金屬物理之?dāng)U散

1、2.1 導(dǎo)言導(dǎo)言擴(kuò)散現(xiàn)象，研究方法，固體中的原子擴(kuò)散途徑等。擴(kuò)散現(xiàn)象，研究方法，固體中的原子擴(kuò)散途徑等。 2.2 擴(kuò)散定律擴(kuò)散定律 FICK I定律及意義，定律及意義， FICK II定律及意義。定律及意義。 2.3 擴(kuò)散方程的解擴(kuò)散方程的解 (D與濃度無關(guān)與濃度無關(guān)) Fick I律解律解,，F(xiàn)ick II律解與應(yīng)用律解與應(yīng)用(薄膜解、薄膜解、Grube解、傅里葉解解、傅里葉解)。 2.4 擴(kuò)散方程的解（擴(kuò)散方程的解（D與濃度有關(guān)）與濃度有關(guān)） 互擴(kuò)散系數(shù)，互擴(kuò)散系數(shù)，Baltzmann-Matano解等。解等。 2.5 固溶體中的互擴(kuò)散固溶體中的互擴(kuò)散 kirkendall 效應(yīng)及意義，達(dá)

2、根方程等。效應(yīng)及意義，達(dá)根方程等。 2 .6 擴(kuò)散的熱力學(xué)理論擴(kuò)散的熱力學(xué)理論 驅(qū)動(dòng)力，遷移率，驅(qū)動(dòng)力，遷移率，D的微觀表達(dá)式，上坡擴(kuò)散及其例，三向應(yīng)力區(qū)的微觀表達(dá)式，上坡擴(kuò)散及其例，三向應(yīng)力區(qū) 的的 捕氫機(jī)理等。捕氫機(jī)理等。 2.7 擴(kuò)散的原子理論擴(kuò)散的原子理論 擴(kuò)散機(jī)制，無規(guī)行走與擴(kuò)散距離，擴(kuò)散的擴(kuò)散機(jī)制，無規(guī)行走與擴(kuò)散距離，擴(kuò)散的Arrherius方程，方程，*D和微和微 觀表達(dá)式，不同晶體結(jié)構(gòu)觀表達(dá)式，不同晶體結(jié)構(gòu)D的具體表達(dá)式，的具體表達(dá)式，*短路擴(kuò)散等。短路擴(kuò)散等。 第二第二 篇篇 固態(tài)金屬中的擴(kuò)散固態(tài)金屬中的擴(kuò)散2.1 2.1 概述概述一、擴(kuò)散的定義一、擴(kuò)散的定義 擴(kuò)散就是物質(zhì)中

3、原子或分子的遷移現(xiàn)象，是物質(zhì)傳輸?shù)囊环N方式。擴(kuò)散就是物質(zhì)中原子或分子的遷移現(xiàn)象，是物質(zhì)傳輸?shù)囊环N方式。 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，除了一些特殊情況外，一個(gè)成分不均勻的單實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，除了一些特殊情況外，一個(gè)成分不均勻的單相體系會(huì)趨于變成成分均勻的體系。這一均勻化的過程就是原子或分相體系會(huì)趨于變成成分均勻的體系。這一均勻化的過程就是原子或分子擴(kuò)散的過程。其實(shí)質(zhì)是原子無規(guī)則布朗運(yùn)動(dòng)。子擴(kuò)散的過程。其實(shí)質(zhì)是原子無規(guī)則布朗運(yùn)動(dòng)。 人們對(duì)氣體和液體中的擴(kuò)散現(xiàn)象并不陌生，如氣味飄散，向靜水人們對(duì)氣體和液體中的擴(kuò)散現(xiàn)象并不陌生，如氣味飄散，向靜水中滴加墨水等，雖然擴(kuò)散現(xiàn)象在固態(tài)物質(zhì)中不易察覺，但確實(shí)存在。中滴加

4、墨水等，雖然擴(kuò)散現(xiàn)象在固態(tài)物質(zhì)中不易察覺，但確實(shí)存在。 金屬晶體中的擴(kuò)散是指原子在晶體中的遷移過程，它與缺陷運(yùn)動(dòng)金屬晶體中的擴(kuò)散是指原子在晶體中的遷移過程，它與缺陷運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)。與液體或氣體一樣，金屬中擴(kuò)散的本質(zhì)也是在熱激活缺陷密切相關(guān)。與液體或氣體一樣，金屬中擴(kuò)散的本質(zhì)也是在熱激活缺陷的不斷產(chǎn)生和復(fù)合過程中，原子不斷由一處向另一處作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。的不斷產(chǎn)生和復(fù)合過程中，原子不斷由一處向另一處作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。 許多材料加工過程就是利用擴(kuò)散來實(shí)現(xiàn)工藝目的的，比如鑄件的許多材料加工過程就是利用擴(kuò)散來實(shí)現(xiàn)工藝目的的，比如鑄件的均勻化退火、金屬擴(kuò)散焊連接、金屬表面滲碳、粉末合金燒結(jié)、高溫均勻化退火、金屬擴(kuò)

5、散焊連接、金屬表面滲碳、粉末合金燒結(jié)、高溫蠕變、金屬凝固、相變等，都與擴(kuò)散有密切聯(lián)系。蠕變、金屬凝固、相變等，都與擴(kuò)散有密切聯(lián)系。 固體金屬中發(fā)生擴(kuò)散需具備的四個(gè)條件固體金屬中發(fā)生擴(kuò)散需具備的四個(gè)條件 足夠的遷移能量足夠的遷移能量驅(qū)動(dòng)力。擴(kuò)散過程都是在擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)力作驅(qū)動(dòng)力。擴(kuò)散過程都是在擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)力作 用用下進(jìn)行的。驅(qū)動(dòng)力有化學(xué)位梯度、溫度梯度、應(yīng)力梯度等。下進(jìn)行的。驅(qū)動(dòng)力有化學(xué)位梯度、溫度梯度、應(yīng)力梯度等。 溫度足夠高。固態(tài)擴(kuò)散是依靠原子熱激活能而進(jìn)行的過程。溫度溫度足夠高。固態(tài)擴(kuò)散是依靠原子熱激活能而進(jìn)行的過程。溫度低時(shí)，原子被激活的幾率很低，表現(xiàn)不出物質(zhì)輸送的宏觀效果，低時(shí)，原子被激活的幾率

6、很低，表現(xiàn)不出物質(zhì)輸送的宏觀效果，好象擴(kuò)散過程被好象擴(kuò)散過程被“凍結(jié)凍結(jié)”，不同物質(zhì)擴(kuò)散，不同物質(zhì)擴(kuò)散 “ “凍結(jié)凍結(jié)”的溫度不同。的溫度不同。碳原子在碳原子在100100以上時(shí)擴(kuò)散顯著，而鐵原子須在以上時(shí)擴(kuò)散顯著，而鐵原子須在500500以上才能擴(kuò)以上才能擴(kuò)散。散。 氣體中的擴(kuò)散速率比較快，約每秒幾個(gè)厘米；液體中就慢了許多，氣體中的擴(kuò)散速率比較快，約每秒幾個(gè)厘米；液體中就慢了許多，約每秒幾分之一毫米；而固體中的擴(kuò)散速率是非程慢的，并且隨溫度約每秒幾分之一毫米；而固體中的擴(kuò)散速率是非程慢的，并且隨溫度的降低而急劇減小。在熔點(diǎn)附近，擴(kuò)散速率約為每秒的降低而急劇減小。在熔點(diǎn)附近，擴(kuò)散速率約為每秒1

7、m；在熔點(diǎn)的；在熔點(diǎn)的一半溫度時(shí)，擴(kuò)散速率則降為每秒約一半溫度時(shí)，擴(kuò)散速率則降為每秒約1nm。盡管這樣，由于氣體和液。盡管這樣，由于氣體和液體可以發(fā)生對(duì)流運(yùn)動(dòng)，物質(zhì)的輸運(yùn)主要不是靠擴(kuò)散。而固體中不存在體可以發(fā)生對(duì)流運(yùn)動(dòng)，物質(zhì)的輸運(yùn)主要不是靠擴(kuò)散。而固體中不存在對(duì)流，擴(kuò)散過程是傳質(zhì)的唯一途徑。對(duì)流，擴(kuò)散過程是傳質(zhì)的唯一途徑。二、擴(kuò)散發(fā)生條件二、擴(kuò)散發(fā)生條件時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)間足夠長(zhǎng) 擴(kuò)散原子在晶體中每躍遷一次最多也只能移動(dòng)擴(kuò)散原子在晶體中每躍遷一次最多也只能移動(dòng)0.3 0.5nm的距離，的距離，擴(kuò)散擴(kuò)散1mm的距離須躍遷億萬(wàn)次。且原子躍的距離須躍遷億萬(wàn)次。且原子躍遷的過程是隨機(jī)的，所以，只有經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)

