2013-2014學(xué)年高二數(shù)學(xué)備課課件：2.4.1《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》（新人教a版選修2-1）

1、2.4拋物線拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、拋物線的定義一、拋物線的定義定點(diǎn)定點(diǎn)F F定直線定直線l相等相等思考思考: :定義中為什么加上條件定義中為什么加上條件“l(fā)“l(fā)不經(jīng)過不經(jīng)過F F? ?提示提示: :假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)F F在直線在直線l l上上, ,滿足條件的動(dòng)點(diǎn)滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡是過點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F F且且垂直于垂直于l l的直線的直線, ,而不是拋物線而不是拋物線. .二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)( ,0)( ,0) x=- x=-y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0

2、)_p2p2(- ,0)(- ,0)p2x=x=p2標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程x x2 2=2py=2py(p0)(p0)_x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)_(0, )(0, )p2y=y=p2(0, )(0, )p2y=y=p2判斷判斷:(:(正確的打正確的打“, ,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“) )(1)(1)拋物線的方程都是二次函數(shù)拋物線的方程都是二次函數(shù).(.() )(2)(2)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p.(p.() )(3)(3)拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定.(.() )提示提示: :(1)(

3、1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .拋物線的方程不都是二次函數(shù)拋物線的方程不都是二次函數(shù), ,如開口向右的如開口向右的拋物線的方程為拋物線的方程為y y2 2=2px(p0),=2px(p0),對(duì)任一個(gè)對(duì)任一個(gè)x x的值的值,y,y的值不唯一的值不唯一, ,所以不是二次函數(shù)所以不是二次函數(shù). .(2)(2)正確正確. .在拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中在拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中,p0,p0,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.p.(3)(3)正確正確. .一次項(xiàng)是一次項(xiàng)是x x項(xiàng)時(shí)項(xiàng)時(shí),p0,p0開口向右開口向右,p0,p0,p0開口向上開口向上,p0,p0,pp0,p越大越大, ,拋物線開口越開闊拋物線開口越開闊, ,反之反之

4、越扁狹越扁狹. .(3)(3)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的位置的相同點(diǎn)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的位置的相同點(diǎn): :原點(diǎn)在拋物線上原點(diǎn)在拋物線上; ;焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上; ;準(zhǔn)線與焦點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)準(zhǔn)線與焦點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè), ,且準(zhǔn)線與其中一條坐標(biāo)軸垂直且準(zhǔn)線與其中一條坐標(biāo)軸垂直. .3.3.拋物線的焦點(diǎn)及開口方向拋物線的焦點(diǎn)及開口方向4.4.拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),當(dāng)當(dāng)b,cb,c為為0 0時(shí)時(shí),y=ax,y=ax2 2表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的拋物線軸上的拋物線, ,標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為x x

5、2 2= y,a0= y,a0時(shí)拋物線時(shí)拋物線開口向上開口向上,a0,a0a0時(shí)時(shí), , 拋物線開口向右拋物線開口向右, ,焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ,0),( ,0),準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是x=- ;x=- ;當(dāng)當(dāng)a0a0),y2=2px(p0),那么那么22=2p1,22=2p1,解得解得p=2,p=2,拋物線方程為拋物線方程為y2=4x;y2=4x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y y軸上時(shí)軸上時(shí), ,設(shè)拋物線的方程為設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p0),x2=2py(p0),那么那么12=2p2,12=2p2,解得解得p= ,p= ,拋物線方程為拋物線方程為x2= y.x2= y.方法二

6、方法二: :設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=mxy2=mx或或x2=ny,x2=ny,將點(diǎn)將點(diǎn)(1,2)(1,2)代入代入, ,得得m=4,n= .m=4,n= .故所求的方程為故所求的方程為y2=4xy2=4x或或x2= y.x2= y.14121212【拓展提升拓展提升】1.1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟2.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題(1)(1)把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. .(2)(2)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí), ,可

7、設(shè)方程為可設(shè)方程為y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,這這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù)樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù). .(3)(3)注意注意p p與與 的幾何意義的幾何意義. .p2【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2021(2021新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)設(shè)拋物線設(shè)拋物線C:y2=2px C:y2=2px (p0)(p0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F,F,點(diǎn)點(diǎn)M M在在C C上上,|MF|=5,|MF|=5,假設(shè)以假設(shè)以MFMF為直徑的圓過點(diǎn)為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),(0,2),那么那么C C的方程為的方程為( () )A.y2=4xA.y2=4x或或y2=8x B.y2=2xy2=8x B.y

