《一元二次方程》總復(fù)習(xí)、練習(xí)、中考真題【題型解析】

1、 .wd.一元二次方程總復(fù)習(xí)考點(diǎn)1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0，這樣的方程叫一元二次方程一般形式：ax2bx+c=0(a0。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時(shí)，應(yīng)首先將方程化為一般形式?？键c(diǎn)2：一元二次方程的解法1.直接開平方法：對(duì)形如(x+a2=bb0的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的方法。x+a=±b x1=-a+ bx2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0的一般步驟是：化為一般形式；移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；配方，即方程兩

2、邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a2=b的形式；如果b0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b0，那么原方程無解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過配方推導(dǎo)出來的一元二次方程的求根公式是x= - b±b2 - 4ac(b24ac0)。步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形2a式；確定a，b，c的值；求出b24ac的值，當(dāng)b24ac0時(shí)代入求根公式。4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理論根據(jù)：假設(shè)ab=0，那么a=0或b=0。步驟是：將方程右邊化為0；將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一

3、次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的本卷須知：在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a0因當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程應(yīng)用求根公式解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；假設(shè)b24ac0，那么方程無解 利用因式分解法解方程時(shí)，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式如2(x4)2 =3x4中，不能隨便約去x4。 注意：解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法除特別要求外但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情況b24ac0

4、19; 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；b24ac=0Û 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b24ac0Û 方程沒有實(shí)數(shù)根。解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實(shí)數(shù)根“兩相等實(shí)數(shù)根“沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍?？键c(diǎn)3：根與系數(shù)的關(guān)系:韋達(dá)定理對(duì)于方程ax2bx+c=0(a0來說，x +x=b，xx=c。12a1 2a利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值式子變形，如x2+ x2= (x+ x)2- 2xx12121 2解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理。二、經(jīng)典考題剖析：【考題11】以下方程

5、是關(guān)于x的一元二次方程的是1Aax²bx+c=0B.k²x5k+6=0C.3x²2x+x=0D.(k²3)x²2x+1=0【考題12】解方程：x²2x3=0【考題13】方程5x2+kx10=0一個(gè)根是5，求它的另一個(gè)根及k的值三、針對(duì)性訓(xùn)練：1、以下方程中，關(guān)于x的一元二次方程是A.3(x+ 1)2= 2(x+ 1)B.1+ 1- 2= 0x2yC. ax2+ bx+ c= 0D. x2+ 2x= x2-12、假設(shè)2x²+3與2x-4互為相反數(shù)，那么x的值為3、用配方法解以下方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.x2-2x-99=0

6、化為(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化為(t- 7)2= 81416D.3y2-4y-2=0化為(y- 2)2= 10394、關(guān)于x的一元二次方程(m+ 1)x2 + x+ m2- 2m-3= 0的一個(gè)根為x=0，那么m的值為Am=3或m=1Bm=3或m=1Cm=1Dm=35、(2009濟(jì)南)假設(shè)x1，x2是方程x²5x+6=0的兩個(gè)根，那么x1+x2的值是A.1B.5C.5D.66、(2009眉山)假設(shè)x1，x2是方程x²3x1=0的兩個(gè)根，那么1+ 1的值為1A.3B.3C.31D.3x1x2127、(2009濰坊

7、)假設(shè)x1，x2是方程x²6x+k1=0的兩個(gè)根，且x2+ x2= 24，那么k值為A.8B.7C.6D.58、(2009成都)假設(shè)方程kx22x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是A.k1B.k1且k0C. k1D.k1且k09、一元二次方程x2 +2x8=0的一根是2，那么另一個(gè)根是.10、假設(shè)關(guān)于x的方程x2 +2k+1x+2k2=0有實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是11、解方程：(1)2(2x- 3)2= 32;(2)3yy-1=2y-1(3) 3(4x²9)(2x3)=0;(4)x²6x+8=012、(2009鄂州)關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+

8、k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，4(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0假設(shè)存在求出k的值；不存在說明理由。考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用一、考點(diǎn)講解：1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見的模型如下：與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長(zhǎng)率的應(yīng)用：此類問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的根基上連續(xù)增長(zhǎng)降低兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的等量關(guān)系是a(1±x2=b，其中a表示增長(zhǎng)降低前的數(shù)據(jù)，x表示增長(zhǎng)率降低率，b 表示后來的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長(zhǎng)率不為負(fù)，降低率不超過 1。 經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題：總利潤(rùn)=單件銷售額單件本錢×銷售數(shù)量；或者，總利潤(rùn)=總銷售額總