8、間才能造成物質(zhì)的遷的過程是隨機(jī)的，所以，只有經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間才能造成物質(zhì)的宏觀定向遷移。宏觀定向遷移。 根據(jù)高溫長(zhǎng)時(shí)間這兩個(gè)擴(kuò)散必要條件，我們可以采用快速根據(jù)高溫長(zhǎng)時(shí)間這兩個(gè)擴(kuò)散必要條件，我們可以采用快速冷卻到低溫的方法，使擴(kuò)散過程冷卻到低溫的方法，使擴(kuò)散過程“凍結(jié)凍結(jié)”，就可以把高溫下的，就可以把高溫下的狀態(tài)保持下來。如在熱加工剛完成時(shí)迅速將金屬材料冷卻到室狀態(tài)保持下來。如在熱加工剛完成時(shí)迅速將金屬材料冷卻到室溫，抑制擴(kuò)散過程，避免發(fā)生靜態(tài)再結(jié)晶，可把動(dòng)態(tài)回復(fù)或動(dòng)溫，抑制擴(kuò)散過程，避免發(fā)生靜態(tài)再結(jié)晶，可把動(dòng)態(tài)回復(fù)或動(dòng)態(tài)再結(jié)晶的組織保留下來，以達(dá)到提高金屬材料性能的目的。態(tài)再結(jié)晶的組織保留下來，以

9、達(dá)到提高金屬材料性能的目的。 擴(kuò)散原子要固溶。擴(kuò)散原子擴(kuò)散原子要固溶。擴(kuò)散原子 在基體金屬中必須有一定的固溶度，在基體金屬中必須有一定的固溶度，能夠溶入基體晶格，形成固溶體，這樣才能進(jìn)行固態(tài)擴(kuò)散。能夠溶入基體晶格，形成固溶體，這樣才能進(jìn)行固態(tài)擴(kuò)散。擴(kuò)散就是原子由基態(tài)到激活態(tài)，并遷移到一定的位置的現(xiàn)象擴(kuò)散就是原子由基態(tài)到激活態(tài)，并遷移到一定的位置的現(xiàn)象 1 1、按擴(kuò)散過程中是否發(fā)生濃度變化分為、按擴(kuò)散過程中是否發(fā)生濃度變化分為 自擴(kuò)散自擴(kuò)散 自擴(kuò)散是不伴隨濃度變化的擴(kuò)散，與濃度梯度無關(guān)，自擴(kuò)散是不伴隨濃度變化的擴(kuò)散，與濃度梯度無關(guān)，只發(fā)生在純金屬和均勻固溶體中（如純金屬的晶粒長(zhǎng)大，大晶粒吞并只發(fā)

10、生在純金屬和均勻固溶體中（如純金屬的晶粒長(zhǎng)大，大晶粒吞并小晶粒），僅僅是由于熱振動(dòng)而產(chǎn)生；小晶粒），僅僅是由于熱振動(dòng)而產(chǎn)生； 互擴(kuò)散互擴(kuò)散 互擴(kuò)散由于濃度梯度而引起的擴(kuò)散，與異類原子的濃互擴(kuò)散由于濃度梯度而引起的擴(kuò)散，與異類原子的濃度差有關(guān)，異類原子相互擴(kuò)散，相互滲透，又稱度差有關(guān)，異類原子相互擴(kuò)散，相互滲透，又稱“化學(xué)擴(kuò)散化學(xué)擴(kuò)散”。 2 2、按擴(kuò)散方向與濃度梯度的方向的關(guān)系分為、按擴(kuò)散方向與濃度梯度的方向的關(guān)系分為 下坡擴(kuò)散下坡擴(kuò)散 下坡擴(kuò)散是沿著濃度降低的方向擴(kuò)散，使?jié)舛融呌诰缕聰U(kuò)散是沿著濃度降低的方向擴(kuò)散，使?jié)舛融呌诰鶆蚧ㄈ鐫B碳）。勻化（如滲碳）。 上坡擴(kuò)散上坡擴(kuò)散 沿著濃度提高的

11、方向擴(kuò)散即為上坡擴(kuò)散，使?jié)舛劝l(fā)生沿著濃度提高的方向擴(kuò)散即為上坡擴(kuò)散，使?jié)舛劝l(fā)生兩極分化兩極分化 。上坡擴(kuò)散的驅(qū)動(dòng)力也可以是彈性應(yīng)力梯度、電位梯度或溫。上坡擴(kuò)散的驅(qū)動(dòng)力也可以是彈性應(yīng)力梯度、電位梯度或溫度梯度。度梯度。三、固態(tài)擴(kuò)散的類型三、固態(tài)擴(kuò)散的類型3、按擴(kuò)散過程是否出現(xiàn)新相分為、按擴(kuò)散過程是否出現(xiàn)新相分為 原子擴(kuò)散原子擴(kuò)散 在擴(kuò)散過程中基體晶格始終不變，無新相產(chǎn)生的擴(kuò)在擴(kuò)散過程中基體晶格始終不變，無新相產(chǎn)生的擴(kuò)散散 反應(yīng)擴(kuò)散，反應(yīng)擴(kuò)散， 擴(kuò)散使固溶體的溶質(zhì)組元濃度超過固溶度極限形成擴(kuò)散使固溶體的溶質(zhì)組元濃度超過固溶度極限形成新相的擴(kuò)散，屬于一種相變擴(kuò)散。反應(yīng)擴(kuò)散形成的新相，可以是新新相的擴(kuò)

12、散，屬于一種相變擴(kuò)散。反應(yīng)擴(kuò)散形成的新相，可以是新的固溶體的固溶體,也可以是各種化合物。也可以是各種化合物。4、 根據(jù)擴(kuò)散途徑根據(jù)擴(kuò)散途徑 晶格擴(kuò)散；晶格擴(kuò)散； 晶界擴(kuò)散；晶界擴(kuò)散； 表面擴(kuò)散；表面擴(kuò)散； 位錯(cuò)擴(kuò)散位錯(cuò)擴(kuò)散 固體擴(kuò)散不是原子的定向躍遷固體擴(kuò)散不是原子的定向躍遷,而是原子的隨機(jī)無序躍遷。其本而是原子的隨機(jī)無序躍遷。其本質(zhì)是晶體周期性勢(shì)場(chǎng)發(fā)生傾斜，造成原子向各個(gè)方向躍遷的幾率不相質(zhì)是晶體周期性勢(shì)場(chǎng)發(fā)生傾斜，造成原子向各個(gè)方向躍遷的幾率不相等。物質(zhì)遷移是大量原子無序躍遷的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。等。物質(zhì)遷移是大量原子無序躍遷的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 擴(kuò)散是金屬中的一個(gè)重要現(xiàn)象，是金屬物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，擴(kuò)散

13、是金屬中的一個(gè)重要現(xiàn)象，是金屬物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它與金屬的結(jié)構(gòu)、加工以及性能之間存在密切關(guān)系，具有很重要的理它與金屬的結(jié)構(gòu)、加工以及性能之間存在密切關(guān)系，具有很重要的理論和實(shí)踐意義。論和實(shí)踐意義。標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)：空間區(qū)域空間區(qū)域D的每一點(diǎn)的每一點(diǎn)M(x,y,x)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)量值對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)量值(x,y,z)，它在此，它在此空間區(qū)域上就構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，用點(diǎn)空間區(qū)域上就構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，用點(diǎn)M(x,y,x)的標(biāo)函數(shù)的標(biāo)函數(shù)(x,y,z)表示表示矢量場(chǎng)：矢量場(chǎng)：空間區(qū)域空間區(qū)域D的每點(diǎn)的每點(diǎn)M(x,y,x)對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量值對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量值R(x,y,z)，它在此空，它在此空間區(qū)域上就構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，用點(diǎn)間

