自動控制理論課件信號與系統(tǒng)chapter

1、劉百芬 張利華主編人民郵電出版社2012.8第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 引言 2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述及響應(yīng) 2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 2.4 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.5 卷積積分及其應(yīng)用 2.6單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性2.1 引 言 本章主要討論利用輸入輸出法對連續(xù)時間線性時不本章主要討論利用輸入輸出法對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)進(jìn)行時域分析。系統(tǒng)的時域分析法包括變系統(tǒng)進(jìn)行時域分析。系統(tǒng)的時域分析法包括經(jīng)典法經(jīng)典法和和雙零法雙零法 。經(jīng)典法經(jīng)典法 雙零法雙零法 即利用高等數(shù)學(xué)中微分方程的理論求解動態(tài)方即利用高等數(shù)學(xué)中微分方程的理論求解動態(tài)方程，得到系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式程，得

2、到系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 。 即將系統(tǒng)響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)即將系統(tǒng)響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 。2.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的描述及響應(yīng)連續(xù)時間連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域描述有兩種形式：系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域描述有兩種形式：輸入輸入輸輸出描述法出描述法和和狀態(tài)變量描述法狀態(tài)變量描述法 。輸入輸入輸出描述法輸出描述法 其數(shù)學(xué)模型是一元其數(shù)學(xué)模型是一元 階常系數(shù)微分方程，在微分方程階常系數(shù)微分方程，在微分方程中包含有激勵和響應(yīng)的時間函數(shù)，以及它們對時間的各階中包含有激勵和響應(yīng)的時間函數(shù)，以及它們對時間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合導(dǎo)數(shù)的線性組合 。n狀態(tài)變量描述法狀態(tài)變量

3、描述法 其數(shù)學(xué)模型是其數(shù)學(xué)模型是 元一階聯(lián)立微分方程組。元一階聯(lián)立微分方程組。 n注意注意本章只討論輸入本章只討論輸入輸出描述法輸出描述法 一般情況下，對于一個恒定集總參數(shù)線性系統(tǒng)，一般情況下，對于一個恒定集總參數(shù)線性系統(tǒng)，其輸入激勵信號其輸入激勵信號 與輸出響應(yīng)信號與輸出響應(yīng)信號 之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程式來描述：總可以用下列形式的微分方程式來描述： 11101( )( )( )( )nnnnnnd y tdy tdy taaaa y tdtdtdt-+鬃 +11101( )( )( )( )mmmmmmd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt-=+鬃

4、 +或者簡寫為：或者簡寫為：kk00( )( )nmkkkkkkd y td x tabdtdt=邋 上式中系數(shù)上式中系數(shù) 均為常數(shù)，上式就是一個定常系數(shù)均為常數(shù)，上式就是一個定常系數(shù)的的 階線性常系數(shù)微分方程，對此微分方程求解就可以階線性常系數(shù)微分方程，對此微分方程求解就可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)得到系統(tǒng)的響應(yīng) 。 ( )x t( )y tkkab、n（2.1）常系數(shù)微分方程的求解常系數(shù)微分方程的求解 常系數(shù)線性微分方程的完全解由齊次解常系數(shù)線性微分方程的完全解由齊次解 和特和特解解 兩部分組成，即：兩部分組成，即： ( )hy t( )pyt( )( )( )hpy ty tyt=+(1)齊次解齊

5、次解 指常系數(shù)線性微分方程的激勵信號指常系數(shù)線性微分方程的激勵信號 及各階導(dǎo)數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)都等于零時的解。即齊次解應(yīng)滿足齊次微分方程：都等于零時的解。即齊次解應(yīng)滿足齊次微分方程：( )x t11101( )( )( )( )0nnnnnnd y tdy tdy taaaa y tdtdtdt-+鬃 +=（2.2）( )ty tAel=將將 代入代入（2.2）式可得：式可得： 11100ntntttnna AeaAea A ea Aelllllll-+=在在 和和 均不為零時，上式可簡化為均不為零時，上式可簡化為Atel11100nnnnaaaalll-+= （2.3） 式式（2.3）稱為微分方程

6、稱為微分方程（2.1）的特征方程，特征方程的特征方程，特征方程的根稱為微分方程的特征根。的根稱為微分方程的特征根。 即微分方程的齊次解為：即微分方程的齊次解為：1212( )nttthny tAeA eA elll=+ 式中式中 由初始條件決定由初始條件決定 12,nA AA, 齊次解有時稱為齊次解有時稱為固有解固有解 (或稱或稱自由解自由解)。自由解也。自由解也稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng) 。 現(xiàn)將不同特征根所對應(yīng)的齊次解總結(jié)如下表：現(xiàn)將不同特征根所對應(yīng)的齊次解總結(jié)如下表： l( )hy ttAel121210rtrtttrrAteAteAteA ellll-+1212cos()si

7、n()cos(),=A +jAttteAtAtete或A其中Aaaabbbq+-r-1r-2r-11r-2200A tcos()Atcos()+Acos()tttrretetetlllbqbqbq-+iA不同特征根所對應(yīng)的齊次解（自由解）不同特征根所對應(yīng)的齊次解（自由解）特征根特征根齊次解齊次解 的形式的形式單實根單實根r重實根重實根r重共軛復(fù)根重共軛復(fù)根注：表中注：表中 為待定系數(shù)，由初始條件確定。為待定系數(shù)，由初始條件確定。一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根1,2jlab=表表2.1 (2)特解特解 系統(tǒng)微分方程式（系統(tǒng)微分方程式（2.1）的特解）的特解 是由輸入是由輸入信號產(chǎn)生的，所以也被稱為信號

