第八課 期權(quán)定價(jià)模型(金融學(xué)概論-北大,徐信忠)

1、北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002第八課第八課期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002期權(quán)定價(jià)中的難點(diǎn)期權(quán)定價(jià)中的難點(diǎn) 債券和股票的估價(jià)：貼現(xiàn)現(xiàn)金流 期權(quán)的估價(jià) -DCF不適用 - 給定到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的分布，可以很 容易地計(jì)算期權(quán)在到期日的收益 - 難于估計(jì)折現(xiàn)率 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型 要對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，我們需要知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng) 簡單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型 -在每個(gè)（很短）的時(shí)間間隔期末，股票價(jià)格只能 有兩個(gè)可能的取值 -當(dāng)時(shí)間間隔足夠短，這是很好的近似 -有利于解釋期權(quán)定價(jià)

2、模型背后所包含的原理 -可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)行定價(jià) 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002單期二項(xiàng)式模型 收益率被定義為價(jià)格的相對(duì)數(shù) 期望收益率=1.1 期望方差期望方差 = 0.09 $140$80$100今日1年概率2121北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002通過復(fù)制來給期權(quán)定價(jià)通過復(fù)制來給期權(quán)定價(jià) 為了給衍生證券定價(jià)，可以構(gòu)造一個(gè)股票和無風(fēng)險(xiǎn)投資的組合來復(fù)制該衍生證券在到期日的收益 這個(gè)組合稱為合成的衍生證券 要使無套利成立，這個(gè)組合的價(jià)值必須等于交易的衍生證券的價(jià)格 組合的合成等同于對(duì)沖 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002無套利原則與無套利原則與

3、對(duì)衍生證券的定價(jià)對(duì)衍生證券的定價(jià) 今日到期日交易的衍生證券合成的衍生證券收益相同交易的衍生證券的價(jià)值=合成的衍生證券（組合）的價(jià)值北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002單期：給歐式看漲期權(quán)定價(jià)單期：給歐式看漲期權(quán)定價(jià) 歐式看漲期權(quán)： 0.8d , 2 . 1 ,40 ,40 , 10uXST$40今日1年概率8480ucuS0320dcdSp-1p北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 組合(合成看漲期權(quán))=股票+無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 組合復(fù)制了該期權(quán)在到期日的收益 1.10=今天的$1投資在1年后的財(cái)富 解方程組得到 的負(fù)號(hào)意味者借入 000BSV810. 1480B010. 1320B5

4、5.14 , 5 . 00-B0B北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 無套利要求 含義： p 的值從未使用過的值從未使用過 期望收益率無關(guān)緊要期望收益率無關(guān)緊要! 45. 555.14405 . 00-V45. 50Vc北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002單期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)的一般化單期二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)的一般化 今日1年概率ucuS0dcdS0p-1p?0cS北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 該組合復(fù)制了該看漲期權(quán)在到期日的收益 解方程組得到：，和 無套利要求： urTceBuS00drTceBdS00dSuSccdu00-rTudedudcucB-0dudecceV

5、crTdurT- ,10其中北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 很自然可以被解釋為是股票價(jià)格上漲的概率(風(fēng)險(xiǎn)中性概率風(fēng)險(xiǎn)中性概率或等價(jià)鞅測度等價(jià)鞅測度) 可以被解釋為是該看漲期權(quán)在到期日的收益 該期權(quán)的價(jià)值是它在到期日的期望收益按無風(fēng)險(xiǎn)利率折成的現(xiàn)值 在下, ducc- 1rTTeSSE0北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Delta對(duì)沖組合對(duì)沖組合 的符號(hào)為正，意味著投資 由 股股票和一個(gè)看漲期權(quán)空頭構(gòu)成的組合等價(jià)于無風(fēng)險(xiǎn)投資 該組合經(jīng)常被稱為無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合，(delta)被稱為套頭比（hedgeratio） 00BSc00BcS-0B-dSuScc

6、du00-北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 期權(quán)價(jià)格和股票價(jià)格依賴于同一種不確定性來源 無風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖組合可以用股票和期權(quán)來構(gòu)造 無風(fēng)險(xiǎn)組合必然獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率 這導(dǎo)致了Black-Scholes偏微分方程(PDE) 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes模型的假設(shè)模型的假設(shè) 完美的資本市場，沒有套利機(jī)會(huì) 價(jià)格的瞬間變動(dòng)服從波動(dòng)率為常數(shù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng) 短期利率已知，并且不隨時(shí)間發(fā)生變化 在期權(quán)的有效期內(nèi)，標(biāo)的股票不發(fā)放股利北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程 連

