橢圓的幾何性)

1、叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也把形如)0( 1. 22222babxay叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把形如01. 12222babyax它表示焦點(diǎn)在它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓軸上的橢圓它表示焦點(diǎn)在它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓軸上的橢圓1oFyx2FM1 12 2yoFFMx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是的平方和，右邊是1;（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c滿(mǎn)足滿(mǎn)足a2=b2+c2（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個(gè)大，的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上則焦點(diǎn)

2、在哪一個(gè)軸上;0 12222babyax0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的之間的關(guān)系關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM最后回憶一下本節(jié)課的主要內(nèi)容最后回憶一下本節(jié)課的主要內(nèi)容一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即byax和說(shuō)明：橢圓位于直說(shuō)明：橢圓位于直線(xiàn)線(xiàn)X=X=a a和和y=y=b b所所圍成的矩形之中。圍成的矩形之中。112222byax和方程方程：22221(0)yxabab3 3、對(duì)稱(chēng)

3、性：、對(duì)稱(chēng)性：從圖形上看，橢圓關(guān)于從圖形上看，橢圓關(guān)于x x軸、軸、y y軸、原點(diǎn)軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)。從方程上看：從方程上看：（1 1）把）把x x換成換成-x-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y y軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)；（2 2）把）把y y換成換成-y-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x x軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)；（3 3）把）把x x換成換成-x-x，同時(shí)把，同時(shí)把y y換成換成-y-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。二、橢圓的對(duì)稱(chēng)性二、橢圓的對(duì)稱(chēng)性 oxy三、橢圓的頂點(diǎn)三、橢圓的頂點(diǎn))0(12222babyax在在中，令中，令 x=0 x=0，得，得

4、y=y=？，說(shuō)明橢圓與？，說(shuō)明橢圓與 y y軸的交（軸的交（ ， ），）， 令令 y=0y=0，得，得 x=x=？說(shuō)明橢圓與？說(shuō)明橢圓與 x x軸的交點(diǎn)（軸的交點(diǎn)（ ， ）* *頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。的頂點(diǎn)。* *長(zhǎng)軸、短軸：線(xiàn)段長(zhǎng)軸、短軸：線(xiàn)段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。和短軸。a a、b b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2 F1 F2 0 ba 0動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示四、橢圓的離

5、心率四、橢圓的離心率 oxyace 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1 1、離心率的取值范圍：、離心率的取值范圍：因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0a c 0，所以，所以1 e 01 e 02 2、離心率對(duì)橢圓形狀的影響：、離心率對(duì)橢圓形狀的影響：1 1）e e 越接近越接近 1 1，c c 就越接近就越接近 a a，從而，從而 b b就越?。?？），橢圓就越?。?？），橢圓就越扁（？）就越扁（？）2 2）e e 越接近越接近 0 0，c c 就越接近就越接近 0 0，從而，從而 b b就越大（？），橢就越大（？），橢圓就越圓（？）圓就越圓（？

6、）3 3）特例：）特例：e =0e =0，則，則 a = ba = b，則，則 c=0c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）圓方程變?yōu)椋ǎ浚┓匠蹋?2221(0)yxababXY4 4、單調(diào)性：、單調(diào)性：從圖形上看不出單調(diào)性。從圖形上看不出單調(diào)性。從方程上看，由于橢圓不是函數(shù)，是一對(duì)多從方程上看，由于橢圓不是函數(shù)，是一對(duì)多對(duì)應(yīng)，不具有單調(diào)性。對(duì)應(yīng)，不具有單調(diào)性。 oxy方程方程圖形圖形范圍范圍對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率12222byax12222bxay xyB1B2A1A2 F1 F2YXF1OF2 0bybaxa,ayabxb, bbaaBBAA, 0, 0),0

7、 ,(,0 ,2121 0 ,0 ,), 0 (, 02121bbaaBBAA) 10(eace) 10(eace關(guān)于關(guān)于x x軸，軸，y y軸，原軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。關(guān)于關(guān)于x x軸，軸，y y軸，原點(diǎn)軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)。例例1 1 求橢圓求橢圓 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程1452222yx這里，這里，31625,4,5cba因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是82,102ba離心率離心率

8、6.053ace焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是)0,3(),0,3(21FF四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA例例1 1這種題型是由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求基本這種題型是由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求基本元素元素說(shuō)明：例說(shuō)明：例1 1是一種常見(jiàn)的題型，在以后的有關(guān)圓是一種常見(jiàn)的題型，在以后的有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中，經(jīng)常要用到這種題型，說(shuō)它錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中，經(jīng)常要用到這種題型，說(shuō)它是一種題型不如說(shuō)它是一種要經(jīng)常用到的是一種題型不如說(shuō)它是一種要經(jīng)常用到的“基基本計(jì)算本計(jì)算”練習(xí)：練習(xí)： 教科書(shū)教科書(shū)5353頁(yè)，頁(yè)，A A組組4 4題題例例2 2：已知橢圓：已知橢圓x x2

9、 2+(m+3)y+(m+3)y2 2=m(m=m(m0)0)的離心率的離心率e=0.5e=0.5，求，求mm的值及橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)，焦的值及橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。例例3 3：橢圓：橢圓 (ab0)(ab0)的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F F1 1(-c,0)(-c,0)，A(-a,0)A(-a,0)、B(0,b)B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F F1 1到到直線(xiàn)直線(xiàn)ABAB的距離為的距離為 , ,則橢圓的離心率則橢圓的離心率=( )=( ) 7b1byax2222例例4 4：設(shè)：設(shè)MM為橢圓為橢圓 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),F,F1 1 ,F ,F2