14、區(qū)域上就構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，用點(diǎn) M(x,y,x)的矢量函數(shù)的矢量函數(shù)R(x,y,z)表示表示 R(x,y,z)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k kzjyixgrad 梯梯度度：，哈密頓算子作用到，哈密頓算子作用到標(biāo)量場(chǎng)產(chǎn)生一個(gè)矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)產(chǎn)生一個(gè)矢量場(chǎng)),( ZYXdivRzZyYxXdivR 散散度度：運(yùn)算運(yùn)算 div 作用到矢量場(chǎng)產(chǎn)作用到矢量場(chǎng)產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)生一個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 2222222 div zyxgrad散度梯度混合運(yùn)算散度梯度混合運(yùn)算2.2 擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程-擴(kuò)散的唯象理論擴(kuò)散的唯象理論 如果把擴(kuò)散系統(tǒng)看成是連續(xù)介質(zhì)，從宏觀上來研究擴(kuò)散物質(zhì)如果把擴(kuò)散系統(tǒng)看成

15、是連續(xù)介質(zhì)，從宏觀上來研究擴(kuò)散物質(zhì)輸送規(guī)律，那么這個(gè)規(guī)律就可以用擴(kuò)散方程來描述。擴(kuò)散方程是輸送規(guī)律，那么這個(gè)規(guī)律就可以用擴(kuò)散方程來描述。擴(kuò)散方程是18551855年由菲克（年由菲克（FickFick）給出，也稱為菲克定律，其具體內(nèi)容是：）給出，也稱為菲克定律，其具體內(nèi)容是：擴(kuò)散流量與濃度梯度呈線性關(guān)系。菲克定律是經(jīng)驗(yàn)性的，并不需擴(kuò)散流量與濃度梯度呈線性關(guān)系。菲克定律是經(jīng)驗(yàn)性的，并不需要從基本概念來推導(dǎo)，所以是純唯象的。所謂唯象理論就是這種要從基本概念來推導(dǎo)，所以是純唯象的。所謂唯象理論就是這種理論只是現(xiàn)象之間的聯(lián)系，不涉及對(duì)象系統(tǒng)的原子作用過程細(xì)節(jié)。理論只是現(xiàn)象之間的聯(lián)系，不涉及對(duì)象系統(tǒng)的原子

16、作用過程細(xì)節(jié)。一、菲克第一定律一、菲克第一定律-穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散二根截面相等，成分均勻的固溶體合二根截面相等，成分均勻的固溶體合金棒料，對(duì)焊起來。則經(jīng)高溫長(zhǎng)時(shí)間金棒料，對(duì)焊起來。則經(jīng)高溫長(zhǎng)時(shí)間加熱后，軸向濃度分布生變化，并逐加熱后，軸向濃度分布生變化，并逐漸達(dá)到成分均勻。說明大量原子由濃漸達(dá)到成分均勻。說明大量原子由濃度高的一邊移向低的一邊，即存在溶度高的一邊移向低的一邊，即存在溶質(zhì)原子的擴(kuò)散流動(dòng)。質(zhì)原子的擴(kuò)散流動(dòng)。xc -DJ定義：定義：擴(kuò)散通量擴(kuò)散通量為單位時(shí)間通過垂直于擴(kuò)散為單位時(shí)間通過垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)量。符號(hào)：方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)量。符號(hào)：J 單單位：位：mo

17、l / m2 s 或或 Kg / m2 s 對(duì)一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散對(duì)一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散C= c(x) c 是體積濃度，單位是體積濃度，單位mol/m3 或或Kg/m3；D是比例系數(shù)，稱為擴(kuò)是比例系數(shù)，稱為擴(kuò)散系數(shù)，單位：散系數(shù)，單位：m2/s對(duì)于三維擴(kuò)散，可以把上式很容易推廣為對(duì)于三維擴(kuò)散，可以把上式很容易推廣為:擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散系數(shù)D表示單位時(shí)間表示單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的擴(kuò)散物內(nèi)通過單位面積的擴(kuò)散物質(zhì)量，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散流動(dòng)質(zhì)量，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散流動(dòng)方向與濃度梯度方向相反方向與濃度梯度方向相反一般規(guī)定：濃度梯度從低一般規(guī)定：濃度梯度從低到高為正，而擴(kuò)散方向是到高為正，而擴(kuò)散方向是由高濃度向低濃度進(jìn)行。由高濃度向低濃

18、度進(jìn)行。c-DJ 哈密頓算子！哈密頓算子！哈密頓算子作用于濃度場(chǎng)哈密頓算子作用于濃度場(chǎng)c(x,y,z)，得到，得到濃度濃度梯度梯度場(chǎng)：場(chǎng)：kzcjycixcc zcDycDxcD zJ yJ xJ；二、菲克第二定律二、菲克第二定律如果在擴(kuò)散系統(tǒng)內(nèi)存在物質(zhì)的如果在擴(kuò)散系統(tǒng)內(nèi)存在物質(zhì)的源和阱，那么系統(tǒng)內(nèi)就有物質(zhì)源和阱，那么系統(tǒng)內(nèi)就有物質(zhì)的產(chǎn)生和湮滅。根據(jù)物質(zhì)守恒的產(chǎn)生和湮滅。根據(jù)物質(zhì)守恒原理，在一個(gè)體積元內(nèi)原理，在一個(gè)體積元內(nèi)v 內(nèi)，內(nèi)，單位時(shí)間內(nèi)流入這體積的物質(zhì)單位時(shí)間內(nèi)流入這體積的物質(zhì)與流出這體積的物質(zhì)的差值就與流出這體積的物質(zhì)的差值就等于個(gè)體積單元在這一時(shí)間段等于個(gè)體積單元在這一時(shí)間段的物質(zhì)

19、積聚或消失的速度。的物質(zhì)積聚或消失的速度。單位時(shí)間內(nèi)的物質(zhì)變化量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的物質(zhì)變化量：z y yx zx z y xzJyJxJzzJyyJxxJQzyxzyx kJjJiJx,y,zJzyx cDcDtc2)( 當(dāng)當(dāng)D為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)c)J- Dtc（菲克第二定律菲克第二定律一般式一般式JzJyJxJvQqzyx 單位時(shí)間單位體積內(nèi)的物質(zhì)變化量：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積內(nèi)的物質(zhì)變化量：)z(z)()( CDyCDyxCDxtC線性方程線性方程 2拉普拉斯算子拉普拉斯算子)z(const.if222222 CyCxCDtCDdxdyJdxdzJdydzJdvJdvtNzyx svvtc 除了自擴(kuò)散

20、外，因?yàn)槿苜|(zhì)原子的交互作用，除了自擴(kuò)散外，因?yàn)槿苜|(zhì)原子的交互作用，D一般都是濃度的函數(shù)，一般都是濃度的函數(shù)，有時(shí)還是時(shí)間的函數(shù)，但是為了計(jì)算方便，在討論的體系濃度場(chǎng)變化有時(shí)還是時(shí)間的函數(shù)，但是為了計(jì)算方便，在討論的體系濃度場(chǎng)變化幅度不大時(shí)，或者作為近似計(jì)算時(shí)，常用所討論濃度場(chǎng)中幅度不大時(shí)，或者作為近似計(jì)算時(shí)，常用所討論濃度場(chǎng)中D的平均值的平均值來代替整個(gè)濃度場(chǎng)的擴(kuò)散系數(shù)。來代替整個(gè)濃度場(chǎng)的擴(kuò)散系數(shù)。一個(gè)體積中物質(zhì)的積累或消失的速度僅僅取決于體積表面的流量一個(gè)體積中物質(zhì)的積累或消失的速度僅僅取決于體積表面的流量N：通過面積：通過面積S的擴(kuò)的擴(kuò)散物質(zhì)總量；散物質(zhì)總量；S：體積：體積V表面；表面；r

