第2章靜電場(chǎng) (2)

1、第二章 靜電場(chǎng) 第二章 靜 電 場(chǎng) 靜電場(chǎng)： 相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。 電荷與觀察者相對(duì)靜止電量不隨時(shí)間而變化電荷與觀察者相對(duì)靜止電量不隨時(shí)間而變化 本章任務(wù)： 闡述靜電荷與電場(chǎng)之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解 電場(chǎng)的各種計(jì)算方法，或者反之。 靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一 定條件下可類(lèi)比推廣到恒定電場(chǎng),恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。+一一 靜電感應(yīng)靜電感應(yīng) 靜電平衡條件靜電平衡條件感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體00EEE0E+E0E0E導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度外電場(chǎng)強(qiáng)度外電場(chǎng)強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度+ +導(dǎo)體是等

2、勢(shì)體導(dǎo)體是等勢(shì)體nee靜電平衡條件靜電平衡條件（1 1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零；）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零；（2 2）導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向）導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向, ,都與導(dǎo)體表面垂直都與導(dǎo)體表面垂直. .Eld 導(dǎo)體表面是等勢(shì)面導(dǎo)體表面是等勢(shì)面0d lEU 導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)相等導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)相等0d ABABlEUlEdAB屏蔽袋屏蔽線屏蔽服范德格拉夫發(fā)電機(jī)如何運(yùn)作？范德格拉夫發(fā)電機(jī)如何運(yùn)作？范德格拉夫發(fā)電機(jī)是由美國(guó)科學(xué)家范德格拉夫范德格拉夫發(fā)電機(jī)是由美國(guó)科學(xué)家范德格拉夫 (1901- 1967) (1901- 1967) 于于19311931年發(fā)明的。發(fā)電機(jī)以摩擦生電

3、的原理，不斷產(chǎn)生大量電年發(fā)明的。發(fā)電機(jī)以摩擦生電的原理，不斷產(chǎn)生大量電荷。荷。圖為學(xué)校普遍使用的一種模型，內(nèi)有一條橡皮帶，由膠輪圖為學(xué)校普遍使用的一種模型，內(nèi)有一條橡皮帶，由膠輪帶帶動(dòng)動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)電機(jī)借摩擦或高電壓產(chǎn)生靜電，運(yùn)轉(zhuǎn)的橡皮運(yùn)轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn)電機(jī)借摩擦或高電壓產(chǎn)生靜電，運(yùn)轉(zhuǎn)的橡皮帶帶便會(huì)便會(huì)將電荷不斷地傳到球形金屬罩的內(nèi)表面。因?yàn)殡姾芍g互相排將電荷不斷地傳到球形金屬罩的內(nèi)表面。因?yàn)殡姾芍g互相排斥，所以電荷便移動(dòng)到球形罩的外表面，形成大量電荷積聚在斥，所以電荷便移動(dòng)到球形罩的外表面，形成大量電荷積聚在球形罩上。球形罩上。發(fā)電機(jī)有什么應(yīng)用？發(fā)電機(jī)有什么應(yīng)用？范德格拉夫發(fā)電機(jī)球形罩上的電荷能產(chǎn)

4、生超過(guò)一千萬(wàn)伏特的電壓。在核物理實(shí)驗(yàn)中，如此高的電壓可用來(lái)加速各種帶電粒子，如質(zhì)子、電子等。此外，這種發(fā)電機(jī)也可用來(lái)演示很多有趣的靜電現(xiàn)象，如使頭發(fā)豎立起來(lái)、吸引發(fā)泡膠球、產(chǎn)生電火花、用電風(fēng)使風(fēng)車(chē)旋轉(zhuǎn)等。透過(guò)這些現(xiàn)象，我們可以更了解靜電的特質(zhì)。 使頭發(fā)豎立使頭發(fā)豎立我們可以站在絕緣的椅子上，用手按著發(fā)電機(jī)的球形金屬罩。由于人的身體也可導(dǎo)電，所以當(dāng)發(fā)電機(jī)啟動(dòng)時(shí)，電荷便傳到我們的身體上。而因?yàn)轭^發(fā)上的電荷互相排斥，頭發(fā)便豎立起來(lái)。吸引發(fā)泡膠球吸引發(fā)泡膠球當(dāng)發(fā)泡膠球移近發(fā)電機(jī)的球形罩時(shí)，發(fā)泡膠球中分子內(nèi)的電荷分布將發(fā)生變化。在分子內(nèi)，正負(fù)兩極的電荷被輕微地分離，產(chǎn)生所謂極化的現(xiàn)象。此時(shí)球形罩上的電荷