8、產(chǎn)生的，所以也被稱為強(qiáng)迫解強(qiáng)迫解。 ( )pyt 下表列出了幾種典型激勵函數(shù)下表列出了幾種典型激勵函數(shù) 對應(yīng)的特解對應(yīng)的特解 ，通，通過查下表選定特解函數(shù)式后，代入原方程后求得特解函過查下表選定特解函數(shù)式后，代入原方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可求出特解。特解也稱為系統(tǒng)的數(shù)式中的待定系數(shù)，即可求出特解。特解也稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。( )x t( )pyt 與幾種典型的激勵函數(shù)相應(yīng)的特解( )pytBpt1110ppppB tBtBtB-+鬃 +teatBea0costw1020cossinBtBtww+0sintw0cosptt etaw1110011100()cos()sinpp

9、tpppptppB tBtBtB etD tDtDtD etaaww-+鬃 +鬃 +0sinptt etaw特解特解激勵函數(shù)激勵函數(shù)E（常數(shù)）（常數(shù)）表表2.2 (3)完全解完全解 求得系統(tǒng)微分方程的齊次解和特解后，將齊次解求得系統(tǒng)微分方程的齊次解和特解后，將齊次解 和和特解特解 相加即可得到系統(tǒng)微分方程的相加即可得到系統(tǒng)微分方程的完全解完全解。下面通過例。下面通過例題說明經(jīng)典法求解的全部過程。題說明經(jīng)典法求解的全部過程。 ( )hy t( )pyt例例 2.1 已知微分方程已知微分方程 22222( )( )76( )6cos2( )dytdy ty ttu tdtdt+=(0 )0y+=，

10、(0 )0y+= ，求輸出信號，求輸出信號 的表達(dá)式。的表達(dá)式。 ( )y t解解 （1）求齊次解）求齊次解 根據(jù)微分方程，寫出特征方程根據(jù)微分方程，寫出特征方程2760ll+=解得特征根為解得特征根為121,6ll= -= -根據(jù)表根據(jù)表2.1，則齊次解為，則齊次解為612( )tthy tAeA e-=+（2）求特解）求特解 由微分方程，根據(jù)表由微分方程，根據(jù)表2.2可知特解函數(shù)式為可知特解函數(shù)式為 12( )sin2cos2pytBtBt=+將將 代入微分方程，得代入微分方程，得( )pyt1212124sin24cos214cos214sin26sin26cos26cos2BtBtBt

11、BtBtBtt-+-+=化簡后得化簡后得 1212(214)sin2(1426)cos20BBtBBt-+-=解得解得12213,5050BB= 于是，特解為于是，特解為213( )sin2cos25050pyttt=+（3）求完全解）求完全解完全解為完全解為612213( )( )( )sin2cos25050tthpy ty tytAeA ett-=+=+下面確定待定系數(shù)下面確定待定系數(shù) 12,A A由初始條件由初始條件 (0 )0y+=(0 )0y+=， 可以得到可以得到12123050426050AAAA+=-+=解出解出 1269,2550AA= -=所以完全解為所以完全解為 669

12、213( )(sin2cos2 ) ( )25505050tty teett u t-= -+ 初始條件的確定初始條件的確定 受激勵受激勵 的影響，系統(tǒng)狀態(tài)從的影響，系統(tǒng)狀態(tài)從 到到 可可能發(fā)生變化，導(dǎo)致能發(fā)生變化，導(dǎo)致 不等不等于于 的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 0t-=0t+=11(0 ),(0 ),(0 )nnddyyydtdt,-+-11(0 ),(0 ),(0 )nnddyyydtdt,-( )x t起始點跳變的產(chǎn)生：起始點跳變的產(chǎn)生：對電容而言對電容而言 )(tiC( )CutC由伏安關(guān)系由伏安關(guān)系00001111( )( )d( )d( )d( )dttCCCCCutiiiiCCCCtttt

13、tttt-+-+-=+蝌蝌00011(0 )( )d( )dtCCCuiiCCtttt+-+-=+蝌起始點跳變的產(chǎn)生起始點跳變的產(chǎn)生令令 ，可得，可得 0t+=001(0 )(0 )( )d0CCCuuiCtt+-+-=+如果如果 為有限值，則為有限值，則( )ci t00( )d0 Citt+-=此時此時(0 )(0 )CCuu+-=如果如果 ，則，則( )( )ci ttd=00( )d1Citt+-=此時此時1(0 )(0 )CCuuC+-=+ 由上面的分析可以知道，當(dāng)沒有受到?jīng)_激電流（或由上面的分析可以知道，當(dāng)沒有受到?jīng)_激電流（或階躍電壓）作用時，電容兩端的電壓階躍電壓）作用時，電容兩

14、端的電壓 不發(fā)生跳變，不發(fā)生跳變，即滿足換路定則；當(dāng)受到?jīng)_激電流（或階躍電壓）作用即滿足換路定則；當(dāng)受到?jīng)_激電流（或階躍電壓）作用時，電容兩端的電壓時，電容兩端的電壓 會發(fā)生跳變。會發(fā)生跳變。( )Cut( )Cut 同樣可以推導(dǎo)，對電感而言，當(dāng)電感沒有受到?jīng)_激電同樣可以推導(dǎo)，對電感而言，當(dāng)電感沒有受到?jīng)_激電壓（或階躍電流）作用時，流過電感的電流壓（或階躍電流）作用時，流過電感的電流 不跳變不跳變，即滿足換路定則。當(dāng)電感受到?jīng)_激電壓（或階躍電流，即滿足換路定則。當(dāng)電感受到?jīng)_激電壓（或階躍電流）作用時，流過電感的電流）作用時，流過電感的電流 會發(fā)生跳變。會發(fā)生跳變。 ( )Li t( )Li t

