圓錐曲線起始課江蘇蘇州第十中學PPT學習教案

1、會計學1圓錐曲線起始課江蘇蘇州第十中學圓錐曲線起始課江蘇蘇州第十中學第1頁/共31頁第2頁/共31頁第3頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思“杰尼西亞的耳朵”“杰尼西亞的耳朵” 據說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古據說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞把一些囚犯關在這個山洞里的暴君杰尼西亞把一些囚犯關在這個山洞里. 囚犯們多次密謀囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn)逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn). 起初囚犯們認為除了內起初囚犯們認為除了內奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者. 后后來

2、他們察覺到囚禁他們的山來他們察覺到囚禁他們的山洞形狀奇怪， 洞壁把囚犯們的洞形狀奇怪， 洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了話都反射到獄卒耳朵里去了. 原來， 這個囚洞的剖面近似于原來， 這個囚洞的剖面近似于一個橢圓（如圖） ，犯人聚居一個橢圓（如圖） ，犯人聚居的地方恰好在橢圓的一個焦的地方恰好在橢圓的一個焦點附近， 獄卒在另一個焦點處點附近， 獄卒在另一個焦點處偷聽偷聽. 無論囚犯們怎樣壓低嗓無論囚犯們怎樣壓低嗓門， 他們的聲音照樣被獄卒聽門， 他們的聲音照樣被獄卒聽得一清二楚得一清二楚. 問題問題1 1：什么是橢圓？：什么是橢圓？它具有哪些幾何性質？它具有哪些幾何性質？（用傳說創(chuàng)設情境

3、，激發(fā)學生興趣，達到引入課題的目的（用傳說創(chuàng)設情境，激發(fā)學生興趣，達到引入課題的目的. .）第4頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思我們知道， 用一個平面截一個圓錐面，我們知道， 用一個平面截一個圓錐面，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線，當平面與圓錐面的軸垂直時，相交直線，當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓， 試改變平面的位置，截得的圖形是一個圓， 試改變平面的位置，觀察截得的圖形的變化情況觀察截得的圖形的變化情況. 問題問題2 2 用平面截圓錐面還能用平面截圓錐面還能得到哪些曲線

4、？這些曲線具有哪些得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何性質？幾何性質？（由熟悉到陌生，由特殊到一般，激發(fā)學生的好奇（由熟悉到陌生，由特殊到一般，激發(fā)學生的好奇心和求知欲心和求知欲. .）第5頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思（教師以（教師以 flash 動畫給學生展示：當平動畫給學生展示：當平面與軸所成的角面與軸所成的角變化時，截得的圖形的變化時，截得的圖形的變化情況變化情況.） 第6頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思探討問題探討問題 1 1：什么是橢圓？它具有哪：什么是橢圓？它具

5、有哪些幾何性質？些幾何性質？ 1919 世紀初，世紀初，法國法國數(shù)學家數(shù)學家 DandelinDandelin 利利用與圓錐面和截面均相切的兩個球用與圓錐面和截面均相切的兩個球（DandelinDandelin 雙球） ，給出了研究橢圓雙球） ，給出了研究橢圓特性的一種巧妙的方法特性的一種巧妙的方法. . （利用（利用Dandelin雙球探究圓錐曲線的定雙球探究圓錐曲線的定義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系. .）第7頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思一般地，一般地， 平面內到兩個定點平面內到兩個定點 F1 ，

6、 F2的距離的和的距離的和等于常數(shù)（大于等于常數(shù)（大于 F1 F2）的點的軌跡叫做橢）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點圓，兩個定點 F1 ，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距焦點間的距離叫做橢圓的焦距. 第8頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思例例 1 試用適當?shù)姆椒ó嫵鲆詢蓚€試用適當?shù)姆椒ó嫵鲆詢蓚€定點定點 F1 ，F(xiàn)2為焦點的一個橢圓為焦點的一個橢圓. 變式：若細繩長度等于變式：若細繩長度等于 F1 F2，畫出，畫出的圖形是什么？小于呢？的圖形是什么？小于呢？ （掌握橢圓定義，變式有助于進一步理解橢（掌握橢

7、圓定義，變式有助于進一步理解橢圓定義圓定義. ）第9頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思一般地，一般地， 平面內到兩個定點平面內到兩個定點 F1 ，F(xiàn)2的距離的差的絕對值的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于等于常數(shù)（小于 F1 F2的正數(shù)）的點的軌跡叫做雙曲的正數(shù)）的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點線，兩個定點 F1 ，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距的距離叫做雙曲線的焦距. 平面內到一個定點平面內到一個定點 F 和一條定直線和一條定直線 l（F 不在不在 l上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點上