21、CrDrCDrCrrrDtC 22)(rCrDrCDrCrrrDtC 2)(2222圓柱坐標(biāo)系中，軸對(duì)稱狀圓柱坐標(biāo)系中，軸對(duì)稱狀態(tài)下，菲克第二方程態(tài)下，菲克第二方程球坐標(biāo)系中，球面對(duì)稱狀態(tài)球坐標(biāo)系中，球面對(duì)稱狀態(tài)旋的菲克第二方程旋的菲克第二方程高斯公式高斯公式2.3 菲克方程的解菲克方程的解 在一般條件下，在一般條件下，D是濃度的函數(shù)，擴(kuò)散微分方程是非線性的，需是濃度的函數(shù)，擴(kuò)散微分方程是非線性的，需要運(yùn)用數(shù)值方法求解。如果假設(shè)要運(yùn)用數(shù)值方法求解。如果假設(shè)D和成分無關(guān)，則擴(kuò)散微分方程就是和成分無關(guān)，則擴(kuò)散微分方程就是線性的。在適當(dāng)邊界條件和初始條件下可以得到解析解。線性的。在適當(dāng)邊界條件和初始

22、條件下可以得到解析解。 當(dāng)我們知道了擴(kuò)散系數(shù)，就可以根據(jù)邊界條件和初始條件下的擴(kuò)當(dāng)我們知道了擴(kuò)散系數(shù)，就可以根據(jù)邊界條件和初始條件下的擴(kuò)散方程來預(yù)測(cè)某一瞬間的濃度場(chǎng)；同樣也可以通過確定的邊界條件和散方程來預(yù)測(cè)某一瞬間的濃度場(chǎng)；同樣也可以通過確定的邊界條件和初始條件進(jìn)行擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)，從測(cè)定的濃度場(chǎng)反過來求出擴(kuò)散系數(shù)。初始條件進(jìn)行擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)，從測(cè)定的濃度場(chǎng)反過來求出擴(kuò)散系數(shù)。 具體邊界條件不同，擴(kuò)散方程的解也是不同的。我們只討論二元具體邊界條件不同，擴(kuò)散方程的解也是不同的。我們只討論二元系一維擴(kuò)散這種最簡(jiǎn)單情況的解，也不注重其數(shù)學(xué)過程，僅以此建立系一維擴(kuò)散這種最簡(jiǎn)單情況的解，也不注重其數(shù)學(xué)過程，僅以此建

23、立解的基本概念和介紹解的基本應(yīng)用，有關(guān)詳細(xì)論述可參考一些專門論解的基本概念和介紹解的基本應(yīng)用，有關(guān)詳細(xì)論述可參考一些專門論著。著。一、穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散一、穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散 所謂穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，就是擴(kuò)散的濃度場(chǎng)各處的濃度保持不變時(shí)，即濃所謂穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，就是擴(kuò)散的濃度場(chǎng)各處的濃度保持不變時(shí)，即濃度場(chǎng)不隨時(shí)間而變。度場(chǎng)不隨時(shí)間而變。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散通常是在恒邊界條件，即在邊界濃度保持不變的情況下，穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散通常是在恒邊界條件，即在邊界濃度保持不變的情況下，有限尺寸的試樣經(jīng)歷比較長(zhǎng)的時(shí)間擴(kuò)散后達(dá)到的一種平衡狀態(tài)。有限尺寸的試樣經(jīng)歷比較長(zhǎng)的時(shí)間擴(kuò)散后達(dá)到的一種平衡狀態(tài)。 002 ctc 當(dāng)當(dāng)D為常數(shù)時(shí)：為常數(shù)時(shí)：1、 一維擴(kuò)散一維擴(kuò)散B

24、xAxc )(通解為：A和和B是常數(shù)，根據(jù)邊是常數(shù)，根據(jù)邊界條件來確定界條件來確定例：厚度為例：厚度為d的薄板，擴(kuò)散系數(shù)為的薄板，擴(kuò)散系數(shù)為D，板的兩側(cè)，板的兩側(cè)x=0和和x=d處的濃度為處的濃度為c1和和c2，確定，擴(kuò)散經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，薄板中的濃度分布函，確定，擴(kuò)散經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，薄板中的濃度分布函數(shù)。數(shù)。把把A和和B代回通代回通解，得到薄板解，得到薄板中的濃度分布中的濃度分布為：為： dccBcABdAcAc12121 112)(cccdxxc 2、 圓柱狀的二維擴(kuò)散圓柱狀的二維擴(kuò)散實(shí)例：一個(gè)壁厚為實(shí)例：一個(gè)壁厚為d的圓管，內(nèi)壁半徑的圓管，內(nèi)壁半徑r1，外壁半徑，外

25、壁半徑r2，管長(zhǎng)為，管長(zhǎng)為 l 。當(dāng)。當(dāng)有物質(zhì)從管內(nèi)通過管壁不斷向外擴(kuò)散，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，內(nèi)壁濃度為有物質(zhì)從管內(nèi)通過管壁不斷向外擴(kuò)散，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，內(nèi)壁濃度為c1,外外壁濃度為壁濃度為c2，求管壁的濃度分布。，求管壁的濃度分布。022 rCrDrCDtC這是軸對(duì)稱問題：這是軸對(duì)稱問題：rBAcln 通解通解y=f (x，y) 型微分方程型微分方程 11212112122211ln)ln()ln( lnlnrrrcccArrccBrBAcrBAc把把A、B代回代回通解，得到管通解，得到管壁濃度分布曲壁濃度分布曲線：線： 1121221ln)ln(lnlnrrrrrcrrcc )ln(11212rrcc

26、rdrdc 濃度梯度：濃度梯度：管壁各處的管壁各處的擴(kuò)散流量：擴(kuò)散流量：)ln(-J1221rrccrDdrdcD )ln(22Q1221rrcctDrtJ 擴(kuò)散擴(kuò)散t時(shí)間后，單位長(zhǎng)度管子時(shí)間后，單位長(zhǎng)度管子擴(kuò)散的物質(zhì)量是擴(kuò)散的物質(zhì)量是二、擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，非穩(wěn)態(tài)一維擴(kuò)散二、擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，非穩(wěn)態(tài)一維擴(kuò)散例例1：一對(duì)半無限長(zhǎng)金屬棒的擴(kuò)散：一對(duì)半無限長(zhǎng)金屬棒的擴(kuò)散 假定兩根很長(zhǎng)的，成分均勻的金假定兩根很長(zhǎng)的，成分均勻的金屬棒焊接起來。屬棒焊接起來。A的濃度為的濃度為C2； B的的濃度為濃度為C1。 C2 C1 。 以焊接面為坐以焊接面為坐標(biāo)原點(diǎn)。標(biāo)原點(diǎn)。0for0for021 xCCxCCtat基

27、本原始方程基本原始方程22tcxcD txtcc 且且，設(shè)設(shè) 代入代入玻爾茲曼轉(zhuǎn)換玻爾茲曼轉(zhuǎn)換邊界條件邊界條件1、誤差函數(shù)解、誤差函數(shù)解 ctxtctc232左左邊邊：整理后，得：整理后，得：2222dd11)dd1(dd )1(d1 CttCtxCtdCxCtdxd 右右邊邊：22dddd2 CDC ddCu 令令DAeuADuuuDuDu4224lndd2dd2 則：則：BeACAeCDD ddd04422DtxD22 令：令： dDd2 代入初始條代入初始條件，確定積件，確定積分常數(shù)：分常數(shù)：2010C 0tC 0tCCxx ；BDtxerfABeABeDACDtx )2(2d22d22

28、0022 代入前式，得：代入前式，得： d2)2(2202 DtxeDtxerfADAerf(y)是一個(gè)特殊函數(shù)，稱為高是一個(gè)特殊函數(shù)，稱為高斯誤差函數(shù)。一般以列表形式給斯誤差函數(shù)。一般以列表形式給出出， 為啞標(biāo)。為啞標(biāo)。)()(1)(;0)0(yerfyerferferf BACBAC 2221 24)(1212CCBCCA )2(22,1212DtxerfCCCCtxC 不同時(shí)刻的濃度分布曲線見左不同時(shí)刻的濃度分布曲線見左圖，圖，t2t1t0yErf(y)000.10.1120.20.2230.30.3290.40.4280.50.5210.60.6040.70.678yErf(y)1.0

29、0.8431.60.9762.00.9952.40.99932.60.99982.80.9999(1) x=0的界面，的界面，C0 C0=(C2+C1)/2 在擴(kuò)散過程中，分界在擴(kuò)散過程中，分界面上的濃度始終保持不面上的濃度始終保持不變，濃度分布曲線以變，濃度分布曲線以C0為對(duì)稱中心。為對(duì)稱中心。 濃度分布方程：濃度分布方程：根據(jù)濃度分布方程可得根據(jù)濃度分布方程可得： 對(duì)濃度分布方程加以變換，得：)2(1 )2(12-101121DtxerfCCCCDtxerfCCCC )2(10DtxerfCC 若C1=0若若C1=0，對(duì)于，對(duì)于C=C0/2的面來說，的面來說，1210 CCDtxtx 拋物