7、續(xù)時(shí)間模型 假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）其中：期望收益率：波動(dòng)率(假設(shè)為常數(shù))：標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程 SdWSdtdSdW北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 離散時(shí)間近似 Z為Wiener過程，則 其中是n(0,1)分布的一個(gè)隨機(jī)實(shí)現(xiàn) 任意互不重疊的兩期的 的取值相互獨(dú) 立ttSStzz北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Wiener過程的特征過程的特征 的均值為0 的方差為T-t 的標(biāo)準(zhǔn)差為 tTnzztT-, 0tTzz -tT -tTzz -tTzz -北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002股票收益率的特征股票收益率的特征 從時(shí)間t到T 收益率的均值為

8、從時(shí)間t到T 收益率的方差為 從時(shí)間t到T 收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為 收益率的分布： ，其中tT -tT -2tT -,ntT -北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002股票收益率的分布股票收益率的分布 股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即：-,2lnln2SNSTtT -00.2020對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 偏微分方程偏微分方程的導(dǎo)出的導(dǎo)出 構(gòu)造一個(gè)組合 ，該組合的構(gòu)成如下： 1單位衍生證券的空頭 股股票多頭zStSSzSSftSfStfSSff222221Sf北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 組合的價(jià)值為： 在跨度為的

9、短期內(nèi)，它的價(jià)值的變動(dòng)為：SSff-ttSfStfSSff-222221北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 因?yàn)樵摻M合的收益率沒有不確定性，所有它必須等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。因此 從上述兩個(gè)方程，就可以得到Black-Scholes偏微分方程：trSSfftr-rfSfSSfrStf222221北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 該偏微分方程不包括！投資者的偏好不起作用！ 任何其價(jià)格依賴于標(biāo)的股票價(jià)格的衍生證券都滿足上述偏微分方程 不同的衍生證券，其價(jià)值取決于上述微分方程的邊界條件 對(duì)于歐式看漲期權(quán)，邊界條件為 對(duì)歐式期權(quán)解上述偏微分方程，就得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模

10、型XScTT-, 0max北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 公式公式 式中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)21dNXedSNcr-12dSNdNXepr-212/lnrXSd-12dd.N北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 模型模型在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)下的導(dǎo)出在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)下的導(dǎo)出 利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出期權(quán)在到期日的期望收益 用無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期望收益進(jìn)行折現(xiàn)北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002 歐式看漲期權(quán)的價(jià)值由下式給出： 由下式給出 進(jìn)行一些簡單的代數(shù)運(yùn)算就可以得到Black-Scholes公式 ,0 ,max0-

11、XTTTrTTTrTtrdSSgXSedSSgXSecEecTSg2/ln2121-rSSTTeSg北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002期權(quán)價(jià)格的決定因素期權(quán)價(jià)格的決定因素 正的變化正的變化看漲期權(quán)看漲期權(quán)看跌期權(quán)看跌期權(quán)股票價(jià)格,S執(zhí)行價(jià)格,X波動(dòng)率,距離到期日的時(shí)間,無風(fēng)險(xiǎn)利率,r現(xiàn)金股利,d北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用 ,年,（按連續(xù)復(fù)利計(jì)息）以及 50S45X0.25i.e.-tTpa%20%6r2536. 125. 02 . 025. 006. 045/50ln/ln22 . 02122rXSd1536. 112-

12、dd北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002那么 8950. 01dN8757. 02dN93. 58757. 0458950. 05025. 006. 021-edNXedSNcr26. 0504593. 525. 006. 0-eSXecpr北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002Delta對(duì)沖對(duì)沖 Delta()：期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化比率 對(duì)于歐式看漲期權(quán), 對(duì)于歐式看跌期權(quán),1dNSc10c11-dNSp01-p北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002估計(jì)歷史波動(dòng)率估計(jì)歷史波動(dòng)率 在間隔為 年的期間觀測到 計(jì)算連續(xù)復(fù)利 估計(jì)波動(dòng)率(標(biāo)準(zhǔn)差) 每年的波動(dòng)率： nSSS