5、與分子內(nèi)相反的電荷產(chǎn)生微小的吸力，從而吸引整個(gè)發(fā)泡膠球。產(chǎn)生電火花產(chǎn)生電火花把接地的金屬小球移近發(fā)電機(jī)的球形罩時(shí)，強(qiáng)大的電場(chǎng)使電荷由球形罩躍向金屬小球，在空氣中產(chǎn)生大量離子和電子。因?yàn)殡x子的能應(yīng)比不帶電的空氣分子高，所以它們便自發(fā)地釋放能量，產(chǎn)生火花。這是在空氣中的放電現(xiàn)象，例如閃電就是電荷從一片云躍向另一片云或地面的放電現(xiàn)象。產(chǎn)生電風(fēng)產(chǎn)生電風(fēng)帶帶電導(dǎo)體的尖端區(qū)域具有較高的表面電荷密度，而電荷密度越高，所產(chǎn)生的電場(chǎng)越強(qiáng)。而強(qiáng)大的電場(chǎng)使尖端周?chē)目諝夥肿与婋x，空氣中與導(dǎo)體電荷相反的離子或電子被尖端吸引，而那些與導(dǎo)體電荷相同的離子或電子則被尖端排斥到遠(yuǎn)處，這現(xiàn)象稱(chēng)為尖端效應(yīng)。離子子運(yùn)動(dòng)時(shí)拖動(dòng)空氣分

6、子，產(chǎn)生電風(fēng)，可使扇葉轉(zhuǎn)動(dòng)。日常生活中的靜電日常生活中的靜電在日常生活中有很多靜電的應(yīng)用，像影印機(jī)、靜電除塵器、靜電噴漆。此外，認(rèn)識(shí)靜電使我們避免它可帶來(lái)的危險(xiǎn)，例如在運(yùn)載易燃物品的車(chē)輛尾端系上接地鐵鏈，把電荷傳到地面，以免電火花引致火災(zāi)。同一道理，醫(yī)院的手術(shù)室里，因?yàn)闀r(shí)常應(yīng)用氧氣和易燃的麻醉藥物，所以地板通常是抗靜電的，而所有機(jī)器亦需接地，以免火花引發(fā)爆炸。 2.1.1 庫(kù)侖定律2.1 電場(chǎng)強(qiáng)度 21202121R4qqeFN( 牛頓)1221FF適用條件 兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力; 無(wú)限大真空情況 (式中可推廣到無(wú)限大各向同性均勻介質(zhì)中1291085. 836100F/m)(

7、022102112R4qqeFN( 牛頓)圖2.1.1 兩點(diǎn)電荷間的作用力 庫(kù)侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明: 真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷 與 之間的相互作用力:2q1q2.1.2 靜電場(chǎng)基本物理量電場(chǎng)強(qiáng)度定義： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 電場(chǎng)強(qiáng)度（Electric Field Intensity ) E 表示單位正電荷在電場(chǎng)中所受到的力(F ), 它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù), 定義式給出了E 的大小、方向與單位。a) 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度r20tpr4qq)(eFrEV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV

8、/m圖2.1.2 點(diǎn)電荷的電場(chǎng) b) n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 (注意:矢量疊加)c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度)(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m體電荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面電荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr線電荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr圖2.1.3 體電荷的電場(chǎng)點(diǎn)電荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分得0)(rr0)(

9、3)(133rrrrrrrrrr故0)r(E電場(chǎng)強(qiáng)度E 的旋度等于零2.2 靜電場(chǎng)環(huán)路定律和高斯定律 1. 靜電場(chǎng)旋度2.2.1 靜電場(chǎng)環(huán)路定律 可以證明，上述結(jié)論適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。表明 靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度恒等于零，即0E2 2. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定律 在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。 電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)一定是保守場(chǎng)，保守場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。sld)(d0sElE由斯托克斯定理，得 ld0lE0E 二者等價(jià)。3 . 電位函數(shù) E 在靜電場(chǎng)中可通過(guò)求解電位函數(shù)(Potential)， 再利用上式可方便

10、地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2) 已知電荷分布，求電位：304q)(rrrrrECq41)r(N1iii0rr點(diǎn)電荷群Cdq41)r( v0rr連續(xù)分布電荷1) ) 電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：31rrrrrr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr, 0E 根據(jù)矢量恒等式0dl,dS,dV:dq 3) E與 的微分關(guān)系E 在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：zyxzyxeeeE00E？ ( )0E 0？ ( )4) E與 的積分關(guān)系llEdd00pp0ppd)p()p(dlE

11、ddzzdyydxx設(shè)P0為參考點(diǎn)參考點(diǎn)pdplE)( 根據(jù) E 與 的微分關(guān)系，試問(wèn)靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn)圖2.2.1 E與 的積分關(guān)系5) ) 電位參考點(diǎn)的選擇原則 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。 同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：Cr4q000rC0rr4q00C表達(dá)式無(wú)意義0RrR4qr4q00R4qC0 電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)； 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。6) 電力線與等位線（面） E 線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E E的方向一致，若 是電力線的長(zhǎng)度元，E E

12、 矢量將與 方向一致，l dl d0dlE故電力線微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線 E E 的方程。當(dāng)取不同的 C 值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱(chēng)為等位面，即C)z ,y,x(等位線(面)方程:例1.2.1 畫(huà)出電偶極子的等位線和電力線 。)(dr 在球坐標(biāo)系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q20r20pr4r4cosqdep )sincos2(r4qr30peeEErdEdrr電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：2122221221)cosrd4dr(r)cosrd4dr(r，代入上式，得sinDr 解得線方程為

13、將 和代入上式，ErE等位線方程（球坐標(biāo)系）：cosCr ，Crp204coscos2drr2用二項(xiàng)式展開(kāi)，又有，得dr cos2drr1 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。p圖1.2.2 電偶極子r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)： E線不能相交; E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷; E線愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大; E線與等位線（面）正交；圖1.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖2.2.4 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)圖2.2.5 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)圖2.2.6 均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)圖2.2.7 均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)圖2.2.8 點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)圖2.2.9 點(diǎn)電荷位于一塊

