第三章 哥西定理

1、第三章 哥西定理 哥西積分學(xué)習(xí)要求1 理解復(fù)變函數(shù)積分的概念；了解復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)；掌握計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的一般方法。2 理解哥西定理。3 理解復(fù)合閉路定理和閉路變形原理，并能靈活應(yīng)用。4 掌握哥西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式；了解解析函數(shù)具有無(wú)窮可微性。5 掌握綜合利用上述定理和公式計(jì)算積分的方法。 考核知識(shí)點(diǎn)1. 有向曲線的定義，正方向的規(guī)定。2. 復(fù)變函數(shù)積分的定義、積分存在的條件。3. 復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算方法。4. 復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)。5. 哥西定理。6. 原函數(shù)的概念。7. 哥西積分公式。8. 解析函數(shù)的平均值公式。9. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。10. 綜合利用上述定理和公式計(jì)

2、算積分。 同微積分一樣，在復(fù)變函數(shù)中，積分法也是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法在解決實(shí)際問(wèn)題中也是有力的工具本章先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式有向曲線：平面上一條光滑曲線（或按段光滑曲線）可理解為帶有方向的曲線如果從A到B的方向定義為C的正向則從B到A的方向就是C的負(fù)方向，記為C規(guī)定：正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向規(guī)定：正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向1 復(fù)變積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)復(fù)變積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)3.1.1 復(fù)變積分的定義及其計(jì)算方法

3、復(fù)變積分的定義及其計(jì)算方法圍線圍線: 分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)稱圍線圍線.當(dāng)觀察者繞圍線環(huán)行時(shí),如果圍線內(nèi)部在觀察者的左手方,就規(guī)定這個(gè)環(huán)行方向?yàn)閲€的正向正向,反之就叫負(fù)向負(fù)向.正圍線負(fù)圍線011,nnzzzzz1(),nnkkSfz其中 當(dāng)分點(diǎn)增多,而這些弧段長(zhǎng)度的最大值趨于0時(shí),如果和數(shù)Sn的極限存在(與弧段的分法及 的選取均無(wú)關(guān)),則稱f(z)沿C可積,而稱Sn的極限為f(z)沿C的積分,C為積分路徑,記為1.kkkzzzk( ).cf z dz一、復(fù)變積分的定義一、復(fù)變積分的定義: 設(shè)C是一條以z0為始點(diǎn),z為終點(diǎn)的有向曲線,函數(shù)f(z)在C上有定義.順著C的正向依次取把曲線分成若干個(gè)

4、弧段,在從zk-1到zk的每一弧段上任取一點(diǎn) ,作求和分割求和求極限二、復(fù)變函數(shù)積分的存在條件及計(jì)算方法二、復(fù)變函數(shù)積分的存在條件及計(jì)算方法 一個(gè)復(fù)變函數(shù)積分即是兩個(gè)實(shí)變線積分的有序組合. 因此，實(shí)積分存在，則 存在. 三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)(1) 若 沿 可積，且 由L1和 L2連接而成，則( )f zLL(2) 常數(shù)因子k 可以提到積分號(hào)外，即( )()()CCf z dzuiv dxidy()()CCudxvdyivdxudy( )Cf z dz(3) 函數(shù)和(差)的積分等于各函數(shù)積分的和(差), 即1212 ( )( )d( )d( )dLLLf zf z zf

5、z zf z z(4) 若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào)，即 ( )d( )dLLf zzf zz LL為 的負(fù)向曲線( )d( ) d( ) dLLLf z zf zzf zS(5) 積分的模不大于被積表達(dá)式模的積分，即22d(d )(d )SxydS這里 表示弧長(zhǎng)的微分，即 (6) 積分估值定理 若沿曲線 ， 連續(xù), 且 在 上滿足 ，則 LL( )f z( )f z( ) (0)f zMM( )dLf zzMlLl其中 為曲線 的長(zhǎng)度三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 1. 試證210()2ncidzza(1)(1),nn是的整數(shù)22002.iitcdzi e dtidt

