自動控制原理(胡壽松版)課件第五章

1、30/4/200906/ec/C180/黃山學院信息工程學院黃山學院信息工程學院 自動化專業(yè)自動化專業(yè)自動控制原理自動控制原理第五章 頻率分析法第五章 頻率分析法 在工程實際中，人們常運用頻率特性法來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。 頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的圖形來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因而可避免繁瑣復(fù)雜的運算。來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。第一節(jié) 頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五節(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標第四節(jié) 穩(wěn)定裕度第五章 頻率分析法第一節(jié) 頻率特性 頻率分析法的數(shù)學模型是頻率特性。通過對系統(tǒng)頻

2、率特性的分析來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章 頻率分析法G(S)R(s)C(s) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖: 一 頻率特性的定義設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 第一節(jié) 頻率特性特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反變換得變換得: c(t)=A1 e-j tej t+A2 ni=1esit+Bi 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

3、為 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系數(shù)求待定系數(shù): A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理: -jG(j )G(-j )=|G(j )|e根據(jù)根據(jù) -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為值之比為| |G(j

4、G(j)|,)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為相位差為G(jG(j) )。 系統(tǒng)輸入輸出曲線系統(tǒng)輸入輸出曲線 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定義頻率特性為定義頻率特性為: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅頻特性：幅頻特性： )=|G(j )|A( 相頻特性：相頻特性： G(j ) ( )= 頻率頻率特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。第一節(jié) 頻率特性例 求圖所示RC電路的頻率特

5、性，并求該 電路正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。解解: 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 G(s)=Ts+11T=RC頻率特性頻率特性 電路的穩(wěn)態(tài)輸出電路的穩(wěn)態(tài)輸出: +-ucur+-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一節(jié) 頻率特性0-80-60-40-200()12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 頻率

6、特性可表示為：頻率特性可表示為：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ( )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一節(jié) 頻率特性0ReIm=0二 頻率特性的幾何表示法 頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。 1幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線稱奈魁斯特曲線 幅相頻率特性曲線 也稱極坐標圖也稱極坐標圖第一節(jié) 頻率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12對數(shù)頻率特性曲線 對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖. 對數(shù)幅頻特

7、性十倍頻程十倍頻程縱坐標表示為：橫坐標表示為： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 為方便只表示L( )=20lgA()單位為單位為 dB 斜率斜率 對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性) ( 第一節(jié) 頻率特性第一節(jié) 頻率特性1 1、縱坐標是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；、縱坐標是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的； 橫坐標按頻率對數(shù)標尺刻度，但標出的是實際的橫坐標按頻率對數(shù)標尺刻度，但標出的是實際的 值，是不均勻的。值，是不均勻的。 這種坐標系稱為半對數(shù)坐標系。這種坐標系稱為半對數(shù)坐標系。2 2、在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大、在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大1010倍的范圍，稱為倍的范圍，

8、稱為十倍頻程十倍頻程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而軸上所有十倍，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。頻程的長度都是相等的。3 3、為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進斜率的概念，、為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進斜率的概念，即橫坐標每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱即橫坐標每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐標分貝數(shù)的變化量。坐標分貝數(shù)的變化量。注意注意3對數(shù)幅相曲線 第一節(jié) 頻率特性對數(shù)幅相曲線又稱尼科對數(shù)幅相曲線又稱尼科爾斯曲線或尼科爾斯圖。爾斯曲線或尼科爾斯圖。其特點其特點是縱坐標為是縱坐標為 ，單，單位為分貝（位為分貝（dBdB），橫坐），橫坐標為標為

9、，單位，單位為度，均為線性分度，為度，均為線性分度，頻率頻率 為參變量。下為參變量。下圖為圖為RCRC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)時的尼科爾斯曲線。時的尼科爾斯曲線。 L( ) 0.5T 第五章 頻率分析法第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)頻率特性 頻率特性法是一種圖解分析法，它是通頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能,因而可因而可避免繁雜的求解運算。與其他方法比較避免繁雜的求解運算。與其他方法比較,它具它具有一些明顯的優(yōu)點有一些明顯的優(yōu)點.一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)及其頻