10、2 為橢圓的焦點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn), ,如果如果MFMF1 1F F2 2 =75 =75， MFMF2 2F F1 1 =15=15，求橢圓的離心率。，求橢圓的離心率。1byax2222425x 例例6 6：設(shè)：設(shè)M(x,yM(x,y) )與定點(diǎn)與定點(diǎn)F(4,0)F(4,0)的距離和它到直線(xiàn)的距離和它到直線(xiàn)l l： 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點(diǎn)，求點(diǎn)MM的軌跡。的軌跡。54MMd dF FH Hx xy yo o目標(biāo)：目標(biāo)：1、進(jìn)一步掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能根據(jù)條件、進(jìn)一步掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；例例1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求適合下

11、列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,中心中心O,焦點(diǎn)焦點(diǎn)F,頂點(diǎn)頂點(diǎn)A構(gòu)成的角構(gòu)成的角OFA的余弦值為的余弦值為2/3.2222119559xyxy或解：由題知解：由題知a=3 cosOFA=caoFAc=2，b2=a2-c2=5因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)； 分析一：設(shè)方程為mx2ny21(mn0且mn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m1/9,n1/4。 二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故

12、a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/9y2/41。 長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率3/5。 x2/100y2/641或x2/64y2/1001（1）過(guò)點(diǎn)（）過(guò)點(diǎn)（2，0）、（）、（1， ）33222149xy練習(xí)、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：設(shè)所求橢圓的方程為解：設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=132 0132（ ， ） 、 （，）橢圓過(guò)點(diǎn)橢圓過(guò)點(diǎn)4 m12 7mn14有解得：解得：m=1/4 n=1/9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：與橢圓與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離有相同的焦距，且離心率為心率為5522221125202

13、025xyxy或例例3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：由已知得所求橢圓解：由已知得所求橢圓2c=25c5ea5又a=5a=5，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=20=20故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：若將題設(shè)中的若將題設(shè)中的“焦距焦距”改為改為“焦焦點(diǎn)點(diǎn)”，結(jié)結(jié)論又如，結(jié)結(jié)論又如何？何？例例4、已知、已知F1是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率。為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率。OBA

14、PF1解：設(shè)橢圓的方程為：解：設(shè)橢圓的方程為：2222xy1abpxc 2222p22cbyb(1)aa又又KOP=KAB2bbaca因此因此b=c22acc即c2ea2例例5. 如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門(mén)位上，片門(mén)位于別一個(gè)焦點(diǎn)于別一個(gè)焦點(diǎn)F2上。由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)上。由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)旋

15、轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2。已知。已知BC垂直于垂直于F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口口BAC所在橢圓的方程（精確到所在橢圓的方程（精確到0.1cm）例例5. 如圖，我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以如圖，我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心（地球的中心）地心（地球的中心）F2 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知它的近地點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面（離地面最近的點(diǎn)）距地面439 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面點(diǎn)

16、）距地面2384 km，并且，并且F2、A、B在同一直線(xiàn)上，地球半徑在同一直線(xiàn)上，地球半徑約為約為6371 km.求衛(wèi)星的軌道方程（精確到求衛(wèi)星的軌道方程（精確到1 km）。）。xyAB.F1F2解：解：建系如圖，以建系如圖，以AB所在直線(xiàn)為所在直線(xiàn)為x軸，軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)中點(diǎn)為原點(diǎn)可設(shè)橢圓方程為：可設(shè)橢圓方程為：12222byax0 ba則Oca|2OFOA |2AF43963716810.ca|2OFOB |2BF238463718755解得.5 .9725 .7782ca，22cab.7722故衛(wèi)星的軌道方程是.1772277832222yx練習(xí)練習(xí)1、若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則

17、其離心率、若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則其離心率為為 。2、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為形，則其離心率為 。3、若橢圓的、若橢圓的 的兩個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成三等分，則其的兩個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成三等分，則其離心率為離心率為 。22189xym4、已知橢圓、已知橢圓 的離心率為的離心率為1/2，則則m= .221/34或或5/41/21、用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟、用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 （1）先定位：確定焦點(diǎn)的位置）先定位：確定焦點(diǎn)的位置 （2）再定形：求）再定形：求a,b的值。的值。2、求橢圓的離心率、求橢圓的離心

18、率 （1）求出）求出a,b,c，再求其離心率，再求其離心率 （2）得）得a,c的齊次方程，化為的齊次方程，化為e的方程求的方程求作業(yè)作業(yè)1、橢圓的一焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離為橢圓的一焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離為 焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。方程。2、已知橢圓在已知橢圓在x軸和軸和y軸正半軸上兩頂點(diǎn)分別為軸正半軸上兩頂點(diǎn)分別為A，B，原點(diǎn)到直線(xiàn)，原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離等于的距離等于 ，又該橢圓，又該橢圓的離心率為的離心率為 ，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。105532e 3、點(diǎn)點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)（）到定點(diǎn)（2，0）的距離與到定直線(xiàn)）的距離與到定直線(xiàn)x=8的距離之比為的距離之比為 的點(diǎn)的軌跡方程是什么？軌的點(diǎn)的軌跡方