15、 初始條件的確定初始條件的確定 這里我們介紹用這里我們介紹用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法來確定來確定 狀態(tài)的值，狀態(tài)的值，它的基本原理根據(jù)它的基本原理根據(jù) 時刻微分方程左右兩端的時刻微分方程左右兩端的 及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。0+0t =( ) td例例 2.2 如果描述系統(tǒng)的微分方程為如果描述系統(tǒng)的微分方程為 ，給定給定 狀態(tài)起始值為狀態(tài)起始值為 ，確定它，確定它 的狀態(tài)的狀態(tài) 。( )3 ( )3( )y ty ttd+=0-(0 )y-(0 )y+0+解解 由微分方程可知，方程右端含由微分方程可知，方程右端含 ，為使方程，為使方程平衡，等式左端也應(yīng)有對應(yīng)的平衡

16、，等式左端也應(yīng)有對應(yīng)的 函數(shù)，而且也函數(shù)，而且也只能出現(xiàn)在最高階項，因此可以設(shè)只能出現(xiàn)在最高階項，因此可以設(shè)( ) td( ) td( )( )( )( )y tatbtc u tdd=+ D t將上式從將上式從 到到 積分一次，可得積分一次，可得0-0+( )( )( )y tatb u td=+ D把上面兩個式子代入原方程把上面兩個式子代入原方程 得得 ( )3 ( )3( )y ty ttd+=( )( )( ) 3( )( )3( )atbtc u tatb u ttdddd+ D+ D=根據(jù)方程兩端對應(yīng)項系數(shù)相等，可以得到根據(jù)方程兩端對應(yīng)項系數(shù)相等，可以得到33030abacb=+=

17、+=所以有所以有 3,9,27abc= -=因此因此(0 )(0 )9yyb+-= -(0 )9(0 )yy+-= - +， 利用利用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法確定初始條件的求解方法基本步驟如下確定初始條件的求解方法基本步驟如下一般情況下，如果一般情況下，如果 時的微分方程為時的微分方程為 0t =nn-1101( )( )( )nnnnddCy tCy tC y tdtdt-+mm-1101( )( )( )mmmmddbtbtbtdtdtddd-=+ 根據(jù)方程右邊激勵項中根據(jù)方程右邊激勵項中 的最高微分階次，確定方的最高微分階次，確定方程左邊程左邊 的最高微分次項的的最高微分次項的 的微

18、分階次，并構(gòu)造的微分階次，并構(gòu)造相應(yīng)的沖激函數(shù)形式，此時相應(yīng)的沖激函數(shù)形式，此時 在在 到到 區(qū)間，可得區(qū)間，可得 nmm-1101( )( )( )( )( )mmnmmdddy tatatatb u tdtdtdtddd-=+ D 第一步第一步( ) td( )y t( ) tdt0-0+ 第二步第二步 將上式通過一次或多次積分得到將上式通過一次或多次積分得到 及其微分及其微分的沖激函數(shù)形式，即的沖激函數(shù)形式，即( )r tn-1m-1m-2110112n-2m-2m-311223( )( )( )( )( )( )( )( )( ).( ).mmnmmmmnmmdddy tatatata

19、u tdtdtdtdddy tatata u tdtdtdty tddddd-=+D=+D= ， 第三步第三步 將以上方程代入微分方程，平衡方程兩邊的將以上方程代入微分方程，平衡方程兩邊的及其微分項，可以求得及其微分項，可以求得 ，則，則 ( ) td10,.,mmaaa b-nnn-1n-1011(0 )(0 )(0 )(0 ).(0 )(0 ).nnnnddyybdtdtddyyadtdtyy+-+-+-=-=-=所以所以 時時0+nnn-1n-1011(0 )(0 )(0 )(0 ).(0 ).(0 )nnnnddybydtdtddyaydtdtyy+-+-+-=+=+=+例例2.3 用

20、沖激函數(shù)匹配法求解系統(tǒng)完全響應(yīng)，系統(tǒng)方程為用沖激函數(shù)匹配法求解系統(tǒng)完全響應(yīng)，系統(tǒng)方程為2222( )7( ) 10 ( )( )6( )4 ( )ddddy ty ty tx tx tx tdtdtdtdt+=+假設(shè)電路中假設(shè)電路中 在在 時刻由時刻由2V跳變到跳變到4V ，且，且 ( )x t0t =4(0 )(0 ),05dyydt-=解解 （1） 求齊次解求齊次解系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為27100ll+=特征根為特征根為122,5ll= -= -則所對應(yīng)的齊次解為則所對應(yīng)的齊次解為 2512( )tthy tAeA e-=+（2.4） （2）求特解）求特解當(dāng)當(dāng) 時，時， ，微分方

21、程為，微分方程為 0t ( )4x t =22( )7( ) 10 ( )16ddy ty ty tdtdt+=設(shè)特解為設(shè)特解為 ，代入上式，可得，代入上式，可得 ( )y tB=85B =則，系統(tǒng)的完全響應(yīng)為則，系統(tǒng)的完全響應(yīng)為25128( )5tty tAeA e-=+（3）求初始條件）求初始條件 根據(jù)給定的根據(jù)給定的 ，考慮到，考慮到 在換路過程中的變化，在在換路過程中的變化，在 時刻時刻由由 2V跳變到跳變到4V，代入題中方程中，得到，代入題中方程中，得到 時的微分方程為時的微分方程為 ( )x t0t =( )x t0t =22( )7( ) 10 ( )2( ) 12 ( ) 8(

22、 )ddy ty ty tttu tdtdtdd+=+ D由于微分方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是由于微分方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是 ，因而可設(shè)，因而可設(shè) ( ) td22( )( )( )( )( )( )( )( )( )dy tatbtc u tdtdy tatb u tdty ta u tddd=+ D=+ D= D代入上式得代入上式得 ( )( )( ) 7( )( ) 10( )atbtc u tatb u ta u tddd+ D+ D+D2( ) 12 ( ) 8( )ttu tdd=+ D 根據(jù)方程兩端對應(yīng)項系數(shù)相等，可以得到根據(jù)方程兩端對應(yīng)項系數(shù)相等，可以得到271271