10、率特性1典型環(huán)節(jié)（1 1）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)(0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)2 2）慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)3 3）一階微分環(huán)節(jié)）一階微分環(huán)節(jié)4 4）振蕩環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié)5 5）二階微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)6 6）積分環(huán)節(jié)）積分環(huán)節(jié)7 7）微分環(huán)節(jié)）微分環(huán)節(jié)1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 1/ss第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性（2 2）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)(0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)2 2）慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)3 3）一階微分環(huán)節(jié)）一階微

11、分環(huán)節(jié)4 4）振蕩環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié)5 5）二階微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。置。 由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項式的系數(shù)皆為由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項式的系數(shù)皆為實數(shù)，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，實數(shù)，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式， 即即 NiisGsHsG1)()()(第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性

12、為設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為)()()(ijiieAjG則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 )(11 )()()(NiijNiieAjHjG系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性為NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的疊加這一性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的疊加這一更為簡單的形式。更為簡單的形式。2. 典型環(huán)節(jié)的頻率特性1)比例環(huán)節(jié)0KReIm (1) 奈氏

13、圖 G(s)=K第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德圖 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2)積分環(huán)節(jié) (1) 奈氏圖奈氏圖 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德圖伯德圖 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： =-20lgL( )=20lgA() 對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o ( )=1L( )=-

14、20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 3)微分環(huán)節(jié) (1) 奈氏圖奈氏圖 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德圖伯德圖 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性： L( )=20lgA() =20lg 對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性4)慣性環(huán)節(jié)G(s)=1Ts+11T+1

15、j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏圖奈氏圖 根據(jù)根據(jù)幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性求出特殊求出特殊點，然后將它們平滑連接起來。點，然后將它們平滑連接起來。取特殊點：取特殊點： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=繪制奈氏圖近似方法繪制奈氏圖近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以證明：可以證明： 慣性環(huán)節(jié)的奈氏慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以圖是以(1/2,jo)(1/2,jo)為圓為圓心，以心，以1/21/2為半徑的半為半徑的半圓。圓。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特

16、性(2) 伯德圖對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： 轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率-20dB/decT110TdB L( )T)211+( )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T頻段，可頻段，可用用-20dB/dec漸近漸近線近似代替線近似代替兩漸近線相交點的為兩漸近線相交點的為轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率=1/T。 漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線產(chǎn)生的漸近線產(chǎn)生的最最 大誤差值為：大誤差值為：21L=20lg =-3.03dB 精確曲線為精確曲線為精確曲線精確曲線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =0

17、0o ( )=1=T-90o ( )=-45o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 5)一階微分環(huán)節(jié)G(s)=1+Ts(1) 奈氏圖奈氏圖 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比 , 所以它們的伯德圖對稱于橫軸。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： T)21+( )=20lg L(漸近線漸近線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T tg-1 ( )

18、= 450 90=00o ( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 6)振蕩環(huán)節(jié) n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏圖奈氏圖1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 將特殊點平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。=0.4 幅相頻率特性曲線因值的不同而異。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系

19、統(tǒng)的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精確曲線與漸近線精確曲線與漸近線之間存在的誤差與之間存在的誤差與值有關(guān)，值有關(guān)，較小，幅值出現(xiàn)了峰值。較小，幅值出現(xiàn)了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n諧振頻率諧振頻率諧振峰值諧振峰值精確曲線精確曲線=0.1=0.3=0.5相頻特性曲線：相頻特性曲線：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o

20、( )=-90o ( )= n=-180o ( )=不同，相頻特性曲線不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：的形狀有所不同：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性因為實際對數(shù)幅頻曲線與阻尼比有關(guān)，誤差曲線因為實際對數(shù)幅頻曲線與阻尼比有關(guān)，誤差曲線(,)L 為一曲線簇，如下圖，據(jù)此修正漸進曲線而獲得準確曲線。為一曲線簇，如下圖，據(jù)此修正漸進曲線而獲得準確曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意：注意：在實際分析對數(shù)幅頻漸進特性曲線時，常在實際分析對數(shù)幅頻漸進特性曲線時，常用的半對數(shù)坐標系中的直線方程為：用的半對數(shù)坐標系中的直線

21、方程為：2121()()lglgaaLLk其中其中11,()aL22,()aL(/)k dB dec和和為直線上的兩點，為直線上的兩點，為直線斜率。為直線斜率。7)時滯環(huán)節(jié)奈氏圖是一奈氏圖是一 單位圓單位圓(1) 奈氏圖奈氏圖1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德圖伯德圖L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 8非最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié): 最小相位環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性之間存