8、2=2x或或y2=8xy2=8xC.y2=4xC.y2=4x或或y2=16x D.y2=2xy2=16x D.y2=2x或或y2=16xy2=16x【解析】選【解析】選C.C.由題意知：由題意知： 準(zhǔn)線方程為準(zhǔn)線方程為x= x= 那么由拋物那么由拋物線的定義知，線的定義知，xM=5- xM=5- 設(shè)以為直徑的圓的圓心為設(shè)以為直徑的圓的圓心為所以圓方程為所以圓方程為 又因?yàn)檫^點(diǎn)又因?yàn)檫^點(diǎn)(0,2)(0,2)，所以，所以yM=4yM=4，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以16= 16= 解得解得p=2p=2或或p=8p=8，所以拋物線的方程為所以拋物線的方程為y2=4xy2=4x或或y2=16

9、x.y2=16x.pF( ,0)2，p2 ，p2，My5( ,)22，22My525(x)(y).224p2p(5)2，類型類型 三三 拋物線的實(shí)際應(yīng)用拋物線的實(shí)際應(yīng)用 【典型例題】【典型例題】1.1.汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一局部汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一局部, ,燈口所燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直在的圓面與反射鏡的軸垂直, ,燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處, ,燈口的燈口的直徑是直徑是24cm,24cm,燈深燈深10cm,10cm,那么燈泡與反射鏡頂點(diǎn)那么燈泡與反射鏡頂點(diǎn)( (即截得拋物線即截得拋物線頂點(diǎn)頂點(diǎn)) )間的距離是間的距離是. .2.2.一

10、輛卡車高一輛卡車高3m,3m,寬寬1.6m,1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道欲通過斷面為拋物線形的隧道, ,拱口拱口ABAB寬恰好是拱高寬恰好是拱高CDCD的的4 4倍倍, ,假設(shè)拱寬為假設(shè)拱寬為am,am,求能使卡車通過的求能使卡車通過的a a的最小整數(shù)值的最小整數(shù)值. .【解題探究】【解題探究】1.1.對(duì)于實(shí)際問題的拋物線模型對(duì)于實(shí)際問題的拋物線模型, ,建系有什么原那建系有什么原那么么? ?2.2.解答實(shí)際問題應(yīng)注意什么解答實(shí)際問題應(yīng)注意什么? ?探究提示探究提示: :1.1.一般地一般地, ,遇拋物線模型的實(shí)際問題時(shí)遇拋物線模型的實(shí)際問題時(shí), ,要注意把拋物線建在要注意把拋物線建在

11、標(biāo)準(zhǔn)位置標(biāo)準(zhǔn)位置, ,即頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)即頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn), ,焦點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上. .2.2.解答本類題時(shí)解答本類題時(shí), ,一要合理畫出圖形一要合理畫出圖形; ;二要建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲⑶‘?dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系標(biāo)系; ;三要關(guān)注點(diǎn)的坐標(biāo)和圖形中線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系三要關(guān)注點(diǎn)的坐標(biāo)和圖形中線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系. .【解析】【解析】1.1.取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱軸為取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱軸為x x軸軸, ,拋物線的拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系xOy,xOy,如下圖如下圖. .因燈口直徑因燈口直徑|AB|=24,|AB|=24,燈深燈深|OP|=10,|

12、OP|=10,所以點(diǎn)所以點(diǎn)A A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(10,12).(10,12).設(shè)拋物線的方程為設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0),y2=2px(p0),由點(diǎn)由點(diǎn)A(10,12)A(10,12)在拋物線上在拋物線上, ,得得122=2p122=2p10,10,所以所以p=7.2.p=7.2.所以拋物線的焦點(diǎn)所以拋物線的焦點(diǎn)F F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3.6,0).(3.6,0).因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)間的距離是間的距離是3.6cm.3.6cm.答案答案:3.6cm:3.6cm2.2.以拱頂為原點(diǎn)以拱頂為原點(diǎn), ,拱高所在直線為拱高所在直線為y y軸軸, ,建立如下圖的直角坐標(biāo)系