14、導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)例例2.2.12.2.1 等量異號(hào)線電荷的幾何軸相距為2b。求：周?chē)碾娢缓蛨?chǎng)強(qiáng)E。解：解：1）線電荷）線電荷產(chǎn)生的電位產(chǎn)生的電位rrrrrrrrrrQPrrQP000000ln2d2dln2d2d00lElE y x P(x,y,z） （ b,o) (b,0)rr+式中r+和r分別為場(chǎng)點(diǎn)P到正、負(fù)電荷的距離，r0+和r0-分別為參考點(diǎn)到正、負(fù)線電荷的距離。 )rrrrrrrr000000lnln2)ln(ln2（參考點(diǎn)選在y軸r0+=r0-，簡(jiǎn)化為 rrln022222222)()kybxybxrr（由疊加原理可得整理可得222222)12()0()11(kbkybkkxa1

15、h1a2h2a2h2h3a3a4h4a4h4a3h3a2h2h1a1可見(jiàn)：可見(jiàn)： 的的等位面為一族偏心圓柱面等位面為一族偏心圓柱面圓柱面的幾何軸線在y=0平面上，與z軸平行；值不同，k值將不同，幾何軸位置h和半徑a隨之不同。xy等位面bb2222222222222222)11() 1() 1(4)12(hbkkkkbkbbkbkba即 222hba等位面與線電荷的相對(duì)位置具有如下關(guān)系 ：h1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4xybb 對(duì)上式等號(hào)兩端取散度；對(duì)上式等號(hào)兩端取散度； 利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得2.2.2

16、 2.2.2 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1. 1. 靜電場(chǎng)的散度靜電場(chǎng)的散度高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式0) ()(rrE真空中高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式dV)(41)(V30rrrrrrE點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)其物理意義表示為其物理意義表示為0E0E0E 高斯定律說(shuō)明了高斯定律說(shuō)明了靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，電荷就是場(chǎng)的散度（通量源），電，電荷就是場(chǎng)的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。2. 2. 高斯定律的積分形式高斯定律的積分形式式中式中 n n 是閉合面包圍的點(diǎn)電荷總數(shù)。是閉合面包圍的點(diǎn)電

17、荷總數(shù)。 VV0dV1dVEn1ii0Sq1dSE散度定理散度定理圖圖2.2.11 2.2.11 閉合曲面的電通量閉合曲面的電通量 E的的通量?jī)H與閉合面通量?jī)H與閉合面S 所包圍的凈電荷所包圍的凈電荷有關(guān)。有關(guān)。圖圖2.2.12 2.2.12 閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響閉合面外的電荷對(duì)場(chǎng)的影響 S面上的面上的E是由系統(tǒng)中是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。全部電荷產(chǎn)生的。電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面； 導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面； 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E為零，靜電平衡；為零，靜電平衡； 電荷分布在導(dǎo)體表面，且電荷分布在導(dǎo)體表面，且。0E 任何導(dǎo)體

18、，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ） 一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ） 接地導(dǎo)體都不帶電。（接地導(dǎo)體都不帶電。（ ） 2.2.3. 2.2.3. 電介質(zhì)中的高斯定律電介質(zhì)中的高斯定律1. 1. 靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的性質(zhì)靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的性質(zhì)圖圖2.2.13 2.2.13 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體dVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：矢量恒等式：uu)u(FFF圖圖2.2.14 2.2.14 體積體積V V內(nèi)電偶極

19、矩內(nèi)電偶極矩 產(chǎn)生的電位產(chǎn)生的電位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理散度定理 令令PpnpeP 極化電荷體密度極化電荷體密度極化電荷面密度極化電荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 。0p 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷和體極化電荷 共同作用在共同作用在真空真空 中產(chǎn)生的電位。中產(chǎn)生的電位。0pp) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根據(jù)

20、電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0dSdV41rrrrr 有電介質(zhì)存在的場(chǎng)域中，任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度表示為有電介質(zhì)存在的場(chǎng)域中，任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度表示為3. 3. 電介質(zhì)中的高斯定律電介質(zhì)中的高斯定律a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（真空中）（電介質(zhì)中）（電介質(zhì)中）定義定義電位移矢量電位移矢量（ DisplacementDisplacement）PED0則有則有 D電介質(zhì)中高斯定律的微分形式電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入代入 , ,得得Pp)(1fPE0f0)(

21、PE其中其中相對(duì)介電常數(shù)；相對(duì)介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（介電常數(shù)，單位（F/mF/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介質(zhì)中在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。1S1dSD( )( )2S2dSD( )( )2321r4qDDD( )( )q qq q D D 的通量與介質(zhì)無(wú)關(guān)，但不能認(rèn)為的通量與介質(zhì)無(wú)關(guān)，但不能認(rèn)為D D 的分布與介質(zhì)無(wú)關(guān)。的分布與介質(zhì)無(wú)關(guān)。 D D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的電荷，而高斯面上的 D D 是由高斯面是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有