22、在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。對非最小相位環(huán)節(jié)來說，不存在這種關(guān)系。 開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有s右半平面上右半平面上的極點和零點。的極點和零點。 開環(huán)傳遞函數(shù)中含有開環(huán)傳遞函數(shù)中含有s右半平面上右半平面上的極點或零點的極點或零點。非最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié):第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意注意 (1) (1)、非最小相位環(huán)節(jié)與對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)、非最小相位環(huán)節(jié)與對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié) 最小相位慣性環(huán)節(jié)和非最小相位慣性環(huán)節(jié)，幅最小相位慣性環(huán)節(jié)和非最小相位慣性環(huán)節(jié)，幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關(guān)于頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關(guān)于實軸對稱實軸

23、對稱 ；對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻曲線關(guān)；對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻曲線關(guān)于于00線對稱線對稱 。以上特點對于振蕩環(huán)節(jié)和非最小相。以上特點對于振蕩環(huán)節(jié)和非最小相位振蕩環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微位振蕩環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)均適用。節(jié)均適用。（2 2）傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻曲傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻曲線關(guān)于線關(guān)于0dB0dB線對稱，對數(shù)相頻曲線關(guān)于線對稱，對數(shù)相頻曲線關(guān)于0 0

24、0 0線對稱。線對稱。對于傳遞函數(shù)互為倒數(shù)非最小相位典型環(huán)節(jié)，其對于傳遞函數(shù)互為倒數(shù)非最小相位典型環(huán)節(jié)，其對數(shù)頻率特性曲線的對稱性同樣成立。對數(shù)頻率特性曲線的對稱性同樣成立。注意注意環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 斜率斜率dB/dec 特殊點特殊點()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率1 =轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例積分積分重積分重積分慣性慣性比例微分比例微分振蕩振蕩常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22

25、n1+ s第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 頻率特性法的最大特點是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能 , 這樣可以簡化分析過程。所以繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線的繪制。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的：節(jié)串聯(lián)而成的： 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 的個數(shù)的個數(shù)時間常數(shù)時間常數(shù)系統(tǒng)的階次系統(tǒng)的階次開環(huán)增益開環(huán)增益nm幅頻特性幅頻特性: 相頻特性相頻特性: 近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖: :先把特殊點

26、找先把特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 繪制繪制概略開環(huán)幅相曲線概略開環(huán)幅相曲線的方法。反映開環(huán)頻率的方法。反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：特性的三個重要因素：（1 1）確定開環(huán)幅相曲線的起點）確定開環(huán)幅相曲線的起點 0和終點和終點（2 2）確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點）確定開環(huán)幅相曲

27、線與實軸的交點(,0)xIm()()0 xxG jHj()()();0. 1, 2,xxxG jH jkk 或或x為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實軸交點為為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實軸交點為Re()()()()xxxxG jH jG jH j（3 3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。 (1) 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)= 0特殊點特殊點: 系統(tǒng)起點和終點系統(tǒng)起點和終點K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A(

28、0o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 型系統(tǒng)型系統(tǒng)=1系統(tǒng)起點和終點系統(tǒng)起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: =1特殊點特殊點: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(3) II型系統(tǒng)型系統(tǒng)=2n-m=2n-m=1n-m=3系統(tǒng)起點和終點系

29、統(tǒng)起點和終點=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: ReIm0=0=2特殊點特殊點: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 開環(huán)系統(tǒng)奈氏曲線起點和終點的綜合情況如圖:=1=0=3=2奈氏曲線的起點奈氏曲線的起點 奈氏曲線的終點奈氏曲線的終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例1 試繪制系統(tǒng)的奈氏圖試繪制系統(tǒng)的奈氏圖 系統(tǒng)的奈氏圖系

30、統(tǒng)的奈氏圖解：解：n-m=2I型系統(tǒng)型系統(tǒng)G(s)=Ks(Ts+1)特殊點特殊點: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系 統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o

31、( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T 0o ( )=K=0K T =第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例例3 3 某某0 0型單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為型單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解：解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為 -90-900 0，故該系統(tǒng)開環(huán)幅，故該系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線中相曲線中 起點為：起點為： 終點為：終點為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 1212( );,0(1)(1)KG sK T TT sT s 0000)0(,)0(KA00180)90(

