數(shù)字信號處理第六章

1、第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 第六章第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計作業(yè)：作業(yè)：5(2)，9, 10 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 本章思路：本章思路：1.濾波是信號處理中最為重要的方法，數(shù)字濾波器與模擬濾波器相比有很多優(yōu)勢2.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計有兩種方法：間接設(shè)計法和直接設(shè)計法3.間接設(shè)計法借助模擬濾波器的設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器，是本章的重點4.所以本章內(nèi)容： a.濾波的基本概念 b.模擬濾波器設(shè)計 c.模擬濾波器到數(shù)字濾波器的設(shè)計方法6.1濾波的基本概念濾波的基本概念濾波就是提取輸入信號中的有用頻率成分，抑制無

2、用頻率成分的信號處理過程。所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。所謂數(shù)字濾波器設(shè)計，就是要找出滿足濾波要求的系統(tǒng)所謂數(shù)字濾波器設(shè)計，就是要找出滿足濾波要求的系統(tǒng)的單位脈沖響應的單位脈沖響應h(n)，或者系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，或者系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z).正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重

3、量輕、靈活、不波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。特殊濾波功能。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 傅立葉分析告訴我們，任何波形的時域信號都是由不同頻率的正弦信號疊加形成的。通過頻域分析我們可以發(fā)現(xiàn)該波形是單一頻率正弦波調(diào)制的雙邊帶信號與寬帶噪聲干擾的疊加，雙邊帶信號的載波頻率為100 Hz，而干擾噪聲的頻率大于170 Hz第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 濾濾波波器器模擬濾波器模擬濾波器(AF)數(shù)字數(shù)字濾波濾波器器(DF)經(jīng)典濾

4、波器經(jīng)典濾波器根據(jù)濾波特性來分：根據(jù)濾波特性來分：低通；高通；帶通；帶阻低通；高通；帶通；帶阻 (理想濾波器是不可實現(xiàn)的理想濾波器是不可實現(xiàn)的,只能在一定程度上去逼近只能在一定程度上去逼近)從單位脈沖響應長度來分：從單位脈沖響應長度來分：IIR-DF；FIR-DF現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器尋找在某種準則下的最優(yōu)解尋找在某種準則下的最優(yōu)解維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應濾波維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應濾波器器從對信號處理的作用來分：從對信號處理的作用來分：選頻；其他選頻；其他第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標數(shù)字濾波器的技術(shù)指標常用的數(shù)字濾波器一般

5、屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，式中，|H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù)稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器特性相

6、同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。輸出的信號波形也是不一樣的。1. p和和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。2. 從從p到到s稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的3. 通帶頻率范圍為通帶頻率范圍為0|p，在通帶中要求，在通帶中要求(11)|H(ej)|1，阻帶頻率范圍為，阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求，在阻帶中要求|H(ej)|2。pj0pj(e )20lgdB(e)HHsj0sj(e )20lgdB(e)HH4.當幅度下降到當幅度下降到 時，標記時，標記=c，此時，此時

7、 dB，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率。對其他類型的濾波器，通帶截止頻率。對其他類型的濾波器，(6.1.3b)式和式和(6.1.4b)式中的式中的H(ej0)應改成應改成2/23p)(0jeH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 片段常數(shù)特性：片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波阻帶內(nèi)的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)片段常數(shù)特性特性”。所謂片段，是指。所謂片段，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻

8、帶”，常數(shù)是，常數(shù)是指指“通帶波紋幅度通帶波紋幅度1”和和“阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2”，而通帶最，而通帶最大衰減大衰減 p和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s是與是與1和和2完全等價的兩個常完全等價的兩個常數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計中很重要，數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計中很重要，尤其有助于理解尤其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計思想。數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計思想。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 FIR濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計方法有窗函數(shù)法、濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。頻率采

9、樣法和切比雪夫等波紋逼近法。3 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述IIR濾波器設(shè)計方法有間接法和直接法濾波器設(shè)計方法有間接法和直接法間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的其設(shè)計步驟是：其設(shè)計步驟是： 先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法間接設(shè)計法（從模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器）直接設(shè)計法脈沖響應不變法雙線性變

10、換法零極點累試法頻域逼近法時域逼近法第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器:具有單調(diào)下降的幅頻特性；具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫型(Chebyshev)濾波器：通帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)，阻帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)。切比雪夫型(Chebyshev)濾波器：阻帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)，通帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)。橢圓橢圓(Ellipse)濾濾波器波器:選擇性是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特選擇性是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍

11、嚴重。性，相位特性的非線性也稍嚴重。貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器:通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖圖6.2.1 各種理想模擬濾波器幅頻特性各種理想模擬濾波器幅頻特性 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法本書中，分別用本書中，分別用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬濾波表示模擬濾波器的單位沖激響應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的器的單位沖激響應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關(guān)系如下：關(guān)系如

12、下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一個描述模擬濾波器，中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計模擬濾波器時，設(shè)計指標一般由幅頻響應函數(shù)計模擬濾波器時，設(shè)計指標一般由幅頻響應函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設(shè)計就是根據(jù)設(shè)計指標，求系統(tǒng)函給出，而模擬濾波器設(shè)計就是根據(jù)設(shè)計指標，求系統(tǒng)函數(shù)數(shù)Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2aa()20lg(j)10

13、lg(j) dB AHH損耗函數(shù)的優(yōu)點是對幅頻響應損耗函數(shù)的優(yōu)點是對幅頻響應|Ha(j)|的取值非線性壓縮，的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線變化情況。直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲線形狀相反，所以，習慣將形狀相反，所以，習慣將A()曲線稱為損耗函數(shù)曲線稱為損耗函數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H )1lg(201p2slg20第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波

14、器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 低通濾波器指標示意圖用數(shù)學方法描述低通濾波器的指標如下：通帶內(nèi)(0|p),paajHjH)0()(lg20()aHj 2()lg()asaHjHj 200阻帶內(nèi)(s|), 111)(1jHaps通帶最大衰減阻帶最小衰減當2()1/2acHj時1( 0)20lg3()aacHjdBHj第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那么就可以求，那么就可以求出出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。 )j ()j (| )()(| )j (|*aajaa2aH

15、HsHsHHs(6.2.6)2a16|(j )|H2 222（25-）(49+)(36+)222aaa16( )()(j )ssHs HsHs 2 222（25+ ）(49-s )(36)極點：極點：零點：零點：7, 65j二階a4( )6sHss2（25+ ）(s+7)()第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計1 巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計原理巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下用下式表示：式表示： (6.2.7)式中，式中，N稱為濾

16、波器的階數(shù)。當稱為濾波器的階數(shù)。當=0時，時，|Ha(j)|=1； =c時，時， ，c是是3 dB截止頻率。在截止頻率。在=c附近，隨附近，隨加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 NH2c2a11| )j (|2/1| )(|jHa第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 幅度特性與幅度特性與和和N的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖6.2.4所示。幅度下降所示。幅度下降的速度與階數(shù)的速度與階數(shù)N有關(guān)，有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快, 總的頻響特總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。性與理

17、想低通濾波器的誤差愈小。以以s替換替換j，將幅度平方函數(shù)，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)： (6.2.8)NssHsH2caaj11)()(22()NNcsj 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (6.2.9)式中，式中，k=0，1，2，2N-1。)21221(jcc21e)j () 1(NkNks第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 1. S平面上有平面上有2N個極點等角距分布在半徑為個極點等角距分布在半徑為c的圓的圓上，上，2. 極點對稱于實軸和虛軸，虛軸上無極點，極點對稱于實軸和虛軸，虛軸上無極點，N為奇為奇數(shù)時實軸上

18、有極點數(shù)時實軸上有極點, N為偶數(shù)時實軸上沒有為偶數(shù)時實軸上沒有 極點極點3. 各極點之間的角距為各極點之間的角距為Ncaaa210c1( )()( )()1jNNNkkHs HsHssss第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (6.2.11) 令令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率，稱為歸一化頻率， p稱為歸稱為歸一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為 (6.2.12)a1c0cc1NkksGss10a)(1)(NkkpppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 式中，

19、式中，pk=sk/c, 為歸一化極點，用下式表示：為歸一化極點，用下式表示： (6.2.13)顯然顯然, 這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標求出階數(shù)這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標求出階數(shù)N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N個極點，再按照個極點，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)Ga(p)，如果給定，如果給定c，再去歸一化，即將，再去歸一化，即將p=s/c代入代入Ga(p)中中(或由或由(6.2.14)式求出式求出sk=cpk)，便得到期望設(shè)計的，便得到期望設(shè)計的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。110 e21221j,N, ,kpNkkckksp(6.2.14)第六章