22、電荷共同產(chǎn)生的。內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B B） 高斯定律的積分形式高斯定律的積分形式DdVdVVVDqdSSD散度定理散度定理圖圖2.2.16 2.2.16 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q q分別置于金屬球殼的內(nèi)外分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖圖2.2.15 2.2.15 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中置入任意一塊介質(zhì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中置入任意一塊介質(zhì)例例2.2.4 已知半徑為已知半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)均勻分布體電荷內(nèi)均勻分布體電荷 ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為，試由試由D=求柱內(nèi)外的求柱內(nèi)外的E。 解：解：由于由于 的分布具有軸對(duì)稱(chēng)性，的分布具有軸對(duì)稱(chēng)性， 因此因此 D 的分布也具有軸對(duì)稱(chēng)性，的分布也具有軸對(duì)稱(chēng)

23、性， D只有只有 Dr 分量，且只與分量，且只與 r 有關(guān)。有關(guān)。 柱內(nèi)（柱內(nèi)（r R） ，有體電荷分布，滿足，有體電荷分布，滿足D = 柱外（柱外（r R），無(wú)體電荷），無(wú)體電荷=0，滿足，滿足 D = 0應(yīng)分兩個(gè)區(qū)域分別求解應(yīng)分兩個(gè)區(qū)域分別求解D 在柱坐標(biāo)系下展開(kāi)簡(jiǎn)化在柱坐標(biāo)系下展開(kāi)簡(jiǎn)化001)Dr(rrrD1）在柱內(nèi)（在柱內(nèi)（r R時(shí)）時(shí)）00)(1rDrrr由不定積分求解由不定積分求解 rDrrr)(1221crDrr得通解得通解 rCrDr1121 (rR)其中其中C1為積分常數(shù)，因?yàn)榉e分常數(shù)，因r = 0處處D = 0，故，故C1=02）在柱外（在柱外（r R）000)(1rDrr

24、r不定積分求解得不定積分求解得 (R r)rCDr22其中積分常數(shù)其中積分常數(shù)C2由分界面邊界條件確定由分界面邊界條件確定rreD211rreDE211(rR)rreD211前面已求得圓柱體內(nèi)前面已求得圓柱體內(nèi)圓柱體外的通解為圓柱體外的通解為rCDr22由于由于r = R處無(wú)面電荷，根據(jù)邊界條件：處無(wú)面電荷，根據(jù)邊界條件： D1n=D2n2221RC則得則得 rrReD222rrReDE2222RRC212即即因此，圓柱體外的電場(chǎng)因此，圓柱體外的電場(chǎng)可見(jiàn)，電荷只分布在可見(jiàn)，電荷只分布在r 2 的圓柱內(nèi)，圓柱外無(wú)電荷分布。的圓柱內(nèi)，圓柱外無(wú)電荷分布。 例例2.2.5 已知圓柱坐標(biāo)系中已知圓柱坐標(biāo)

25、系中r2時(shí)，時(shí)， ；r2時(shí)，時(shí)， ，求電場(chǎng)中的體電荷分布，求電場(chǎng)中的體電荷分布。rreD202rr eD2145解解：r2時(shí)：時(shí)：4153454512211rrr)rr(rrD020122)rr(rrDr2時(shí)：時(shí)：2.3 2.3 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件2.3.1 2.3.1 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是一個(gè)靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋、有源場(chǎng)無(wú)旋、有源場(chǎng)，靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源。這兩個(gè)重要特性用，靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源。這兩個(gè)重要特性用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式為：簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式為：0 Ef D)(E)(ED0dllEqdSSD解：根據(jù)解：根據(jù)靜電場(chǎng)的旋度

26、恒等于零靜電場(chǎng)的旋度恒等于零的性質(zhì)的性質(zhì), ,zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例例2.3.12.3.1 已知已知 試判斷它能否表示個(gè)靜電場(chǎng)？試判斷它能否表示個(gè)靜電場(chǎng)？ ，zyxz5y4x3eeeA對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)的基本方程對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一個(gè)靜電場(chǎng)?？梢员硎疽粋€(gè)靜電場(chǎng)。0E 能否根據(jù)矢量場(chǎng)的散度來(lái)判斷該矢量場(chǎng)是否是靜電場(chǎng)能否根據(jù)矢量場(chǎng)的散度來(lái)判斷該矢量場(chǎng)是否是靜電場(chǎng)? ?例例2.3.2 試判斷真空中的下列表達(dá)式是否可能是靜電場(chǎng)？試判斷真空中的下列表達(dá)式是否可能是靜電場(chǎng)？若可能，求相應(yīng)的電荷密度若可能，求相

27、應(yīng)的電荷密度 yxxyeeE322yxyxeeE231解:0231yxzyxzyxeeeEE1可能是靜電場(chǎng)，其體電荷密度為可能是靜電場(chǎng)，其體電荷密度為12302301z)(y)y(x)x（）（EDyxyxeeE2310322xyzyxzyxeeeE05)2()3(zzzyyxxeeeE2決不可能是靜電場(chǎng)。決不可能是靜電場(chǎng)。 yxxyeeE322 以分界面上點(diǎn)以分界面上點(diǎn)P P作為觀察點(diǎn)，作一作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（小扁圓柱高斯面（ ）。）。 0L n1n2DD2 2、電場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度E的銜接條件的銜接條件 以點(diǎn)以點(diǎn)P P 作為觀察點(diǎn)，作一小矩形作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（回路（ ）。