32、2)(, 0)(A)1)(1 ()(1 )(22222121221TTTTjTTKjG令令 ，得，得 ，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在 處外與實軸無交點。處外與實軸無交點。由于由于 、 可正可負，故系統(tǒng)幅相曲可正可負，故系統(tǒng)幅相曲 線在第線在第和第和第象限內(nèi)象限內(nèi) 變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅 相曲線如左圖所示。相曲線如左圖所示。 若取若取 ，由于非最小，由于非最小 相位比例環(huán)節(jié)的相角恒相位比例環(huán)節(jié)的相角恒 為為 ，故此時系統(tǒng)概，故此時系統(tǒng)概 略開環(huán)幅相曲線由原曲線繞略開環(huán)幅相曲線由原曲線繞 原點順時針旋轉(zhuǎn)原點順時針旋轉(zhuǎn) 而得而得。 0)(ImxjG0 x00)(I

33、mjG)(RejG00Kj1801800K 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例例4 4 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。解解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 1212( )( );,0(1)(1)KG s H sK T Ts T sT s )1)(1 ()(1)(1 ()()(22222121TTjjTjTKjHjG)1)(1 ()1()(22222122121TTTTjTTK第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性幅值變化：幅值變化：相角變化：相角變化： 所以所以 的變化為的變化為 。 0)(,)0(AA001:9090j0011:

34、0901jT0021:0901jT00:00K)(0090270第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性乃氏圖的起點：乃氏圖的起點：與實軸的交點：令與實軸的交點：令 ，得，得 ，于是于是系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如下張圖中曲線所示，下張圖中曲線所示，圖中虛線為開環(huán)幅圖中虛線為開環(huán)幅相曲線的低頻漸近線。相曲線的低頻漸近線。)()0()0(Re21TTKjHjG)0()0(ImjHjG0)()(ImjHjG1 21/xTT2121)()(Re)()(TTTKTjHjGjHjGxxxx第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性j)(21TTK2121TTTKT012例例5 5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)開

35、環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 起點：起點： 終點：終點： 與實軸的交點：與實軸的交點： (1)( )( );, ,0(1)KsG s H sKTs Ts222()(1)()()(1)KTjTG jH jT (0 ), (0 )90 ;A ( )0, ( )270 .A 1()()xxxTG jH jK 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性因為因為 從從 單調(diào)減至單調(diào)減至 ，故幅相曲線在第第，故幅相曲線在第第象限與象限與第第象限間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。象限間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。 90270第二節(jié)

36、典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例例6 6 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線。試繪制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線。解解: : 開環(huán)幅相曲線的起點：開環(huán)幅相曲線的起點： 終點：終點：由開環(huán)頻率特性表達式知由開環(huán)頻率特性表達式知 的虛部不為零，故與實軸無交點。的虛部不為零，故與實軸無交點。 22( )( );,0(1)(1)nKG s H sK Ts Tss2222()()()(1)(1)nK TjG jH jT( 0 ) 0 )90G jH j ()()0360G jH j G jHj第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意到開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)注意到開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)

37、，當，當 趨于趨于 時，時， 趨于無窮大，而相頻特性趨于無窮大，而相頻特性 取取 在在 的附近，的附近，相角突變相角突變 ，幅相曲，幅相曲線在線在 處呈現(xiàn)不連續(xù)處呈現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。作系統(tǒng)開環(huán)概略現(xiàn)象。作系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。幅相曲線如圖所示。 0n()nA11()90180 ;,0()90180 ;,0nnnnnnnntg Ttg T n180n第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性繪制開環(huán)概略幅相曲線的規(guī)律：繪制開環(huán)概略幅相曲線的規(guī)律：1 1）開環(huán)幅相曲線的起點，取決于比例環(huán)節(jié)）開環(huán)幅相曲線的起點，取決于比例環(huán)節(jié)K K和系統(tǒng)積分或微和系統(tǒng)積分或微 分環(huán)節(jié)的個數(shù)

