信息光學(xué)第二章

1、第二章第二章 標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論主講人：徐世祥主講人：徐世祥基爾霍夫積分定理基爾霍夫積分定理基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式菲涅耳衍射菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射幾種典型衍射幾種典型衍射本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容教學(xué)目的要求教學(xué)目的要求 本章是教學(xué)重點(diǎn)，是信息光學(xué)的物理基礎(chǔ)。本章是教學(xué)重點(diǎn)，是信息光學(xué)的物理基礎(chǔ)。 要求學(xué)生掌握標(biāo)量衍射理論，側(cè)重利用菲涅耳衍射與卷積，要求學(xué)生掌握標(biāo)量衍射理論，側(cè)重利用菲涅耳衍射與卷積，夫瑯和費(fèi)衍射與傅立葉變化關(guān)系解決問題。夫瑯和費(fèi)衍射與傅立葉變化關(guān)系解決問題。2.1 引言引言 光的衍射現(xiàn)象光的衍射現(xiàn)象：光波在空間傳播遇到障礙時(shí)，其傳播：光波在空間傳播遇

2、到障礙時(shí)，其傳播方向會(huì)偏離直線傳播，彎入到障礙物的幾何陰影中，并方向會(huì)偏離直線傳播，彎入到障礙物的幾何陰影中，并呈現(xiàn)光強(qiáng)的不均勻分布的現(xiàn)象。呈現(xiàn)光強(qiáng)的不均勻分布的現(xiàn)象。 光的衍射是光的波動(dòng)性的主要標(biāo)志之一。 幾何光學(xué)中強(qiáng)調(diào)的光是直線傳播的；而這里又說光不是幾何光學(xué)中強(qiáng)調(diào)的光是直線傳播的；而這里又說光不是直線傳播的，有衍射現(xiàn)象。這兩種說法是不是相互矛盾的直線傳播的，有衍射現(xiàn)象。這兩種說法是不是相互矛盾的呢？呢？ 不是。幾何光學(xué)所說的直線傳播是在忽略光的波動(dòng)性不是。幾何光學(xué)所說的直線傳播是在忽略光的波動(dòng)性情況下的近似。（幾何光學(xué)理論是近似的）情況下的近似。（幾何光學(xué)理論是近似的）什么情況下幾何光學(xué)

3、近似成立？什么情況下幾何光學(xué)近似成立？1 1）波長(zhǎng)等于零的情況下）波長(zhǎng)等于零的情況下( (不現(xiàn)實(shí)不現(xiàn)實(shí)) )；2 2）傳輸距離足夠短。）傳輸距離足夠短?？偨Y(jié)一句話：菲涅爾數(shù)足夠大（幾百總結(jié)一句話：菲涅爾數(shù)足夠大（幾百量級(jí)）。量級(jí)）。菲涅爾數(shù)菲涅爾數(shù)LaN2如何用波動(dòng)性去解釋和計(jì)算衍射光場(chǎng)的分布呢？如何用波動(dòng)性去解釋和計(jì)算衍射光場(chǎng)的分布呢？v矢量波衍射理論矢量波衍射理論：嚴(yán)格的電磁波理論，利用一定的邊界條件：嚴(yán)格的電磁波理論，利用一定的邊界條件求解麥克斯韋方程組，但復(fù)雜，大多數(shù)只能數(shù)值求解。求解麥克斯韋方程組，但復(fù)雜，大多數(shù)只能數(shù)值求解。v標(biāo)量波衍射理論標(biāo)量波衍射理論：光波當(dāng)作標(biāo)量處理。簡(jiǎn)單，但

4、屬近似處理。：光波當(dāng)作標(biāo)量處理。簡(jiǎn)單，但屬近似處理。v標(biāo)量波衍射理論適用的條件：標(biāo)量波衍射理論適用的條件：v1 1）衍射孔徑大大于波長(zhǎng)；）衍射孔徑大大于波長(zhǎng)；v2 2）觀測(cè)點(diǎn)到孔徑的距離不要太近。）觀測(cè)點(diǎn)到孔徑的距離不要太近。LaN2菲涅爾數(shù)足夠小。菲涅爾數(shù)足夠小。標(biāo)量波衍射理論的核心問題標(biāo)量波衍射理論的核心問題v用確定邊界上的復(fù)振幅分布來表達(dá)光場(chǎng)中任一觀測(cè)點(diǎn)的用確定邊界上的復(fù)振幅分布來表達(dá)光場(chǎng)中任一觀測(cè)點(diǎn)的復(fù)振幅分布。復(fù)振幅分布。v如果邊界上的復(fù)振幅分布相同，即使光的振動(dòng)方向不同，如果邊界上的復(fù)振幅分布相同，即使光的振動(dòng)方向不同，所得到的結(jié)果也應(yīng)該一樣。所得到的結(jié)果也應(yīng)該一樣。惠更斯理論惠更

5、斯理論惠更斯菲惠更斯菲涅耳理論涅耳理論基爾霍夫理論基爾霍夫理論幾何方法，直觀。缺乏嚴(yán)格理論根據(jù)引入干涉理論，不完善引入格林函數(shù)，嚴(yán)格標(biāo)量衍射惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理可以用來確定（惠更斯原理可以用來確定（1 1）波陣面的形成）波陣面的形成 （2 2）波面的傳）波面的傳播方向播方向, ,但不能給出衍射光強(qiáng)的定量分布。但不能給出衍射光強(qiáng)的定量分布。波動(dòng)所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次波動(dòng)所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次級(jí)子波源，每一子波源發(fā)出的次級(jí)子波源，每一子波源發(fā)出的次級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成新的波陣面。新的波陣面。2.2基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論波前上任何一個(gè)未受

