表示絕熱邊界條件的封閉系統(tǒng)內(nèi)單位熱源產(chǎn)生的溫度場分布。度場分布。嚴(yán)格意義上的第二類邊界條件下嚴(yán)格意義上的第二類邊界條件下GreenGreen函函數(shù)的解是不存在的？數(shù)的解是不存在的？【例例4】求無窮長矩形金屬殼內(nèi)單位線源的電位，矩形導(dǎo)體殼接地。ba00, yx解：解：Green函數(shù)的定解問題為 20000,00,1,0|xaybG r rxxyyG r r 00,122200,1,|,sinsin,|,sinsinnmn mnmn mnmG x y xyAxyaanmn xm yG x y xyAabab 假設(shè)Green函

14、數(shù)的解的形式為： 2200,11sinsinnmn mnmn xm yAxxyyabab00224sinsinnmnnxyabAnmabab4.4 鏡像方法4.4.1 鏡像方法的基本思想以第一類邊界條件下的靜電場Green函數(shù)為例：21,0|sG r rrrG r r 物理模型為接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位。,G r r 邊界感應(yīng)電荷單位電荷直接產(chǎn)生的電位產(chǎn)生的電位114rr找出一個或者多個想象的點(diǎn)電荷（像（像電荷）電荷）來等效邊界面上感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn) 鏡像方法鏡像方法4.4.2 鏡像方法的求解步驟【例例5】無窮大接地導(dǎo)體板上單位點(diǎn)電荷在上半空間的電位。解：解：Green函數(shù)的定解問題為 2

15、001,0,0|zG r rrrzG r r 分析：分析：導(dǎo)體平板上方的電位為單位點(diǎn)電荷的貢獻(xiàn)和導(dǎo)體平板面上感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)的疊加。如果能找到一個與導(dǎo)體平板感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生電位等效的像電荷Q來代替導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，那么導(dǎo)體平板上方的電位可以表示為 0102144QG r rRR , pp1R1R2R2001,0,0|zG r rrrzG r r 2001,0|zG r rrrQrrG r r 在上半空間等效在上半空間等效 像電荷的位置不在上半空間（滿足方程） 原電荷感應(yīng)中心和像電荷在一條連線上（對稱） 像電荷與原電荷的符號相反（感應(yīng)原理） 像電荷與原電荷在平面上的電位為零（接地）p1R

16、2R0zzre h,re f ,Q 原電荷和像電荷為：根據(jù)邊界條件00010210 44zzQG r rRR| , 1fh , Q 得222222010201111444QG r rRRxyzhxyzh ,確定像電荷的原則找一個或幾個假想電荷等效邊界感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)像電荷在區(qū)域的外部，與原電荷符號相反 像電荷在界面感應(yīng)電荷中心與原點(diǎn)電荷連線的延長線上，其位置與原電荷的位置互為共軛點(diǎn)對利用邊界條件確定像電荷大小和位置 4.4.2 鏡像方法的求解步驟4.4.3 鏡像方法的應(yīng)用舉例【例例6】接地導(dǎo)體球殼外部空間單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位，設(shè)導(dǎo)體球半徑為a。解：解：導(dǎo)體球殼外部空間電位（Green函數(shù)）的定解

17、問題為 201,0|r aG r rrrrraG r r ，0102144QG r rRR , 為簡化問題，原電荷和像電荷均位于z軸上221112cosRrdad222222cosRrdadR2利用邊界條件1210r aQRR222222112 ()()2 cos ()0adQ adaQdd上式對球面都成立，則要求2222222112121()()00adadQ addaQ ddQd 010222242210110111144142cos42cosQG r rRRardrddradra d , 4.5 勢函數(shù)的多極矩展開4.5.1 體分布源產(chǎn)生的勢無界空間中勢函數(shù) 這種勢函數(shù)的精確計(jì)算是困難的

18、，原因在于被積函數(shù)中包含了場點(diǎn)變量在內(nèi)。即使借助計(jì)算機(jī)能夠給出任意場點(diǎn)的數(shù)值，但對于數(shù)值結(jié)果的理解希望有一個簡潔而清楚的物理圖像，以便建立相應(yīng)的物理模型。 01d4VrrVrr4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開 1nnf rrrf rn! 由于源所在區(qū)域的尺度遠(yuǎn)小于源到場點(diǎn)的距離，利用Taylor展開公式 得到211111112nnrrrrrrr!rn!r 因此，電位函數(shù) 00111d4!nnnVrrVrnr4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開利用 2:rf rrrf rr rf r 001211111d42 VrrVrr r :rr!rrrr 其中 001 d4VQrQrVr 1011 d4VrrrVrPP零極矩零極矩偶極矩偶極矩4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開 200