第13章離散圖像處理

1、DIPDFT僅僅是數(shù)字圖像處理中的一種變換，其僅僅是數(shù)字圖像處理中的一種變換，其實還有很多種變換。實還有很多種變換。定義定義x是是N1的向量，的向量，T是是NN的矩陣，則：的矩陣，則：或定義了向量或定義了向量x的一的一個線性變換。個線性變換。1,0,0,1Nii jjjyt xiN其中y = Tx核矩陣DIP例：二維坐標(biāo)系統(tǒng)中的一個向量旋轉(zhuǎn)例：二維坐標(biāo)系統(tǒng)中的一個向量旋轉(zhuǎn)1122cossinsincosyxyxT是非奇異的，則原向量是非奇異的，則原向量。對上例來說，對上例來說，相當(dāng)于該向量反向旋轉(zhuǎn)。相當(dāng)于該向量反向旋轉(zhuǎn)。DIP若若T是酉矩陣，則是酉矩陣，則對對T的每個元素取共軛復(fù)數(shù)的每個元素取

2、共軛復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置當(dāng)當(dāng)T的所有元素都是實數(shù)時，的所有元素都是實數(shù)時， TTt的第的第(i,j)元素是元素是T的第的第i行與行與Tt的第的第j列（也就是列（也就是T的的第第j行）的內(nèi)積，行）的內(nèi)積，i=j時為時為1，否則為，否則為0。因此，。因此，例：一維例：一維DFT就是酉變換就是酉變換1201iNjkNkiif eNFF = Wf酉陣酉陣2,1ijkNi kweNDIP線性酉變換產(chǎn)生一個有線性酉變換產(chǎn)生一個有N個變換系數(shù)的向量個變換系數(shù)的向量y，每個每個變換系數(shù)都是輸入向量變換系數(shù)都是輸入向量x和變換矩陣和變換矩陣T的某一行的的某一行的內(nèi)積內(nèi)積。反變換也類似。反變換也類似。正變換正變換可看作是

3、一個可看作是一個分解過程分解過程：將信號向量分解成：將信號向量分解成它的各個基元分量，這些基元分量自然以基向量的形式它的各個基元分量，這些基元分量自然以基向量的形式表示，變換系數(shù)規(guī)定了在原信號中各分量所占的量。表示，變換系數(shù)規(guī)定了在原信號中各分量所占的量。反變換反變換可看作是一個可看作是一個合成過程合成過程：通過將各分量相加：通過將各分量相加來合成原始向量。來合成原始向量。上述過程的上述過程的：任一個向量都能唯一地分解：任一個向量都能唯一地分解為分別具有為分別具有“合適合適”幅度的一組基向量，然后通過將這幅度的一組基向量，然后通過將這些分量相加可以重構(gòu)原向量。些分量相加可以重構(gòu)原向量。變換系數(shù)

4、的個數(shù)與向量的變換系數(shù)的個數(shù)與向量的元素個數(shù)是相同的元素個數(shù)是相同的。變換后的向量是原始向量的一種表示變換后的向量是原始向量的一種表示，可由它完整，可由它完整地恢復(fù)出原始向量。因此它地恢復(fù)出原始向量。因此它是原始向量的另一種形式是原始向量的另一種形式。DIP將一個將一個NN的矩陣的矩陣F變換成另一個變換成另一個NN陣陣G。11,00( , , ), ,0,1NNm ni kikGFi k m ni k m nNT變換的變換的，是，是N2N2的塊矩陣，每行的塊矩陣，每行N塊，共塊，共N行，行，m,n用于尋塊，用于尋塊，i,k用于塊內(nèi)尋元素用于塊內(nèi)尋元素( , , )( ,)( , )rci k

5、m nT i m T k nT若：若：11,00( , )( ,)NNm ni kcrikGF T k nT i m 則：則： m=1m=2m=Nn=1n=2n=NDIP例：二維例：二維DFT，是可分離的、對稱的酉陣。是可分離的、對稱的酉陣。正變換：正變換：GWFW，反變換：反變換：FW*tGW*t與與FT不同，許多變換在其核矩陣不同，許多變換在其核矩陣T中只有實元素，中只有實元素，而實數(shù)酉陣是正交的，因此，而實數(shù)酉陣是正交的，因此，F(xiàn)TtGTt。若若T是對稱陣，正反變換相同，則：是對稱陣，正反變換相同，則：GTFT，F(xiàn)TGT再進一步，如果兩個分量相同，則變換是對稱的：再進一步，如果兩個分量相