6、阻擋的點(diǎn)，都可以看作一個(gè)次級(jí)子波源，波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)，都可以看作一個(gè)次級(jí)子波源，在其后空間任一點(diǎn)處的光振動(dòng)則是這些次級(jí)波源產(chǎn)生的次級(jí)波在其后空間任一點(diǎn)處的光振動(dòng)則是這些次級(jí)波源產(chǎn)生的次級(jí)波相干疊加相干疊加的結(jié)果。的結(jié)果。dsreKPUCPUsikr)()()(10求解此公式主要問題：求解此公式主要問題：K( )沒有確切的表達(dá)式?jīng)]有確切的表達(dá)式惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理 基爾霍夫利用格林定理，并采用球面波作為求解波動(dòng)方基爾霍夫利用格林定理，并采用球面波作為求解波動(dòng)方程的格林函數(shù)，解決了惠更斯程的格林函數(shù)，解決了惠更斯菲涅耳原理的積分問題菲涅耳原理的積分問題基爾霍夫衍射理論?；鶢柣?/p>

7、夫衍射理論。 基本思想：將空間上一點(diǎn)的光場(chǎng)用包圍該點(diǎn)的任意封閉基本思想：將空間上一點(diǎn)的光場(chǎng)用包圍該點(diǎn)的任意封閉曲面上的光場(chǎng)及其一階導(dǎo)數(shù)表示出來。曲面上的光場(chǎng)及其一階導(dǎo)數(shù)表示出來?；鶢柣舴蜓苌淅碚摶鶢柣舴蜓苌淅碚?101001011()()4ikrikrSeUeU PUdsrnnr 用基爾霍夫定理來考察無限大不透明屏幕上一個(gè)小孔所引用基爾霍夫定理來考察無限大不透明屏幕上一個(gè)小孔所引起的衍射問題：起的衍射問題：平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式對(duì)邊界條件的假設(shè)：對(duì)邊界條件的假設(shè)：1 1）在孔徑）在孔徑 上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布U U及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 與沒有屏幕時(shí)完

8、全相同；與沒有屏幕時(shí)完全相同；2 2）在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及）在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及其微商恒為其微商恒為0 0；3 3）滿足基爾霍夫邊界條件，則：）滿足基爾霍夫邊界條件，則：0101011()()4()SikrUGU PGUdSnneG Pr平面衍射屏的基爾平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式霍夫衍射公式缺陷：下列條件都不嚴(yán)格。缺陷：下列條件都不嚴(yán)格。1) 1) 在孔徑在孔徑 上，光場(chǎng)分布上，光場(chǎng)分布U U及其導(dǎo)數(shù)與沒有屏幕時(shí)完全相同；及其導(dǎo)數(shù)與沒有屏幕時(shí)完全相同；2)2)在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及其微商恒為在屏幕的背光面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布及其微商恒為0 0。* * 原

9、則上可通過選格林函數(shù)改善。原則上可通過選格林函數(shù)改善。SdSnGUnUGPU)(41)(0平面衍射屏的基爾霍夫平面衍射屏的基爾霍夫衍射公式衍射公式積分面只需考慮衍射孔區(qū)域。積分面只需考慮衍射孔區(qū)域。菲涅耳基爾霍夫衍射公式菲涅耳基爾霍夫衍射公式條件條件1: r01 條件條件2:小孔小孔由位于由位于P2處的單色球面波照明，且處的單色球面波照明，且P1P2r21和和r21 0121()2001 21cos()cos()()2ik rrAeU Pdsir r011n,rn,r1）點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的位置對(duì)等。如將同一點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的位置對(duì)等。如將同一點(diǎn)光源與觀測(cè)點(diǎn)的位置互換，所產(chǎn)生的效果相

10、同。該互易性質(zhì)，符合物理圖象。位置互換，所產(chǎn)生的效果相同。該互易性質(zhì)，符合物理圖象。討論討論2）如果）如果212121cos()cos()()2ikrA eUPir011n,rn,r010101()()ikreU PUPdrs菲涅耳基爾霍夫衍射公式變?yōu)榉颇鶢柣舴蜓苌涔阶優(yōu)镻0點(diǎn)光場(chǎng)可等價(jià)看成由孔徑內(nèi)無窮多個(gè)次級(jí)波源的疊加，這點(diǎn)光場(chǎng)可等價(jià)看成由孔徑內(nèi)無窮多個(gè)次級(jí)波源的疊加，這些次級(jí)波源振幅些次級(jí)波源振幅U(P1)正比于投射到正比于投射到P1點(diǎn)上的波的振幅。點(diǎn)上的波的振幅。 K( )有具體形式。有具體形式。 180 ， K（ ）0 1/i 不影響實(shí)驗(yàn)與理論的一致性。不影響實(shí)驗(yàn)與理論的一致性。

11、212101211001cos()cos()(),( )21(,)( )ikrikreU PAKreh P PKir011n,rn,r如果令以及010111011011()()( )() (,)ikreU PU PKdsU P h P P dx dyir上式正是一個(gè)描述線性系統(tǒng)輸入輸出的疊加積分。上式正是一個(gè)描述線性系統(tǒng)輸入輸出的疊加積分。0121202101cos()cos()()2ikrikrAeeU Pdsirr011n,rn,r菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！描述線性系統(tǒng)輸入輸出的疊加積分描述線性系統(tǒng)輸入輸出的疊加積分疊加積分式說明了惠更斯菲涅爾原理：觀察點(diǎn)的光場(chǎng)應(yīng)