20、第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 將極點表示式將極點表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的的分母是分母是p的的N階多項式，用下式表示：階多項式，用下式表示： （6.2.15）歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)的系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點，以及極點pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給得到。另外，表中還給出了出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)階數(shù)N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各極點及各極點, 而且可以選擇級聯(lián)而且可以選擇級聯(lián)型和直

21、接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運算工作。運算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 表表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 1) 計算階數(shù)N和3 dB截止頻率c的公式并考慮巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性(邊界頻率點若滿足指標，則其他頻率點必然滿足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯濾波器的幅度

22、平方函數(shù)為 22)(lg10)(lg20)(lg10)(lg20sasaspapapjHjHjHjHNcajH22)(11)(第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 因此 上式兩邊取指數(shù)得到：)(1lg10)(lg10)(1lg10)(lg102222NcSsasNcppapjHjH0.120.120.120.12101 ()101 ()()101()101pspspNcNscpNcNsc 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 兩式相除消去c, 得到只有一個未知量N的方程：令 則 sp/10s/10p101101Nssppsp/10sp/1010110

23、1kspsplglgkN 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于可能有小數(shù)部分，應取大于或等于或等于N的最小整數(shù)。關(guān)于的最小整數(shù)。關(guān)于3 dB截止頻率截止頻率c，如，如果技術(shù)指標中沒有給出，可以按照果技術(shù)指標中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或式或(6.2.17)式求出。由式求出。由(6.2.16)式得到：式得到： (6.2.19) N211 . 0pc) 110(p由由(6.2.17)式得到：式得到：(6.2.20)N211 . 0sc) 110(s第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 請注意，

24、如果采用請注意，如果采用(6.2.19)式確定式確定c，則通帶指標剛好，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余；滿足要求，阻帶指標有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式確定式確定c，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余。，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下： (1) 根據(jù)技術(shù)指標根據(jù)技術(shù)指標p、 p、s和和 s，用，用(6.2.18)式式求出濾波器的階數(shù)求出濾波器的階數(shù)N。(2) 按照按照(6.2.13)式，求出歸一化極點式，求出歸一化極點pk，將，將pk代入代入(6.2.12)式，得到歸一化低

25、通原型系統(tǒng)函數(shù)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。也可。也可以根據(jù)階數(shù)以根據(jù)階數(shù)N直接查表直接查表6.2.1得到得到pk和和Ga(p)。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (3) 將將Ga(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標沒有給出截止頻率，如果技術(shù)指標沒有給出c，可以按照可以按照(6.2.19)式或式或(6.2.20)式求出。式求出?！纠?.2.1】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶，通帶最大衰減最大衰減 p=2 dB，

26、阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶，阻帶最小衰減最小衰減 s=30 dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。斯低通濾波器。c| )()(asppGsH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 解解 (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。sp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (2) 按照按照(6.2.13)式，其極點為式，其極點為按照按照(6.2.12)式，歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式，歸一化低通原型系

27、統(tǒng)函數(shù)為上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解式。這里不如直接查表一起，形成因式分解式。這里不如直接查表6.2.1簡單，簡單，由由N=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 極點：極點：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3

28、=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點后四位。以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點后四位。012233445a1)(bpbpbpbpbppG) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (3) 為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。按照按照(6.2.19)式，得到：式，得到： 將將c代入代入(6.2.20)式，得到式，得到:10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN s10.12sc(101)2 10.525

29、 krad/sN第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 此時算出的此時算出的比題目中給的比題目中給的s小，因此，過渡小，因此，過渡帶小于指標要求。或者說，在帶小于指標要求。或者說，在s=212 krad/s時衰減時衰減大于大于30 dB，所以說阻帶指標有富余量。，所以說阻帶指標有富余量。將將p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2. 用用MATLAB工具箱函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器工具箱函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱

30、函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設(shè)計函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: （6.2.21）a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 式中，Z(k)和P(k)分別為向量Z和P的第k個元素。如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分

31、子和分母多項式系數(shù)向量B和A,可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù)B, A=zp2tf(Z, P, K)。2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率（對應模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當wswp時，為高通濾波器； 當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾

32、波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。4） B, A=butter(N, wc, ftype)計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于歸一化），一般按格式2）調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器