6、同，則變換是對稱的：( , , )( ,) ( , )i k m nT i m T k nT11,00( ,)( , )NNm ni kikGT i mF T k n則：則：記為記為反變換：反變換：DIP核矩陣的各行構(gòu)成了核矩陣的各行構(gòu)成了N維向量空間的一組基向維向量空間的一組基向量，這些行是正交的，即：量，這些行是正交的，即：TT*tI或：或：1*,0Nj ii kj kiT T其中其中 j,k是是Kronecker函數(shù)：函數(shù)： 當(dāng)當(dāng)j=k時時 j,k=1，而而當(dāng)當(dāng)j k時時 j,k= 0。任一組正交向量集都可用于一個線性變換任一組正交向量集都可用于一個線性變換，但，但通常通常。如。如FT用

7、復(fù)用復(fù)指數(shù)作基函數(shù)。指數(shù)作基函數(shù)。DIP二維反變換可以看作是通過將一組被適當(dāng)?shù)丶佣S反變換可以看作是通過將一組被適當(dāng)?shù)丶訖?quán)的基圖像求和而重構(gòu)原圖像。變換矩陣權(quán)的基圖像求和而重構(gòu)原圖像。變換矩陣G中的每中的每個元素就是其對應(yīng)的基本圖像在求和時所乘的倍個元素就是其對應(yīng)的基本圖像在求和時所乘的倍（系）數(shù)（即權(quán)值）。（系）數(shù)（即權(quán)值）。一幅基圖像可通過對只含有一個非零元素（令一幅基圖像可通過對只含有一個非零元素（令其值為其值為1）的系數(shù)矩陣進行反變換而產(chǎn)生，）的系數(shù)矩陣進行反變換而產(chǎn)生，N2個這個這樣的矩陣產(chǎn)生樣的矩陣產(chǎn)生N2幅基本圖像。設(shè)其中一個系數(shù)矩陣幅基本圖像。設(shè)其中一個系數(shù)矩陣為：為：其中其中

8、i,j分別為行和列的下標(biāo)，分別為行和列的下標(biāo)，p,q是標(biāo)明非零元素位置的整數(shù)是標(biāo)明非零元素位置的整數(shù)。,p qip j qG反變換：反變換：11,00( ,)( , )( ,) ( , )NNm nip k qikFT i mT k nT p m T q n這樣，對于一個可分離的酉變換，每幅基本圖這樣，對于一個可分離的酉變換，每幅基本圖像就是變換矩陣某兩行的外積像就是變換矩陣某兩行的外積。DIP基圖像可看作是分解原圖像所得的單位集分量，基圖像可看作是分解原圖像所得的單位集分量，同時也是組成原圖像的基本結(jié)構(gòu)單元。同時也是組成原圖像的基本結(jié)構(gòu)單元。正變換正變換通過通過確定系數(shù)確定系數(shù)來實現(xiàn)來實現(xiàn)分

9、解分解，反變換反變換通過通過將將基圖像加權(quán)求和基圖像加權(quán)求和來實現(xiàn)來實現(xiàn)重構(gòu)重構(gòu)。由于存在著無限多組基圖像集，從而也就存在由于存在著無限多組基圖像集，從而也就存在著無限多的變換。而著無限多的變換。而某一組特定的基圖像集僅對相某一組特定的基圖像集僅對相應(yīng)的變換有重要的意義應(yīng)的變換有重要的意義。DIPDFT的核矩陣：的核矩陣：0,00,11,01,1NNNNwwwwW2,1ikjNi kweN虛指數(shù)具有周期性，因此虛指數(shù)具有周期性，因此W是酉矩陣。是酉矩陣。一維一維DFT：，N1的的向量向量N1的的向量向量DIP上圖是當(dāng)上圖是當(dāng)f是實向量是實向量時，時，譜向量譜向量F中中各頻率分量各頻率分量所所處

10、處的位置的位置。零頻和最高頻率僅出現(xiàn)一次，其他分量以。零頻和最高頻率僅出現(xiàn)一次，其他分量以共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)兩次。如果共軛復(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)兩次。如果Ft被看作是一個行向被看作是一個行向量，則前面的量，則前面的N/2+1個元素是譜的右半邊，后個元素是譜的右半邊，后N/2-1個個元素在左半邊。當(dāng)元素在左半邊。當(dāng)fN是奈奎斯特折疊頻率（采樣頻率的是奈奎斯特折疊頻率（采樣頻率的一半）時，對應(yīng)于一半）時，對應(yīng)于F的第的第i個元素的頻率是：個元素的頻率是：20/22()/2 11NiNifiNNsNifNiNN 0 1 i N/2 N-1 N/2 N/2 N/2 N/2 N/2 fN fN fN fN fN