12、是疊加積分式說明了惠更斯菲涅爾原理：觀察點(diǎn)的光場(chǎng)應(yīng)是帶有不同權(quán)重的相干球面子波的線性疊加。帶有不同權(quán)重的相干球面子波的線性疊加。光波由光波由P1點(diǎn)所在平面?zhèn)鞑サ近c(diǎn)所在平面?zhèn)鞑サ絇0點(diǎn)所在平面的過程實(shí)際是一個(gè)點(diǎn)所在平面的過程實(shí)際是一個(gè)衍射過程，這過程等效于一個(gè)系統(tǒng)的作用。由于滿足疊加積衍射過程，這過程等效于一個(gè)系統(tǒng)的作用。由于滿足疊加積分，故此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)分，故此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)h(P1,P0)表征了它表征了它的傳輸特征。的傳輸特征。觀察平面上復(fù)振幅分布孔徑平面上復(fù)振幅分布脈沖響應(yīng)00011110011(x ,)(,) (,;,)UyU xyh xyxydx dy

13、小結(jié)小結(jié)1 惠更斯原理：波所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次級(jí)子波源，每一惠更斯原理：波所達(dá)到面上的每一點(diǎn)都是次級(jí)子波源，每一子波源發(fā)出的次級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成新的波陣面。子波源發(fā)出的次級(jí)球面波以一定的速度擴(kuò)展形成新的波陣面?；莞狗颇鶢栐硎歉鶕?jù)波動(dòng)現(xiàn)象的直覺得來的，它把惠更惠更斯菲涅爾原理是根據(jù)波動(dòng)現(xiàn)象的直覺得來的，它把惠更斯的次級(jí)波源概念與楊氏的干涉原理相結(jié)合來解決光波的傳播斯的次級(jí)波源概念與楊氏的干涉原理相結(jié)合來解決光波的傳播和衍射等問題，其中傾斜因子是假設(shè)的，沒給出具體函數(shù)形式。和衍射等問題，其中傾斜因子是假設(shè)的，沒給出具體函數(shù)形式。dsreKPUCPUsikr)()()(102 惠更

14、斯菲涅爾原理：惠更斯菲涅爾原理：3 基爾霍夫衍射公式：基爾霍夫衍射公式：0101001011()()4ikrikrSeUeU PUdsrnnr無限大不透明屏幕上一個(gè)平面小孔衍射的基爾霍夫衍射公式無限大不透明屏幕上一個(gè)平面小孔衍射的基爾霍夫衍射公式SdSnGUnUGPU)(41)(0基于標(biāo)量波動(dòng)方程、格林定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邊界假設(shè)條件。基于標(biāo)量波動(dòng)方程、格林定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邊界假設(shè)條件。如果小孔被一單色球面波照明，菲涅耳基爾霍夫衍射公式如果小孔被一單色球面波照明，菲涅耳基爾霍夫衍射公式一步變?yōu)橐徊阶優(yōu)?121()2001 21cos()cos()()2ik rrAeU Pdsir r011n,rn

15、,r上述三個(gè)公式物理意義的統(tǒng)一解釋：衍射場(chǎng)中上述三個(gè)公式物理意義的統(tǒng)一解釋：衍射場(chǎng)中P0點(diǎn)的光振點(diǎn)的光振動(dòng)，是由于衍射孔面動(dòng)，是由于衍射孔面 內(nèi)的無數(shù)子波源發(fā)射的子波疊加的內(nèi)的無數(shù)子波源發(fā)射的子波疊加的結(jié)果。結(jié)果。 面上子波源所發(fā)射子波的復(fù)振幅正比于照明光波面上子波源所發(fā)射子波的復(fù)振幅正比于照明光波在在 面上的復(fù)振幅面上的復(fù)振幅U(P1)。各公式的差異僅僅在于對(duì)子波源。各公式的差異僅僅在于對(duì)子波源規(guī)定了不同的性質(zhì)。規(guī)定了不同的性質(zhì)。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！從空間域到頻率域（角譜）從空間域到頻率域（角譜）00( , ,0)( , , )( ,)( , ,0)( ,)(

16、 , , )xyzxyU x yU x y zPG ffU x yG ffU x y z表示衍射屏后表面上的光波場(chǎng)；觀察屏上 點(diǎn)的光波場(chǎng)；表示的頻譜函數(shù)；表示的頻譜函數(shù)。2()02()( , ,0)()( , , )()xyxyif xf yxyxyif xf yzxyxyU x yGffedf dfU x y zGffedf df，2.3 衍射規(guī)律的頻率域表達(dá)衍射規(guī)律的頻率域表達(dá)1. 1. 衍射規(guī)律的頻域描述衍射規(guī)律的頻域描述頻率為（頻率為（fx, fy）的指數(shù)基元函數(shù)代表了以方向余弦）的指數(shù)基元函數(shù)代表了以方向余弦cos fx, cos fy ， 而而cos =1 ( fx)2 ( fy)