33、的設(shè)計 式中，B(k)和A(k)分別為向量B和A的第k個元素。5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率（實際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（6.2.23）（6.2.22）1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)zNN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N 1)H (s)A(s)A(1)sA(2)sA(N)sA(N

34、1)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個3 dB截止頻率wc，因此僅由調(diào)用參數(shù)wc不能區(qū)別要設(shè)計的是高通還是低通濾波器。當然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻。所以用參數(shù)ftype來區(qū)分。ftype=high時，設(shè)計3 dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時默認設(shè)計低通濾波器。ftype=stop時，設(shè)計通帶3 dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時wc為二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3 dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時設(shè)計帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wclwcu。應當注意，設(shè)計的帶

35、通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因為帶通濾波器相當于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián)。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 （6.2.21）、（6.2.22）和（6.2.23）式也適用于后面要介紹的切比雪夫和橢圓濾波器的MATLAB設(shè)計函數(shù)。【例例6.2.2】 調(diào)用buttord和butter設(shè)計巴特沃斯低通模擬濾波器。要求與例6.2.1相同。設(shè)計程序ep622.m如下: wp=2*pi*5000; ws=2*pi*12000; Rp=2; As=30; %設(shè)置濾波器參數(shù)N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); %計算濾波器階數(shù)N和3

36、dB截止頻率B, A=butter(N, wc, s); %計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 k=0:511; fk=0:14000/512:14000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk); subplot(2, 2, 1); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 14, -40, 5)運行結(jié)果: N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A =11.2230e+0057

37、.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 將B和A代入（6.2.23）式寫出系統(tǒng)函數(shù)為與例6.2.1計算結(jié)果形式相同。濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.6所示。由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標要求，通帶指標有富余。這就說明buttord函數(shù)使用（6.2.20）式計算3 dB 截止頻率。a5432BH (s)sA(2)sA(3)sA(4)sA(5)sA(6)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖6.2.6 程序ep622.m運行輸出的損耗函數(shù)(例6.2.1的設(shè)計結(jié)果)第六章

38、第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.3 切比雪夫濾波器的設(shè)計切比雪夫濾波器的設(shè)計1 切比雪夫濾波器的設(shè)計原理切比雪夫濾波器的設(shè)計原理巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶還是阻帶都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。因此，當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有較大富余量。因此，更有效的設(shè)計方法應該是將逼近精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時均勻分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 切比雪夫濾波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形

39、式： 振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫型濾波器； 振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫型濾波器。采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途。圖6.2.7(a)和(b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖6.2.7 不同階數(shù)的切比雪夫型和型濾波器幅頻特性 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2. 用MATLAB設(shè)計切比雪夫濾波器MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型濾波器設(shè)計函數(shù)。其調(diào)用格式如下: 1） z,

40、 p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 【例例6.2.3】 設(shè)計切比雪夫型和切比雪夫型模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。 解解 設(shè)計程序ep623.m如下: 例6.2.3設(shè)計程序: ep623.m設(shè)計切比雪夫型模擬低通濾波器wp=2*pi*30

41、00; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 設(shè)置指標參數(shù)N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s); 計算切比雪夫型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 計算切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel

42、(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 運行結(jié)果: N=5切比雪夫型模擬低通濾波器通帶邊界頻率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù): B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.9所示。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖6.2.9 五階切比雪夫型模擬低通濾波器損耗函數(shù) （例6.

43、2.3的設(shè)計結(jié)果 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.4 橢圓濾波器的設(shè)計橢圓濾波器的設(shè)計橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關(guān)，所以由此取名為橢圓濾波器。又因為在1931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進行了理論證明，所以其另一個通用名字為考爾（Cauer）濾波器。橢圓濾波器的典型幅頻響應特性曲線如圖6.2.10所示。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 由圖6.2.10(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時，階數(shù)越高, 過渡帶越窄； 由圖6.2.10(b

44、)可見，當橢圓濾波器階數(shù)固定時，通帶和阻帶波紋幅度越小, 過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s共同決定。后面對五種濾波器的比較將證實，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應的最好逼近，是一種性能價格比最高的濾波器，所以應用非常廣泛。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖6.2.10 橢圓濾波器幅頻響應特性曲線第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 橢圓濾波器逼近理論是復雜的純數(shù)學問題，該問題的詳細推導已超出本書的范圍。只要給定濾波器指標，通過調(diào)用MATLAB信號處理工具箱提供的橢圓濾