30、線時(shí)間定則：擴(kuò)散深度與時(shí)拋物線時(shí)間定則：擴(kuò)散深度與時(shí)間的平方根成正比間的平方根成正比拋物線時(shí)間定則揭示了晶體中原子拋物線時(shí)間定則揭示了晶體中原子遷移的一個(gè)重要特征遷移的一個(gè)重要特征隨機(jī)行走。隨機(jī)行走。如果：如果：xt，說明，說明?此圖反應(yīng)了濃度此圖反應(yīng)了濃度C與擴(kuò)散路程與擴(kuò)散路程x、時(shí)間、時(shí)間t以及擴(kuò)散系數(shù)以及擴(kuò)散系數(shù)D之間之間的綜合關(guān)系的綜合關(guān)系對(duì)表面濃度保持不變的擴(kuò)散，如對(duì)表面濃度保持不變的擴(kuò)散，如滲層、脫層等熱處理工藝均適用。滲層、脫層等熱處理工藝均適用。試試樣樣原原始始濃濃度度表表面面濃濃度度- ;)2()(),(10100CCDtxerfCCCtxC 例例2：一根很長(zhǎng)的金屬棒：一根很

31、長(zhǎng)的金屬棒A的一端鍍上一薄層溶質(zhì)，其總質(zhì)量為的一端鍍上一薄層溶質(zhì)，其總質(zhì)量為m，然后將它與另一根相同的金屬棒然后將它與另一根相同的金屬棒B焊接起來，把薄層夾在中間。兩棒焊接起來，把薄層夾在中間。兩棒不含溶質(zhì)，即不含溶質(zhì)，即C=0。其橫截面均勻。其橫截面均勻。 任務(wù)：確定退火不同時(shí)間后的濃度分布函數(shù)。任務(wù)：確定退火不同時(shí)間后的濃度分布函數(shù)。)4exp(22DtxDtmC )4exp(2DtxtC 000 xxCC22tcxcD dxDtxtm)4exp(2 平面源高斯平面源高斯解解2、高斯解高斯解-薄膜擴(kuò)散薄膜擴(kuò)散x0C132545341216/14/1 擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散系數(shù)D的實(shí)驗(yàn)方法：試樣金屬棒

32、擴(kuò)散退火一定時(shí)間的實(shí)驗(yàn)方法：試樣金屬棒擴(kuò)散退火一定時(shí)間 t 后，用后，用車床把它沿車床把它沿x軸一薄層一薄層地切削下來，注意各層都要和軸一薄層一薄層地切削下來，注意各層都要和 x 軸垂直，軸垂直，分析各層中溶質(zhì)濃度，這樣就可以得到分析各層中溶質(zhì)濃度，這樣就可以得到 c VS. x 數(shù)據(jù)。作數(shù)據(jù)。作lnc VS. x2 圖，圖，理論上該圖為直線，其斜率為理論上該圖為直線，其斜率為 -1/(4Dt)。因時(shí)間已知，故可算得。因時(shí)間已知，故可算得D。關(guān)于濃度測(cè)定，最好是用示蹤原子，比如放射性同位素，一方面是由關(guān)于濃度測(cè)定，最好是用示蹤原子，比如放射性同位素，一方面是由于精度比較高，另一方面是由于可以測(cè)

33、出相同元素中的擴(kuò)散。于精度比較高，另一方面是由于可以測(cè)出相同元素中的擴(kuò)散。 )4exp(22DtxDtmC DtxDtmC4)2ln(ln2 高斯分布曲線高斯分布曲線3、傅里葉級(jí)數(shù)解、傅里葉級(jí)數(shù)解- 初始濃度分布不均勻時(shí)的擴(kuò)散情況初始濃度分布不均勻時(shí)的擴(kuò)散情況X(x)T(t)C(x,t) 令：令：22tcxcD 22222-1)(1)(tT)( xXXDtTTxXtDTxX 常數(shù)！常數(shù)！ xBxAXKeTxXXDtTTDt sincos-1-)(122222 DtexBxAtxC2sincos),( A、B為積分常為積分常數(shù)；由于數(shù)；由于D為常為常數(shù)時(shí)，擴(kuò)散方程數(shù)時(shí)，擴(kuò)散方程為線性，因此可為線

34、性，因此可以對(duì)該式疊加來以對(duì)該式疊加來構(gòu)造通解。構(gòu)造通解。 02 sincos),(nDtnnnnnexBxAtxC 這種形式的解用于初始狀態(tài)這種形式的解用于初始狀態(tài) (t = 0 ) 時(shí)濃度不均勻分布的情況是十分時(shí)濃度不均勻分布的情況是十分方便的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)初始濃度分布方便的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)初始濃度分布 c = f (x) 總可以把它展開為傅里總可以把它展開為傅里葉級(jí)數(shù)。葉級(jí)數(shù)。An、Bn、n相應(yīng)也可以求出來。相應(yīng)也可以求出來。Exp(-n2Dt) 是各級(jí)諧振波是各級(jí)諧振波振幅隨時(shí)間的衰減因子。振幅隨時(shí)間的衰減因子。t =0，就是初始濃度分布，隨著時(shí)間延長(zhǎng)，就是初始濃度分布，隨著時(shí)間延長(zhǎng)，振

35、幅下降，這就是均勻化過程。振幅下降，這就是均勻化過程。實(shí)例：設(shè)初始濃度沿實(shí)例：設(shè)初始濃度沿一維正弦形式分布：一維正弦形式分布：lxCCtxC sin) 0,(00 C0 -初始濃度振幅；初始濃度振幅；2l濃度分布周期。濃度分布周期。)exp(sin),(2200lDtlxCCtxC 這種情況的解：這種情況的解：l 推論：原始濃度分布的波長(zhǎng)越短，振幅衰減的速度就越大。推論：原始濃度分布的波長(zhǎng)越短，振幅衰減的速度就越大。 關(guān)于擴(kuò)散方程解的一些實(shí)際應(yīng)用關(guān)于擴(kuò)散方程解的一些實(shí)際應(yīng)用實(shí)例實(shí)例1：一塊鋼板，含碳量為：一塊鋼板，含碳量為0.1% (wt.%)，在，在930進(jìn)行表面滲碳，進(jìn)行表面滲碳， 表面碳

36、濃度保持在表面碳濃度保持在1% (wt.%)，設(shè)擴(kuò)散系數(shù)，設(shè)擴(kuò)散系數(shù) D=0.738exp-158980/RT(cm2/s)。試問：試問：（1）據(jù)表面）據(jù)表面0.05cm處，碳濃度升至處，碳濃度升至0.45% (wt.%)所需時(shí)間是多少？所需時(shí)間是多少？（2）若在距表面）若在距表面0.1 cm處獲得同樣濃度所需時(shí)間又是多少？處獲得同樣濃度所需時(shí)間又是多少？（3）要在什么溫度下滲碳，才能使第）要在什么溫度下滲碳，才能使第(2)問中的時(shí)間降到與第問中的時(shí)間降到與第(1)問問的時(shí)間相同。的時(shí)間相同。解：先求出解：先求出930時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)：時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)： 8)930273(31.81589801015

37、2.9738.0 eDR=8.31 J/（mol*K） 由于由于“菲克第二方程誤差函數(shù)解菲克第二方程誤差函數(shù)解” 的分界面，即的分界面，即x=0處的濃度保持恒處的濃度保持恒定，因此，可以將鋼板表面看做是分界面，直接套用即可。定，因此，可以將鋼板表面看做是分界面，直接套用即可。將工件放在滲碳爐中加熱滲碳，則工件表面將根據(jù)將工件放在滲碳爐中加熱滲碳，則工件表面將根據(jù)爐內(nèi)溫度和滲碳?xì)怏w的情況而迅速的達(dá)到一定的碳爐內(nèi)溫度和滲碳?xì)怏w的情況而迅速的達(dá)到一定的碳濃度濃度C0并保持不變，同時(shí)碳原子不斷的從表面向內(nèi)并保持不變，同時(shí)碳原子不斷的從表面向內(nèi)部擴(kuò)散，滲碳層中碳濃度分布、深度和時(shí)間的關(guān)系部擴(kuò)散，滲碳層中