9、本錢。 動(dòng)點(diǎn)問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后，要想方法把圖中變化的線段用未知數(shù)表示出來，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2注重解法的選擇與驗(yàn)根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡(jiǎn)潔流暢，特別要對(duì)方程的解注意檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性二、經(jīng)典考題剖析：【考題1】2009、深圳南山區(qū)課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉(cāng)庫旁的一塊空地，開辟一個(gè)面積為130平方米的花圃如圖121，打算一面利用長(zhǎng)為15米的倉(cāng)庫墻面，三面利用長(zhǎng)為33米的舊圍欄，求花圃的長(zhǎng)和寬解：設(shè)與墻相接的兩邊長(zhǎng)都為x米，那么另一邊長(zhǎng)為(33- 2x) 米，依題意得x(33- 2x) =

10、 130，2x2- 33x+130= 0x= 10x = 13122又當(dāng)x1= 10時(shí)，(33- 2x) = 1313當(dāng)x2=時(shí)，(33- 2x) = 2015213x=不合題意，舍去x= 102答：花圃的長(zhǎng)為13米，寬為10米【考題2】2009、襄樊為了改善居民住房條件，我市方案用未來兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10平方米提高到12.1平方米，假設(shè)每年的增長(zhǎng)率一樣，那么年增長(zhǎng)率為A.9B.10C.11D.12解：設(shè)年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1，x2=2.1因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率不為負(fù)，所以x=0.1。應(yīng)選D?！究碱}3】2009、?？谀乘l(fā)商

11、場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，假設(shè)每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，依題意，得(50020x)10+x=6000整理，得x215x50=0解這個(gè)方程，x1=5，x2=10要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元點(diǎn)撥：此類經(jīng)濟(jì)問題在設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)漲價(jià)或降價(jià)為未知數(shù)；應(yīng)根據(jù)“要使顧客得到實(shí)惠來取舍根的情況【考題4】如圖，在ABC中，B=90°，AB=5，BC=7，點(diǎn)P從A點(diǎn)開場(chǎng)沿AB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以

12、1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開場(chǎng)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).1如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PBQ的面積等于42如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PQ的長(zhǎng)度等于5解：1設(shè)經(jīng)過x秒鐘，PBQ的面積等于4，那么由題意得AP=x，BP=5x，BQ=2x,11由BP·BQ=4，得225x·2x=4，解得，x1=1，x2=4當(dāng)x=4時(shí)，BQ=2x=87=BC，不符合題意。故x=122由BP2+BQ22=5 得5x2+2x2=5 ,解得x1=0不合題意，x2=2所以2秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5。三、針對(duì)性訓(xùn)練：1小明的媽媽上周三在自選商場(chǎng)花

13、10元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時(shí)，正好遇上商場(chǎng)搞酬賓活動(dòng)，同樣的酸奶，每瓶比周三廉價(jià)05元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花2元錢，卻比上次多買了2瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶2合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十·一國(guó)慶節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià) 4 元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少3在寬為20米、長(zhǎng)為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下局部作為耕地，要使耕地面積為540米

14、2，道路的寬應(yīng)為多少20m32m4小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅利息稅為利息的20%，共取得5145元.求這種儲(chǔ)蓄的年利率.準(zhǔn)確到0.1%5如圖12-3，ABC中，B=90°，點(diǎn)P從A點(diǎn)開場(chǎng)沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開場(chǎng)沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)。1如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使ABQ的面積等于8cm²?(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q以C后又繼續(xù)在AC邊上前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6cm²。1解：依題意，得：26-

15、x·2x=8解這個(gè)方程得：x1=2，x2=4即經(jīng)過2s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)4cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)4cm處；經(jīng)過4s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)2cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)8cm處。故本小題有兩解。2設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，且有CP=14-xcm,點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且命名CQ=2x-8cm，過Q作QDCB于D。CQDCAB，QDAB6(2x- 8)=2x- 8，即QD=AC1。106(2x- 8)依題意，得：214-x·10=12.6，解這個(gè)方程得：x1=7，x2=11經(jīng)過7s，點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)7cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)6cm處，使SPCQ=12.6cm2經(jīng)過11s，點(diǎn)P在BC距離

