為此需計(jì)算彈性層狀體系在荷載作用下產(chǎn)生的主應(yīng)力教學(xué)文案

1、為此需計(jì)算彈性層狀體系在荷載作用下產(chǎn)生的主應(yīng)力圖圖2圓柱坐標(biāo)系中微分單元體受力分析圖圓柱坐標(biāo)系中微分單元體受力分析圖 求解時(shí)，將車輪荷載簡(jiǎn)化為圓形均布荷載（求解時(shí)，將車輪荷載簡(jiǎn)化為圓形均布荷載（垂直荷載與水平荷載），并在圓柱坐標(biāo)體系垂直荷載與水平荷載），并在圓柱坐標(biāo)體系中分析各分量。在圖中分析各分量。在圖2的圓柱坐標(biāo)的圓柱坐標(biāo) 中，在彈性層狀體系內(nèi)微分單元體上，應(yīng)力中，在彈性層狀體系內(nèi)微分單元體上，應(yīng)力分量有三個(gè)法向應(yīng)力分量有三個(gè)法向應(yīng)力 及三對(duì)剪應(yīng)力：及三對(duì)剪應(yīng)力：)(zr、,zr、和、zzrrzrrz, 當(dāng)層狀體系表面作用著軸對(duì)稱荷載時(shí)，當(dāng)層狀體系表面作用著軸對(duì)稱荷載時(shí)，各應(yīng)力、形變和位移

2、分量也對(duì)稱于對(duì)稱各應(yīng)力、形變和位移分量也對(duì)稱于對(duì)稱軸，即它們僅是軸，即它們僅是r和和z的函數(shù)。因而的函數(shù)。因而, 三三對(duì)剪應(yīng)力只剩下一對(duì)對(duì)剪應(yīng)力只剩下一對(duì) 。下面以這種軸對(duì)稱的情形為例，簡(jiǎn)述彈下面以這種軸對(duì)稱的情形為例，簡(jiǎn)述彈性層狀體系各分量的求解方法。性層狀體系各分量的求解方法。0, 0zzrrzrrz 由彈性力學(xué)得知，對(duì)于以圓柱坐標(biāo)表示由彈性力學(xué)得知，對(duì)于以圓柱坐標(biāo)表示的軸對(duì)稱課題，其平衡方程（不計(jì)體積的軸對(duì)稱課題，其平衡方程（不計(jì)體積力）為：力）為： （1）0rzrrzrr0rrrzrzzzn表示體系內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力形變關(guān)系的物理方表示體系內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力形變關(guān)系的物理方程為：程為： )(1zr

3、rE)(1rzE)(1rzzEzrzrE)1 (2（2）n又知軸對(duì)稱課題的幾何方程為：又知軸對(duì)稱課題的幾何方程為：n變形連續(xù)方程為：變形連續(xù)方程為：zruruzr； (3) 011(22222rrrr）0111)(222rrrr011222zz011222zzrzrrr(4)n式中式中 n如果引用應(yīng)力函數(shù)如果引用應(yīng)力函數(shù) ，并把應(yīng)力，并把應(yīng)力分量表示成為：分量表示成為：；2222221zrrrzr），（zr)(222rzr)1(2rrz)2(222zzz)1(222zrrzzr(5)n則將（則將（5）式代入（）式代入（1）式及（）式及（4）式中，）式中，（1）式的第一個(gè)方程自然滿足，其余各方）

4、式的第一個(gè)方程自然滿足，其余各方程的共同要求是：程的共同要求是： 如果能從（如果能從（6）式中解得應(yīng)力函數(shù)，代入）式中解得應(yīng)力函數(shù)，代入（5）式中即得各應(yīng)力分量，如將各應(yīng)力分）式中即得各應(yīng)力分量，如將各應(yīng)力分量代入（量代入（2）式中則得形變分量。）式中則得形變分量。022（6）n由（由（5）、）、(2)及（及（3）式可得以應(yīng)力函數(shù)表）式可得以應(yīng)力函數(shù)表示的位移力量，即：示的位移力量，即：n將解得的應(yīng)力函數(shù)代入上式可以得到位移將解得的應(yīng)力函數(shù)代入上式可以得到位移分量表達(dá)式。分量表達(dá)式。zrEu21)1(21222zE(7)n求解方程（求解方程（6）的方法有分離變量法和積分）的方法有分離變量法和積

