浙江大學高等數(shù)學

1、第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的表示法三、函數(shù)的幾種特性一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念1.1.常量與變量常量與變量 在某過程中不發(fā)生變化而保持一定數(shù)值的量稱為常量;在某過程中可以取不同數(shù)值的量稱為變量.常量通常用字母 等表示,變量通常用字母 等表示.cba,zyx,2.2.函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義1 1 設(shè) 是兩個變量, 是一個給定的數(shù)集.如果有一個對應(yīng)法則 ,使得對于每一個數(shù)值 ,變量 都有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng),則稱變量 是變量 的函數(shù),記為其中 稱為自變量, 稱為因變量.集合 稱為函數(shù)的定義域,記為 .yx,DfDxyyx ,DxxfyxyDfD 當自變

2、量 取數(shù)值 時,與 對應(yīng)的 的值稱為函數(shù) 在點 處的函數(shù)值,記為 或 ,函數(shù)值組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域,記為 .xfDx 00 xy xfy 0 x 0 xf0 xxyfZfD 函數(shù)的兩要素:定義域 和對應(yīng)法則 .如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應(yīng)法則,那么它們是相同的函數(shù).f例例1 1 下列函數(shù)是否相同，為什么？ 22,)2(lg,lg2) 1 (xxgxxfxxgxxf解解 與 不是相同的函數(shù),因為定義域不同. xf xg 與 是相同的函數(shù),因為定義域與對應(yīng)法則都相同. xf xg注注 求函數(shù)定義域時應(yīng)注意的一般規(guī)律 開偶次方,根號內(nèi)的表達式不小于零; 對數(shù)中的真數(shù)必須大于零; 分式中的分

3、母不能為零; 反正弦和反余弦符號下的表達式的絕對值不能 大于1; 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法1.1.解析法解析法221gts 例例2 2 作自由落體運動的物體下落時間為 ,下落的距離為 ,假定開始下落的時刻為 ,那么 與 之間的依賴關(guān)系由下式給出:ts0tts當時間 變化時,距離 作相應(yīng)的變化.ts 有些函數(shù)在其定義域上的對應(yīng)法則不能由一個式子表示,即在定義域的不同范圍內(nèi)用不同的解析式表示,這成為分段函數(shù).如符號函數(shù)0, 10, 00, 1sgnxxxxy如圖1.圖1時間（月）123456產(chǎn)量（噸）1032102410271038105710472.2

4、.表格法表格法例例3 3 某煉鋼廠上半年生產(chǎn)的鋼產(chǎn)量如下表，這里的時間 (月)和產(chǎn)量 (噸)之間是兩個相互依賴的變量.TQ對每個月份 ,都有唯一一個與 相應(yīng)的產(chǎn)量 . TQT3.3.圖像法圖像法例例4 4 某自動記錄儀記錄的某電容放電的電容情況,如圖2所示的曲線.圖2 根據(jù)此曲線,就可知道某電容隨時間的變化情況.三、函數(shù)的幾種特性三、函數(shù)的幾種特性1.1.函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù) 的定義域 關(guān)于原點對稱,對于任意的 ,若 ,則稱 為奇函數(shù);若 ,則稱 為偶函數(shù). xfy fD xfxffDx xf xf xfxf注注 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖像 關(guān)于 軸對稱; 一個函數(shù)可以

5、既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù), 如函數(shù) . y23xxy2.2.函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性fDx 設(shè)函數(shù) 的定義域為 ,如果存在一個常數(shù) ,使得對任意 有 ,且 ,則稱函數(shù) 為周期函數(shù), 稱為 的周期. xfy fD0TfDTx xfTxf xf xfT 顯然,若 是周期函數(shù) 的周期,則 也是 的周期 ,通常說的周期就是最小正周期.TkT xf xf, 3 , 2 , 1k 如函數(shù) 和 都是以 為周期的周期函數(shù).xysinxycos23.3.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,對 內(nèi)的任意兩點 ,當 時,若有 ,則稱 在 上是單調(diào)增加的;若有 ,則稱 在 上是單調(diào)減少的. 它們統(tǒng)稱