6、izae22(1)int100()iti ntnnncdzi eidtedtzae22100cos(1)sin(1)0.nintdtintdt,.ititzaedzi e dt則 證證 設(shè)C的方程為 1n 當(dāng) 且為整數(shù)時(shí),這時(shí)C表示以a 為中心為半徑的圓周. 計(jì)算積分 ,其中積分路徑C如圖所示: () C為連結(jié)O點(diǎn)到1+i點(diǎn)的直線段. () C為連結(jié)O點(diǎn)到1點(diǎn)再到1+i點(diǎn)的折線.Reczdzxy(01)0 xtty 01(01)xttyt 1(01)xytt (1) ,zi tRe,(1).zt dzi dt解解 ()的情形C可表為01,t 101Re(1).2cizdzti dt ()的情形

7、可將C分為兩段,即1:,Czt01t 2:1,01.Czitt 1211001ReReRe.2ccczdzzdzzdztdtidtioxy01zi 1C2C3C10231)2)()CzdzCCOzCCC計(jì) 算的 值見(jiàn) 圖例3解11):(1)01Czi tt 1100()(1)21Czdztiti dttdt232):01:101CzttCzitt 23CCCzdzzdzzdz110011(1)()122tdtit idtii 例例4 計(jì)算 ，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段dCzz 解解 直線的方程可寫成 3 ,4 , 01xt ytt () 3 i4, 01z tttt 則11222001

8、d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t 于是 根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，其復(fù)積分的實(shí)部、虛部滿足實(shí)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，所以 的值不論 是怎樣的曲線都等于 ，這說(shuō)明此函數(shù)的積分值與積分路徑無(wú)關(guān)d(i )(did )ddiddCCCCz zxyxyx xy yy x x y由注dCz zC21(3 4i)23.23.2 哥西積分定理及其推廣哥西積分定理及其推廣提示 復(fù)變Cauchy定理討論的是積分值與積分路徑之間的關(guān)系，與涉及的區(qū)域有關(guān)。區(qū)別兩種區(qū)域： 單連通區(qū)域：在區(qū)域中作任何簡(jiǎn)單閉合圍道，圍道內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域。 復(fù)連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域。D ( ) , ( ) : (

9、 )d0.cf zDf zDCf zz 如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析那么函數(shù)沿內(nèi)的任何一條封閉曲線的積分為零一、單連通區(qū)域上的一、單連通區(qū)域上的Cauchy定理定理C1851年，黎曼在附加假設(shè)年，黎曼在附加假設(shè)“ 在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)”的條件下，得到一個(gè)如下的條件下，得到一個(gè)如下的簡(jiǎn)單證明的簡(jiǎn)單證明( )fz黎曼證明黎曼證明 , ( )( , )( , ), zxiyf zu x yiv x y令C ( ),CCf z dzudxvdyivdxudy則且滿足且滿足CR方程：方程： , , , xyxyuuvvD則在 內(nèi)連續(xù)，, xyyxuvuv 由格林公式：由格林公式：() =0.xyCsudx

10、vdyvudxdy ( )0.Cf z dz 從而定理又稱為定理又稱為柯西古薩特定理柯西古薩特定理.內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)”的假設(shè)，的假設(shè)，發(fā)表上述定理新的證明方法因此，發(fā)表上述定理新的證明方法因此， 1900年年,法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家古薩（古薩（Goursat） 免去免去“ 在在D( )fz ( )fzD而在 內(nèi)連續(xù)， ()0.xyCsvdxudyuv dxdyD 0z1z 1C2C01 , , zz如果曲線起點(diǎn)為終點(diǎn)為12( )d( )dCCf zzf zz10( )dzzf zz 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無(wú)關(guān)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無(wú)關(guān)由定理得由定理得 ( ) f zD如果函數(shù)在單