28、）。 0L 0lElE1t21t1t 1t2EE2.3.2 2.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件1 1、 電位移矢量電位移矢量D的銜接條件的銜接條件分界面兩側(cè)分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。 分界面兩側(cè)的分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當(dāng)?shù)姆ㄏ蚍至坎贿B續(xù)。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，D 的法向分量連續(xù)。的法向分量連續(xù)。0圖圖2.3.2 2.3.2 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律SSDSDn2n1則有則有qdSD 根據(jù)根據(jù) 0dllE根據(jù)根據(jù) 則有則有 圖圖2.3.1 2.3.1 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律 表明：表明：（1

29、 1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分量；（量；（2 2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。 當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD圖圖2.3.3a 2.3.3a 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在在交界面上不存在 時(shí)，時(shí)，E、D滿足折射定律。滿足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinE

30、sinEEE2121tantan折射定律折射定律圖圖2.3.3 2.3.3 分界面上分界面上E線的折射線的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此表明表明: : 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3 3、用電位函數(shù)、用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件表示分界面上的銜接條件 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)1 1與點(diǎn)與點(diǎn)2 2分別位于分界面的兩側(cè)，其間分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為距為d d， , ,則則0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明表明: : 一般情況下一般情況下 , ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。)0(圖

31、圖2.3.4 2.3.4 電位的銜接條件電位的銜接條件對(duì)于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位對(duì)于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位 表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)解：忽略邊緣效應(yīng)xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe22110SSq2211EE02211UdEdE圖（圖（a a）02211qSS2211圖（圖（b b） 例例2.3.32.3.3 如圖如圖(a)(a)與圖與圖(b)(b)所示平行板電容器所示平行板電容器, ,已知已知 和和 , ,圖圖(a)(a)已知極板間電壓已知極板間電壓U0 , , 圖圖(b)(b)已知極板上總電荷

32、已知極板上總電荷 , ,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。12121,S,S,d,d20q（a a）（b b）圖圖2.3.5 2.3.5 平行板電容器平行板電容器 2.4 2.4 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理唯一性定理2.4.1 2.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場(chǎng)的基本方程：推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場(chǎng)的基本方程：2泊松方程泊松方程E0EED常數(shù) DEEE 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例例1.4.11.4.1 列出求解區(qū)域的微分

33、方程列出求解區(qū)域的微分方程 時(shí)當(dāng) 002拉普拉斯方程拉普拉斯方程22222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子00221233321.4.2 1.4.2 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題圖圖2.4.1 2.4.1 三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場(chǎng)三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場(chǎng) 為什么說(shuō)第二類(lèi)為什么說(shuō)第二類(lèi)邊界條件邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分與導(dǎo)體上給定電荷分布或邊界是電力線的條布或邊界是電力線的條件是等價(jià)的？件是等價(jià)的？)(sfn2S已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值圖圖2.4.2 2.4.2 邊值問(wèn)題框圖邊值問(wèn)題框圖自然自然邊界條件邊界條件參考點(diǎn)電位 有限值rrlim邊值問(wèn)題微分方程邊界條件場(chǎng)域場(chǎng)域邊界條件邊界條件分

34、界面分界面銜接條件銜接條件第一類(lèi)第一類(lèi)邊界條件邊界條件第二類(lèi)第二類(lèi)邊界條件邊界條件第三類(lèi)第三類(lèi)邊界條件邊界條件已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類(lèi)邊界條件的線性組合，即022nn221121)(sf1S)(sfn2S)()(sfn3S解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法實(shí)測(cè)法實(shí)測(cè)法模擬法模擬法定性定性定量定量邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題研究方法研究方法計(jì)算法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法作圖法作圖法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法模擬電荷法模擬電荷法積分法積分法分離變量法分離變量法鏡像法、電軸法鏡像法、電軸法微分方程法微分方程法保角變換法保角變換法數(shù)學(xué)模擬法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法物理模擬法圖圖1

35、.4.3 邊值問(wèn)題研究方法框圖邊值問(wèn)題研究方法框圖 例例2.4.22.4.2 圖示長(zhǎng)直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長(zhǎng)為圖示長(zhǎng)直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長(zhǎng)為2b的正方形，的正方形，鉛皮半徑為鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源 U U0 0，試寫(xiě)出該電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。，試寫(xiě)出該電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。 解：解：根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱(chēng)性，確定場(chǎng)域。根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱(chēng)性，確定場(chǎng)域。0yx22222（陰影區(qū)域）（陰影區(qū)域）場(chǎng)的邊值問(wèn)題場(chǎng)的邊值問(wèn)題0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx22

36、2),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(圖圖2.4.4 2.4.4 纜心為正方形的同軸電纜橫截面纜心為正方形的同軸電纜橫截面 解：解：只與r有關(guān)，與無(wú)關(guān)、與z無(wú)關(guān)。 例例2-6 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2，電壓為U，試由拉普拉斯方程2=0，求介質(zhì)中的E分布。 介質(zhì)中無(wú)電荷分布，滿足2=0，在圓柱坐標(biāo)系下展開(kāi)簡(jiǎn)化為 000)(1rrrr不定積分求解得 rCr1通解為 21lnCrCU由場(chǎng)域邊界的電位值確定積分常數(shù)C1和C2，設(shè)外導(dǎo)體r=R2處為電位參考點(diǎn)，0ln)(2212CRCR內(nèi)導(dǎo)體r=R1處電位為U，則 UCRCR2111ln)(聯(lián)立求解得 121lnRRUC2122