23、08abacba=+=+=因而有因而有2222(0 )(0 )2(0 )(0 )2(0 )(0 )2yyaddyybdtdtddyycdtdt+-+-+-=-= -=則所求的初始條件即則所求的初始條件即 狀態(tài)為狀態(tài)為0+414(0 )2(0 )(2),(0 )2(0 )255ddyyyydtdt+-+-=+=+= - += - （4）求全響應(yīng)）求全響應(yīng) 當(dāng)當(dāng) 時，將上面所求的初始值時，將上面所求的初始值 和和 代入代入完全解表達(dá)式（完全解表達(dá)式（2.4），可得），可得1212814(0 )55(0 )252yAAdyAAdt+=+= -= -解得待定系數(shù)為解得待定系數(shù)為 1242,315AA=

24、 -將待定系數(shù)代入完全解表達(dá)式，得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為將待定系數(shù)代入完全解表達(dá)式，得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為25428( )3155tty tee-=-+0t 0t+=(0 )y+(0 )dydt+ 由上面的例題可知，采用由上面的例題可知，采用經(jīng)典法經(jīng)典法求解連續(xù)時間求解連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的微分方程的一般步驟如下：微分方程的一般步驟如下：（1）列寫系統(tǒng)微分方程，并將聯(lián)立微分方程化為一元高階）列寫系統(tǒng)微分方程，并將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程微分方程;（2）求特征根，根據(jù)特征根寫出含待定系數(shù)）求特征根，根據(jù)特征根寫出含待定系數(shù) 的齊次解的齊次解的形式的形式; （3）根據(jù)）根據(jù) 微分方程右邊的形式，

25、查表微分方程右邊的形式，查表2.2求特解，從求特解，從而得到完全解的表達(dá)式而得到完全解的表達(dá)式;0t （4）根據(jù)起始條件和輸入激勵，確定初始條件，并將初）根據(jù)起始條件和輸入激勵，確定初始條件，并將初始條件代入完全解的表達(dá)式中求解待定系數(shù)始條件代入完全解的表達(dá)式中求解待定系數(shù) ，以得到，以得到系統(tǒng)的完全解。系統(tǒng)的完全解。kAkA 2.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零輸人響應(yīng)零輸人響應(yīng)是指輸入為零，亦即沒有外加激勵信號的是指輸入為零，亦即沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)的儲能）所引起的響作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)的儲能）所引起的響應(yīng)，一般用應(yīng)，一般用 表示

26、。表示。 ( )ziyt零輸入響應(yīng)滿足的微分方程為零輸入響應(yīng)滿足的微分方程為:11101( )( )( )( )0nnnnnnd y tdy tdy taaaa y tdtdtdt-+鬃 +=若其特征根為單根，則解的形式為若其特征根為單根，則解的形式為:1( )kntzizikkytA el= 由于激勵信號由于激勵信號 ，系統(tǒng)在起始時刻不會產(chǎn)生跳變，系統(tǒng)在起始時刻不會產(chǎn)生跳變，所以所以 。因此，由邊界條件確定的待定系數(shù)。因此，由邊界條件確定的待定系數(shù) 可以由可以由 確定。確定。 ( )0 x t =( )( )(0 )(0 )kkyy+-=zikA( )(0 )ky- 例例2.4 系統(tǒng)的微分方

27、程為系統(tǒng)的微分方程為 ，分別求，分別求以下兩種初始條件下的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：以下兩種初始條件下的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：2244 ( )( )d ydyy tx tdtdt+=1(1)(0 )1y-=1,(0 )3y-=2(2)(0 )2y-=2,(0 )6y-=解解 （1）系統(tǒng)的特征方程為）系統(tǒng)的特征方程為 2440ll+=特征根為特征根為 122ll= -22112( )ttziziziytA eA te根據(jù)表根據(jù)表2.1，設(shè)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為，設(shè)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為11112(0 )1(0 )23ziziziyAyAA-= -+=由起始條件，可得由起始條件，可得 121,5ziziAA聯(lián)立求解，可得

28、待定系數(shù)為聯(lián)立求解，可得待定系數(shù)為所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為221( )5,0ttziytetet-=+（2）系統(tǒng)零輸入響應(yīng)同本例（）系統(tǒng)零輸入響應(yīng)同本例（1）為）為 22212( )ttziziziytA eA te-=+ 由起始條件，可得由起始條件，可得 21212(0 )2(0 )26ziziziyAyAA-= -+=122,10ziziAA聯(lián)立求解，可得待定系數(shù)為聯(lián)立求解，可得待定系數(shù)為所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為222( )210,0ttziytetet-=+ 由例題可知，由例題可知， ，當(dāng)外加激勵為零時，起始儲，當(dāng)外加激勵為零時，起始儲能擴(kuò)大一倍，

29、對應(yīng)的零輸入響應(yīng)就擴(kuò)大一倍，即系統(tǒng)的零輸入能擴(kuò)大一倍，對應(yīng)的零輸入響應(yīng)就擴(kuò)大一倍，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對應(yīng)于起始狀態(tài)呈線性，這種現(xiàn)象稱為響應(yīng)對應(yīng)于起始狀態(tài)呈線性，這種現(xiàn)象稱為零輸入線性零輸入線性。21( )2( )ziziytyt=此外此外 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與輸入無關(guān)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)影響系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與輸入無關(guān)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)影響零輸入響應(yīng)的系數(shù)，不同的起始狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響零輸入響應(yīng)的系數(shù)，不同的起始狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有相同形式，但是具有不同的系數(shù)。應(yīng)具有相同形式，但是具有不同的系數(shù)。 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，由外加激勵是指系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零