38、分環(huán)節(jié)的個數(shù) （系統(tǒng)型別）。（系統(tǒng)型別）。 ，起點為原點；，起點為原點； ，起點為實軸上的點，起點為實軸上的點K K處；處； ，設(shè)，設(shè) ，則，則 時為時為 的無窮遠處，的無窮遠處， 時為時為 的無窮遠處。的無窮遠處。2 2）開環(huán)幅相曲線的終點，取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母）開環(huán)幅相曲線的終點，取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母 多項式中最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)的階次和。多項式中最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)的階次和。 0004(0,1,2,;1,2,3,4)ki ki0K ( 90 )i 0K ( 90 ) 180i ,()()nmG jH jK ,()()0 ()( 90 )nmG jH jnm

39、 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性3 3）若開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)，重數(shù)）若開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)，重數(shù) 為正整數(shù)，即開為正整數(shù)，即開 環(huán)傳遞函具有下述形式環(huán)傳遞函具有下述形式 不含不含 的極點，則當?shù)臉O點，則當 趨于趨于 時，時， 趨于無趨于無窮，而窮，而即即 在在 附近，相角突變附近，相角突變 。 l11221( )( )( )( )1nG s H sG s H ss 11Gs Hsnjn A1111()()()()()()180nnnnnnGjHjl ( ) n180l 2系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般由典型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：環(huán)節(jié)串聯(lián)而成： 開環(huán)

40、系統(tǒng)的頻率特性：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s)ni=1對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性： 對數(shù)相頻特性：對數(shù)相頻特性： n)=Gi(ji=1G(j )=Ai(ni=1)e ji()=20lgAi(ni=1L( )=20lgAi(ni=1)=Li(ni=1 )= ( i(ni=1 ) 將各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的一般步驟：1) 將開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積。3) 將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和對數(shù)相 頻特性曲線；

41、第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例 已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的 開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解：解： G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)畫出各環(huán)節(jié)的對畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線數(shù)頻率特性曲線 G1(s)=10-20dBdec3142L1L3L2L41100.5-20020400-180 -9090-40dB/decG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11 各環(huán)節(jié)曲線相加，各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。頻率特性曲線。dB L( )-20d

42、B/dec) ( 可知：可知： 低頻段幅頻特低頻段幅頻特性可近似表示為：性可近似表示為：)A( K)=20lgK-20lgL( 低頻段曲線的斜率低頻段曲線的斜率-20 dB/dec低頻段曲線的高度低頻段曲線的高度L(1)=20lgK第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。實際的作圖過程可簡化為：實際的作圖過程可簡化為：1) 將開環(huán)傳遞函數(shù)標準化；2) 在坐標中標出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；3) 過=1 ，L()=20lgK 這點，作斜 率為-20dB/dec 的低頻漸近線；4) 每到某一環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處， 根據(jù)該環(huán)節(jié)的特性改變一次漸近線

43、的斜率。5) 畫出對數(shù)相頻特性的近似曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例 試畫出系統(tǒng)的試畫出系統(tǒng)的伯德圖伯德圖 解：解： G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)將式子標準化將式子標準化 各轉(zhuǎn)折頻率為：各轉(zhuǎn)折頻率為： 1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-180 -90-40dB/dec-2002040低頻段曲線：低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：相頻特性曲線：=0=dB L( ) ( 1=12=2 3=20-90o ( )=-180o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與

44、系統(tǒng)的頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定 頻率特性具有明確的物理意義，可用實驗的方法來確定它.這對于難以列寫其微分方程的元件或系統(tǒng)來說,具有很重要的實際意義。1 1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖2 2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1、用實驗法確定系統(tǒng)的伯德圖 給系統(tǒng)加不同頻率的給系統(tǒng)加不同頻率的正弦信號，測量出系正弦信號，測量出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。相頻特性曲線。2. 用標準斜率的直線用標準斜率的直線近似被測對數(shù)幅頻特近似被測對數(shù)幅頻特性曲線，得曲線的漸性曲線，得曲線

45、的漸近線。近線。-20020400-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為： 根據(jù)伯得圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增根據(jù)伯得圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益益 K ，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時間常數(shù)等參數(shù)則轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時間常數(shù)等參數(shù)則可從圖上直接確定?？蓮膱D上直接確定。mG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1. =0低頻漸近線為低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖：系統(tǒng)的伯德圖：20lgK