13、建立如下圖的直角坐標(biāo)系. .設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),x2=-2py(p0),那么點(diǎn)那么點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ),( ),由點(diǎn)由點(diǎn)B B在拋物線上在拋物線上, ,( )2=-2p(- ),p= ,( )2=-2p(- ),p= ,拋物線方程為拋物線方程為x2=-ay.x2=-ay.aa,24a2a4a2將點(diǎn)將點(diǎn)E(0.8,y)E(0.8,y)代入拋物線方程代入拋物線方程, ,得得y=-y=-點(diǎn)點(diǎn)E E到拱底到拱底ABAB的距離為的距離為解得解得a12.21,aa12.21,a取整數(shù)取整數(shù), ,aa的最小整數(shù)值為的最小整數(shù)值為13.13.0.64.aaa0.64y

14、3.44a【拓展提升拓展提升】求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟【變式訓(xùn)練】某隧道橫斷面由拋物線及矩【變式訓(xùn)練】某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成形的三邊組成, ,尺寸如下圖尺寸如下圖, ,某卡車空車某卡車空車時(shí)能通過此隧道時(shí)能通過此隧道, ,現(xiàn)載一集裝箱現(xiàn)載一集裝箱, ,箱寬箱寬3m,3m,車與箱共高車與箱共高4.5m,4.5m,問此車能否通過該隧道問此車能否通過該隧道? ?說明理由說明理由. .【解析解析】在以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)在以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,以過頂點(diǎn)的水平直線以過頂點(diǎn)的水平直線為為x x軸建立的直角坐標(biāo)系中軸建立的直角坐標(biāo)系中, ,點(diǎn)點(diǎn)A

15、A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,-3),(3,-3),設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x x2 2=-2py,=-2py,拋物線方程為拋物線方程為x x2 2=-3y.=-3y.如果此車能通過隧道如果此車能通過隧道, ,卡車和集裝箱應(yīng)處于以卡車和集裝箱應(yīng)處于以y y軸為對(duì)稱軸的軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱位置對(duì)稱位置, ,把點(diǎn)把點(diǎn)(x,-0.5)(x,-0.5)代入代入x x2 2=-3y=-3y得得x x2 2=-3=-3(-0.5),(-0.5),xx1.22.1.22.因此因此, ,高度為高度為4.5m4.5m處處, ,允許的寬度約為允許的寬度約為2 21.22=2.443,1.22=2.440),y2=2px

16、(p0),那么由題意知那么由題意知:p=3,:p=3,所求拋物線的方程為所求拋物線的方程為:y2=6x.:y2=6x.323232323252【拓展提升拓展提升】定義法求拋物線方程的關(guān)鍵定義法求拋物線方程的關(guān)鍵拋物線的軌跡問題拋物線的軌跡問題, ,既可以用軌跡法直接求解既可以用軌跡法直接求解, ,也可以轉(zhuǎn)化為也可以轉(zhuǎn)化為拋物線的定義求解拋物線的定義求解. .后者的關(guān)鍵是找到條件滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的后者的關(guān)鍵是找到條件滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離距離等于到定直線的距離, ,有時(shí)需要依據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化有時(shí)需要依據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化. .【易錯(cuò)誤區(qū)】求拋物線焦點(diǎn)和弦長時(shí)的誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】求拋物線焦點(diǎn)和

17、弦長時(shí)的誤區(qū)【典例】【典例】(2021(2021南昌高二檢測南昌高二檢測) )從拋物線從拋物線y2=4xy2=4x上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P引拋引拋物線準(zhǔn)線的垂線物線準(zhǔn)線的垂線, ,垂足為垂足為M,M,且且|PM|=5,|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,F,那那么么MPFMPF的面積為的面積為. .【解析】【解析】拋物線方程為拋物線方程為y2=4x,y2=4x,那么準(zhǔn)線方程為那么準(zhǔn)線方程為x=-1.x=-1. 令令P P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),P(x0,y0),由圖可知由圖可知, ,|PM|=x0+1=5.|PM|=x0+1=5.x0=4.x0=4.把把x0=4x0=4代入代