13、S , , , ,210-1lntttSSr-nttrrn1211北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002隱含波動(dòng)率隱含波動(dòng)率 期權(quán)的隱含波動(dòng)率是指讓根據(jù)公式計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)格與市場價(jià)格相等的波動(dòng)率，即 期權(quán)價(jià)格與隱含波動(dòng)率之間存在著一一對(duì)應(yīng) 在柜臺(tái)市場（OTC），交易者和經(jīng)紀(jì)商經(jīng)常不是報(bào)貨幣價(jià)格而是報(bào)隱含的收益率 隱含波動(dòng)率給出了市場總體對(duì)未來標(biāo)的股票在期權(quán)有效期內(nèi)的平價(jià)波動(dòng)率的一致估計(jì)（預(yù)期） 隱含波動(dòng)率是前瞻性的 M1imp,crXSf-北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002公司負(fù)債與股東權(quán)益公司負(fù)債與股東權(quán)益 股東權(quán)益相當(dāng)于擁有一個(gè)以D為執(zhí)行價(jià)格的對(duì)于公司價(jià)值V的看漲期權(quán) E

14、VD北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002公司負(fù)債與股東權(quán)益公司負(fù)債與股東權(quán)益 公司債權(quán)人相當(dāng)于擁有一個(gè)面值為D的無風(fēng)險(xiǎn)債券和同時(shí)出售一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為D的看跌期權(quán) VDVD北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002實(shí)物期權(quán)實(shí)物期權(quán) 投資：有權(quán)選擇投資時(shí)機(jī)，獲得投資回報(bào)，但是沒有必須投資的義務(wù)。初始投資額就是執(zhí)行價(jià)格，投資在未來產(chǎn)生的現(xiàn)金流就是資產(chǎn)價(jià)格 與傳統(tǒng)NPV分析的關(guān)鍵區(qū)別： - 不確定性（風(fēng)險(xiǎn)）是有價(jià)值的！不確定性（風(fēng)險(xiǎn)）是有價(jià)值的！ - 管理彈性（Managerialflexibility） 戰(zhàn)略工具，但是大多數(shù)情況下難以準(zhǔn)確估價(jià) 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002實(shí)物

15、期權(quán)的主要類型實(shí)物期權(quán)的主要類型 等待以在將來投資（看漲期權(quán)） 放棄（看跌期權(quán)） 彈性（看漲期權(quán)） 后續(xù)投資（看漲期權(quán)） 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002等待期權(quán)等待期權(quán) (1) 傳統(tǒng)的NPV：要么現(xiàn)在投資，要么永不投資 但第三種選擇是等待以在將來投資但第三種選擇是等待以在將來投資 期權(quán)價(jià)值內(nèi)在價(jià)值(IV)+時(shí)間價(jià)值(TV) TV=能夠等待的價(jià)值 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002等待期權(quán)等待期權(quán)(2) 決策法則 傳統(tǒng)的NPV接受項(xiàng)目，如果NPV0，即IV0實(shí)物期權(quán) 接受項(xiàng)目，如果NPV期權(quán)價(jià)值 風(fēng)險(xiǎn)更大的項(xiàng)目期權(quán)價(jià)值更高 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002等待

16、期權(quán)等待期權(quán) (3)：例子：例子 石油公司獲得某區(qū)塊的5年期開采權(quán) NPV期權(quán)價(jià)值 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002彈性期權(quán)彈性期權(quán) 汽車制造商在數(shù)個(gè)國家都有生產(chǎn)設(shè)備 雙燃料鍋爐，可以選擇燒油還是燒煤 比較一家大型電廠與兩家或更多的小型電廠 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002后續(xù)期權(quán)后續(xù)期權(quán) 初始投資產(chǎn)生了后續(xù)項(xiàng)目的投資機(jī)會(huì) 例子：R&D,在新興市場特別是發(fā)展中國家的投資 決策法則:NPV+后續(xù)期權(quán)的價(jià)值0 北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002實(shí)物期權(quán)與金融期權(quán)實(shí)物期權(quán)與金融期權(quán)之間的對(duì)應(yīng)之間的對(duì)應(yīng) 實(shí)物期權(quán)實(shí)物期權(quán)金融期權(quán)金融期權(quán)期望現(xiàn)金流的現(xiàn)值股票價(jià)格獲得項(xiàng)目資產(chǎn)所需的投資執(zhí)行價(jià)格決策可以延遲的時(shí)間長度距到期日的時(shí)間長度貨幣的時(shí)間價(jià)值無風(fēng)險(xiǎn)利率現(xiàn)金流的不確定性收益率的波動(dòng)率北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系 徐信忠 2002關(guān)于實(shí)物期權(quán)的進(jìn)一步閱讀材料關(guān)于實(shí)物期權(quán)的進(jìn)一步閱讀材料 MarthaAmramandNalinKulatilaka,RealOptions