11、0 i N/2 -(N-i) -DIP如果如果f的后的后N/2個元素是第一個元素到第個元素是第一個元素到第N/2-1個元個元素的鏡像，則素的鏡像，則F為實。為了生成一個適于畫出頻譜的向為實。為了生成一個適于畫出頻譜的向量，可對量，可對F循環(huán)右移（或左移）循環(huán)右移（或左移）N/2個元素，這樣零頻個元素，這樣零頻率元素就會位于率元素就會位于N/2。而它兩邊的頻率分別向兩個方向而它兩邊的頻率分別向兩個方向遞增。奈奎斯特頻率元素僅在遞增。奈奎斯特頻率元素僅在f0出現(xiàn)。出現(xiàn)。也可以利用傅立葉變換的平移定理，即：也可以利用傅立葉變換的平移定理，即：020( )( )()( )( )( 1)( )ujxj

12、xxNF uf xF uuef xef xf x 平移量平移量u0N/2時時上式意味著，在執(zhí)行上式意味著，在執(zhí)行DFT之前，改變之前，改變f(x)的奇號元的奇號元素的符號，可使譜移到適于繪圖的位置。素的符號，可使譜移到適于繪圖的位置。DIPGWFWFW*tGW*t矩陣矩陣矩陣矩陣矩陣矩陣11223344F0,0對對4個像限重新排列，使顯示更為方便。此時，零個像限重新排列，使顯示更為方便。此時，零頻落在矩陣中心，并沿徑向增長。頻落在矩陣中心，并沿徑向增長。( , )( , )(/2,/2)( 1)( , )x yF u vf x yF uNvNf x y 通過改變圖像矩陣通過改變圖像矩陣F中一半

13、元素的符號可中一半元素的符號可以得到所要的平移。以得到所要的平移。DIP1100(21)(21)( , )( ) ( )( , )coscos22NNcikimknG m na m b ng i kNN1100(21)(21)( , )( ) ( )( , )coscos22NNcmnimkng i ka m b n G m nNN12(0),( ),1aa mmNNNGcCgC矩陣矩陣矩陣矩陣矩陣矩陣,(21)( )cos2i mimCa mNDIPDIP11002(1)(1)(1)(1)( , )( , )sinsin111NNsikimknG m ng i kNNN11002(1)(1)

14、(1)(1)( , )( , )sinsin111NNsmnimkng i kG m nNNN,2(1)(1)sin11i kikTNN核矩陣的元素：核矩陣的元素：DIP11,0012cas()NNm ni kikGgimknNN基函數(shù)：基函數(shù)：11,0012cas()NNi km nmngGimknNN形式相同形式相同cascossin2cos(/4)核矩陣：核矩陣：,1cas 2i kikTNN哈特利變換是相應(yīng)傅立葉變換的實部減去虛部。哈特利變換是相應(yīng)傅立葉變換的實部減去虛部。傅立葉變換是哈特利變換的偶部減去傅立葉變換是哈特利變換的偶部減去j乘以奇部。乘以奇部。( )( )( )( )(

15、)( )()( )eog xf xh xG vF v H vFv HvDIP對稱對稱、可分離可分離的的酉變換酉變換，元素均為元素均為 1，且，且N=2n，（，（n整數(shù)）整數(shù)）211111122H/2/2/2/211NNNNNNNHHHHH8111111111111111111111111111111111111111112 2111111111111111111111111H07341625相應(yīng)于矩陣相應(yīng)于矩陣行的符號變行的符號變化次數(shù)。每化次數(shù)。每一行的這個一行的這個數(shù)都不同。數(shù)都不同。稱為列率稱為列率（sequency）DIP81 11 111111 11 111111 11111111

16、11111111111 111112 2111 1111111 11111111 111111H01234567按列率重新按列率重新安排各行，安排各行，得到得到，也稱作沃爾也稱作沃爾什（什（Walsh）核矩陣核矩陣哈達瑪變換的基函數(shù)就是沃爾什函數(shù)，因此，哈達瑪變換的基函數(shù)就是沃爾什函數(shù)，因此，哈哈達瑪變換達瑪變換也叫作也叫作沃爾什變換沃爾什變換。有的書中僅將有有的書中僅將有序哈達瑪變換稱為沃爾什變換。序哈達瑪變換稱為沃爾什變換。DIP斜變換的酉矩陣從斜變換的酉矩陣從22的哈爾或哈達瑪陣開始的哈爾或哈達瑪陣開始2111112S/2/210100000010010120000NNNNNNNNNNN