18、入y2=4x,y2=4x,解得解得y0=y0=4,4,MPFMPF的面積為的面積為 |PM| |PM|y0|= |y0|= 5 54=10.4=10.答案答案:10:101212【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】【防范措施】【防范措施】1.1.準(zhǔn)確記住拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線準(zhǔn)確記住拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在拋物線方程中在拋物線方程中, ,一次項(xiàng)系數(shù)與焦點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)間是一次項(xiàng)系數(shù)與焦點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)間是“4“4倍倍關(guān)系關(guān)系, ,要牢記公式要牢記公式, ,不能失誤不能失誤, ,如本例中準(zhǔn)線方程為如本例中準(zhǔn)線方程為x=-1.x=-1.2.2.加強(qiáng)圖形之間的聯(lián)系與直觀性加強(qiáng)圖形之間的聯(lián)系與直觀性在解析幾何的解題中在解析幾何的

19、解題中, ,要加強(qiáng)圖形的直觀要加強(qiáng)圖形的直觀, ,對(duì)結(jié)論性的知識(shí)應(yīng)對(duì)結(jié)論性的知識(shí)應(yīng)利用圖形加強(qiáng)記憶利用圖形加強(qiáng)記憶, ,防止運(yùn)算中使用錯(cuò)誤結(jié)論防止運(yùn)算中使用錯(cuò)誤結(jié)論, ,如本例中如本例中PMPM的的長可表示為長可表示為x0+1=5.x0+1=5.3.3.注意拋物線定義的應(yīng)用注意拋物線定義的應(yīng)用拋物線的定義比較靈活拋物線的定義比較靈活, ,要注意靈活應(yīng)用要注意靈活應(yīng)用, ,往往是往往是“看到焦點(diǎn)看到焦點(diǎn), ,想到準(zhǔn)線想到準(zhǔn)線; ;看到準(zhǔn)線看到準(zhǔn)線, ,想到焦點(diǎn)想到焦點(diǎn), ,這有利于問題的解決這有利于問題的解決. .【類題試解】【類題試解】(2021(2021新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)O)O為坐標(biāo)

20、原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) F為拋為拋物線物線C C：y2= y2= 的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)，P P為為C C上一點(diǎn)，假設(shè)上一點(diǎn)，假設(shè)|PF|= |PF|= 那么那么POFPOF的面積為的面積為( )( )【解析】選【解析】選C.C.設(shè)設(shè)P(x1,y1)P(x1,y1)，那么，那么|PF|= |PF|= 解解得得 因?yàn)橐驗(yàn)镻 P為為C C上一點(diǎn)，那么上一點(diǎn)，那么 得得|y1|= |y1|= 所以所以S SPOF=POF=4 2x4 2，A.2 B.2 2 C.2 3 D.411pxx24 22，1x3 2.211y4 2x4 23 224，2 6，122 62 3.21.1.拋物線拋物線x=4yx=4y2

21、2的準(zhǔn)線方程是的準(zhǔn)線方程是( () )A.y=A.y= B.y=-1B.y=-1 C.x=-C.x=- D.x=D.x=【解析解析】選選C.C.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y y2 2= x,= x,這里這里p= ,p= ,所以準(zhǔn)線方程為所以準(zhǔn)線方程為x=- .x=- .121161814181162.2.拋物線拋物線y y2 2=8x=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( () )A.1A.1 B.2 B.2 C.4 C.4 D.8 D.8【解析解析】選選C.C.拋物線拋物線y y2 2=8x=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(2,0),準(zhǔn)線方程為準(zhǔn)線方程為x=-2

22、,x=-2,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.4.3.3.點(diǎn)點(diǎn)P P為拋物線為拋物線y2=2pxy2=2px上任一點(diǎn)上任一點(diǎn),F,F為焦點(diǎn)為焦點(diǎn), ,那么以那么以P P為圓心為圓心, ,以以|PF|PF|為半徑的圓與準(zhǔn)線為半徑的圓與準(zhǔn)線l(l() )A.A.相交相交 B.B.相切相切C.C.相離相離 D.D.位置由位置由F F確定確定【解析】選【解析】選B.B.根據(jù)拋物線的定義根據(jù)拋物線的定義,|PF|,|PF|等于點(diǎn)等于點(diǎn)P P到準(zhǔn)線到準(zhǔn)線l l的距離的距離, ,即圓心即圓心P P到直線到直線l l的距離等于半徑的距離等于半徑|PF|,|PF|,所以半徑為所以半徑為|PF|PF|的圓的圓P