電磁場：第4章靜態(tài)電磁場的解析方法

1、第4章靜態(tài)電磁場的解析方法p 靜態(tài)場的唯一性定理靜態(tài)場的唯一性定理p 分離變量法分離變量法p GreenGreen函數(shù)方法函數(shù)方法p 鏡像原理鏡像原理4.1 靜態(tài)電磁場的唯一性定理4.1.1 靜態(tài)場的基本方程靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的渦旋源。恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的渦旋源。靜態(tài)電磁場與時間無關，具有相同的基本特性。靜態(tài)電磁場與時間無關，具有相同的基本特性。 靜態(tài)電磁場數(shù)學上滿足Poisson方程 rr 2rr 為介質的電磁特性參數(shù)，可以是 或4.1.1 靜態(tài)場的基本方程 靜態(tài)電磁場（恒

2、定電流源區(qū)外部）具有無旋特性，可用標量函數(shù)（稱為位函數(shù)或勢函數(shù)）的梯度來表示： 00drrF rrrF rlr 介質分界面上位函數(shù)滿足： 1212|SSsSSrrnn4.1.1 靜態(tài)場的基本方程靜態(tài)場的定解問題：靜態(tài)場的定解問題： 212121SSsSSrrrnn| 第一類：已知源和介質及第一類：已知源和介質及其邊界形狀，求場的分布其邊界形狀，求場的分布第二類：已知場和介質特性，第二類：已知場和介質特性，求邊界形狀求邊界形狀第三類：已知場和邊界分第三類：已知場和邊界分布，求介質特性參數(shù)布，求介質特性參數(shù) r r n4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理存在性、穩(wěn)定性、唯一性！存在性、穩(wěn)定性、唯一性！符

3、合物理世界的客觀規(guī)律符合物理世界的客觀規(guī)律唯一性定理：唯一性定理： 設區(qū)域 V 內源已知，在區(qū)域的邊界S上， 已知（M為邊界上的變點）。則在區(qū)域V 內存在唯一的解，它在該區(qū)域內滿足Poisson方程；在區(qū)域的邊界S上滿給定的邊界條件。 |rMrMn邊界邊界或（反證法）（反證法）4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理 1r證：證：在區(qū)域V內有兩個不同的解 和 分別滿足泊松方程和邊界條件。 2r 21,21,21,2rrrrMMn| 邊界邊界或令 ，根據(jù)線性疊加原理， 仍在區(qū)域V 內滿足方程 21rrr r 2000rrrn|邊界邊界，或，在區(qū)域V內 和 是同一個解。4.1.1 靜態(tài)場的唯一性定理利用Gr

4、een公式，得到： 2ddSVrrsrrrrV利用邊界條件，邊界面S上 dd0SSrrsrrsn 00rrn|邊界邊界或 22 dd0 0VVrrrrVrVrrC區(qū)域V內和邊界S上 0rC 1r 2r【例例1】同心導體球殼間充滿兩種介質。內導體帶電荷量Q ,外導體球殼接地。求導體球殼內電場分布。12分析：分析：內外導體球殼為等勢體；外導體內表面和內導體外表面只有法向分量，切向為0，且具有對稱性；電荷只分布在內球殼，導體內部無電荷；左右半球的兩介質交界面上滿足邊界條件：1212ttnnEEDD n解：解：假設假設左右半球介質內的電場為 112233; rrErAErArr左半球右半球由于在介質交

5、界面上 ，則可根據(jù)電場表達式得到12ttEE12AAA對內導體球面外側應用高斯定理，則有112212ddd2SQDSESESQA左半球面右半球面因此得到的解為： 3122QrE rr 驗證：驗證：所求的解是否滿足方程！所求的解是否滿足邊界條件！4.2 分離變量法4.2.1 分離變量法的思想通過變量分離將偏微分方程轉化為含有待定參數(shù)的常微（本征值）方程；求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)；利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把待求函數(shù)的問題轉化為求展開系數(shù)；通過邊界條件等確定系數(shù)，求出待求解。分離變量方法又稱為Fourier級數(shù)方法：【例例2】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其

6、余接地，求盒內的電位分布。0CAB0解：解：定解問題為 （選直角坐標系最為簡單） 200000000r,y,zx, ,zA,y,zx,B,zx,y,x,y,C電位函數(shù)為 rX x Y y Z z拉普拉斯方程則為2222221 d1 d1 d0dddXYZXxYyZz2k2l2p2220klp邊界條件： , ,0, ,000, ,0,000, ,0000A y zy zX AXx B zxzY BYx yZ偏微分的拉普拉斯方程轉變?yōu)槿齻€常微分方程： 222dd00Xk X xxXX A 222dd00Yl Y xyYY B 222dd00Zp Z zzZ 分別求解得 1222sin,1,2,3,