5、分變換法，習(xí)慣上多采用漢克爾積分變換法。變換法，習(xí)慣上多采用漢克爾積分變換法。由漢克爾變換求得解為：由漢克爾變換求得解為： 式中：式中： -第一類零階貝塞爾函數(shù)；第一類零階貝塞爾函數(shù)； A，B，C，D-待定系數(shù)，由彈性層狀體待定系數(shù)，由彈性層狀體系的層間連續(xù)條件和邊界條件確定。系的層間連續(xù)條件和邊界條件確定。drJeDZCeBZAzrzz)()()(),00（(8)0rJ（n將（將（8）式代入（）式代入（5）和（）和（7）式可得各應(yīng)力分量和位）式可得各應(yīng)力分量和位移分量表達(dá)式。對(duì)于某種特定的荷載、體系層數(shù)與移分量表達(dá)式。對(duì)于某種特定的荷載、體系層數(shù)與層間連續(xù)條件，式中的待定系數(shù)就可以確定。層間

6、連續(xù)條件，式中的待定系數(shù)就可以確定。圖圖3雙層連續(xù)體系受單圓均布荷載計(jì)算圖式雙層連續(xù)體系受單圓均布荷載計(jì)算圖式n當(dāng)表面作用有單圓當(dāng)量圓的半徑為當(dāng)表面作用有單圓當(dāng)量圓的半徑為 的圓形均布垂的圓形均布垂直荷載直荷載 ，利用彈性理論，可求解得到距荷載作用，利用彈性理論，可求解得到距荷載作用面中心軸面中心軸r處的路面垂直位移（以下稱彎沉）圖處的路面垂直位移（以下稱彎沉）圖3nE0路基回彈模量。路基回彈模量。nE1、h1上層材料的回彈模量（上層材料的回彈模量（ ）和厚度）和厚度（cm）；）；rrEP02p2/mMNn-雙層體系表面距荷載作用面中心軸雙層體系表面距荷載作用面中心軸r處處彎沉系數(shù)，其解為含有

7、貝賽爾函數(shù)的積分，彎沉系數(shù)，其解為含有貝賽爾函數(shù)的積分，其值為其值為 和和 的函數(shù)。的函數(shù)。n即即 ，已制，已制成計(jì)算軟件，可計(jì)算距荷載作用面中心軸成計(jì)算軟件，可計(jì)算距荷載作用面中心軸r處的路表彎沉值。處的路表彎沉值。r），10/(EEDhfr2/h10/ EE 圖圖4 彈性層狀體系單圓均布荷載彎沉計(jì)算諾謨圖彈性層狀體系單圓均布荷載彎沉計(jì)算諾謨圖例例1已知已知 求荷載作用面中軸處的彎沉求荷載作用面中軸處的彎沉 。解：解： 由圖由圖4從縱軸從縱軸 處繪水平線，橫軸處繪水平線，橫軸h/D=0.714處繪處繪豎直線，兩線交點(diǎn)同圖中曲線（豎直線，兩線交點(diǎn)同圖中曲線（ ）相截，沿曲線查）相截，沿曲線查得

8、：得： ， 則則cmhmMNEmMNEcmmMNp20,/180,/45,14,/5 . 0212020714.0282025.01804510DhEE，25.010EE046. 00cmEp143. 046. 045145 . 022000例例2：已知：已知：荷載面中軸處的彎沉值荷載面中軸處的彎沉值 限定為限定為1mm，求面，求面層應(yīng)有的厚度層應(yīng)有的厚度h。解：由解：由 可得可得 處引一水平線，同處引一水平線，同 的曲線相交作一垂線與橫軸相的曲線相交作一垂線與橫軸相交得：交得： 21202/280,/65,14,/5 . 0mMNEmMNEcmmMNP00002Ep464. 0145 . 0

9、2651 . 02000pE232.0,232.0280651010EEEE從縱軸464. 00cmhDh5 .182866. 0,66. 0 雙層連續(xù)體系表面作用雙圓均部荷載，雙層連續(xù)體系表面作用雙圓均部荷載，荷載軸線上的垂直位移（即彎沉）為：荷載軸線上的垂直位移（即彎沉）為： 式中：式中： -分別為上層和分別為上層和半空間體的彈性模量和泊松比。半空間體的彈性模量和泊松比。 dhJLeMeMLhMeheEphhhh)(4142)1 ( 21222220121(a) mmL01043)43(43）（mmM11)43 (1)1()1(0110EEm0011，EEn公式（公式（a）為含有貝塞爾函數(shù)

10、和指數(shù)函數(shù)的）為含有貝塞爾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的廣義積分。所有各分量的表達(dá)式都是如此廣義積分。所有各分量的表達(dá)式都是如此形式，它們的數(shù)值計(jì)算需借助于電子計(jì)算形式，它們的數(shù)值計(jì)算需借助于電子計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行。機(jī)來(lái)進(jìn)行。n為了使用方便為了使用方便 ，將（，將（a）式改寫(xiě)為：）式改寫(xiě)為： (b) 式中：式中： 稱為垂直位移系數(shù)，其計(jì)算結(jié)果繪成諾稱為垂直位移系數(shù)，其計(jì)算結(jié)果繪成諾謨圖如圖謨圖如圖4。計(jì)算時(shí)取。計(jì)算時(shí)取n公式（公式（b）是非常重要的公式，野外測(cè)彎沉）是非常重要的公式，野外測(cè)彎沉反算路基模量就是使用的該公式。反算路基模量就是使用的該公式。02EpdhJLeMeMLhMehLEEhhhhe)(4141