17、2傳播的平面波；傳播的平面波；這個(gè)平面波分量的復(fù)振幅就是這個(gè)平面波分量的復(fù)振幅就是Gz(fx, fy)dfxdfy在在fx=cos / , fy= cos / 處求值處求值.U(x,y,z)分解為各種空間頻率（分解為各種空間頻率（fx, fy）的指數(shù)基元的集合，每）的指數(shù)基元的集合，每個(gè)基元的權(quán)重密度為個(gè)基元的權(quán)重密度為Gz(fx, fy)那么那么Gz(fx, fy)和和G0(fx, fy)有什么關(guān)系呢？有什么關(guān)系呢？0(,) ( , , )( , , );(,)( , ,0)zxyxyGffU x y zU x y zGffU x y 函數(shù)稱為的角譜同樣，稱為的角譜. U(x,y,z)必須滿

18、足亥姆霍茲方程必須滿足亥姆霍茲方程2()( , , )()xyif xf yzxyxyU x y zGffedf df，2 ()22()(,)0 xyif xf yzxykGffe 2202(,)(,)exp1()() zxyxyxyGffGffizff該式表示了頻譜函數(shù)該式表示了頻譜函數(shù)Gz(fx, fy)與與G0(fx, fy)之間的聯(lián)系，它是衍之間的聯(lián)系，它是衍射規(guī)律的頻域表達(dá)式；表明可以用頻譜的方式來描述光波的射規(guī)律的頻域表達(dá)式；表明可以用頻譜的方式來描述光波的衍射過程；角譜的傳播，僅多了一個(gè)位相因子；衍射過程；角譜的傳播，僅多了一個(gè)位相因子；220kU 頻譜傳播的物理意義：頻譜傳播的

19、物理意義：(1)(1)當(dāng)當(dāng)( fx)2+( fy)2 1時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)1( fx)2+( fy)21/2為虛數(shù)。為虛數(shù)。表明滿足條件表明滿足條件( fx)2+( fy)21的頻譜分量沿的頻譜分量沿z軸方向傳播時(shí)，軸方向傳播時(shí)，將隨著將隨著z的增大急劇衰減，稱這些光波分量為的增大急劇衰減，稱這些光波分量為衰逝波衰逝波。* * 注意注意: : 若照明光波波長(zhǎng)為若照明光波波長(zhǎng)為 ，那么衍射屏上所具有的精細(xì)結(jié)構(gòu)中，那么衍射屏上所具有的精細(xì)結(jié)構(gòu)中fn=(fx)2+(fy)21/21/ 的高頻信息將不能被傳播到足夠遠(yuǎn)的的高頻信息將不能被傳播到足夠遠(yuǎn)的衍射場(chǎng)中。衍射場(chǎng)中。 光束傳輸過程同時(shí)也是空間濾波

20、過程！光束傳輸過程同時(shí)也是空間濾波過程！等價(jià)空間濾波器的傳遞函數(shù)為等價(jià)空間濾波器的傳遞函數(shù)為222122201,0 xyikffzxyxyxyxyGffeffHffGffelse22210,xyikffzxyxyxyGffHffeGff屬低通濾波器屬低通濾波器! !2.2.衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)孔徑透射函數(shù)孔徑透射函數(shù)( , )( , )( , )( , )( , )( , )ttiiU x yt x yU x yt x y U x yU x y在頻率域在頻率域(,)(,)(,)txyixyxyGffG ffT ff自由空間的傳遞函數(shù)相當(dāng)于自由空間的傳遞函數(shù)相當(dāng)于一圓孔型的低

21、通濾波器。一圓孔型的低通濾波器?？臻g域的圓孔對(duì)角譜有何作用？空間域的圓孔對(duì)角譜有何作用？顯然，對(duì)于顯然，對(duì)于Ui(x,y) =1(單位均勻平面波照明單位均勻平面波照明)有有(,)(,)(cos/ ,cos/ )ixyxyG ffff 平面波的角譜自由一個(gè)，即零頻分量。平面波的角譜自由一個(gè)，即零頻分量。(,)(,)(,)(,)(cos/ ,cos/ )ixyxyxyxyG ffffT ffT ffT 小孔的展寬效應(yīng)：小孔越小，頻譜展寬越顯著。（本質(zhì)還是小孔的展寬效應(yīng)：小孔越小，頻譜展寬越顯著。（本質(zhì)還是小孔遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）小孔遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）卷積的展寬效應(yīng)卷積的展寬效應(yīng)! !矩形小孔矩形小孔coscos(

22、, ),(,)sin,xyx yabt x yrectT ffabca b基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播：基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播： 是把孔徑平面光場(chǎng)看作點(diǎn)源的集合；是把孔徑平面光場(chǎng)看作點(diǎn)源的集合； 觀察平面上的場(chǎng)分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權(quán)重因觀察平面上的場(chǎng)分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權(quán)重因子的球面子波的子的球面子波的 相干疊加；相干疊加； 球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。角譜理論是在頻域討論光的傳播：角譜理論是在頻域討論光的傳播：孔徑平面場(chǎng)分布看作許多不同方向傳播的平面波的線性組合；孔徑平面場(chǎng)分布看