46、-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=K=1020即即dB L( )cL( )=20lgA( )A( )=K12第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性0dB L( )1-20dB/dec-40dB/dec低頻段的曲線與橫軸低頻段的曲線與橫軸相交點相交點的頻率為的頻率為: 2. =120lgK=1系統(tǒng)的伯德圖系統(tǒng)的伯德圖：因為因為故故1cL( )=20lgK0lg20lgK=200-lg120lgK=20lg 0K=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 -20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13. =2系統(tǒng)的伯德圖：系統(tǒng)的伯德圖：=120lgK低頻段的曲線與橫低頻段的曲線與

47、橫軸相交點軸相交點的頻率為的頻率為:因為因為故故dB L( )01c2L( )=20lgK0lg20lgK=400-lg120lgK=40lg 02K=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性r =1-2 2 n例例 由實測數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖由實測數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖 所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。0.5-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dB0-180 -90-270 解解: 由圖可得：由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：得：根據(jù)根據(jù)00.707得得dB L( ) ( =11- 2 2 01=0.922=0.38=0

48、.38由頻率曲線得由頻率曲線得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=1002K=2n2T =0.381)2 T2=(=0.25n第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例 已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對 數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。K1sTs+1-hr(t)h(t)解解:將測得的對數(shù)曲線近似成漸近線:1-20dB/dec4-40dB/dec(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1-2000-180 -90dB L( ) ( 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 19321932

49、年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一種判提出了另一種判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為乃奎斯特穩(wěn)定判乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)據(jù)，簡稱，簡稱乃氏判據(jù)乃氏判據(jù)。這個判據(jù)的主要特點是利用。這個判據(jù)的主要特點是利用開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃氏穩(wěn)定判據(jù)還能夠指出穩(wěn)定的程度，揭示改善系氏穩(wěn)定判據(jù)還能夠指出穩(wěn)定的程度，揭示改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據(jù)在頻率域統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據(jù)在頻率域控制理論中有著重要的地位?？刂评碚撝杏兄匾牡匚?。 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)一、一、 奈氏判

50、據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)1 1、輻角原理、輻角原理 設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中，式中，s s+j+j為復(fù)變量，為復(fù)變量，F(xiàn) F( (s s) )為復(fù)變函數(shù)為復(fù)變函數(shù), , 記記F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面畫一條封閉曲線平面畫一條封閉曲線, , 并使其不通過并使其不通過F F( (s s) )的任一的任一零、極點零、極點, , 則在則在F F( (s s) )平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線, , 如圖如圖所示。所示。js1s2s30s平 面F(s)

51、平 面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U圖：圖：s s平面與平面與F F( (s s) )平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 若在若在s s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的, , 則則在在F F( (s s) )平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的, , 也也可能是逆時針的可能是逆時針的, , 這取決于這取決于F F( (s s) )函數(shù)的特性。函數(shù)的特性。 我們感興趣的不是映射曲線的形狀我們感興趣的不是映射曲線的形狀, , 而是它包圍坐標而是它包圍坐標原點的次數(shù)和

52、運動方向原點的次數(shù)和運動方向, , 因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。相關(guān)。 根據(jù)式根據(jù)式(1)(1)，復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)F F( (s s) )的相角可表示為的相角可表示為 njjmiipszssF11)()()( 假定在假定在s s平面上的封閉曲線包圍了平面上的封閉曲線包圍了F F( (s s) )的一個零點的一個零點z z1 1，而其他零極點都位于封閉曲線之外而其他零極點都位于封閉曲線之外, , 則當則當s s沿著沿著s s平面上的平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時封閉曲線順時針方向移動一周時, , 向量向量( (s s- -z z1 1) )的相角變化的相

53、角變化-2-2弧度弧度, , 而其他各相量的相角變化為零。這意味著在而其他各相量的相角變化為零。這意味著在F F( (s s) )平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)一周平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)一周, , 也就是向量也就是向量F F( (s s) )的相角變化了的相角變化了-2-2弧度弧度, , 如圖所示。如圖所示。 若若s s平面上的封閉曲線包圍著平面上的封閉曲線包圍著F F( (s s) )的的Z Z個零點個零點, , 則在則在F F( (s s) )平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標原點旋平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)Z Z周。周。 第三