38、碳濃度分布、深度和時(shí)間的關(guān)系可按可按菲克第二方程誤差函數(shù)解菲克第二方程誤差函數(shù)解得到，但是只能利用得到，但是只能利用x=0的右半部分的右半部分。%1.0 %;110 CC0 x )2(1 101 DtxerfCCCC菲克第二方程誤差函數(shù)解菲克第二方程誤差函數(shù)解注意：菲克定律要求使用注意：菲克定律要求使用“體積濃度體積濃度”。本題目給的是質(zhì)量濃度，。本題目給的是質(zhì)量濃度，應(yīng)該進(jìn)行換算。但是方程兩邊都有濃度項(xiàng)，換算系數(shù)相同，所以，應(yīng)該進(jìn)行換算。但是方程兩邊都有濃度項(xiàng)，換算系數(shù)相同，所以，可以用質(zhì)量濃度直接計(jì)算。可以用質(zhì)量濃度直接計(jì)算。611. 01 . 0-11 . 0-45. 0-1)2( Dt

39、xerf針對(duì)問（針對(duì)問（1）和問（）和問（2）求）求出誤差函數(shù)的函數(shù)值為：出誤差函數(shù)的函數(shù)值為：查誤差函數(shù)數(shù)值表，查誤差函數(shù)數(shù)值表，反求自變量的值為：反求自變量的值為：61. 02 Dtx （1） x=0.05cm，c=0.45% 所需時(shí)間所需時(shí)間 t 為：為： hsDxt1 . 510835. 161. 010152. 9405. 061. 04428-22211 （2） hsDxt4 .2010341. 761. 010152. 941 . 061. 04428-22222 2 xkttkx 同一溫度下，滲入距離和時(shí)間的關(guān)系同一溫度下，滲入距離和時(shí)間的關(guān)系k、k是與擴(kuò)散系數(shù)及要求濃度有關(guān)的

40、常數(shù)是與擴(kuò)散系數(shù)及要求濃度有關(guān)的常數(shù)（3）因?yàn)橐蟮臐B入濃度與因?yàn)橐蟮臐B入濃度與(1)相同，故相同，故erf()也等于也等于0.611， 二者的二者的值也相同。在同時(shí)間內(nèi)，擴(kuò)散系數(shù)有如下關(guān)系：值也相同。在同時(shí)間內(nèi)，擴(kuò)散系數(shù)有如下關(guān)系： 21221212212221111expRTexpRTexp xxTTRQxxQQDxDx 121121221ln21)ln(211xxQRTTTxxTTRQ K131805. 01 . 0ln15898031. 812032-11203ln2112112 ）（xxQRTTT代入具體數(shù)據(jù)：代入具體數(shù)據(jù)：K1151203-1318T 提高溫度能極大加快滲碳速度！

41、提高溫度能極大加快滲碳速度！1045 上個(gè)實(shí)例中，工件表面的碳濃度是保持不變的，如果表面碳濃度上個(gè)實(shí)例中，工件表面的碳濃度是保持不變的，如果表面碳濃度有變化，那么就應(yīng)該應(yīng)用高斯解來描述滲碳層的濃度分布。有變化，那么就應(yīng)該應(yīng)用高斯解來描述滲碳層的濃度分布。 實(shí)例實(shí)例2：擴(kuò)散組元初始時(shí)濃：擴(kuò)散組元初始時(shí)濃集于無限長(zhǎng)試樣的一側(cè)表集于無限長(zhǎng)試樣的一側(cè)表面，試確定擴(kuò)散一定時(shí)間面，試確定擴(kuò)散一定時(shí)間后試樣內(nèi)的濃度分布。后試樣內(nèi)的濃度分布。 與高斯解標(biāo)準(zhǔn)狀況的差別：本例為與高斯解標(biāo)準(zhǔn)狀況的差別：本例為一側(cè)擴(kuò)散，而高斯解為二側(cè)擴(kuò)散。一側(cè)擴(kuò)散，而高斯解為二側(cè)擴(kuò)散。 由常識(shí)可知，擴(kuò)散通量應(yīng)該增加。由常識(shí)可知，擴(kuò)散

42、通量應(yīng)該增加。試樣尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于擴(kuò)散距離即可視為無試樣尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于擴(kuò)散距離即可視為無限長(zhǎng)。限長(zhǎng)。處理辦法：把表面當(dāng)作鏡面，構(gòu)造真實(shí)擴(kuò)散系統(tǒng)的鏡像。真實(shí)部分與處理辦法：把表面當(dāng)作鏡面，構(gòu)造真實(shí)擴(kuò)散系統(tǒng)的鏡像。真實(shí)部分與鏡像部分組成的新擴(kuò)散系統(tǒng)與高斯標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)相同，直接套用解析解公鏡像部分組成的新擴(kuò)散系統(tǒng)與高斯標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)相同，直接套用解析解公式可確定出真實(shí)部分與鏡像部分的濃度分布。式可確定出真實(shí)部分與鏡像部分的濃度分布。擴(kuò)散物質(zhì)并沒有真正離開試樣表面進(jìn)擴(kuò)散物質(zhì)并沒有真正離開試樣表面進(jìn)入鏡像部分，所以，將鏡像部分的分入鏡像部分，所以，將鏡像部分的分布曲線反鏡像到真實(shí)部分再與真實(shí)部布曲線反鏡像到真實(shí)部分再與

43、真實(shí)部分的分布曲線相加即可得到真實(shí)部分分的分布曲線相加即可得到真實(shí)部分的實(shí)際濃度分布曲線。的實(shí)際濃度分布曲線。(1) 0 )4exp(2 2 xDtxDtmC 真實(shí)部分真實(shí)部分(2) 0 )4exp(2 2 xDtxDtmC 鏡像部分鏡像部分將橫坐標(biāo)原點(diǎn)置于表面： (3) )4exp(, 2DtxDtmtxC X0時(shí)，時(shí)，(3)式無式無意義！意義！ 前面我們討論的問題中，試樣尺寸是前面我們討論的問題中，試樣尺寸是“無限長(zhǎng)無限長(zhǎng)”，如果改變這個(gè)前提，如果改變這個(gè)前提條件，即擴(kuò)散距離大于試樣厚度條件，即擴(kuò)散距離大于試樣厚度d時(shí)，濃度分布曲線如何確定？時(shí)，濃度分布曲線如何確定？ 當(dāng)擴(kuò)散物質(zhì)抵達(dá)自由表

44、面時(shí)，物質(zhì)不可能穿越表面而消失，即，自由當(dāng)擴(kuò)散物質(zhì)抵達(dá)自由表面時(shí)，物質(zhì)不可能穿越表面而消失，即，自由表面是不可穿透的表面是不可穿透的“墻墻”，擴(kuò)散物質(zhì)會(huì)被反射回來而滯留在試樣之中，形，擴(kuò)散物質(zhì)會(huì)被反射回來而滯留在試樣之中，形成額外濃度分布。成額外濃度分布。以自由表面為以自由表面為“鏡面鏡面”，構(gòu)造另一側(cè)的鏡面，構(gòu)造另一側(cè)的鏡面像。先將真實(shí)部分與鏡像部分看作一個(gè)整體像。先將真實(shí)部分與鏡像部分看作一個(gè)整體按高斯解確定濃度分布，然后將鏡像部分的按高斯解確定濃度分布，然后將鏡像部分的濃度分布曲線延伸到真實(shí)部分的那一段作為濃度分布曲線延伸到真實(shí)部分的那一段作為真實(shí)系統(tǒng)中物質(zhì)擴(kuò)散遇墻后反射回來而形成真實(shí)系

45、統(tǒng)中物質(zhì)擴(kuò)散遇墻后反射回來而形成的濃度分布描述。二條曲線疊加，即的濃度分布描述。二條曲線疊加，即 可得到可得到真實(shí)部分的實(shí)際濃度分布曲線。真實(shí)部分的實(shí)際濃度分布曲線。問題：厚度為問題：厚度為d的板，一側(cè)涂上擴(kuò)散物質(zhì)，的板，一側(cè)涂上擴(kuò)散物質(zhì)，當(dāng)擴(kuò)散距離大于當(dāng)擴(kuò)散距離大于d時(shí)，確定板中的濃度分布時(shí)，確定板中的濃度分布曲線！曲線！真實(shí)部分真實(shí)部分用實(shí)線表示用實(shí)線表示鏡像部分鏡像部分用虛線表示用虛線表示dxx2 (4) )4exp(2DtxDtmC 真實(shí)部分的濃度應(yīng)該用真實(shí)部分的濃度應(yīng)該用(3)式式表示：表示：鏡像部分的濃度曲線，在坐鏡像部分的濃度曲線，在坐標(biāo)要平移后應(yīng)該與標(biāo)要平移后應(yīng)該與(4)式相同

