專題能量法求位移lecture

1、建筑力學建筑力學建筑力學建筑力學建筑力學建筑力學Architectural mechanicsArchitectural mechanicsArchitectural mechanics 1. 功能原理功能原理W=U 物理意義：物理意義：彈性體在變形的過程中，外力所做的功全部 轉(zhuǎn)化為儲存于彈性體內(nèi)部的變形能。 2. 能量法能量法從能量的角度出發(fā)，利用功能原理來求解彈 性體變形的方法。n基本概念基本概念：彈性體內(nèi)的彈性體內(nèi)的應變應變能能或或變形能變形能U1 桿件變形能的計算.軸向拉壓變形能的計算：軸向拉壓變形能的計算：1. N =常量常量EALNWU22軸向拉壓變形軸向拉壓變形)0(PPLEA注

2、：加載過程中注：加載過程中真實結(jié)構(gòu)應變能真實結(jié)構(gòu)應變能的積蓄！的積蓄！dx2 xNN dxEAxNUL220)(xNdxxN)(qdx二二.扭轉(zhuǎn)變形能的計算：扭轉(zhuǎn)變形能的計算：1 常量nMPnGILMWU222 xMMnn LPnGIdxxMU22三彎曲變形能的計算：三彎曲變形能的計算： 2 xMMzz LZEIdxxMU221. 常量zMZzEIlMU22lEIl 321PPPEI2 莫爾定理計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工具計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工具dxML)(10一一莫爾莫爾定理定理： xM：在原始載荷P1、P2、P3作用下，x截面彎矩 xM0：克隆結(jié)構(gòu)在預加單位載荷作用

3、下，x截面的彎矩其中：其中：dxEIxMxMLZ01一般結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu)虛功遠理虛功遠理原受力結(jié)構(gòu)l 321PPPEIzCCxZEIdxxMddxEIxMxMLZC01克隆結(jié)構(gòu)lCx1EIz虛功原理虛功原理1作為克隆結(jié)構(gòu)的虛位移C)(xM0 作為克隆結(jié)構(gòu)的虛變形將原結(jié)構(gòu)位移作為克隆結(jié)構(gòu)的虛位移，原結(jié)構(gòu)變形作為克隆結(jié)構(gòu)的虛變形，則單位載荷所做虛功等于結(jié)構(gòu)虛應變能：線彈性結(jié)構(gòu) dxEIxMxMLZc01計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理p莫爾定理莫爾定理又稱單位力法p適用范圍適用范圍線性彈性結(jié)構(gòu)原受力結(jié)構(gòu)l 321PPPEIzCxc克隆結(jié)構(gòu)lCx1EIzqlARxBRl2EIC2/ 110Px2/

4、 1l2EI10ML/ 1L/ 1C例：例：如圖所示：簡支梁AB，跨長為L，抗彎剛度為 ZEI。梁上受均布載荷作用，載荷集度為q，試求出梁跨中點C的撓度 cf及端面B的轉(zhuǎn)角 B3 圖乘法 在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：lxIExMxMd)()(0 對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以，可以提到積分號外提到積分號外。 如果如果M0(x)圖是圖是一次直線，則有：一次直線，則有：llxxMxxxMxMd)(tgd)()(00tgCCMx M xMxE IxME IlC( )( )00d要求要求M0(x)圖是圖是一次直線一次直線2

5、3l h13l h 二次拋物線二次拋物線=+lyyydxMM0332211lyyydxMM0332211例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。解：解：IEMxIExMxMvClB00d)()(12232EIPll PlEI33BE IPl1212PlE I22順 時 針例：例：試用圖乘法求所示簡支梁試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和截面的撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。l/4解：解：vEIlmC1822 mlEI216AE Iml1213mlE I6順 時 針BE Im l1223逆時針I(yè)Elm3 例：例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由

6、端試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。ql22vE IlqllB132342 qlE I48解：解：ql22BEIlql13212qlEI36順時針材料力學BA?AB(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1材料力學ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。材料力學AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。