8、）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點 F 叫做叫做拋物線的焦點，定直線拋物線的焦點，定直線 l 叫做拋物線的準線叫做拋物線的準線. 橢圓、雙曲線及拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線橢圓、雙曲線及拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線. 第10頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思例例 2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA B C D1111中，中，P 是是側面?zhèn)让鍮B C C11內一動點，若內一動點，若 P 到直線到直線 BC 與直線與直線C D11的距離相等， 則動點的距離相等， 則動點 P 的軌跡所在的曲線是的軌跡所在的曲線是_.（填寫正確的序號）（填寫正確的

9、序號） 直線；直線； 圓；圓； 雙曲線；雙曲線；拋物線拋物線. D1 C1 A1 B1 P D C A B （不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義（不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義. ）第11頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思練習：練習： 1. 已知已知ABC中，中，BC 長為長為 6，周長為，周長為 16，那么頂點，那么頂點 A怎樣的曲線上運動？怎樣的曲線上運動？ 2. 如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點上各選擇一點，分別固定在點F1

10、，F(xiàn)2處，隨著拉鏈逐漸拉開處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏， 筆尖所經過的點就畫或者閉攏， 筆尖所經過的點就畫出一條曲線， 這條曲線是雙曲線出一條曲線， 這條曲線是雙曲線的一支，試說明理由的一支，試說明理由. 如果想再如果想再畫出雙曲線的另一支， 可以怎么畫出雙曲線的另一支， 可以怎么操作？操作？ 3. 試舉出生活中一些橢圓、拋物線的實例試舉出生活中一些橢圓、拋物線的實例. （不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義（不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義. ）第12頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思1.1.情境引入情境引入模塊：除了

11、利用數(shù)學傳說引入之外，還模塊：除了利用數(shù)學傳說引入之外，還可以通過圓錐曲線在其他科學領域（如物理學）或可以通過圓錐曲線在其他科學領域（如物理學）或實際生活中的應用引入，符合學生認知，進一步激實際生活中的應用引入，符合學生認知，進一步激發(fā)學習圓錐曲線的興趣發(fā)學習圓錐曲線的興趣. . 2.2.研究探討研究探討模塊：經歷圓錐曲線概念（平面從不同模塊：經歷圓錐曲線概念（平面從不同角度截圓錐面形成的不同曲線）的形成過程之后，角度截圓錐面形成的不同曲線）的形成過程之后，最好能夠通過生活中常見的實例給學生以直觀的最好能夠通過生活中常見的實例給學生以直觀的印象，了解刻畫圓錐曲線的實際背景印象，了解刻畫圓錐曲線

12、的實際背景. . 3.3.數(shù)學建構數(shù)學建構模塊：模塊：DandelinDandelin 利用雙球研究圓錐曲利用雙球研究圓錐曲線， 只介紹了橢圓特性的研究過程線， 只介紹了橢圓特性的研究過程. . 可以引導學生可以引導學生通過類比，自主研究探討雙曲線和拋物線的幾何性通過類比，自主研究探討雙曲線和拋物線的幾何性質質. . 4.4.實踐運用實踐運用模塊：例模塊：例 2 2 的難度偏大，容易的難度偏大，容易讓學生產讓學生產生畏懼感，達不到起始課應起的引導作用生畏懼感，達不到起始課應起的引導作用. . 第13頁/共31頁第14頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回

13、顧反思回顧反思“杰尼西亞的耳朵”“杰尼西亞的耳朵” 據說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古據說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞把一些囚犯關在這個山洞里的暴君杰尼西亞把一些囚犯關在這個山洞里. 囚犯們多次密謀囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn)逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn). 起初囚犯們認為除了內起初囚犯們認為除了內奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者. 后后來他們察覺到囚禁他們的山來他們察覺到囚禁他們的山洞形狀奇怪， 洞壁把囚犯們的洞形狀奇怪， 洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了話都反射到獄卒耳朵里去了. 原來， 這個囚洞的剖面近似于

14、原來， 這個囚洞的剖面近似于一個橢圓（如圖） ，犯人聚居一個橢圓（如圖） ，犯人聚居的地方恰好在橢圓的一個焦的地方恰好在橢圓的一個焦點附近， 獄卒在另一個焦點處點附近， 獄卒在另一個焦點處偷聽偷聽. 無論囚犯們怎樣壓低嗓無論囚犯們怎樣壓低嗓門， 他們的聲音照樣被獄卒聽門， 他們的聲音照樣被獄卒聽得一清二楚得一清二楚. 問題問題1 1：什么是橢圓？：什么是橢圓？它具有哪些幾何性質？它具有哪些幾何性質？（用傳說創(chuàng)設情境，激發(fā)學生興趣，達到引入課題的目的（用傳說創(chuàng)設情境，激發(fā)學生興趣，達到引入課題的目的. .）第15頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思