23、作許多不同方向傳播的平面波的線性組合；觀察平面上場(chǎng)分布等于這些平面波分量相干疊加，但每個(gè)平觀察平面上場(chǎng)分布等于這些平面波分量相干疊加，但每個(gè)平面波分量面波分量 引入相移了；相移的大小取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，引入相移了；相移的大小取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。它是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。基爾霍夫理論與角譜理論比較基爾霍夫理論與角譜理論比較如果把描述球面子波相干疊加的基爾霍夫理論稱為衍射的球面如果把描述球面子波相干疊加的基爾霍夫理論稱為衍射的球面波理論，角譜理論則可以稱作衍射的平面波理論。波理論，角譜理論則可以稱作衍射的平面波理論。 基爾霍夫理論和角譜理論是統(tǒng)一的，只是從不同

24、的角度描述基爾霍夫理論和角譜理論是統(tǒng)一的，只是從不同的角度描述光的傳播特性。光的傳播特性。2.4 菲涅爾衍射和夫瑯和費(fèi)衍射菲涅爾衍射和夫瑯和費(fèi)衍射l兩種類型衍射現(xiàn)象：菲涅爾衍射（近場(chǎng)衍射）和夫瑯和費(fèi)兩種類型衍射現(xiàn)象：菲涅爾衍射（近場(chǎng)衍射）和夫瑯和費(fèi)衍射（遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）衍射（遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）( (根據(jù)不同的衍射區(qū)域分的根據(jù)不同的衍射區(qū)域分的) ) 。l相對(duì)的、近似的。相對(duì)的、近似的。 不同的區(qū)域，衍射圖樣具有不同的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上的近似不同的區(qū)域，衍射圖樣具有不同的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上的近似程度也不同。程度也不同。標(biāo)量衍射理論、基爾霍夫理論數(shù)學(xué)上處理非常困難。在幾何標(biāo)量衍射理論、基爾霍夫理論數(shù)學(xué)上處理非常困難。在

25、幾何陰影區(qū)，衍射現(xiàn)象不明顯（幾何光學(xué)近似）。陰影區(qū)，衍射現(xiàn)象不明顯（幾何光學(xué)近似）。這里注意力集中于衍射現(xiàn)象較為明顯，數(shù)學(xué)上比較容易處理這里注意力集中于衍射現(xiàn)象較為明顯，數(shù)學(xué)上比較容易處理的區(qū)域。的區(qū)域。衍射區(qū)域的大概劃分衍射區(qū)域的大概劃分LaN2菲涅爾數(shù)足夠小。菲涅爾數(shù)足夠小。觀察點(diǎn)的觀察點(diǎn)的P0(x0, y0)的場(chǎng)振幅可寫為：的場(chǎng)振幅可寫為：01012100011111011cos( ,)cos( ,)(,)(,)2ikren rn rUxyUxydx dyirr rr r近似條件：近似條件： 孔徑孔徑 與觀察平面之間的距離與觀察平面之間的距離z z遠(yuǎn)大于孔徑遠(yuǎn)大于孔徑 的最大線度；的最大

26、線度； 只考慮觀察平面上只考慮觀察平面上z z軸附近一個(gè)有限小區(qū)域（近軸近似）；軸附近一個(gè)有限小區(qū)域（近軸近似）； 孔徑孔徑 被沿被沿z軸傳輸?shù)墓庹彰?。軸傳輸?shù)墓庹彰鳌?1000111111(,)(,)ikrUxyUx y edx dyi z0121cos( ,)cos( ,)12n rn rr rr r由衍射屏和觀察屏之間的關(guān)系圖可得：由衍射屏和觀察屏之間的關(guān)系圖可得：2/1210210221021001)()(1 )()(zyyzxxzzyyxxr菲涅耳近似菲涅耳近似只考慮只考慮z軸附近的區(qū)域，軸附近的區(qū)域，則可將上式進(jìn)行級(jí)數(shù)則可將上式進(jìn)行級(jí)數(shù)展開展開20 122010121.28bbrz

27、xxyybz如果只取如果只取b的一次項(xiàng)，則的一次項(xiàng)，則220101012xxyyrzz菲涅耳近似菲涅耳近似11)()(21111111100021021001),(1),(1),(dydxeyxUezidydxeyxUziyxUyyxxzkiikzikr菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式菲涅耳近似的物理意義：菲涅耳近似的物理意義：由由b2以上項(xiàng)對(duì)積分的影響可以忽略。以上項(xiàng)對(duì)積分的影響可以忽略。2220101max()() 222kaxxyyNzZ菲涅耳數(shù)菲涅耳數(shù)菲涅耳衍射性質(zhì)菲涅耳衍射性質(zhì)菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性空不變系統(tǒng)。菲涅耳衍射系統(tǒng)是線性空不變系統(tǒng)。11)()(2111000210210),(1)

28、,(dydxeyxUeziyxUyyxxzkiikz111111),(),(), x(dydxyyxxhyxUyU疊加積分式可表示為：),(1),;,(1010)()(211002020yyxxheeziyxyxhyyxxzkiikz如果令如果令),(*),(),(),(),(00001111010111000yxhyxUdydxyyxxhyxUyxU菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式表明：若把菲涅耳衍射看作菲涅耳衍射的卷積積分表達(dá)式表明：若把菲涅耳衍射看作是一個(gè)系統(tǒng)，則這個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)線性空不變系統(tǒng)，因是一個(gè)系統(tǒng)，則這個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)線性空不變系