37、lnlnRRRUC因而同軸電纜介質(zhì)中rRRRURRRUrRRU21221212lnlnlnlnlnlnrrRRlnrUreeE12U解：解：空間電荷分布以x=0平面左右對(duì)稱(chēng)，與y、z無(wú)關(guān)；因此，和E的分布也具有對(duì)稱(chēng)性, 且只與x有關(guān)。在直角坐標(biāo)系下展開(kāi)，泊松方程簡(jiǎn)化為例例2-7已知自由空間中，體電荷密度為axex0)(由泊松方程求電位及場(chǎng)強(qiáng)E。 0 x0(x)a/xxe0022( x 0)a/xxe0022( x 0時(shí)axex00212通過(guò)一次不定積分，得 1001)(Ceaxax再次不定積分，得通解 210201CxCeaax設(shè)分界面x=0處為電位參考點(diǎn)，則 0202aC 由于分界面x=0上

38、沒(méi)有面電荷，即 010 x因而 020000201axaeaax (x0) 兩個(gè)區(qū)域中場(chǎng)強(qiáng)解可合并為 )1020axeaxa（3）電場(chǎng)強(qiáng)度可通過(guò)電位梯度運(yùn)算得到 xaxxaxxxaxxaxxeaaeaxeaaeaxeeeEeeeE)1 ()()1 ()(000000222000000111兩個(gè)區(qū)域中場(chǎng)強(qiáng)解可合并為)(1 (00 xaxeaeE2. 2. 唯一性定理的重要意義唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場(chǎng)問(wèn)題的解的正確性：可判斷靜電場(chǎng)問(wèn)題的解的正確性： 唯一性定理為靜唯一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法( (試試探解、數(shù)值解、解析解等）探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根

39、據(jù)。提供了思路及理論根據(jù)。平板電容器外加電源平板電容器外加電源U U0 0)(,TheoremUniquness定定理理稱(chēng)稱(chēng)之之為為靜靜電電場(chǎng)場(chǎng)的的唯唯一一性性的的解解是是唯唯一一的的拉拉斯斯方方程程泊泊松松方方程程或或拉拉普普位位微微分分方方程程滿滿足足給給定定邊邊界界條條件件的的電電在在靜靜電電場(chǎng)場(chǎng)中中)(,唯一性定理 1.2.4.3 2.4.3 唯一性定理唯一性定理解：解：判斷依據(jù)是解的唯一性定理：既滿足泊松方程 ， 又滿足邊值d-0=U002Ud0001221絕不是解； 例例2-8 試判斷以下電位表達(dá)式哪個(gè)是圖示問(wèn)題的正確解？xddUx)2(20203xdU4xddUx)2(02010

40、0202)2(2UxddUx 0 d x 例2-8題圖Ud00222是正確解。Ud00323也是正確解。Ud004204也不是解。例例2-9 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2，中間為兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，分界面過(guò)直徑（如圖示），電壓為U ,試說(shuō)明兩種介質(zhì)中的E相同。 1 R1 2 U R2 例2-9題圖012解：解： 1中無(wú)體電荷， 滿足0222中無(wú)體電荷，滿足兩種介質(zhì)中滿足的泊松方程相同。 1的內(nèi)邊界（R1半圓柱面）與2的內(nèi)邊界（R1半圓柱面）等電位1； 1的外邊界（R2半圓柱面）與2的外邊界（R2半圓柱面）等電位2； 由于介質(zhì)分界面過(guò)直徑，兩側(cè)只有切線分量，介質(zhì)分界面銜接條件

41、為E1t= E2t。兩種介質(zhì)中的邊界條件也相同，根據(jù)解的唯一性定理可知，因此其解答唯一，即E1= E2。2.5 2.5 鏡像法與電軸法鏡像法與電軸法2.5.1 2.5.1 鏡像法鏡像法邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題：（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域）所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S S 為包圍為包圍 q 的閉合面）的閉合面）s2qd00SD1.1.平面導(dǎo)體的鏡像平面導(dǎo)體的鏡像 鏡像法鏡像法: : 用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布, ,虛設(shè)電荷的虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場(chǎng)的解答滿足唯一性定理。個(gè)數(shù)、大小與位置使場(chǎng)的解答滿足

42、唯一性定理。圖圖2.5.1 2.5.1 平面導(dǎo)體的鏡像平面導(dǎo)體的鏡像 上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題：0r4qr4q0002（除（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)所在點(diǎn)外的區(qū)域）域） （導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（S S 為包圍為包圍q 的閉合面）的閉合面）sqdSD（方向指向地面方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdx2xh2qhdS02322Sp/)(02122xh1qh/)(q例例2.5.12.5.1 求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況

43、。在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。q解解: : 設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷 離地面高度為離地面高度為h，則則q圖圖2.5.2 2.5.2 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷的分布在地面引起的感應(yīng)電荷的分布q2. 2. 導(dǎo)體球面鏡像導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。1) 1) 邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題：（除（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間) )000r2導(dǎo)球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0Rd