30、，由外加激勵信號作用而引起的響應(yīng)，一般用信號作用而引起的響應(yīng)，一般用 表示。表示。( )zsyt 對于零狀態(tài)響應(yīng)，就是微分方程式（對于零狀態(tài)響應(yīng)，就是微分方程式（2.1）在系統(tǒng)的）在系統(tǒng)的初始儲能為零，即初始儲能為零，即 時的解時的解 。( )(0 )0ky-= 其解由其解由自由響應(yīng)自由響應(yīng)和和強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)構(gòu)成，其中自由響應(yīng)的形構(gòu)成，其中自由響應(yīng)的形式由特征根確定，如表式由特征根確定，如表2.1所示，強(qiáng)迫響應(yīng)的形式取決于所示，強(qiáng)迫響應(yīng)的形式取決于激勵的形式，如表激勵的形式，如表2.2所示。所示。 若其特征根為單根，則解的形式為若其特征根為單根，則解的形式為 ：1( )( )kntzszsk

31、pkytA eytl=+ ( )( )( )hpy ty tyt=+( )( )zizsytyt=+由于由于則可得系統(tǒng)全響應(yīng)的表達(dá)式如下則可得系統(tǒng)全響應(yīng)的表達(dá)式如下11( )( )kknnttzikzskpkky tA eA eyt 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)ll=+邋1)( )kntzikzskpkAAeyt 強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)（l=+1( )kntkpkA eyt 強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)l=+ 在零狀態(tài)響應(yīng)中，由于存在外加激勵的作用，此在零狀態(tài)響應(yīng)中，由于存在外加激勵的作用，此時時 ，所以零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式中的待定，所以零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式中的待定系數(shù)系數(shù) 由跳變量由跳變量 和外加激勵共和外加激勵共同來確定。

32、同來確定。( )( )(0 )(0 )kkyy+-zskA( )( )( )(0 )(0 )(0 )kkkzsyyy+-=-例例2.5 系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 ， 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 22d( )d ( )d ( )32 ( )26 ( )dddy ty tx ty tx tttt+=+( )( )x tu t=解解 因為因為 ，所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是微分方程，所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是微分方程( )( )x tu t=22d( )d ( )32 ( )2 ( )6 ( )ddy ty ty ttu tttd+=+滿足滿足 的解。的解。 (0 )(0 )0yy-=（

33、1） 求齊次解求齊次解系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為2320ll+=特征根為特征根為 122,1ll= -= -則所對應(yīng)的齊次解為則所對應(yīng)的齊次解為 212( )tthy tAeA e-=+（2. 5） （2）求特解）求特解當(dāng)當(dāng) 時，微分方程為時，微分方程為0t 22( ) 3( )2 ( )6ddy ty ty tdtdt+=設(shè)特解為設(shè)特解為 ，代入上式，可得，代入上式，可得 ( )pytB=3B =則，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為則，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為212( )3ttzsytAeA e-=+（3）求初始條件）求初始條件根據(jù)沖激函數(shù)匹配法可設(shè)根據(jù)沖激函數(shù)匹配法可設(shè)22( )( )( )( )( )

34、dy tatb u tdtdy ta u tdtd=+ D= D代入式（代入式（2.5），令），令 時，可得時，可得 0t =( )( )( )( )( )322a tb u ta u ty t t+ D+D+=解得解得 2a =故其初始條件為故其初始條件為(0 )(0 )(0 )0(0 )(0 )(0 )2zszsyyydddyyyadtdtdt+-+-=-=-= （4）求零狀態(tài)響應(yīng)）求零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng)當(dāng) 時，將上面所求的初始值時，將上面所求的初始值 和和 代入零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式代入零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式 中中0t+=(0 )zsy+(0 )zsdydt+解得待定系數(shù)為解得待定系數(shù)為121,4AA=

35、- 將待定系數(shù)代入零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式，得到系統(tǒng)的將待定系數(shù)代入零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)為2( )43ttzsytee-=-+0t 若將例題若將例題2.5中的激勵由中的激勵由 增加到增加到 ，可以計，可以計算出系統(tǒng)相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)也由算出系統(tǒng)相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)也由 增加增加到到 ，即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對應(yīng)于激勵，即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對應(yīng)于激勵信號呈線性，這種現(xiàn)象稱為信號呈線性，這種現(xiàn)象稱為零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性。( )u t( )2u t2(43)ttee-+22(43)ttee-+ 例例2.6 已知某已知某LTI系統(tǒng)的微分方程同例系統(tǒng)的微分方程同例2.5， ,試求系統(tǒng)的全響應(yīng)、

36、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、試求系統(tǒng)的全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 (0 )2,(0 )0yy-=( )( )x tu t=解解 （1）求零輸入響應(yīng)）求零輸入響應(yīng)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)對應(yīng)的微分方程為系統(tǒng)零輸入響應(yīng)對應(yīng)的微分方程為22d( )d ( )32 ( )0ddy ty ty ttt+=系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)即為微分方程的齊次解，為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)即為微分方程的齊次解，為212( )ttziziziytA eA e-=+將將 代入上式，可得代入上式，可得 122,4ziziAA= -=則，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為則，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為2zi( )4e2ettyt-=

37、-(0 )2,(0 )0yy-= （2）求零狀態(tài)響應(yīng)）求零狀態(tài)響應(yīng)同例題同例題2.5，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為2( )43ttzsytee-=-+（3）求全響應(yīng)）求全響應(yīng)系統(tǒng)的全響應(yīng)為系統(tǒng)的全響應(yīng)為222ziz( )( )( )4e2e43e3tttttsy tytytee 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)-=+=-+-+= -+0t （4）求自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)）求自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng) 由于系統(tǒng)的特征根為由于系統(tǒng)的特征根為 ，所以從系統(tǒng)的全，所以從系統(tǒng)的全響應(yīng)式中可以看出，與特征根對應(yīng)的自由響應(yīng)為響應(yīng)式中可以看出，與特征根對應(yīng)的自由響應(yīng)為2( )=ethy t-0t 又由于系統(tǒng)的外加激勵的形式