54、節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面圖：封閉曲線包圍圖：封閉曲線包圍z z1 1時的映射情況時的映射情況 同理：若同理：若s s平面上的封閉曲線包圍了平面上的封閉曲線包圍了F F( (s s) )的的P P個極點個極點, , 則當則當s s沿著沿著s s平面上的封閉曲線順時針移動一周時平面上的封閉曲線順時針移動一周時, , 在在F F( (s s) )平面平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)P P周。周。幅角原理幅角原理 設(shè)設(shè)s s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)平面上的封

55、閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F F( (s s) )的的P P個極點和個極點和Z Z個零點個零點, , 并且此曲線不經(jīng)過并且此曲線不經(jīng)過F F( (s s) )的任一的任一零點和極點零點和極點, , 則當復(fù)變量則當復(fù)變量s s 沿封閉曲線順時針方向沿封閉曲線順時針方向移動一周時移動一周時, , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲線按逆時針方平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標原點向包圍坐標原點( (P-Z P-Z ) )周。周。第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)2 2、復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)F(s)F(s)的選擇的選擇設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1212()()()( )(

56、)( )()()()KmnK szszszGsG s H sspspspmn 則系統(tǒng)的特征方程為則系統(tǒng)的特征方程為 12121212121212()()()1( )( )( )1()()()()()()()()()()()()()()()()()()mnnmnnnK szszszG s H sF sspspspspspspK szszszspspspssssssspspsp 11()( )( )( )( )()niiniiszA sB sF sA ssp結(jié)論結(jié)論：*（1 1）輔助函數(shù)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）輔助函數(shù)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 輔助函數(shù)的極點是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點輔助函數(shù)的極點

57、是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點 （2 2）輔助函數(shù)的零、極點個數(shù)相同）輔助函數(shù)的零、極點個數(shù)相同 （3 3）F(s)F(s)與與G(s)H(s)G(s)H(s)在復(fù)平面上的幾何關(guān)系在復(fù)平面上的幾何關(guān)系1ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性, , 需要檢驗需要檢驗F(s)是否有位于是否有位于s平平面右半部的零點。為此可以選面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個擇一條包圍整個s平面右半部平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲的按順時針方向運動的封閉曲線線, , 通常稱為通常稱為奈奎斯特回線奈奎斯特回線, , 簡稱簡稱奈奈

58、氏回線氏回線, , 如圖如圖所示。所示。 3 3、s s平面閉合曲線的選擇平面閉合曲線的選擇 圖 奈氏回線 js j j0C1RC2s平面第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 可取下圖所示的兩種形式可取下圖所示的兩種形式圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點無虛軸上的極點 圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點無虛軸上的極點 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)4 4、G(s)H(s)G(s)H(s)閉合曲線的繪制閉合曲線的繪制1 1）若）若G G( (s s) )H H( (s s) )無虛軸上極點無虛軸上極點GH,0,sj ,0 , 90jse ()nm(, 0)Kj()nmK在在時，

59、對應(yīng)開環(huán)幅相曲線；時，對應(yīng)開環(huán)幅相曲線；GH在在時，對應(yīng)原點時，對應(yīng)原點或或點點，為系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。為系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。2 2）若）若G G( (s s) )H H( (s s) )有虛軸極點。當開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時，有虛軸極點。當開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時，111( )( )( )(0,( 0)G s H sG sGjs 1(0 ),(0 )( 0 )( 0 )( 90 )( 0 )AG jH jGj 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 在原點附近，閉合曲線在原點附近，閉合曲線為為,0 , 90jse，且有，且有11()( 0)jGeGj故：故：)111()()( )( )jjjjGejGjeseG

60、 s H see 對應(yīng)的曲線為從對應(yīng)的曲線為從1( 0)Gj點起，半徑為點起，半徑為、圓心角為、圓心角為() 的圓弧，即可從點的圓弧，即可從點( 0 )( 0 )G jH j圓心角為圓心角為90的圓弧，如圖的圓弧，如圖5-31(a)中虛線所示。中虛線所示。起時針作半徑無窮大、起時針作半徑無窮大、第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)當開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)時，設(shè)當開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)時，設(shè)1111221( )( )( )(0,()()nnG s H sG sGjs 111(90 )11221( )( )()()(2)(2)jjnnjjnneG s H sGjeGjjee 上述分析表