7、卡氏第一定理卡氏第一定理iiUP變形能卡氏第二定理變形能卡氏第二定理iiPU對于線彈性結(jié)構(gòu)對于線彈性結(jié)構(gòu)，變形能對任一外力，變形能對任一外力的偏導數(shù)的偏導數(shù)等于等于作用點沿作用點沿 方向的方向的位移。位移。iPiPiP(Castiglianos first theorem) (Castiglianos second theorem) (可用可用于非線性材料于非線性材料)彈性體內(nèi)的彈性體內(nèi)的應變應變能能或或變形能變形能U4 卡氏定理1.橫力彎曲梁：橫力彎曲梁：變形能：變形能： LZEIdxxMU22 dxPxMEIxMEIdxxMPPULnZLZnnn22n卡氏卡氏第二定理的應用第二定理的應用)

8、(xMEIzdxxM)(結(jié)構(gòu)變形是內(nèi)力的作用效果2.平面曲桿（截面高度遠小于軸線曲率半徑）平面曲桿（截面高度遠小于軸線曲率半徑）變形能：變形能： dsEIsMUS22 dxPsMEIsMdsEIsMPPULnSnnn223.桁架：桁架：變形能：變形能： miiiiEALNU122nimiiiimiiiinnnPNEALNEALNPPU1122圖乘法函數(shù)積分例例2 圖示桁架，在節(jié)點圖示桁架，在節(jié)點B承受載荷承受載荷F作用。試用卡作用。試用卡氏第二定理計算該節(jié)點的鉛垂位移氏第二定理計算該節(jié)點的鉛垂位移 B。各桿各截面。各桿各截面的拉壓剛度均為的拉壓剛度均為EA。 （1 1）各桿的軸力和導數(shù)）各桿的

9、軸力和導數(shù)FFFFFFFFNCDNADNBDNBCNAB22222, 1,21FFFFFFFFFFNCDNADNBDNBCNAB解：解：ABCDFaaa（2 2）卡氏第二定理求位移）卡氏第二定理求位移2232)2(222212122EAFaEAaFEAFaEAaFFFEAlFNiiNiB例例3 用卡氏第二定理求用卡氏第二定理求B點的撓度。點的撓度。EI為常數(shù)。為常數(shù)。ABCFllFx2x1解：解：（1 1）彎矩方程及導數(shù)）彎矩方程及導數(shù)22112222111)()()(xlFMxFMFxxlFxMFxxM（2 2）卡氏第二定理求撓度）卡氏第二定理求撓度?37)()(1)()(302222011

10、1EIFldxxlFxxlFdxxFxEIdxFxMEIxMwllB用疊加法算得：)(273EIFlwB例例3 (續(xù)續(xù))討論討論CBACCBACdxMdxMMMMEIdxMdxMMEIU2321222123221)2(21)(21圖乘法圖乘法32232213221322322132232212322134)()(3131)()(31)(lFlFFFlFFlFlFFFlFlFFdxMdxMMCBACEIFlEIFlFFEIlFUwFFFFFFFFB27621)165(633,213,22121可以用疊加法驗證討論討論求圖示受力結(jié)構(gòu)的求圖示受力結(jié)構(gòu)的B截面撓度。截面撓度。EIlFlFlEIdxME

11、IUAB3)2(3121213222)(323EIFlFUwBEIlFllFEIdxMEIUAB6)(312121321212)(32332312111EIFlEIlFFUwFFFFB？例例5 圖圖a所示兩端固定半圓環(huán)在對稱截面處受集中力所示兩端固定半圓環(huán)在對稱截面處受集中力F作用。環(huán)軸線的半徑為作用。環(huán)軸線的半徑為R，彎曲剛度為，彎曲剛度為EI，不計剪，不計剪力和軸力對圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求力和軸力對圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力對稱截面上的內(nèi)力。 FR(a)解：解：（1）基本靜定系統(tǒng)如圖）基本靜定系統(tǒng)如圖bF2X11X2X3XX3X2（b）（2 2）變形協(xié)調(diào)條件）變形協(xié)調(diào)條件0, 0, 0321F2（3）力與位移關系）力與位移關系：)2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXUii其中：其中：1)()cos1 ()()cos1 (sin2)(2121XMRXMXRXRFM（4）求解補充方程：）求解補充方程：FRXFX8)3(2842221補充方程補充方程0221204122432121FRXRXFRXRX用能量法解超靜定系統(tǒng)的步驟：用能量法解超靜定系統(tǒng)的步驟：（1）選取基本靜定系；）選取基本靜定系；（2）建立變形協(xié)調(diào)條件；）建立變形協(xié)調(diào)條件； （3）求力）求力-位移關系：位移關系： 應用卡氏第二定理計算基本靜定系