29、統(tǒng)，因此這個(gè)衍射過程存在一個(gè)相應(yīng)的傳遞函數(shù)如下：此這個(gè)衍射過程存在一個(gè)相應(yīng)的傳遞函數(shù)如下：22221 ()()()(,)xyxyffffikzikzizxyH ffee e菲涅耳衍射系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與衍射屏和觀測(cè)屏上的坐菲涅耳衍射系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與衍射屏和觀測(cè)屏上的坐標(biāo)相對(duì)位置有關(guān)，而與絕對(duì)坐標(biāo)無關(guān)。標(biāo)相對(duì)位置有關(guān)，而與絕對(duì)坐標(biāo)無關(guān)。),(1),()(2111200021212020yxzkiyxzkiikzeyxUeeziyxU菲涅耳衍射正比于原函數(shù)和一球面波乘積的傅立葉變換。菲涅耳衍射正比于原函數(shù)和一球面波乘積的傅立葉變換。將菲涅耳衍射公式改寫成將菲涅耳衍射公式改寫成220101222

30、200110 101()() 200011111-22111111(,)(,)1(,)kixxyyikzzxyxykikikix xy yikzzzzUxyeUxy edx dyi zeeUxy eedx dyi z222211max11max()1()22kkxyzxyz如果或夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射2222220101000 1011101222xxyyxyx xy yxyrzzzzzz得到夫瑯和費(fèi)公式得到夫瑯和費(fèi)公式22010122000101()() 200011111-2111111(,)(,)1(,)kixxyyikzzxykikix xy yikzzzUxyeUxyedx dyi

31、zeeUxyedx dyiz可 提 到可 提 到積分外積分外夫 瑯 和夫 瑯 和費(fèi)近似費(fèi)近似在夫瑯和費(fèi)近似下，因子在夫瑯和費(fèi)近似下，因子（x12+y12）對(duì)位相的影響可忽略。對(duì)位相的影響可忽略。而觀察面上的場(chǎng)分布可直接從孔徑上的場(chǎng)分布的傅立葉變換而觀察面上的場(chǎng)分布可直接從孔徑上的場(chǎng)分布的傅立葉變換求出即：求出即：220020001111(,)(,)kixyikzzUxye eUx yi z2200()000111,1(,)(,)xyxyizffikzxyffzzUxyeeUxyiz令則u 夫瑯和費(fèi)衍射范圍包含在菲涅衍射范圍之內(nèi)，所以凡能夫瑯和費(fèi)衍射范圍包含在菲涅衍射范圍之內(nèi)，所以凡能用來計(jì)算菲

32、涅耳衍射的公式都能用來計(jì)算夫瑯和費(fèi)衍射。用來計(jì)算菲涅耳衍射的公式都能用來計(jì)算夫瑯和費(fèi)衍射。u 夫瑯和費(fèi)近似從形式上破壞了的卷積關(guān)系，即破壞了衍夫瑯和費(fèi)近似從形式上破壞了的卷積關(guān)系，即破壞了衍射過程射過程“系統(tǒng)系統(tǒng)”的線性空不變特性。由于僅對(duì)于線性空不的線性空不變特性。由于僅對(duì)于線性空不變系統(tǒng)，其在頻域中的作用才可以用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示，變系統(tǒng)，其在頻域中的作用才可以用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示，因而對(duì)夫瑯和費(fèi)衍射而言，不存在專門的傳遞函數(shù)。不過，因而對(duì)夫瑯和費(fèi)衍射而言，不存在專門的傳遞函數(shù)。不過，由于菲涅耳衍射區(qū)包含了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)，因此菲涅耳衍由于菲涅耳衍射區(qū)包含了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)，因此菲涅耳衍射過程

33、的傳遞函數(shù)也適用于夫瑯和費(fèi)衍射。射過程的傳遞函數(shù)也適用于夫瑯和費(fèi)衍射。夫瑯和費(fèi)衍射和菲涅衍射衍射關(guān)系夫瑯和費(fèi)衍射和菲涅衍射衍射關(guān)系1 1 矩孔衍射：矩孔衍射：寬和長(zhǎng)分別為寬和長(zhǎng)分別為a和和b的的矩形衍射孔，用單位矩形衍射孔，用單位振幅的單色平面光波振幅的單色平面光波垂直照明，求離孔距垂直照明，求離孔距離為離為z的觀察平面上的的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。夫瑯和費(fèi)衍射分布。2.5 夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例第一步：明確入射光場(chǎng)為第一步：明確入射光場(chǎng)為1 1，經(jīng)矩形孔后，矩形的透射函，經(jīng)矩形孔后，矩形的透射函數(shù)就是光場(chǎng)在矩形孔后面的表達(dá)式，則數(shù)就是光場(chǎng)在矩形孔后面的表達(dá)式，則bya

34、xrectyxtyxU1111111,),(),(第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布220022002200200011111221(,)(,)1,sin,kixyikzzkixyikzzkixyikzzxyUxyeeUxyizxyeerectizababeec afbfiz第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布2200222000000222200(,)(,)sin,sin,sin,kixyikzzxyxyabIxyUxye ec afbfi zaxbyababcafbfczzzz第四步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論第四

35、步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論a、b越大，中心光強(qiáng)的值就越大；波長(zhǎng)越長(zhǎng)，中心光強(qiáng)值越大，中心光強(qiáng)的值就越大；波長(zhǎng)越長(zhǎng)，中心光強(qiáng)值就越小。就越小。220022200002200sinsin,sin,axbyaxbyababzzIxyczzzzaxbyzz200,abIxyz遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)中心光斑分布特性討論遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)中心光斑分布特性討論中心中心(x0=0, y0=0)光強(qiáng)：光強(qiáng)：a、b越大，中心光斑尺寸越?。桓髁泓c(diǎn)間距越小。越大，中心光斑尺寸越小；各零點(diǎn)間距越小。0000s in0s in0.0axzbyzaxbyzz并 且000000,axmzzmxxzaabynzznyyzbbm、n為不為零為