16、C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)14cm處，140,點(diǎn)Q已超出CA范圍，此解不存在。故此題只有一解。中考真題1.鐘教師出示了小黑板上的題目(如圖 122后，小敏答復(fù)：“方程有一根為 1，小聰答復(fù)：“方程有一根為2那么你認(rèn)為A只有小敏答復(fù)正確B只有小聰答復(fù)正確C兩人答復(fù)都正確D兩人答復(fù)都不正確2.解一元二次方程x2x12=0，結(jié)果正確的選項(xiàng)是Ax1=4，x2=3Bx1=4，x2=3Cx1=4，x2=3Dx1=4，x2=33.方程x(x+ 3)= (x+ 3)解是Ax1=1Bx1=0，x2=3Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=34.假設(shè)t是一元二次方程ax2bx+c=0(a0的根，那么判別式

17、=b24ac和完全平方式M=(2at+b)2的關(guān)系是A=MBMCMD大小關(guān)系不能確定5.方程x2(x-1)= 0的根是A0B1C0，1D0，1126.一元二次方程x2 2x7=0的兩個(gè)根為x，x，那么x1+x2的值為A2B2C7D727.x1、x2是方程x13x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么x1+ 1的值是()x21A、3B、3 C、3D、18.用換元法解方程(x2x)2(x2x)6時(shí)，如果設(shè)x2xy，那么原方程可變形為A、y2y60B、y2y60C、y2y60D、y2y609.方程x25x=0的根是A0B0，5C5，5D510.假設(shè)關(guān)于x的方程x22xk=0有實(shí)數(shù)根，那么Ak1，Bk1Ck1Dk11

18、211.如果一元二次方程x24x20的兩個(gè)根是x，x，那么x1x2等于A.4B.4C.2D.212.用換元法解方程(x2x)x2-x6時(shí)，設(shè)x2-xy，那么原方程可化為A.y2 y60B.y2y60C.y2y60D.y2y60213.設(shè)x1，x2是方程2x+3x-2=0的兩個(gè)根，那么x1x2的值是()22A-3B3CD3314.方程x3-x=0的解是A0，1B1，-1C0，-1D0，1，1( x )2- 5x+ 4= 0時(shí)，假設(shè)設(shè)x=y,那么原方程15.用換元法解方程x+ 1x+ 1x+1_16.兩個(gè)數(shù)的和為6，差注意不是積為 8，以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是17.方程x2x=0的解是18.

19、等腰ABC中，BC=8，AB、BC的長(zhǎng)是方程x210x+m=0的兩根，那么m的值是.19.關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的兩個(gè)根同號(hào)，那么a的取值范圍是_.20.解方程2x2-9x+5=x-321.解方程：x32x23x0.ìy=x+122.解方程組：íîx2+y2=523.解方程：2x12+5xl+2=024.解方程：x2 2x2=025.解方程：x2 +5x+3=026.關(guān)于x的一元二次方程x2- (k+ 1)x- 6= 0的一個(gè)根是2，求方程的另一根和k的值27.關(guān)于x的一元二次方程(k+ 4)x2+ 3x+ k2 + 3k- 4= 0的一個(gè)根為0

20、，求k的值中考預(yù)測(cè)題一、根基經(jīng)典題(44分)(一)選擇題(每題4分，共28分)【備考1】如果在1是方程x2+mx1=0的一個(gè)根，那么m的值為A2B3C1D2【備考2】方程2x(x- 3)= 5(x- 3)的解是Ax = 3B.x=5C.x= 3,x = 52122x2+ mx+ n= 0D.x = -3【備考3】假設(shè)n是方程的根，n0，那么m+n等于A7B6C1D1【備考4】關(guān)于x的方程x2+ mx+ n= 0的兩根中只有一個(gè)等于0，那么以下條件中正確的選項(xiàng)是Am0，n0Bm0，n0Cm0，n = 0Dm0，n0【備考5】以526和5+26為根的一元二次方程是12Ax2-10x+ 1= 0Bx2 + 10x+ 1= 0Cx2 - 10x- 1= 0Dx2 + 10x- 1= 02【備考6】x1，x2是方程xx3=0的兩根，那么x2+ x2值是49A1B5C7D、4【備考7】方程1x2 - (m- 3)x+ m2 = 04有兩個(gè)不相等的實(shí)根，那么m的最大整數(shù)是A2B1C0Dl二填空題每題4分，共16分12【備考8】方程x23x+1=0的兩個(gè)根為x，x那么1+x11+x2的值等于.【備考9】方程x2+px+l=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么P的值是.【備考10】如圖，在AB