44、qRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2球面上任一點(diǎn)電位為位于球內(nèi)設(shè)鏡像電荷,q2)圖圖2.5.3 2.5.3 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像由由疊加原理疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P P的電位與電場(chǎng)分別為的電位與電場(chǎng)分別為2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE圖圖2.5.5 2.5.5 點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖 鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖圖2.5.4 2.5

45、.4 接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算 在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置解解: : 邊值問(wèn)題：邊值問(wèn)題：( ( 除除 q q 點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）0d000Ssr2SD常數(shù)球面 ( ( S S 為球面面積為球面面積 ) )例例2.5.22.5.2 試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷 時(shí)的電場(chǎng)分布。時(shí)的電場(chǎng)分布。 q任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeE

46、q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ + q q - - q q R Ro ob b圖圖2.5.6 2.5.6 點(diǎn)電荷對(duì)不接地金屬點(diǎn)電荷對(duì)不接地金屬 球的鏡像球的鏡像感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ(chēng)性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ(chēng)性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。S,0dSD正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等。正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等。0,constS正鏡像電荷只能位于球心。正鏡像電荷只能位于球心。 試確定用鏡像法求解下列問(wèn)題時(shí)，其試確定用鏡像法求解下列問(wèn)題時(shí)，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置置? ?補(bǔ)充題補(bǔ)充題：圖圖1.7.8 1.7.8 點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面

47、的鏡像圖圖1.7.7 1.7.7 點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖 不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷的絕對(duì)值等于鏡像電荷的絕對(duì)值等于鏡像電荷 嗎嗎? ? 為什么？為什么？q3. 3. 不同介質(zhì)分界面的鏡像不同介質(zhì)分界面的鏡像ttEE21nnDD21邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題：012022( (下半空間下半空間) )( (除除 q q點(diǎn)外的上半空間點(diǎn)外的上半空間) ) qqqqqq211圖圖2.5.9 2.5.9 點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)分界面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)分界面的鏡像sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r

48、24q2r14q2r14qq q2121q2 q212和和 中的電場(chǎng)是由中的電場(chǎng)是由 決定，其有效區(qū)在下半空間，決定，其有效區(qū)在下半空間， 是等效替代自由電荷與極是等效替代自由電荷與極化電荷的作用?；姾傻淖饔?。 2 q qq2qqqqq1221221 即即圖圖2.5.10 2.5.10 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 位于不同介質(zhì)位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖平面上方的場(chǎng)圖q 中的電場(chǎng)是由中的電場(chǎng)是由 與與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間， 是等效替代極化電是等效替代極化電荷的影響。荷的影響。 q qq1圖圖2.5.11 2.5.11 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 與與 分別置于分別置于 與與 區(qū)域中

49、區(qū)域中 為求解圖示為求解圖示 與與 區(qū)域的電區(qū)域的電場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。與位置。121q2q12例例2-11 無(wú)限大接地導(dǎo)板上有一凸起的半球體，正上方有一點(diǎn)電荷q，求:半球體上的最大場(chǎng)強(qiáng)。 d R 例 2-11 題圖 q 2）撤去導(dǎo)電平面，用-q和-q代替感應(yīng)電荷 3）由疊加原理計(jì)算A點(diǎn)最大場(chǎng)強(qiáng) zzAbRqdRRdqeeE2020)(4)()(4zzbRqdRRdqee2020)(4)2(4解：解：1）撤去半球面，用q代替球面感應(yīng)電荷， qdRq例2-11解圖 q r1 A q -q -qr2 r3 r4b Rd例例2-12 半徑R=0.1m的

50、不接地導(dǎo)體球原先帶電量Q=10-6庫(kù)侖，離球心距離d=0.2m處有一點(diǎn)電荷q=10-5庫(kù)侖，求點(diǎn)電荷q受力。 例2-12題圖解：解：先確定鏡像電荷的大小和位置 65105102 . 01 . 0qdRq05. 02 . 01 . 022dRb66610610510 qdRQq由庫(kù)侖定律可分別求得點(diǎn)電荷之間的作用力 2025. 245)05. 02 . 0(36104)105(10)(4296520bdqqF5 .13454) 2 . 0(36104)106(104296520 dqqF由疊加原理可知點(diǎn)電荷所受到的電場(chǎng)力為F = F + F = 20+13.5 = 6.5 牛頓。思考思考:本例中

51、點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球Q帶同號(hào)電荷為何相吸？2.5.2 電軸法邊值問(wèn)題： （導(dǎo)線以外的空間）02 根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷電軸。Sd電荷分布不均勻常數(shù)導(dǎo)體,ASDSd電荷分布不均勻常數(shù)導(dǎo)體,BSD1.問(wèn)題提出2.5.12 長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線能否用高斯定理求解？ 由等效電軸共同產(chǎn)生的電位 Crr120ln2 （x，y） h h b b x y r1 r2 圖 2-13 R R 將兩圓柱導(dǎo)體撤去，其表面電荷用兩根線電荷密度分別為 ，相距為2b的等效電軸代替。 兩根長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體的電場(chǎng)，由于鄰近效應(yīng)，導(dǎo)線表面的電荷分布不均勻 。2. 兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)Cln2Cln2Cln2d212021P