7、sin,1,2,3,sinhklnnX xAxknAAmmY yAylmBAZ zCkl z22,1, ,sinsinsinhnmn mnmnmx y zCxyzABAB解為利用邊界條件 確定系數(shù) ：0 x,y,CnmC220,1, ,sinsinsinhnmn mnmnmx y CCxyCABAB將 在0，A和0，B上按 做傅里葉展開求得系數(shù) 。sinsinnmxyAB0nmC22000022222sinhsinsind d16 sinhABnmnmnmCCxy y xA BABABnmmnCAB ,1,3,5,n m 4.2.1 分離變量法的思想分離變量方法的程序： 提煉出定解問題的數(shù)學表

8、達式，即方程和邊界條件 根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標系 把方程和邊界條件進行變量分離，得到本征方程 求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù) 根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構造定解問題的解 利用邊界條件確定展開系數(shù)，驗證解的正確性4.2.2 分離變量法的應用【例例3】無窮長導體圓筒，半徑為 a，厚度可以忽略不計。圓筒分成相等的兩個半片，相互絕緣,其電位分別是V0和 -V0 ，求筒內電位。xy解：解：定解問題為 （選圓柱坐標系最為簡單） 22220011002rrrrrra,V ,a,V , 自然邊界條件：0,2 ,lim,rrnrr有限值電位函數(shù)為 rR r拉普拉斯方程則為222ddd0d

9、ddRRrrrrr 222d0d 2 nn 自然邊界條件： 02 limrnR r 有限值 22220dd0ddlimrRRrrn RrrR r有限值分別求解 sincosnnAnBn nnR ra r0,cossinnnnnrrAnBn0,1,2,3,n 由邊界條件得000,0,cossin,2nnnnVaaAnBnV利用傅里葉級數(shù)展開，得到系數(shù)00211nnnnAVBn a 210041,sin 2121knVrrkka4.3 格林函數(shù)法4.3.1 格林函數(shù)方法的基本思想 2lim0rrrr 場點源點區(qū)域 V上體電荷在無界空間產生的電位的定解問題：rrrr drV d1dd44iiiiir

10、VrrVrrrr（電荷元產生的電位）（電荷元產生的電位） dd4VVrVrG r,rrVrr 體電荷產生體電荷產生的電位是全的電位是全體電荷元的體電荷元的線性疊加！線性疊加！4.3.1 格林函數(shù)方法的基本思想只要單位點電荷元在空間的電位求得，任意電荷分布的電位利用疊加原理求得。 Green 函數(shù)的基本思想4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 2Srrrrh Mn 一般靜態(tài)電磁場問題滿足Poisson方程：,Vr n210G r,rrrG r,rG r,rn Green函數(shù)函數(shù)， 不同時為零2()ddVSVS 利用4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法()()0 0G r rG r rG r ,rG

11、r,r,nn , ( , ),ddVsG r rrr G r rVh rsn 得相互矛盾！相互矛盾！利用Green函數(shù)的對稱性： ( , ),ddVsG r rrr G r rVh rSn 和 互換后整理得rr4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 ( )()d()d( )dVssh MrG r rrr G r rVG r rsrsnn 還原表達式，得到：,區(qū)域V上的體電荷在 處對電位的貢獻rsnE導體表面：區(qū)域邊界面上面電荷對電位的貢獻sn Dns()()dsG r rr rs ,4.3.2 靜態(tài)電磁場的格林函數(shù)法 rsP ()( )sG r rrr nG r rnPG r r , 300144

12、eeeP rrPPG rrr 第三項：區(qū)域邊界面上因感應出現(xiàn)的電偶極矩對電位的貢獻4.3.4 格林函數(shù)的物理模型21,0|sG r rrrG r r 2SrrrM Green函數(shù)的物理模型rGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 接地導體殼內單位點電荷產生的電位接地導體殼內單位點電荷產生的電位第一類邊界條件的Green函數(shù)： ddVsG r rrr G r rVrsn, r4.3.4 格林函數(shù)的物理模型第二類邊界條件的Green函數(shù)：Green函數(shù)物理模型 2SrrrMn 21,0|sG r rrrG r rn rr ddVsrr G r rVG r rrs, GreenGreen函數(shù)