11、122222201021）（.25. 035. 010，eW10/ EE/h雙層體系雙圓輪隙中心處表面彎沉系數(shù)雙層體系雙圓輪隙中心處表面彎沉系數(shù) 諾謨圖諾謨圖彈性三層體系解彈性三層體系解 0ABC 1E11h2EH0E2211022kkEplEplLLL（1）（2）彈性三層狀體系雙圓均布荷載輪隙中點(diǎn)彎沉計(jì)算諾謨圖彈性三層狀體系雙圓均布荷載輪隙中點(diǎn)彎沉計(jì)算諾謨圖2主應(yīng)力計(jì)算主應(yīng)力計(jì)算n在瀝青路面的結(jié)構(gòu)計(jì)算中，通常要驗(yàn)算路面結(jié)在瀝青路面的結(jié)構(gòu)計(jì)算中，通常要驗(yàn)算路面結(jié)構(gòu)層的強(qiáng)度，為此需計(jì)算彈性層狀體系在荷載構(gòu)層的強(qiáng)度，為此需計(jì)算彈性層狀體系在荷載作用下產(chǎn)生的主應(yīng)力。根據(jù)彈性力學(xué)得知，用作用下產(chǎn)生的主

12、應(yīng)力。根據(jù)彈性力學(xué)得知，用圓柱坐標(biāo)表示的空間問(wèn)題的三個(gè)主應(yīng)力同各應(yīng)圓柱坐標(biāo)表示的空間問(wèn)題的三個(gè)主應(yīng)力同各應(yīng)力分量之間的關(guān)系為下式的解：力分量之間的關(guān)系為下式的解： （11）式中：式中： 第一應(yīng)力狀態(tài)不變量第一應(yīng)力狀態(tài)不變量； 第二應(yīng)力狀態(tài)不變量；第二應(yīng)力狀態(tài)不變量； 第三應(yīng)力狀態(tài)不變量。第三應(yīng)力狀態(tài)不變量。 032213zr12222zrzrrzzr22232rzzrzrzrzrzrn公式（公式（11）中各應(yīng)力分量由彈性層狀體系）中各應(yīng)力分量由彈性層狀體系理論求得后，則可由代數(shù)方法求得此一元理論求得后，則可由代數(shù)方法求得此一元三次方程的三個(gè)根，即三個(gè)主應(yīng)三次方程的三個(gè)根，即三個(gè)主應(yīng) .n由最大

13、主應(yīng)力由最大主應(yīng)力 和最小主應(yīng)力和最小主應(yīng)力 可得最可得最大剪應(yīng)力，即：大剪應(yīng)力，即： 321和，13)(2131max(12)n當(dāng)彈性層狀體系上有多個(gè)荷載作用時(shí)，需當(dāng)彈性層狀體系上有多個(gè)荷載作用時(shí)，需先應(yīng)用疊加原理求出相應(yīng)的各應(yīng)力分量，先應(yīng)用疊加原理求出相應(yīng)的各應(yīng)力分量，然后由方程（然后由方程（11）解算主應(yīng)力。根據(jù)材料）解算主應(yīng)力。根據(jù)材料力學(xué)中斜剪面應(yīng)力的概念，可以得出多個(gè)力學(xué)中斜剪面應(yīng)力的概念，可以得出多個(gè)荷載作用時(shí)各應(yīng)力分量的公式，它們是：荷載作用時(shí)各應(yīng)力分量的公式，它們是：2sin2cos221iiriiriniirir2sin2cos221iiririiriininiziz1sincos1iizinizrizr2cos2sin21iiriniirirsincos1izriiniizz(13)式中： -第i個(gè)荷載應(yīng)力分量與計(jì)算應(yīng)力分量之間的夾角。in當(dāng)只有當(dāng)只有n個(gè)軸對(duì)稱垂直荷載作用時(shí)，由于單個(gè)軸對(duì)個(gè)軸對(duì)稱垂直荷載作用時(shí)，由于單個(gè)軸對(duì)稱垂直荷載作用于彈性層狀體系時(shí)屬軸對(duì)稱課題，稱垂直荷載作用于彈性層狀體系時(shí)屬軸對(duì)稱課題，即即 ,所以得：所以得：0iziriiinirir221sinco