15、回顧反思引入引入 2 開普勒行星運動第一定律：太陽系中開普勒行星運動第一定律：太陽系中的每個行星都在某個橢圓上運動，這些橢圓都的每個行星都在某個橢圓上運動，這些橢圓都以太陽為一個焦點以太陽為一個焦點. 彗星的運行軌道，有些是橢圓，有些彗星的運行軌道，有些是橢圓，有些是拋物線，有些是雙曲線是拋物線，有些是雙曲線. 炮彈的飛行軌道，噴水池中的水柱都炮彈的飛行軌道，噴水池中的水柱都呈拋物線形呈拋物線形. 添加添加（了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線（了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，進一步激發(fā)起學生學習圓錐曲線的興趣進一

16、步激發(fā)起學生學習圓錐曲線的興趣. .）第16頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思我們知道， 用一個平面截一個圓錐面，我們知道， 用一個平面截一個圓錐面，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線，當平面與圓錐面的軸垂直時，相交直線，當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓， 試改變平面的位置，截得的圖形是一個圓， 試改變平面的位置，觀察截得的圖形的變化情況觀察截得的圖形的變化情況. 問題問題2 2 用平面截圓錐面還能用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何

17、性質？幾何性質？（由熟悉到陌生，由特殊到一般，激發(fā)學生的好奇（由熟悉到陌生，由特殊到一般，激發(fā)學生的好奇心和求知欲心和求知欲. .）第17頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思（教師以（教師以 flash 動畫給學生展示：當平動畫給學生展示：當平面與軸所成的角面與軸所成的角變化時，截得的圖形的變化時，截得的圖形的變化情況變化情況.） 第18頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思思考：思考： 如圖， 燈光發(fā)出的光線在墻壁留下的如圖， 燈光發(fā)出的光線在墻壁留下的是什么曲線的投影？試解釋以上現(xiàn)

18、象是什么曲線的投影？試解釋以上現(xiàn)象. . 添加添加（通過生活實例，經歷從具體情境抽象出圓錐（通過生活實例，經歷從具體情境抽象出圓錐曲線模型的過程，加深直觀印象，激發(fā)學習興曲線模型的過程，加深直觀印象，激發(fā)學習興趣趣. .）第19頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思添加添加師師 圓錐曲線早在公元前約圓錐曲線早在公元前約 200200 年時就已被命名和研究年時就已被命名和研究了 ， 其 發(fā) 現(xiàn) 者 為 古 希 臘 的 數(shù) 學 家 阿 波 羅 尼 阿 斯了 ， 其 發(fā) 現(xiàn) 者 為 古 希 臘 的 數(shù) 學 家 阿 波 羅 尼 阿 斯（Apollo

19、nius of PergaApollonius of Perga，前，前 262262 年前年前 190190 年） ，當時年） ，當時阿波羅尼阿斯對圓錐曲線的性質已做了系統(tǒng)性的研究， 并阿波羅尼阿斯對圓錐曲線的性質已做了系統(tǒng)性的研究， 并幾乎羅列殆盡，使后人難以有新的發(fā)現(xiàn)幾乎羅列殆盡，使后人難以有新的發(fā)現(xiàn). . 師師 圓錐曲線在漫長的數(shù)學歷史發(fā)展過程中熠熠生輝， 它圓錐曲線在漫長的數(shù)學歷史發(fā)展過程中熠熠生輝， 它吸引了無數(shù)的數(shù)學愛好者為之著迷癡狂， 并在科學文化的吸引了無數(shù)的數(shù)學愛好者為之著迷癡狂， 并在科學文化的其他領域閃爍光芒其他領域閃爍光芒. . 比如， 圓錐曲線為一千八百多年后開比如

20、， 圓錐曲線為一千八百多年后開普勒、 牛頓、 哈雷等數(shù)理天文學家研究行星和彗星軌道提普勒、 牛頓、 哈雷等數(shù)理天文學家研究行星和彗星軌道提供了數(shù)學基礎供了數(shù)學基礎. . 師師 在圓錐曲線的眾多研究者中，在圓錐曲線的眾多研究者中，1919 世紀的法國數(shù)學家世紀的法國數(shù)學家DandelinDandelin 是非常著名的一位是非常著名的一位. . （在介紹（在介紹DandelinDandelin雙球實驗之前，由教師簡述雙球實驗之前，由教師簡述圓錐曲線的發(fā)展史，使起始課更富有人文氣息圓錐曲線的發(fā)展史，使起始課更富有人文氣息，有助于激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，有助于激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣. .）第2

21、0頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思探討問題探討問題 1 1：什么是橢圓？它具有哪：什么是橢圓？它具有哪些幾何性質？些幾何性質？ 1919 世紀初，世紀初，法國法國數(shù)學家數(shù)學家 DandelinDandelin 利利用與圓錐面和截面均相切的兩個球用與圓錐面和截面均相切的兩個球（DandelinDandelin 雙球） ，給出了研究橢圓雙球） ，給出了研究橢圓特性的一種巧妙的方法特性的一種巧妙的方法. . （利用（利用Dandelin雙球探究圓錐曲線的定雙球探究圓錐曲線的定義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系. .

22、）第21頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思一般地，一般地， 平面內到兩個定點平面內到兩個定點 F1 ， F2的距離的和的距離的和等于常數(shù)（大于等于常數(shù)（大于 F1 F2）的點的軌跡叫做橢）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點圓，兩個定點 F1 ，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距焦點間的距離叫做橢圓的焦距. 第22頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思例例 1 試用適當?shù)姆椒ó嫵鲆詢蓚€試用適當?shù)姆椒ó嫵鲆詢蓚€定點定點 F1 ，F(xiàn)2為焦點的一個橢圓為焦點的一個橢

23、圓. 變式：若細繩長度等于變式：若細繩長度等于 F1 F2，畫出，畫出的圖形是什么？小于呢？的圖形是什么？小于呢？ （掌握橢圓定義，變式有助于進一步理解橢（掌握橢圓定義，變式有助于進一步理解橢圓定義圓定義. ）第23頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思添加添加Dandelin 利用雙球對雙曲線也利用雙球對雙曲線也進行了研究（如圖）進行了研究（如圖）.請同學們類比請同學們類比Dandelin 用雙球研究橢圓的方法，用雙球研究橢圓的方法，思考雙曲線上的點有什么性質？思考雙曲線上的點有什么性質？ （學生分組討論，教師巡視參與（學生分組討論，教師

24、巡視參與.） （利用（利用Dandelin雙球探究圓錐曲線的雙球探究圓錐曲線的定義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系定義，揭示三種圓錐曲線的內在聯(lián)系. .）第24頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思例例 2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA B C D1111中，中，P 是是側面?zhèn)让鍮B C C11內一動點，若內一動點，若 P 到直線到直線 BC 與直線與直線C D11的距離相等， 則動點的距離相等， 則動點 P 的軌跡所在的曲線是的軌跡所在的曲線是_.（填寫正確的序號）（填寫正確的序號） 直線；直線； 圓；圓； 雙曲線；雙曲線；拋物線拋

25、物線. D1 C1 A1 B1 P D C A B （不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義（不同情境，相同背景，理解和掌握圓錐曲線定義. ）刪除刪除第25頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思例例 2 如圖，取一條拉鏈，打開它如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分， 在拉開的兩邊上各選擇一點，的一部分， 在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點分別固定在點 F1 ，F(xiàn)2處，隨著拉鏈逐處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就畫漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就畫出一條曲線， 這條曲線是雙曲線的一支，出一條曲線， 這條曲線是雙曲線的一支，試說

26、明理由試說明理由. 如果想再畫出雙曲線的另如果想再畫出雙曲線的另一支，可以怎么一支，可以怎么操作？操作？ 添加添加（掌握雙曲線定義，開放性設問有助（掌握雙曲線定義，開放性設問有助于進一步理解雙曲線定義于進一步理解雙曲線定義. . ）第26頁/共31頁情境引入情境引入研究探討研究探討數(shù)學建構數(shù)學建構實踐運用實踐運用回顧反思回顧反思練習：練習： 1. 已知已知ABC中，中，BC 長為長為 6，周長為，周長為 16，那么頂點，那么頂點 A怎樣的曲線上運動？怎樣的曲線上運動？ 2. 如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點上各選擇一點，分別固定在點F1 ，F(xiàn)2處，隨著拉鏈逐漸拉開處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏， 筆尖所經過的點就畫或者閉攏， 筆尖所經過的點就畫出一條曲線， 這條曲線是雙曲線出一條曲線， 這條曲線是雙曲線的一支，試說明理由的一支，試說明理由. 如果想再如果想再畫出雙曲線的另一支， 可以怎么畫出雙曲線的另一支， 可以怎么操作？操作？ 3. 試舉出生活中一些橢圓、拋