52、2202110Q011以y軸為參考點(diǎn), C=0, 則 22220120Pybxybx22)()(lnln當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。常數(shù)令：P22222Kybxybx)()(hh圖2.5.13 兩根細(xì)導(dǎo)線的電場(chǎng)計(jì)算pbbyxo2a、h、b三者之間的關(guān)系滿足 222222222hb1K1Kb1KbK2ba)()(2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位線方程為：1KbK2a,0, )b1K1K( h222 圓心坐標(biāo)圓半徑應(yīng)該注意到,線電荷所在的兩個(gè)點(diǎn),對(duì)每一個(gè)等位圓的圓心來(lái)說(shuō),互為反演。即)(bhbhbha222根據(jù) 及E線的微分方程 ， 得E線方程為 xyEEdxdy4Kb2K

53、yx212212)(E圖2.5.14 兩細(xì)導(dǎo)線的場(chǎng)圖 若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問(wèn)。 若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼，是否會(huì)影響電場(chǎng)分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？3. 電軸法例2.5.3 試求圖示兩帶電長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場(chǎng)及電位分布。22ahb:,)a確定電軸位置建立坐標(biāo)系120p210Pln2)11(2)b21eeE:位圓柱導(dǎo)線間的電場(chǎng)與電( 以 軸為電位為參考點(diǎn) )y 用置于電軸上的等效線電荷,來(lái)代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場(chǎng)的方法,稱(chēng)為電軸法。解：圖2.5.15 平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場(chǎng)的計(jì)算4）圓柱導(dǎo)體外電位分布為 21222212)()(ln2ln2ybxy

54、bxrr5）圓柱導(dǎo)體外的電場(chǎng)強(qiáng)度可由E=求得,也可由疊加原理求得 )()(22222210ybxybxrreeEEE對(duì)于圖示A點(diǎn)， 11RhxA（正值）, 0Ay)()(2)()(2111011110 xxxARhRbRhbRhbeeeE 對(duì)于圖示B點(diǎn)， )(22RhxB（負(fù)值）, )()(2)()(2222022220 xxxBRhRbRhbRhbeeeE0By 鏡像法（電軸法）小結(jié) 鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理； 鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)； 鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小

55、及位置； 應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。 電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周?chē)慕橘|(zhì)有關(guān)。電容的計(jì)算思路： UQCdUQlEE設(shè)工程上的實(shí)際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。2.6.1 2.6.1 電容電容UQC pf,f(F法拉），定義： 單位： 例2.6.1 試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 ,則q,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同心導(dǎo)體間的電壓abab4UqC0球形電容器的電容aC04當(dāng)b時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）圖2.6.1

56、球形電容器2.6 2.6 電容及部分電容電容及部分電容1. 已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即1n1KK.0q 靜電獨(dú)立系統(tǒng)D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng) 線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)； 部分電容概念21211110 qq以接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為22212120qq2211002022110010 qbqbqbqaqaqa)( 210qqq圖2.6.2 三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)2.6.2 2.6.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng) 部分電容部分電容nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121

57、111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對(duì)各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；ii, 自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；j , i互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j上的電荷對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn) ；寫(xiě)成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注： 的值可以通過(guò)給定各導(dǎo)體電荷 ,計(jì)算各導(dǎo)體的電位 而得。q以此類(lèi)推(n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程2. 已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù) 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對(duì)導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；ii,自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體 電位對(duì)導(dǎo)體 電荷的貢獻(xiàn)

58、；iiji,互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對(duì)導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。 通常， 的值可以通過(guò)給定各導(dǎo)體的電位 ，測(cè)量各導(dǎo)體的電荷 而得。q 3. 已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容)()(q2k2k1k1kk)(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩陣形式）式中：C部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對(duì)各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分電容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分電容）。kknkk2k1k)(部分電容性質(zhì): 所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)； 互有部分電容i , jj , iCC ，即為對(duì)稱(chēng)陣；

59、 C (n+1) 個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 個(gè)部分電容；2)1n(n 部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。 例2.6.2 試計(jì)算考慮大地影響時(shí)，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知 如圖示：haad ,2201221221121101)()(CCCC32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解: 部分電容個(gè)數(shù), 如圖 (b)。由對(duì)稱(chēng)性得線電荷與電位的關(guān)系為圖2.6.4 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)靜電網(wǎng)絡(luò)與等效電容 令,0, 121則利用鏡像法，輸電線兩導(dǎo)體的電位ddhah2202014ln212ln21ddh4ln21Chd2dh4aln21C0dh4

60、ahd2ln21Cah2ln21C1220202202122012010為)ad ,rrln2(120)3(）得）代入式（將式（2322012122112110C)(C0)(CC1)2(圖2.6.5 兩線輸電線對(duì)大地的鏡像聯(lián)立解之得addh4h2ln2CC2202010二線間的等效電容：)dh4ddh2ln(2CCCCCC2202010201012e22222202112)ddh4(ln)ah2(lnddh4ln2CC圖2.6.6 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)202021212121210101UCUCqUCUCq令0, 0101Uq01212UC012 C0號(hào)導(dǎo)體接地，得2020210101UCq