二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、浙教版九班級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，特別注意a不為零，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法-五點(diǎn)作圖法：（1）先依據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的挨次連接起來，并向上或向下延長(zhǎng)，就得到

2、二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像?！纠?】、已知函數(shù)y=x2-2x-3，（1）寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與 y 軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；（2）求圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積：（3）依據(jù)第（1）題的圖象草圖，說 出 x 取哪些值時(shí)， y=0； y0知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣- 一般 兩根 三頂點(diǎn)（1）一般 一般式：

3、（2）兩根 當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)的一元二次方程有實(shí)根和存在時(shí)，依據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。a 的肯定值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點(diǎn) 頂點(diǎn)式： 當(dāng)題目中告知我們拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，我們最好設(shè)頂點(diǎn)式，這樣最簡(jiǎn)潔。【例1】、拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且過（-1，16），求拋物線的解析式。【例2】、如圖，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1）abc 0 （或或=）（2）a的取值范圍是 【例3】、下列二次函數(shù)中，圖象以直線

4、x = 2為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)(0，1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3知識(shí)點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。OO-1OxOy1323如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。【例1】、已知二次函數(shù)的圖像（0x3）如圖所示,關(guān)

5、于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi),下列說法正確的是( )A有最小值0，有最大值3B有最小值1,有最大值0C有最小值1,有最大值3D有最小值1,無最大值【例2】、某賓館有50個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天l80元時(shí)，房間會(huì)全部住滿當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用依據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利

6、潤(rùn)最大? 最大利潤(rùn)是多少元?知識(shí)點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a0a0時(shí)，拋物線開口向上 0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)y值隨x值增大而減小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 【例6】、若二次函數(shù)當(dāng)l時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l Bl Cl Dl知識(shí)點(diǎn)五、二次函數(shù)圖象的平移 對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c的平移通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，再遵循左加右減，上加下減的的原則化為頂點(diǎn)式有兩種方法：配方法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法。在用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后，在寫頂點(diǎn)式時(shí)，要減去頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，加上

7、頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 沿軸平移：向上（下）平移（m0）個(gè)單位，變成（或） 當(dāng)然，對(duì)于拋物線的一般式平移時(shí)，也可以不把它化為頂點(diǎn)式：向左（右）平移（m0）個(gè)單位，變成（或）【例1】、將拋物線向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是( ) A B C D【例2】、將拋物線y=x22x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_.【例3】、拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是( )A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位 B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位 D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位【補(bǔ)】拋物線y=2x2-3x-7

8、在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度為_【公式】拋物線y=ax2+bx+c在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度為_知識(shí)點(diǎn)六、拋物線中， a、b、c的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).口訣-左同，右異 （a、b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)） （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸； ,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .【例1

9、】、如圖為拋物線的圖像，A、B、C 為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb2aDac0 Bb0 Cc0 Dabc0【例3】、如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有( ) A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D1個(gè)【例4】、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例5】、如圖，是二次函數(shù) yax2bxc（

10、a0）的圖象的一部分，給出下列命題 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；a-2b+c0其中正確的命題是 （只要求填寫正確命題的序號(hào)）【例6】、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對(duì)稱軸，則下列關(guān)系正確的是（ ）Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh知識(shí)點(diǎn)七、中考二次函數(shù)壓軸題中常用到的公式（浙教版教材上沒講過，但是特別有用，肯定要理解性地記憶）APBO1、兩點(diǎn)間距離公式：如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為 （這實(shí)際上是依據(jù)勾股定理得出來的）2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中

11、，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ，中點(diǎn)的坐標(biāo)為由，得，同理，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為3、兩平行直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是說當(dāng)我們知道一條直線的k值，就肯定能知道與它平行的另一條直線的k值。4、兩垂直直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1k2=-1，也就是說當(dāng)我們知道一條直線的k值，就肯定能知道與它垂直的另一條直線的k值。（對(duì)于這一條，只要能敏捷運(yùn)用就行，不需要理解）以上四條，我稱它們?yōu)樽鴺?biāo)系中的“四大金剛”【例1】、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線

12、AC的解析式及BD兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線lAC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)AP、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)【例2】、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與始終線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFB

13、D交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值【例3】、如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），與y軸交于C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q。（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)推斷四邊形CQBM的外形，并說明理由。（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB

14、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。【練 習(xí)】1、平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的外形可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，同學(xué)丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂已知同學(xué)丙的身高是15 m，則同學(xué)丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m2、已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為（ ）A0B1C2D33. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一

15、坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）.4. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（1，2），當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍是 5. 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線圍著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，所得拋物線的解析式是（ ）A B C D6. 已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對(duì)稱軸，給出下列結(jié)果，則正確的結(jié)論是（ ）x21012y04664A B C D 7拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是 （填寫序號(hào)）拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）； 函數(shù)的最大值為6；拋物線的對(duì)稱軸是； 在對(duì)稱軸左側(cè)，隨增大而增大8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4）

16、，過點(diǎn)A作ABy軸，垂足為B，連結(jié)OA(1)求OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A求c的值；將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在OAB的內(nèi)部（不包括OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）9、“已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，2）， ，這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（1）依據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。10、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得PA= PC若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由。（3）設(shè)拋物線與x軸的另個(gè)交點(diǎn)為E點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy圖11、如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；推