11、連通區(qū)域內(nèi)處處解析， ( )Cf z dzC那么積分與路線 無(wú)關(guān)即：即：如圖，如圖，則則關(guān)于定理的說(shuō)明關(guān)于定理的說(shuō)明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 的邊界的邊界, ( ) f z函數(shù)在 , DDC即在閉區(qū)域上解析 , DC內(nèi)與上解析 ( )d0.cf zz 那么(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 的邊界的邊界, ( ) f z函數(shù)在 , C在曲線上連續(xù) , D 內(nèi)解析定理仍成立定理仍成立. 哥西也是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與同時(shí)代的高斯被公認(rèn)是當(dāng)時(shí)精通所有數(shù)學(xué)的最后兩位大師，不像高斯，他發(fā)表無(wú)數(shù)的論文，在789篇作品中，內(nèi)容涵蓋光學(xué)、電學(xué)、微分方程、力學(xué)、行列式論、

12、排列群以及機(jī)率學(xué)。他也是復(fù)變量函數(shù)理論的創(chuàng)始者。 此外他也寫過(guò)三本有關(guān)分析的傳統(tǒng)教科書，這幾本書的編寫非常嚴(yán)謹(jǐn)，其立論的準(zhǔn)則仍為近代數(shù)學(xué)所尊為圭臬。在代數(shù)方面，哥西最為人稱道的是他最先將他早年所研究的排列理論用代數(shù)的方法加以具體化，以建立了排列群的正式學(xué)說(shuō)。也由于他的創(chuàng)見(jiàn)，引導(dǎo)后來(lái)的Cayley（在1854）建立抽象群的近世概念。 哥西出生在巴黎，他曾參加拿破侖的工兵部隊(duì)，退役后專心從事數(shù)學(xué)的研究，26歲時(shí)他就已經(jīng)是法國(guó)有名的Ecole理工學(xué)院的一名教授，不久他馬上就建立了法國(guó)最具知名的頭銜，他很喜歡教書，不吝提攜后進(jìn)。我們現(xiàn)在仍然沿用的極限與連續(xù)記號(hào)是他首創(chuàng)的，另外一方面，他同時(shí)也是一位虔誠(chéng)

13、的天主教徒，在68歲那年他突然棄世，留給后人無(wú)限的哀思。 思考：思考：分析：在 l 內(nèi)有二奇點(diǎn)，無(wú)法用Cauchy定理。221zdzz？1z 由柯西積分定理，由柯西積分定理，1. 變上限的積分變上限的積分:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無(wú)關(guān)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無(wú)關(guān)01 , , zz如圖，如果曲線起點(diǎn)為終點(diǎn)為D 0z1z 1C2C12( )d( )dCCf zzf zz10( )dzzf zz011 , , , zzDzz 如如果果固固定定讓讓在在內(nèi)內(nèi)變變動(dòng)動(dòng) 并并令令0 ( )( )d . zzDF zf 便便可可確確定定 內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)則則3.2.2. 不定積

14、分不定積分00 ( ) , ( )( )d , ( )( ). zzf zDzzDF zfDF zf z 如如果果函函數(shù)數(shù)在在單單連連通通域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析、那那末末函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù) 并并且且2、定理一、定理一0 ( )( )d ( ). zzF zff z稱是的一個(gè)原函數(shù)3 3、原函數(shù)之間的關(guān)系、原函數(shù)之間的關(guān)系: :( ) ; f z 的任何兩個(gè)原函數(shù)相差 一個(gè)常數(shù)它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù), ( ) ( ) f zDF z若在區(qū)域內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)，那么那么其全體原函數(shù)可表示為其全體原函數(shù)可表示為 ( )(F zCC為任意常數(shù)）4 4、定理

15、二、定理二( (復(fù)積分的復(fù)積分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式) )101001 ( ) , ( ) ( ) , ( )d( )() , .zzf zDF zf zf zzF zF zzzD如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析為的一個(gè)原函數(shù) 則這里為域內(nèi)的兩點(diǎn)5 ( ) , f zD、說(shuō)明：當(dāng)函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析時(shí)10 ( )dzzf z z對(duì)于積分的計(jì)算類似于高等數(shù)學(xué)里的定積分，可以采用高等數(shù)學(xué)里關(guān)于定積分的所有積分公式和積分方法. 例例解解10 d . zzz z求的值 , z是在復(fù)平面內(nèi)是解析函數(shù)110021 d 2zzzzz zz22101().2zz