13、的物理意義：函數(shù)的物理意義： 表示絕熱邊界條件的封閉系統(tǒng)內單位熱源產生的溫表示絕熱邊界條件的封閉系統(tǒng)內單位熱源產生的溫度場分布。度場分布。嚴格意義上的第二類邊界條件下嚴格意義上的第二類邊界條件下GreenGreen函函數(shù)的解是不存在的？數(shù)的解是不存在的？【例例4】求無窮長矩形金屬殼內單位線源的電位，矩形導體殼接地。ba00, yx解：解：Green函數(shù)的定解問題為 20000,00,1,0|xaybG r rxxyyG r r 00,122200,1,|,sinsin,|,sinsinnmn mnmn mnmG x y xyAxyaanmn xm yG x y xyAabab 假設Green函

14、數(shù)的解的形式為： 2200,11sinsinnmn mnmn xm yAxxyyabab00224sinsinnmnnxyabAnmabab4.4 鏡像方法4.4.1 鏡像方法的基本思想以第一類邊界條件下的靜電場Green函數(shù)為例：21,0|sG r rrrG r r 物理模型為接地導體殼內單位點電荷產生的電位。,G r r 邊界感應電荷單位電荷直接產生的電位產生的電位114rr找出一個或者多個想象的點電荷（像（像電荷）電荷）來等效邊界面上感應電荷的貢獻 鏡像方法鏡像方法4.4.2 鏡像方法的求解步驟【例例5】無窮大接地導體板上單位點電荷在上半空間的電位。解：解：Green函數(shù)的定解問題為 2

15、001,0,0|zG r rrrzG r r 分析：分析：導體平板上方的電位為單位點電荷的貢獻和導體平板面上感應電荷的貢獻的疊加。如果能找到一個與導體平板感應電荷在上半空間產生電位等效的像電荷Q來代替導體平板上的感應電荷，那么導體平板上方的電位可以表示為 0102144QG r rRR , pp1R1R2R2001,0,0|zG r rrrzG r r 2001,0|zG r rrrQrrG r r 在上半空間等效在上半空間等效 像電荷的位置不在上半空間（滿足方程） 原電荷感應中心和像電荷在一條連線上（對稱） 像電荷與原電荷的符號相反（感應原理） 像電荷與原電荷在平面上的電位為零（接地）p1R

16、2R0zzre h,re f ,Q 原電荷和像電荷為：根據(jù)邊界條件00010210 44zzQG r rRR| , 1fh , Q 得222222010201111444QG r rRRxyzhxyzh ,確定像電荷的原則找一個或幾個假想電荷等效邊界感應電荷的貢獻像電荷在區(qū)域的外部，與原電荷符號相反 像電荷在界面感應電荷中心與原點電荷連線的延長線上，其位置與原電荷的位置互為共軛點對利用邊界條件確定像電荷大小和位置 4.4.2 鏡像方法的求解步驟4.4.3 鏡像方法的應用舉例【例例6】接地導體球殼外部空間單位點電荷產生的電位，設導體球半徑為a。解：解：導體球殼外部空間電位（Green函數(shù)）的定解

17、問題為 201,0|r aG r rrrrraG r r ，0102144QG r rRR , 為簡化問題，原電荷和像電荷均位于z軸上221112cosRrdad222222cosRrdadR2利用邊界條件1210r aQRR222222112 ()()2 cos ()0adQ adaQdd上式對球面都成立，則要求2222222112121()()00adadQ addaQ ddQd 010222242210110111144142cos42cosQG r rRRardrddradra d , 4.5 勢函數(shù)的多極矩展開4.5.1 體分布源產生的勢無界空間中勢函數(shù) 這種勢函數(shù)的精確計算是困難的

18、，原因在于被積函數(shù)中包含了場點變量在內。即使借助計算機能夠給出任意場點的數(shù)值，但對于數(shù)值結果的理解希望有一個簡潔而清楚的物理圖像，以便建立相應的物理模型。 01d4VrrVrr4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開 1nnf rrrf rn! 由于源所在區(qū)域的尺度遠小于源到場點的距離，利用Taylor展開公式 得到211111112nnrrrrrrr!rn!r 因此，電位函數(shù) 00111d4!nnnVrrVrnr4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開利用 2:rf rrrf rr rf r 001211111d42 VrrVrr r :rr!rrrr 其中 001 d4VQrQrVr 1011 d4VrrrVrPP零極矩零極矩偶極矩偶極矩4.5.2 電位函數(shù)的電多極矩展開 200