38、為又由于系統(tǒng)的外加激勵的形式為 ，故與外部激，故與外部激勵具有相同形式的強(qiáng)迫響應(yīng)為勵具有相同形式的強(qiáng)迫響應(yīng)為( )3pyt =0t ( )6u t122,1ll= -= - 完全響應(yīng)的另一種重要的分解是將完全響應(yīng)分解完全響應(yīng)的另一種重要的分解是將完全響應(yīng)分解為為瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng) 和和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 之和，即之和，即( )( )( )tsy ty ty t=+( )sy t( )ty t瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 指激勵信號接入后，完全響應(yīng)中隨著時間的指激勵信號接入后，完全響應(yīng)中隨著時間的增長而趨于零的項，如完全響應(yīng)中按指數(shù)衰減的增長而趨于零的項，如完全響應(yīng)中按指數(shù)衰減的各項均是瞬態(tài)響

39、應(yīng)各項均是瞬態(tài)響應(yīng) 。 指完全響應(yīng)中隨著時間增長不趨于零，而最指完全響應(yīng)中隨著時間增長不趨于零，而最終保留下來的項。終保留下來的項。 對于例對于例2.6，自由響應(yīng)部分是瞬態(tài)響應(yīng)分量，強(qiáng)迫，自由響應(yīng)部分是瞬態(tài)響應(yīng)分量，強(qiáng)迫響應(yīng)部分是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，即響應(yīng)部分是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，即2( )( )( )e3thpy ty tyt瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)-=+= -+0t 2.4 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 以單位沖激信號以單位沖激信號 作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為應(yīng)稱為“單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)”，或簡稱，或簡稱“沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)”。通常。通常用用 表示

40、。表示。 ( ) td( )h t對于連續(xù)時間對于連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)系統(tǒng)，其沖激響應(yīng) 滿足微分方程滿足微分方程11101( )( )( )( )nnnnnnd h tdh tdh taaaa h tdtdtdt-+鬃 +11101( )( )( )( )mmmmmmdtdtdtbbbbtdtdtdtdddd-=+鬃 +( )h t在在 的情況下的情況下 nm若系統(tǒng)的特征方程共有若系統(tǒng)的特征方程共有 個非重根，則個非重根，則0( )() ( )kntkkh tA eu tl=n 下面我們介紹兩種方法來確定下面我們介紹兩種方法來確定 KA方法一方法一 奇異函數(shù)平衡法奇異函數(shù)平衡法 奇異

41、函數(shù)平衡法的基本做法是將奇異函數(shù)平衡法的基本做法是將 的表達(dá)式及的表達(dá)式及其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程式，使微分方程兩端奇異其各階導(dǎo)數(shù)代入微分方程式，使微分方程兩端奇異函數(shù)的系數(shù)相匹配，從而確定待定系數(shù)函數(shù)的系數(shù)相匹配，從而確定待定系數(shù) 。( )h tKA例例2.7 已知某連續(xù)時間已知某連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為22d( )d ( )d ( )43 ( )2 ( )ddy ty tx ty tx ttdtt+=+0t 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。( )( )x ttd=解解 當(dāng)當(dāng) ，系統(tǒng)的響應(yīng)即為，系統(tǒng)的響應(yīng)即為 ，此時原微分方程式為，此時原微分方程式為( )h t2

42、2d( )d ( )d ( )43 ( )2 ( )ddh th tth tttdttdd+=+0t 求其特征根為求其特征根為121,3ll= -= -于是有于是有312( )() ( )tth tAeA eu t-=+對對 逐次求導(dǎo)得到逐次求導(dǎo)得到 ( )h t()()()()33121231212 ( )( )3( )( )3( )tttttth tAeA etAeA eu tAAtAeA eu tdd-=+ -=+ -( ) ()( ) () ( )()( )(2)312121239tthtAAtAAtAeA eu tdd-=+ -+將將 ， ， 式代入微分方程，利用奇異函式代入微分方程

43、，利用奇異函數(shù)平衡的原則，可以得到數(shù)平衡的原則，可以得到1212132AAAA+=+=可以解得可以解得 1211,22AA=于是，沖激響應(yīng)為于是，沖激響應(yīng)為()31( )( )2tth teeu t-=+( )h t ( )ht(2)( )ht 方法二方法二 系統(tǒng)特性法系統(tǒng)特性法 系統(tǒng)特性法的基本做法是先求解右邊激勵項為系統(tǒng)特性法的基本做法是先求解右邊激勵項為 時的單位時的單位沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) ，再利用系統(tǒng)的線性時不變性求解所求激勵的沖，再利用系統(tǒng)的線性時不變性求解所求激勵的沖激響應(yīng)。下面仍以例激響應(yīng)。下面仍以例2.7的求解來說明該方法的基本步驟。的求解來說明該方法的基本步驟。( ) td0(

44、 )h t解解 令所給微分方程式右邊為令所給微分方程式右邊為 ，即，即( ) td22d( )d ( )43 ( )( )ddh th th ttttd+=可得可得3012( )() ( )tth tAeA eu t-=+ 由題可知系統(tǒng)的初始條件為由題可知系統(tǒng)的初始條件為 ，將其帶，將其帶入入 的表達(dá)式解得的表達(dá)式解得0(0 )1h+=0(0 )0,h+=1211,22AA= -所以所以301( )() ( )2tth teeu t-=-根據(jù)系統(tǒng)的線性，其沖激響應(yīng)為根據(jù)系統(tǒng)的線性，其沖激響應(yīng)為()3001( )( )2( )( )2tth thth teeu t-=+=+0( )h t 階躍響