46、式相同(5) )4)2-exp(2DtdxDtmC（ 真實(shí)濃度分布是真實(shí)濃度分布是(4)式與式與(5)式的疊加：式的疊加： (6) )4)2-exp( )4exp(,22 DtdxDtxDtmtxC（ x=0d 時(shí)時(shí)(6)式有式有效！效！隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，如果擴(kuò)散距離大于隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，如果擴(kuò)散距離大于2d，那么，那么，(6)式的第二項(xiàng)，即式的第二項(xiàng)，即鏡像系統(tǒng)，會(huì)在鏡像系統(tǒng)，會(huì)在 x=0 處又遇到處又遇到“墻墻”，因而要以，因而要以 x = 0 為對(duì)稱面，為對(duì)稱面，在在x = -2d 處再附加一個(gè)新的鏡像系統(tǒng)。處再附加一個(gè)新的鏡像系統(tǒng)。 (7) )4)2exp()4)2-exp( )4exp(

47、,222 DtdxDtdxDtxDtmtxC（ 板內(nèi)濃度分布：板內(nèi)濃度分布：dxx2 dxx2- 在在x=0d的范圍內(nèi)有效！的范圍內(nèi)有效！如果擴(kuò)散繼續(xù)加長(zhǎng)，則可按此辦法繼續(xù)增加鏡像系統(tǒng)的數(shù)目。一般總?cè)绻麛U(kuò)散繼續(xù)加長(zhǎng)，則可按此辦法繼續(xù)增加鏡像系統(tǒng)的數(shù)目。一般總擴(kuò)散系統(tǒng)的長(zhǎng)度要到約（擴(kuò)散系統(tǒng)的長(zhǎng)度要到約（4 Dt)1/2。 （4 Dt)1/2是一維擴(kuò)散距離的大約是一維擴(kuò)散距離的大約估計(jì)值。估計(jì)值。例例3、 板厚為板厚為l (0 xl) 的初始濃度分布及邊界條件為：的初始濃度分布及邊界條件為： c ( x=0, t ) = 0；c ( x=l, t ) = 0； c (x , t=0) = c0 s

48、in(x / l ) 設(shè)擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)。求板中部設(shè)擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)。求板中部(l / 2)濃度降為濃度降為c0/2的擴(kuò)散時(shí)間的擴(kuò)散時(shí)間t0.5。 02 sincos),(nDtnnnnnexBxAtxC 解：解：(1) 對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)解，本問題的濃度分布函數(shù)為：對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)解，本問題的濃度分布函數(shù)為：22 sin),(0lDtelxctxC n = 0；A0 =0 ; B0 = c0;0 = / l220 ),2(lDtectlxC 板中部的濃度為板中部的濃度為：2ln212 225.0002222DltececllDtDt 題目要求的題目要求的t0.5 為：為：例例4. 設(shè)板厚為設(shè)板

49、厚為 b，初始濃度為，初始濃度為c0，在維持表面濃度為，在維持表面濃度為cs的條件下的條件下向板內(nèi)滲入某一組元。試確定板中滲入物質(zhì)的濃度分布曲線。向板內(nèi)滲入某一組元。試確定板中滲入物質(zhì)的濃度分布曲線。 傅里葉級(jí)數(shù)解中，有一些特殊位置的濃度是保持不變的，即相位傅里葉級(jí)數(shù)解中，有一些特殊位置的濃度是保持不變的，即相位0，2，以及和這些位置相當(dāng)?shù)牡胤?，它們的濃度始終等于平均，以及和這些位置相當(dāng)?shù)牡胤?，它們的濃度始終等于平均濃度。這個(gè)特點(diǎn)使得傅里葉級(jí)數(shù)解可以應(yīng)用到兩側(cè)面濃度保持不變的濃度。這個(gè)特點(diǎn)使得傅里葉級(jí)數(shù)解可以應(yīng)用到兩側(cè)面濃度保持不變的滲入或脫去過程的擴(kuò)散問題。以板厚為半波長(zhǎng)，以表面與板內(nèi)濃度之

50、滲入或脫去過程的擴(kuò)散問題。以板厚為半波長(zhǎng)，以表面與板內(nèi)濃度之差為振幅，把濃度分布開拓成傅里葉級(jí)數(shù)，最后再套用標(biāo)準(zhǔn)解。差為振幅，把濃度分布開拓成傅里葉級(jí)數(shù)，最后再套用標(biāo)準(zhǔn)解。解：把坐標(biāo)原點(diǎn)放在板的一側(cè)，把初始濃度分布開拓成假想的解：把坐標(biāo)原點(diǎn)放在板的一側(cè)，把初始濃度分布開拓成假想的周期函數(shù)。初始濃度分布函數(shù)具體為：周期函數(shù)。初始濃度分布函數(shù)具體為： 0 ; 02)(0)()0,(ccbxbcccbxcxcctxcsss 周期為周期為2l 的函數(shù)的函數(shù) f (x)，有可，有可能展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式。能展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式。 )0,1,2,(n sin1)0,1,2,(n cos1 sincos

51、210 dxlxnxflBdxlxnxflAlxnBlxnAAllnllnnnn c(x) 是周期為是周期為2b 的奇函數(shù)，的奇函數(shù)，其傅里葉系數(shù)中其傅里葉系數(shù)中An全部為全部為零。零。 2,4,6,0n 01,3,5,7,n )(4 sin)(sin)( 1sin100000 nccdxbxnccdxbxnccbdxbxnxfbBsbsbsbbn設(shè)：設(shè)：n=2j+1，得初始濃度分布函數(shù)為：得初始濃度分布函數(shù)為： lxjjccctxcjss )12(sin1214-0,00定義域：定義域：0 x l 020)12(exp)12(sin1214-,jssDtljlxjjccctxc 濃度分布濃度

52、分布曲線曲線上式中，每一項(xiàng)的特征弛豫時(shí)間為：上式中，每一項(xiàng)的特征弛豫時(shí)間為：隨著隨著j的加大，對(duì)應(yīng)的弛豫時(shí)間急劇減的加大，對(duì)應(yīng)的弛豫時(shí)間急劇減小。也就是說，長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散后，用級(jí)小。也就是說，長(zhǎng)時(shí)間擴(kuò)散后，用級(jí)數(shù)的前一、二項(xiàng)就足夠了精確了。數(shù)的前一、二項(xiàng)就足夠了精確了。如果需要求板中的平均濃度，它應(yīng)為：如果需要求板中的平均濃度，它應(yīng)為：Djlj222)12( 02200exp1218,1jfsslttjcccdxtxclc 如果時(shí)間如果時(shí)間 t 1，則只考慮，則只考慮 j=0 這一項(xiàng)，濃度函數(shù)變?yōu)椋哼@一項(xiàng)，濃度函數(shù)變?yōu)椋?2200expsin41lDtlxccccs 2.4 擴(kuò)散系數(shù)與濃度有關(guān)，一

53、維擴(kuò)散擴(kuò)散系數(shù)與濃度有關(guān)，一維擴(kuò)散-計(jì)算某濃度下計(jì)算某濃度下 的擴(kuò)散系數(shù)的擴(kuò)散系數(shù) 1 )(xCDxtC )(CDD 2 0for0for021 xCCxCCt當(dāng)當(dāng) 3tx 令令 4 )2(dd)2(ddtCttxCtC (5) dddd1)dd1(dd)(dd1dd）（ CDtxCtDxCDxCtxCxC t1)dd(dd1dd2 CDtCt (4)、(5) 代入代入 (1)dd(d2 CDdC tdxtx d MMCCCCCDC11)dd(dd21 如果我們想求出濃度為如果我們想求出濃度為CM時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)，那么，可以選一條特定時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)，那么，可以選一條特定 t 時(shí)時(shí)的濃度曲線，計(jì)算積分