36、不為零的整數(shù)的整數(shù)20044zxyab 光強(qiáng)分布的零點(diǎn)確定：光強(qiáng)分布的零點(diǎn)確定：中心光斑大?。褐行墓獍叽笮。喝绻绻鸻很小而很小而b非常大，即單縫衍射情況，從前面討論可知：非常大，即單縫衍射情況，從前面討論可知：在在x方向，中心光斑尺寸變大，相鄰零點(diǎn)間距也很大。方向，中心光斑尺寸變大，相鄰零點(diǎn)間距也很大。在在y方向，則看不到衍射發(fā)生（中心光斑以及相鄰零點(diǎn)間距方向，則看不到衍射發(fā)生（中心光斑以及相鄰零點(diǎn)間距太?。Ｌ。?。2 2 雙縫衍射：雙縫衍射：寬和兩縫間距分別為寬和兩縫間距分別為a和和d，用單位振幅的單色平面光波垂，用單位振幅的單色平面光波垂直照明雙縫，求離縫距離為直照明雙縫，求離縫距離為

37、z的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。分布。第一步：明確入射光場(chǎng)為第一步：明確入射光場(chǎng)為1，經(jīng)雙縫后，透射函數(shù)表達(dá)式為，經(jīng)雙縫后，透射函數(shù)表達(dá)式為1111111/2/2(,)(,)xdxdU x yt x yrectrectaa第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布220022002200200011111221(,)(,)/ 2/ 21sinxxkixyikzzkixyikzzkixyidfidfikzzxUxyeeUxyizxdxdeerectrectizaaaeec afeeiz第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍

38、射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布*001001002222222,sin (2)sinsin ()4sincos ()xxxxxI xyUxyUxydfacafzdfacafdfz單縫衍射因子單縫衍射因子干涉因子干涉因子第四步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論（作業(yè)）第四步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布特性討論（作業(yè)）3 3 多縫衍射：多縫衍射：縫寬和縫間距分別為縫寬和縫間距分別為a和和d，縫數(shù)為，縫數(shù)為N，用單位振幅的單色，用單位振幅的單色平面光波垂直照明多縫屏，求離屏距離為平面光波垂直照明多縫屏，求離屏距離為z的觀察平面上的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。的夫瑯和費(fèi)衍射分布。多縫的透過函數(shù)為多縫的透過函數(shù)為111

39、1111111102(,)(,)(1)NmxxdxdUxyt xyrectrectrectaaaxNdxmdrectrectaa220022002200220020001111120122021(,)(,)1sinsin()sinsin()xkixyikzzkNixyikzzmkNixyimdfikzzxmkixyikzxzxxUxyeeUxyizxmdeerectizaaeecafeizNdfaeecafizdf第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第二步：利用夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布第三步：夫瑯和費(fèi)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布*001001002222,sin ()s

40、insin ()xxxI xyUxyUxyN dfacafzdf多光束干涉因子多光束干涉因子2sinsinxxNdfdf單縫衍射因子單縫衍射因子2sinxxafaf多縫衍射是多縫衍射是衍射和干涉兩種效應(yīng)衍射和干涉兩種效應(yīng)共同作用的結(jié)果。共同作用的結(jié)果。多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋位置可通過分析單縫衍射因子多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋位置可通過分析單縫衍射因子和多光束干涉因子的極大值和極小值條件得到。和多光束干涉因子的極大值和極小值條件得到。衍 射 因 子 零 點(diǎn) 條 件 ：衍 射 因 子 零 點(diǎn) 條 件 ： afx=m fx=m/a (m 0)I0單單fx0-1/a單縫衍射光強(qiáng)曲線單縫衍射光強(qiáng)曲線

41、1/a2/a-2/a單縫衍射因子單縫衍射因子2sinxxafaf中心處：中心處： afx=02sin1xxafaf2sin0 xxafaf,0, 1, 2,xxf dmmfm d當(dāng)sin0sinsin0sinxxxxNdfNdfNdfdffxN204/d-8/d-4/d8/d多光束干涉光強(qiáng)曲線多光束干涉光強(qiáng)曲線22sinsinxxNdfdf光強(qiáng)有極大值，稱為主極大，光強(qiáng)有極大值，稱為主極大，m為主極大的級(jí)次，為主極大的級(jí)次，d 稱為稱為光柵常數(shù)。光柵常數(shù)。關(guān)于多光束干涉因子關(guān)于多光束干涉因子2sinsinxxNdfdf主極大的位置與縫數(shù)無關(guān)，主極大的級(jí)次受到衍射角的限主極大的位置與縫數(shù)無關(guān)，主

42、極大的級(jí)次受到衍射角的限制。光柵常數(shù)越小，條紋間隔越大。制。光柵常數(shù)越小，條紋間隔越大。各級(jí)主極大的強(qiáng)度為各級(jí)主極大的強(qiáng)度為202)sin(INI 它們是單縫衍射在各級(jí)主極大位置上產(chǎn)生的強(qiáng)度的它們是單縫衍射在各級(jí)主極大位置上產(chǎn)生的強(qiáng)度的N2倍，倍，零級(jí)主極大的強(qiáng)度最大，等于零級(jí)主極大的強(qiáng)度最大，等于N2I0,0, 1, 2,xxNf dnnfnNd當(dāng)sin0sin0sin0sinxxxxNdfNdfdfdf光強(qiáng)相鄰的主極大之間有光強(qiáng)相鄰的主極大之間有N-1個(gè)零點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)當(dāng) 等于等于 的整數(shù)倍而的整數(shù)倍而 不是不是 的整數(shù)倍時(shí)的整數(shù)倍時(shí), ,即即xNdfxdf干涉因子有極小值為零。干涉因子有