16、例例20 cosd .izzz求的值解解20cosdizzz2201cosd2izz201sin2iz21sin()221sin.2 例例0 cos d .izz z求的值使用使用:“分部積分部積分法分法”11 d .izzez求的值課堂練習(xí)課堂練習(xí)(cos1sin1).iei答案答案0cos dizz z0d(sin )izz00 sin sin diizzz z解解0sincosiiiz11.esincos1iii 考慮n+1條圍線 其中 中每一條都在其余各條的外部,而它們又全都在C0的內(nèi)部.在C0內(nèi)部同時(shí)又在 外部的區(qū)域,構(gòu)成一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D,其邊界是一條復(fù)圍線 ,它包括取反時(shí)針?lè)较虻腃

17、0以及取順時(shí)針?lè)较虻?,即觀察者沿C繞行時(shí),區(qū)域D總在它的左邊.01,C CCn12,C CCn12,C CCn012nCCCCC12,nCCC 復(fù)連通區(qū)域上的Cauchy定理01( )( )jnjCCf z dzf z dz設(shè)D是由C0 , C1, C2 , , Cn圍成的多連通區(qū)域，函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則有D定理: 設(shè)D是由復(fù)圍線 所圍成的復(fù)連通區(qū)域, f(z)在 上解析,則有012nCCCCCD( )0,cf z dz 012( )( )( )( ).nccccf z dzf z dzf z dzf z dz或?qū)懗?取n+1條互不相交的全在 上的輔助線用它們順次地連結(jié) (

18、右圖),分D成兩個(gè)單連通區(qū)域D1, D2,其邊界為由定理3.1得把這兩個(gè)等式相加,并注意到沿著輔助曲線 的積分正好沿不同的方向各取一次,在相加的過(guò)程中互相抵消,于是得到改寫成將上面等式左端后面的n項(xiàng)移到等式右端即得所證.L3C0L0C2L2L11C3CD01,.nL LL012,C CC0,nCC12,. 12( )0,( )0.f z dzf z dz01,nL LL( )0.cf z dz 01( )( )( )0,ncccf z dzf z dzf z 其中： a為圍線內(nèi)一點(diǎn)例例31n 當(dāng) 且為整數(shù)時(shí),當(dāng) n = 1 時(shí), 證證 設(shè)C的方程為 L2 i,10,1()nLndznza,iz

19、 ae .idzi e d則22002iicdzi e didizae22(1)100()ii nnninncdzi eidedzae(1)12100(1)i nniei n計(jì)算積分CZ=-1Z=12C1C例例412222.111cccdzdzdzzzz1112112.12112cccdzdzdziizzz又122220.111cccdzdzdziizzz最后得到2222112.12112cccdzdzdziizzz 同理 在圓|z|1)確定的區(qū)域. 定理定理: 在定理3.4的條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D上有各階導(dǎo)數(shù)定理：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)其階導(dǎo)數(shù)為：( )f zn( )010!( )

20、()(1,2,.)2()nncnf zfzdznizz其中c為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于( )f z0z此定理作用：不是通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo)數(shù)，而是通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)求積分 51.,1cos(1)(1)cczrzdzz例 求下列積分的值 其中 為正向圓周55(4)1155cos:(1),cos(1),cos2coscos(1)4!1212zzczczzcziidzzzzi 解在 內(nèi)不是處處解析的 但在內(nèi)處處解析 由定理3.3.3. 模的最大值原理模的最大值原理 哥西不等式哥西不等式 劉維爾定理劉維爾定理摩勒納定理摩勒納定理 201()( )2iiif zrerief zdire201().2if zredDzrizre在公式(3.8)中, 令 為一閉圓 , z為圓心, 并設(shè) 則得這個(gè)公式表明, f(z)在圓心之值等于它在圓周上的算術(shù)平均值, 這就是所謂平均值定理平均值定理.利用平均