54、：的濃度曲線，計(jì)算積分： MMCCCCxCDtCxt11)dd(dd121MMMCCCCCxCDxCDxCDCxt ddddddd2111根據(jù)邊界條件，根據(jù)邊界條件，初始時(shí)，初始時(shí)，C vs x 曲線的斜率為曲線的斜率為零。零。 MMCCCCxCxtD1ddd21變換后，得：變換后，得：Mxx 0d21M CCCx 2ddd21)(MMCCCMMMCxCxtCD變換變換 x 坐標(biāo)坐標(biāo)使之滿足：使之滿足： 21ddCCMCCMMMCxCxXM=0的平面將紅色區(qū)域劃的平面將紅色區(qū)域劃分為面積相等的二部分，即分為面積相等的二部分，即Sabc=S0XMdc，該平面稱為俁，該平面稱為俁野（野（Matan

55、o）截面）截面 。利用。利用它可以較方便地計(jì)算積分面它可以較方便地計(jì)算積分面積。積。2.5 克根達(dá)耳效應(yīng)克根達(dá)耳效應(yīng)-互擴(kuò)散與分?jǐn)U散系數(shù)互擴(kuò)散與分?jǐn)U散系數(shù)前面所涉及的擴(kuò)散系數(shù)均是針對(duì)一種擴(kuò)散物質(zhì)而言的。對(duì)于多組前面所涉及的擴(kuò)散系數(shù)均是針對(duì)一種擴(kuò)散物質(zhì)而言的。對(duì)于多組元之間的互擴(kuò)散，各個(gè)組元的擴(kuò)散系數(shù)是不相同的。元之間的互擴(kuò)散，各個(gè)組元的擴(kuò)散系數(shù)是不相同的?？烁_(dá)耳（克根達(dá)耳（Kirkendall)與合作者與合作者 1946年實(shí)驗(yàn)：在方形黃銅棒表面敷設(shè)一些年實(shí)驗(yàn)：在方形黃銅棒表面敷設(shè)一些很細(xì)的鉬絲，而后再在黃銅表面鍍銅。把復(fù)合樣品在很細(xì)的鉬絲，而后再在黃銅表面鍍銅。把復(fù)合樣品在785保溫，使保溫

56、，使Cu向向內(nèi)，內(nèi)，Zn向外發(fā)生互擴(kuò)散。發(fā)現(xiàn)隨著退火時(shí)間的延長(zhǎng)，鉬絲不斷向內(nèi)移動(dòng)，向外發(fā)生互擴(kuò)散。發(fā)現(xiàn)隨著退火時(shí)間的延長(zhǎng)，鉬絲不斷向內(nèi)移動(dòng)，移動(dòng)距離與時(shí)間的平方根成正比。此現(xiàn)象稱為克根達(dá)耳效應(yīng)。移動(dòng)距離與時(shí)間的平方根成正比。此現(xiàn)象稱為克根達(dá)耳效應(yīng)。斯密吉斯加斯斯密吉斯加斯（Smigelskas)克根達(dá)耳效應(yīng)的意義克根達(dá)耳效應(yīng)的意義-是固態(tài)擴(kuò)散的重要發(fā)現(xiàn)！是固態(tài)擴(kuò)散的重要發(fā)現(xiàn)！ Zn的擴(kuò)散流要比的擴(kuò)散流要比Cu的擴(kuò)散流大許多，也就是說，的擴(kuò)散流大許多，也就是說，Dcu2 3溶質(zhì)自擴(kuò)散系數(shù)正比于溶質(zhì)自擴(kuò)散系數(shù)正比于2 )-exp( 12)-exp( 1222A2A2RTGGRTGNDfBBv (1

57、) 2A2 D空位在溶質(zhì)原子最近鄰出現(xiàn)的空位在溶質(zhì)原子最近鄰出現(xiàn)的幾率幾率p為：為：）（ 2 )exp(RTGNpBv Nv平平衡空衡空位濃位濃度度空位在基體原子旁邊出現(xiàn)的幾率就是空位在基體中的平衡空位濃度?？瘴辉诨w原子旁邊出現(xiàn)的幾率就是空位在基體中的平衡空位濃度。若若GB0，則，則p Nv；反之，若；反之，若GBNv。A 為常數(shù)為常數(shù) 對(duì)于很長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散（包含很多對(duì)于很長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散（包含很多3）：在任何時(shí)刻在溶質(zhì)原子近鄰找到多于一個(gè)空位的幾率是非常小的。在任何時(shí)刻在溶質(zhì)原子近鄰找到多于一個(gè)空位的幾率是非常小的。因此與空位鍵合的溶質(zhì)原子百分?jǐn)?shù)近似為因此與空位鍵合的溶質(zhì)原子百分?jǐn)?shù)近似為12p。

58、這時(shí)。這時(shí)(1)式應(yīng)乘上式應(yīng)乘上12p的因子，把空位平衡濃度公式和的因子，把空位平衡濃度公式和(2)式一同代入式一同代入(1)式，得：式，得：溶質(zhì)的自擴(kuò)散速度正比于空溶質(zhì)的自擴(kuò)散速度正比于空位在它旁邊鍵合的頻率而不位在它旁邊鍵合的頻率而不是它與空位換位的頻率。是它與空位換位的頻率?？瘴辉诨w原子旁邊出現(xiàn)的幾率等于空位的平衡濃度空位在基體原子旁邊出現(xiàn)的幾率等于空位的平衡濃度Nv，但是在溶質(zhì)原子最近鄰出現(xiàn)的幾率，但是在溶質(zhì)原子最近鄰出現(xiàn)的幾率p卻不一定為卻不一定為Nv。這是因?yàn)榭瘴慌c溶質(zhì)原子的交互作用，使得這是因?yàn)榭瘴慌c溶質(zhì)原子的交互作用，使得p服從玻爾服從玻爾茲曼分布。茲曼分布。)-exp( 1

59、2)-exp( 121A1A2RTGGRTGNDfBBv 2 比較高，空位經(jīng)常在溶質(zhì)原子周圍，即它從溶質(zhì)原子近鄰的一個(gè)比較高，空位經(jīng)常在溶質(zhì)原子周圍，即它從溶質(zhì)原子近鄰的一個(gè)位置裝換到另一個(gè)位置，使空位與溶質(zhì)原子鍵合的總時(shí)間比較長(zhǎng)，但位置裝換到另一個(gè)位置，使空位與溶質(zhì)原子鍵合的總時(shí)間比較長(zhǎng)，但是仍然有一定的空位與溶質(zhì)原子交換位置的頻率是仍然有一定的空位與溶質(zhì)原子交換位置的頻率1 。這樣的過程不。這樣的過程不斷進(jìn)行，使得溶質(zhì)原子發(fā)生長(zhǎng)程遷移。這時(shí)溶質(zhì)原子的子擴(kuò)散速度主斷進(jìn)行，使得溶質(zhì)原子發(fā)生長(zhǎng)程遷移。這時(shí)溶質(zhì)原子的子擴(kuò)散速度主要取決于要取決于1 。按照討論。按照討論A情況的相似分析，得：情況的相

60、似分析，得：溶質(zhì)的自擴(kuò)散系數(shù)正比溶質(zhì)的自擴(kuò)散系數(shù)正比于它于空位換位的速度。于它于空位換位的速度。（B） 21 3除了上面所講的三種擴(kuò)散機(jī)制之外，在其它機(jī)制下，擴(kuò)散系數(shù)除了上面所講的三種擴(kuò)散機(jī)制之外，在其它機(jī)制下，擴(kuò)散系數(shù)在微觀構(gòu)成上都是有區(qū)別的，它們散見與學(xué)術(shù)論文之中，就不在微觀構(gòu)成上都是有區(qū)別的，它們散見與學(xué)術(shù)論文之中，就不一一介紹了。一一介紹了。四、擴(kuò)散的影響因素四、擴(kuò)散的影響因素 由擴(kuò)散第一定律可知，單位時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散的快慢主要取決于擴(kuò)散由擴(kuò)散第一定律可知，單位時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散的快慢主要取決于擴(kuò)散系數(shù)系數(shù)D和濃度梯度。在濃度梯度一定的條件下，擴(kuò)散的快慢就取決和濃度梯度。在濃度梯度一定的條件下，擴(kuò)散