17、ababSSSbabaIIII222222314141NNNNabNNDIPN=8時的斜變換基函數(shù)時的斜變換基函數(shù)DIP傅立葉變換的基函數(shù)間僅是傅立葉變換的基函數(shù)間僅是不同。而哈爾函數(shù)不同。而哈爾函數(shù)在在和和上都是不同的。（上都是不同的。（）DIP基函數(shù)索引：基函數(shù)索引：和和的的。令令整數(shù)整數(shù)0 k N-1由其它兩個由其它兩個整數(shù)整數(shù)p和和q唯一決定，即：唯一決定，即：21pkqk和和p、q互為函數(shù)。對任意互為函數(shù)。對任意k0，2p是使是使2p k的的2的最大冪，而的最大冪，而q1是余數(shù)。是余數(shù)。定義哈爾函數(shù)：定義哈爾函數(shù)：01( )h xN22112222112( )2220ppppkppq

18、qxqqh xxNelsek p q0 0 01 0 12 1 13 1 24 2 15 2 26 2 37 2 48 3 19 3 210 3 311 3 412 3 513 3 614 3 715 3 8DIP對于對于i0,1,2,N-1，令令xi/N，則可以產(chǎn)生一組基，則可以產(chǎn)生一組基函數(shù)。除了函數(shù)。除了k0時為常數(shù)外，每個基函數(shù)都有單獨的一時為常數(shù)外，每個基函數(shù)都有單獨的一個矩形脈沖對，這些基函數(shù)在尺度（寬度）和位置上都個矩形脈沖對，這些基函數(shù)在尺度（寬度）和位置上都有所變化。索引有所變化。索引p規(guī)定了尺度，規(guī)定了尺度，q決定了平移量。決定了平移量。哈爾函數(shù)對形式為一個矩形脈沖對的哈爾

19、函數(shù)對形式為一個矩形脈沖對的“原型原型”函數(shù)進行尺函數(shù)進行尺度變換和平移而得到，有如下兩個方面的性質(zhì)：度變換和平移而得到，有如下兩個方面的性質(zhì)：1)基函數(shù)可以由單一索引基函數(shù)可以由單一索引k決定，但都有由索引決定，但都有由索引p和和q規(guī)定規(guī)定的尺度的尺度/位置（雙重索引）。位置（雙重索引）。這樣，沿這樣，沿k軸來畫它的變換系數(shù)，軸來畫它的變換系數(shù)，就不像傳統(tǒng)就不像傳統(tǒng)FT得到的頻譜那樣可以給出更具啟發(fā)性的信息。得到的頻譜那樣可以給出更具啟發(fā)性的信息。2)假定在信號中沿假定在信號中沿x軸的某一位置有一個特征（如一條軸的某一位置有一個特征（如一條邊），則邊），則FT可將該位置編碼到相應(yīng)譜中。這個特

20、征位置被唯一可將該位置編碼到相應(yīng)譜中。這個特征位置被唯一地確定，并通過地確定，并通過IFT被完全恢復(fù)。但它在譜中并不能很直觀地被完全恢復(fù)。但它在譜中并不能很直觀地顯示出來。顯示出來。哈爾變換則直接反映線和邊哈爾變換則直接反映線和邊，因為其基函數(shù)有類似，因為其基函數(shù)有類似的特征。的特征。DIP111111111111111122220000100002222822000000002200000000220000000022rH例：例：k6時對應(yīng)時對應(yīng)p2，q3，則，則/2/26224/81( )225/880ppxHxxelse xi/NDIP哈爾變換基圖像哈爾變換基圖像DIP 用通過特征分析得

21、出的基函數(shù)進行變換。用通過特征分析得出的基函數(shù)進行變換。 對于對于NN的矩陣，有的矩陣，有N個標(biāo)量個標(biāo)量 k，k=1, , N，滿足則稱為矩陣的一組（唯一的）特征值。滿足則稱為矩陣的一組（唯一的）特征值。0kAI特征值的解釋特征值的解釋：當(dāng)矩陣的每一個對角元素都減去：當(dāng)矩陣的每一個對角元素都減去特征值時，將變?yōu)樘卣髦禃r，將變?yōu)?。?dāng)時，則當(dāng)時，則N1的向量的向量vk稱為稱為A的的特征向量特征向量。kkkAvv共有共有N組組特征向量特征向量vk ，每組對應(yīng)于某一個，每組對應(yīng)于某一個特征值特征值 k ，這些特征向量構(gòu)成一個正交集。如果，這些特征向量構(gòu)成一個正交集。如果A是對稱陣，是對稱陣， k也是實