6、為單調(diào)函數(shù).使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . xfy II21,xx21xx 21xfxf xfII xf 21xfxf 如函數(shù) 在 內(nèi)是單調(diào)增加的,函數(shù) 在 內(nèi)是單調(diào)減少的.xyln, 0 xy,4.4.函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,如果存在正常數(shù) ,使得對于區(qū)間 內(nèi)所有 ,恒有 ,則稱函數(shù) 在區(qū)間 上有界.如果這樣的 不存在,則稱 在區(qū)間 上無界. xfy xfIMIx Mxf xfIIM 如函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是有界的.這是因為對于任意的 都有 成立.而函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是無界的.xysin3xy ,x1sinx第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)一、

7、復合函數(shù)二、初等函數(shù)三、反函數(shù)與隱函數(shù)一、復合函數(shù)一、復合函數(shù) 定義定義2 2 設(shè) 是 的函數(shù) ,而 又是 的函數(shù) .如果對于 的定義域中某些 值所對應(yīng)的 值,函數(shù) 有定義,則 通過 也成為 的函數(shù),稱為由 及 復合而成的復合函數(shù),記為 ,其中 稱為中間變量. yu ufy ux xu xxu ufy yux ufy xu xfyu 注注 只有當 時,復合函數(shù) 才有意義.如 無意義,因為內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域沒有公共部分,不能復合.ZDf xfy9cosxy例例1 1 函數(shù) 是有哪些較簡單的函數(shù)復合而成的?2arctanxy xvvuuy,arctan,2解解 是由 三個較簡單的函數(shù)復合

8、而成的.二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)1.1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 冪函數(shù) ( 為實數(shù)); 指數(shù)函數(shù) ( 是常數(shù)且 ); 對數(shù)函數(shù) ( 是常數(shù)且 ); 三角函數(shù) 反三角函數(shù)xy xay a1, 0aaxyaloga1, 0aa;cot,tan,cos,sinxyxyxyxy,arccos,arcsinxyxyarccotyxy,arctanx2.2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成,并可用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù). 如 等都是初等函數(shù).3lnsin,1ln22xyxy 在工程技術(shù)中常常用到雙曲函數(shù),其定義如下: 雙曲正弦 雙曲余弦 雙曲

9、正切 雙曲余切.sinhcoshcoth;coshsinhtanh;2cosh;2sinhxxxxxxxxxxxxeeeexxxeeeexxxeexeex 關(guān)于雙曲函數(shù)的一些恒等式：.coshsinh22sinh;sinhcosh2cosh;sinhsinhcoshcoshcosh;sinhcoshcoshsinhsinh; 1sinhcosh2222xxxxxxyxyxyxyxyxyxxx三、反函數(shù)與隱函數(shù)三、反函數(shù)與隱函數(shù)1.1.反函數(shù)反函數(shù) 設(shè) 是定義在 上的一個函數(shù),其值域為 .如果對每一數(shù)值 ,有確定的且滿足 的數(shù)值 與之對應(yīng),其對應(yīng)法則記為 ,則定義在 上的函數(shù) 稱為函數(shù) 的反函數(shù). xfy fDfZfZy xfy fDx1ffZ yfx1 xfy 習慣上用 表示自變量, 表示因變量,故常把 的反函數(shù)記為 xy xfy .1xfy例例2 2 求 的反函數(shù).27 xy27 xy解 由 得 交換 和 ,得 所以 是 的反函數(shù).72yx27 xyxy72xy72xy 注注 函數(shù) 與其反函數(shù) 的圖形關(guān)于直線 對稱. xfy xfy1xy 2.2.隱函數(shù)隱函數(shù) 由二元方程 確定的二元函數(shù)稱為隱函數(shù).0,yxF0sin,0133yxexyyx如 前面學習的形如 的函數(shù)稱為顯函數(shù). xfy .133xy 注注 有的隱函數(shù)可以改寫為顯函數(shù)的形式,如 的顯函數(shù)形式為 而有