45、應(yīng)階躍響應(yīng) 以單位沖激信號以單位沖激信號 作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為“單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)”，或簡稱，或簡稱“階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)”。通常用。通常用 表示。表示。 ( )u t( )g t對于連續(xù)時間對于連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)系統(tǒng)，其階躍響應(yīng) 滿足微分方程滿足微分方程11101( )( )( )( )nnnnnnd g tdg tdg taaaa g tdtdtdt-+鬃 +11101( )( )( )( )mmmmmmd u tdu tdu tbbbb u tdtdtdt-=+鬃 +( )g t在在 的情況下的情況下 nm若系統(tǒng)的特征方程共有

46、若系統(tǒng)的特征方程共有 個非重根，則個非重根，則n1( )() ( )kntkkg tA eB u tl=+ 例例2.8 例例2.7所示的連續(xù)時間所示的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程，系統(tǒng)的微分方程，試求試求 激勵時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。激勵時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 ( )( )x tu t=解解 當(dāng)當(dāng) ，原微分方程式變?yōu)?，原微分方程式變?yōu)?2d( )d ( )d ( )43 ( )2 ( )ddg tg tu tg tu ttdtt+=+求其特征根為求其特征根為121,3ll= -= -方程解的形式為方程解的形式為312( )() ( )ttg tAeA eB u t-=+當(dāng)當(dāng) 時，將特解時，將特解 代入式

47、（代入式（1）中，可得）中，可得 B0t+23B =（1）( )( )x tu t= ， 對對 逐次求導(dǎo)得到逐次求導(dǎo)得到 ( )g t()()331212312122 ( )( )3( )32( )3( )3ttttttgtAeA etAeA eu tAAtAeA eu tdd-驏琪=+ -琪桫驏琪=+ -琪桫( )( ) () ( )()( )(2)31212122393ttgtAAtAAtAeA eu tdd-驏琪=+ -+琪桫將將 ， ， 代入微分方程，利用奇異函數(shù)平代入微分方程，利用奇異函數(shù)平衡的原則衡的原則 可得可得1211,26AA= -= -于是，階躍響應(yīng)為于是，階躍響應(yīng)為311

48、2( )( )263ttg teeu t-驏琪= -+琪桫( )g t ( )gt( )(2)gt 2.5 卷積積分及其應(yīng)用卷積積分及其應(yīng)用卷積的計算卷積的計算卷積的數(shù)學(xué)定義如下：卷積的數(shù)學(xué)定義如下：1212( )( )( )( )()x tx tx txx tdttt-=*=- 積分限隨具積分限隨具體函數(shù)而變體函數(shù)而變下面介紹用圖解法計算卷積的步驟：下面介紹用圖解法計算卷積的步驟：（1）將）將 和和 中的自變量由中的自變量由 改為改為 ； （2）把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，一般情況下，選）把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，一般情況下，選擇擇 和和 中較簡單的進(jìn)行運算，如將中較簡單的進(jìn)行運算，如將 翻轉(zhuǎn)得翻轉(zhuǎn)得 ；

49、（3）將）將 平移平移 得到得到 ； （4）將）將 與與 相乘，完成重疊部分相相乘，完成重疊部分相乘的圖形積分。乘的圖形積分。1( )x t2( )x tt 2( )xt2()xt-2()x tt-1( )xt1( )x t2( )x t2()xt-t2()x tt- 例例2.9 已知信號已知信號 如下圖所示，試求如下圖所示，試求 ( ),( )x th t( )( )( )y tx th t=*解解 將將 中的自變量由中的自變量由 改為改為 ，得到，得到 并將并將 翻轉(zhuǎn)得翻轉(zhuǎn)得 ，再將，再將 平移平移 得到得到 ( ),( )x th tt ( ),( )xhtt()ht-()h tt-(

50、)ht()ht-t如圖如圖 （1）當(dāng)）當(dāng) 時，有時，有 ，如（，如（a）圖）圖 ，故，故1/ 2t -( ) ()0 xh ttt-=( )( )( )( ) ()0y tx th txh tdttt-=*=-=（2）當(dāng)）當(dāng) 時，如（時，如（b）圖，故）圖，故1/ 21t-21211( )1()24416ttty ttdtt-=-=+圖（圖（a）圖（圖（b） （3）當(dāng)）當(dāng) 時，如（時，如（c）圖，故）圖，故13/ 2t112133( )1()2416y ttdttt-=-=-（4）當(dāng)）當(dāng) 時，如（時，如（d）圖，故）圖，故332t21213( )1()2424ttty ttdtt-=-= -+

51、圖（圖（c）圖（圖（d） （5）當(dāng)）當(dāng) 時，有時，有 ，如（，如（e）圖）圖 ，故，故3t ( ) ()0 xh ttt-=( )( )( )( ) ()0y tx th txh tdttt-=*=-=最后卷積結(jié)果如（最后卷積結(jié)果如（f）圖）圖 圖（圖（e）圖（圖（f） 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì) 卷積的代數(shù)特性卷積的代數(shù)特性 (1)交換律交換律 所謂卷積的交換律是指，兩個函數(shù)的卷積積分與所謂卷積的交換律是指，兩個函數(shù)的卷積積分與參加運算的兩個函數(shù)的次序無關(guān)，即參加運算的兩個函數(shù)的次序無關(guān)，即 1221( )( )( )( )x tx tx tx t*=*證明證明 根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義121

52、2( )( )( )()x tx txx tdttt-*=-令令 ，則有，則有 tlt= -121221( )( )()( )( )( )x tx tx txdx tx tlll-*=-=* 卷積的交換律卷積的交換律說明，兩信號的卷積積分與次序無關(guān)，系統(tǒng)說明，兩信號的卷積積分與次序無關(guān)，系統(tǒng)輸入信號輸入信號 與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 可以互相調(diào)換，其零狀態(tài)可以互相調(diào)換，其零狀態(tài)響應(yīng)不變，即下圖兩個系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是一樣的響應(yīng)不變，即下圖兩個系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是一樣的 。1( )x t2( )x t 交換律交換律用于系統(tǒng)分析，反映了沖激響應(yīng)分別為用于系統(tǒng)分析，反映了沖激響應(yīng)分別為 和和 的