43、極小值為零。2dxxNdffN 由主極大光斑大小在相鄰兩個(gè)零值之間也應(yīng)有一個(gè)次極大，次極大的寬度隨在相鄰兩個(gè)零值之間也應(yīng)有一個(gè)次極大，次極大的寬度隨N增大而減小。增大而減小。( (兩個(gè)主極大之間有幾個(gè)次極大？?jī)蓚€(gè)主極大之間有幾個(gè)次極大？) )總的光強(qiáng)分布為干涉圖案被衍射函數(shù)調(diào)制的結(jié)果。注意干總的光強(qiáng)分布為干涉圖案被衍射函數(shù)調(diào)制的結(jié)果。注意干涉主極大與衍射的零點(diǎn)重合時(shí)強(qiáng)度為零。涉主極大與衍射的零點(diǎn)重合時(shí)強(qiáng)度為零。當(dāng)當(dāng)a足夠小時(shí)，衍射光斑很大，觀測(cè)到的圖案即為由多縫干涉引起。足夠小時(shí)，衍射光斑很大，觀測(cè)到的圖案即為由多縫干涉引起。IN2I0單單04/d8/d-8/dfx單縫衍射單縫衍射 輪廓線輪廓

44、線光柵衍射光柵衍射光強(qiáng)曲線光強(qiáng)曲線-4/dd=4aI0fx0-1/a單縫衍射光強(qiáng)單縫衍射光強(qiáng)曲線曲線1/a2/a-2/a1多光束干涉光強(qiáng)曲線多光束干涉光強(qiáng)曲線fxN204/d-8/d-4/d8/d22sinsinxxNdfdf4. 4. 正弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型振幅光柵的透過率函數(shù)定義為：正弦型振幅光柵的透過率函數(shù)定義為：)()()2cos(221),(111011byrectaxrectxfmyxtx1y1夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布夫瑯和費(fèi)衍射求遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)分布2200220022002000111112011120101(,)(,)11cos(2)()()

45、2211cos(2)()()221(,)(,)24kixyikzzkixyikzzkixyikzzxyxyUxye eU x yi zmxye ef xrectrecti zabmxye ef xrectrecti zabmmabAfffff22000002(,)sin,4sinsinsinsin221xyxyyxxxkixyikzzfffc afbfmmabAc bfc afc a ffc a ffAe ei z其中觀察屏上光強(qiáng)分布為：觀察屏上光強(qiáng)分布為：00,xyxyffzz令220002222200000(,)sin2sinsinsin44abbyI xyczzbxmbmbccxzfcx

46、zfzzz5.5.正弦型位相光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型位相光柵的夫瑯和費(fèi)衍射正弦型位相光柵的透過率函數(shù)定義為：正弦型位相光柵的透過率函數(shù)定義為：)()(),(11)2sin(21110byrectaxrecteyxtxfmi對(duì)位相因子進(jìn)行變換：對(duì)位相因子進(jìn)行變換：觀察屏上衍射光場(chǎng)分布：觀察屏上衍射光場(chǎng)分布：sin()( )ixiqqeJx e0101sin(2)22()2mif xiqf xqmeJe第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)傅立葉貝賽爾變換傅立葉貝賽爾變換求圓對(duì)稱函數(shù)的傅立葉變換。求圓對(duì)稱函數(shù)的傅立葉變換。在極坐標(biāo)系中，圓對(duì)稱函數(shù)僅僅是半徑在極坐標(biāo)系中，圓對(duì)稱函數(shù)僅僅是半徑r的函數(shù)，與極

47、的函數(shù)，與極角無關(guān)。角無關(guān)。6 6 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射傅立葉貝賽爾變換是二維傅立葉變換用于圓對(duì)稱函數(shù)的一傅立葉貝賽爾變換是二維傅立葉變換用于圓對(duì)稱函數(shù)的一個(gè)特殊情況，有關(guān)傅立葉變換的定理完全適用于傅立葉貝個(gè)特殊情況，有關(guān)傅立葉變換的定理完全適用于傅立葉貝賽爾變換賽爾變換圓孔的透過率函數(shù)為：圓孔的透過率函數(shù)為：由于孔徑是圓對(duì)稱的，利用傅立葉貝賽爾變換及其相似由于孔徑是圓對(duì)稱的，利用傅立葉貝賽爾變換及其相似性定理得到：性定理得到：d=2a觀察平面上的衍射光波場(chǎng)分布為：觀察平面上的衍射光波場(chǎng)分布為：觀察平面上的光強(qiáng)場(chǎng)觀察平面上的光強(qiáng)場(chǎng)分布為：分布為：有用的資料，不用記！有用的資料，不用記！傅立葉成像，自成像，泰保效應(yīng)傅立葉成像，自成像，泰保效應(yīng)( (Talbot Effect) )：用單色光波垂直照射一個(gè)用單色光波垂直照射一個(gè)周期性周期性物體（如透射