22、數(shù)。也是實數(shù)。1221A1111311111 AADIP由霍特林（由霍特林（Hotelling）提出，是可以去掉隨機向）提出，是可以去掉隨機向量中各元素間相關(guān)性的線性變換。量中各元素間相關(guān)性的線性變換。x是是N1的隨機向量，其每一個元素都是一個隨機的隨機向量，其每一個元素都是一個隨機變量，其變量，其均值均值mx可通過可通過L個樣本向量來估算：個樣本向量來估算：11LxllLmxx的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣Cx是是NN的實對稱陣，對角元素是的實對稱陣，對角元素是各個隨機變量的方差，非對角元素是它們的協(xié)方差。各個隨機變量的方差，非對角元素是它們的協(xié)方差。11LtttxxxllxxlLCxmxmx x

23、m mDIP用矩陣用矩陣A來定義一個來定義一個線性變換線性變換：其中其中A的的為為Cx的特征向量的特征向量。這些行向量按使得其。這些行向量按使得其對應(yīng)的特征值遞減而排列。對應(yīng)的特征值遞減而排列。()xyA xm比較前面比較前面FT的酉陣的酉陣變換后的向量變換后的向量y是具有零均值的隨機向量，其協(xié)方是具有零均值的隨機向量，其協(xié)方差矩陣與差矩陣與x的協(xié)方差矩陣的關(guān)系為：的協(xié)方差矩陣的關(guān)系為：tyxCAC A由于由于A的行是的行是Cx的特征向量，所以的特征向量，所以Cy是對角陣，且其對角元素為是對角陣，且其對角元素為Cx的特征的特征值，從而值，從而 k也是也是Cy的特征值。的特征值。100NyC由于

24、由于Cy的非對角元素都是的非對角元素都是0，所以，所以y的各元素之間都的各元素之間都是不相關(guān)的，也就是說，是不相關(guān)的，也就是說，線性變換線性變換A去掉了變量間的相去掉了變量間的相關(guān)性關(guān)性。另外，。另外， k是第是第k個變換后的變量個變換后的變量yk的方差的方差。1txA ymA ymDIP略去對應(yīng)于較小特征值的一個或多個特征向量來給略去對應(yīng)于較小特征值的一個或多個特征向量來給y降維。用于圖像壓縮。降維。用于圖像壓縮。令令B為為MN的矩陣（的矩陣（MN），它是通過丟棄），它是通過丟棄A的底的底下下NM行，并假定行，并假定m0而構(gòu)成的。這樣，變換向量就而構(gòu)成的。這樣，變換向量就變小了，成為變小了，

25、成為M1維的了。維的了。ty = Bxx = B y重構(gòu)時的近似均方差為：重構(gòu)時的近似均方差為：1Nkk MMSEDIP實際上，霍特林變換、特征向量變換、主分量法等實際上，霍特林變換、特征向量變換、主分量法等均指的是：均指的是：()xyA xmK-L變換的降維能力極強。變換的降維能力極強。例如，多光譜圖像的每例如，多光譜圖像的每個像素都有多個灰度值，每個灰度值對應(yīng)于一個譜帶。個像素都有多個灰度值，每個灰度值對應(yīng)于一個譜帶。因此，一個因此，一個10001000的的24通道多光譜圖像可以被看作通道多光譜圖像可以被看作是一百萬個是一百萬個24元隨機向量。但是，一幅多譜圖像的不同元隨機向量。但是，一幅

26、多譜圖像的不同譜帶間通常存在著很大的相關(guān)性，因而譜帶間通常存在著很大的相關(guān)性，因而24個個特征值中有特征值中有許多值都很小許多值都很小，這就意味著一組，這就意味著一組24幅單色圖幅單色圖可以僅用少可以僅用少量主分量圖來表示量主分量圖來表示，而，而只會有很小的誤差。只會有很小的誤差。DIPtA = UV任意一個任意一個NN的矩陣的矩陣A都可以寫成：都可以寫成：其中矩陣其中矩陣U和和V的的列向量列向量分別是分別是AAt和和AtA的的特征向特征向量量， 是是NN的對角陣的對角陣，沿其對角線包含沿其對角線包含A的奇異值的奇異值。若若A對稱，則對稱，則UV。tU AVSVD的壓縮比很高，但解壓時需要的壓縮比很高，但解壓時需要U和和V。因此，。因此，對于一組類似的圖像來說，可近似地使用同一對核矩陣對于一組類似的圖像來說，可近似地使用同一對核矩陣U和和V。（如果是傳輸，則只需傳一次）。（如果是傳輸，則只需傳一次）DIP123450121061418146147.071343114364836141.8722454218486548180.058134311436483614001210614181860ttAAAA A0.1860.6380.2410.6950.6950.4760.0580.520.1330.1280.69