53、兩個系統(tǒng)級聯(lián)與其順序無關(guān)，如下圖所示。的兩個系統(tǒng)級聯(lián)與其順序無關(guān)，如下圖所示。 1( )h t2( )h t (2)分配律分配律 所謂卷積的分配律是指，對于函數(shù)所謂卷積的分配律是指，對于函數(shù) 123( ),( ),( )x tx tx t1231213( ) ( )( )( )*( )( )*( )x tx tx tx tx tx tx t*+=+證明證明 123123( ) ( )( )( )()()x tx tx txx tx tdtttt-*+=-+-1213( )()( )()xx tdxx tdtttttt-=-+-蝌1213( )( )( )( )x tx tx tx t=*+*

54、分配律表明兩個信號分配律表明兩個信號 疊加后通過某系統(tǒng)疊加后通過某系統(tǒng)的響應(yīng)，將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)后的響應(yīng)，將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)后 再疊再疊加，如下圖所示加，如下圖所示 。23( )( )x tx t和( )h t 分配律分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。如應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。如下圖所示下圖所示 (3)分配律分配律 所謂卷積的結(jié)合律是指，若所謂卷積的結(jié)合律是指，若 的卷的卷積分都存在，且為積分都存在，且為 和和 ，則，則 12( )( ),x tx t和13( )( )x

55、 tx t和12( )( )x tx t*13( )( )x tx t*123123( )*( )*( )( )*( )*( )x tx tx tx tx tx t=證明證明 123123( )*( )*( )( )()()x tx tx txxdx tdltlltt-=-蝌123( )()()xxx tddltlttl-=-蝌123( )( )()xxx tddlttltl-=-蝌123132( )*( )*( )( )*( )*( )x tx tx tx tx tx t= 卷積結(jié)合律卷積結(jié)合律的物理含義是的物理含義是 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就等于一個沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就等于一個沖激響應(yīng)為

56、的系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。如下圖所示的系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。如下圖所示 ：23( )( )*( )h tx tx t= 從系統(tǒng)的觀點看，兩個系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響從系統(tǒng)的觀點看，兩個系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，即應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，即 ，且和級聯(lián)次序無關(guān)。且和級聯(lián)次序無關(guān)。23( )( )*( )h tx tx t= 卷積的微分與積分特性卷積的微分與積分特性(1)卷積的微分特性卷積的微分特性 所謂卷積的微分特性是指，兩個函數(shù)卷積的微分所謂卷積的微分特性是指，兩個函數(shù)卷積的微分等于其中一個函數(shù)與另一個函數(shù)的微分的卷積，即等于其中一個函數(shù)與另一個函數(shù)的微分的卷積

57、，即假設(shè)假設(shè) ，則有，則有 12( )( )*( )y tx tx t=1212( )( )( )( )( )y tx tx tx tx t=*=*證明證明 由卷積的定義，可得由卷積的定義，可得1212( )( )( )()x tx txx tdttt-*=-同理，可以證明同理，可以證明1212( )( )( )( )x txtxtx t*=*1212( )()( )( )xxtdx txtttt-=-=* (2)卷積的積分特性卷積的積分特性 所謂卷積的積分特性是指，兩個函數(shù)卷積的積分所謂卷積的積分特性是指，兩個函數(shù)卷積的積分等于其中一個函數(shù)與另一個函數(shù)的積分的卷積，即等于其中一個函數(shù)與另一個

58、函數(shù)的積分的卷積，即假設(shè)假設(shè) ，則有，則有 12( )( )*( )y tx tx t=( 1)( 1)( 1)1212( )( )( )( )( )ytxtx tx txt-=*=*證明證明1212( )( )( )()ttxxdxxddttttl tl t-*=-蝌12( )()txxddtl tl t-=-蝌12( )( )tx txdtt-=*同理，可以證明同理，可以證明1221( )( )( )( )ttx txdx txdtttt-*=*蝌 （3）卷積的微積分特性）卷積的微積分特性所謂卷積的微積分特性是指，兩個函數(shù)卷積等于其中所謂卷積的微積分特性是指，兩個函數(shù)卷積等于其中一個函數(shù)的

59、微分與另一個函數(shù)的積分的卷積，即一個函數(shù)的微分與另一個函數(shù)的積分的卷積，即假設(shè)假設(shè) ，則有，則有 12( )( )*( )y tx tx t=( 1)( 1)1212( )( )( )( )( )y txtx tx txt-=*=*證明證明1212( )( )( )()txxxxddtttl tl t-*=-蝌12( )()txxddtl tl t-=-蝌12( )( )tx txdtt-=*同理，可以證明同理，可以證明1212( )( )( )( )ttx txdxdx ttttt-*=*蝌 例例2.10 已知已知 ，求，求 1( )1,x t =2( )( )tx te u t-=12(

60、)( )x tx t*解解 由卷積的定義式得由卷積的定義式得1200( )( )e( )de de1x tx tutttttt+-+-*= -=蝌注意：套用卷積分的微積分特性，可得注意：套用卷積分的微積分特性，可得( 1)( 1)12212( )( )( )*( )( )*00 x tx txtx txt-*=這顯然是錯誤的這顯然是錯誤的運用卷積分的微積分特性的前提是，運用卷積分的微積分特性的前提是， ( )1lim0txt -=而本題顯然不滿足而本題顯然不滿足特別注意特別注意 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 或或 的卷積特性的卷積特性 ( ) td( )u t(1) 與與 的卷積的卷積( ) td( )*