45、波器設(shè)計函數(shù)，就很容易得到橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)和零極點位置。MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設(shè)計函數(shù)ellipap、 ellipord和ellip。其調(diào)用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As)用于計算N階歸一化（通帶邊界頻率wp=1）模擬低通橢圓濾波器的零點向量z、極點向量p和增益因子k。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。返回長度為N的列向量z和p分別給出N個零點和N個極點的位置。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 2） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As)用于計算滿足指標的橢圓數(shù)字

46、濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo，指標要求由參數(shù)(wp, ws, Rp, As)給定。參數(shù)(wp, ws, Rp, As)的定義與巴特沃思濾波器設(shè)計函數(shù)buttord中的相應參數(shù)相同。3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 用于計算滿足指標的橢圓模擬濾波器的最低階數(shù)N和通帶邊界頻率wpo。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype)當wpo是表示濾波器通帶邊界頻率的標量，而且缺省參數(shù)ftype時，該格式返回N階低通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A，

47、濾波器通帶波紋為Rp dB； 當ftype=high時，返回N階高通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當wpo是表示帶通濾波器通帶邊界頻率的二元向量，而且缺省參數(shù)ftype時，該格式返回2N階帶通橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A，濾波器通帶波紋為Rp dB。當ftype=stop時，返回2N階帶阻橢圓數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。二元向量參數(shù)wpo表示阻帶上下邊界頻率。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s) 計算橢圓模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A。當然，其中的邊界頻率均

48、為實際模擬角頻率值（rad/s）。 【例例6.2.4】 設(shè)計橢圓模擬低通濾波器。要求與例6.2.2相同。設(shè)計程序ep624.m如下: % 橢圓濾波器設(shè)計程序wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %設(shè)置指標參數(shù)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %計算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率B, A=ellip(N, Rp, As, wpo, s); 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 %計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)省去以下繪圖部分運行結(jié)果: 橢圓模擬低通濾波器階數(shù): N=4模擬低通濾波器

49、通帶邊界頻率: wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù): B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 濾波器損耗函數(shù)如圖6.2.11所示。雖然本例中橢圓濾波器階數(shù)是4，但從圖6.1.11可以看出，四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7 kHz，比指標要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五階切比雪夫模擬低通濾波器，且

50、其過渡帶寬度大于7 kHz。對于本例的設(shè)計指標，如果用巴特沃斯模擬低通濾波器，計算所要求的階數(shù)N=7。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖6.2.11 四階橢圓模擬低通濾波器損耗第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.5 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 前面討論了四種類型的模擬低通濾波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和橢圓濾波器）的設(shè)計方法，這四種濾波器是主要考慮逼近幅度響應指標的濾波器，第五種（貝塞爾濾波器）是主要考慮逼近線性相位特性的濾波器。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 當階數(shù)相同時，

51、對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減s，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波

52、器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.2.6 頻率變換與高通、 帶通、 帶阻濾波器的設(shè)計 由于經(jīng)典的模擬低通濾波器的設(shè)計資料（公式、圖表）非常成熟，以前在設(shè)計模擬濾波器時，常先設(shè)計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成需要的濾波器類型（高通、帶通、帶阻）。 第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾

53、波器的設(shè)計 |HHP(j)|10.50sp圖 高通濾波器高通、帶通、 帶阻濾波器概念及其指標參數(shù)。( )( )|ppHHPpsHsG p1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 帶通濾波器|HBP(j)|10.50plslphsh220( )( )|pwBPspsBHsG pwphplB 20plphslsh 通帶寬度中心頻率1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖 帶阻濾波器|HBS(j)|10.50plslshph220( )( )|wpBSsBpsHsG pwshslB 20plphslsh 通帶寬度

54、中心頻率1p歸一化通帶邊界頻率第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 由于計算機的發(fā)展，現(xiàn)在可以不采用頻率變換的方法，由于計算機的發(fā)展，現(xiàn)在可以不采用頻率變換的方法，直接應用直接應用Matlab工具箱設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶工具箱設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）。通和帶阻）。第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.3 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 給定一個數(shù)字濾波器的技術(shù)指標，要求設(shè)計數(shù)字濾波器：1.首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標2.設(shè)計相應的模擬濾波器，得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)3.將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H

55、a(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 從模擬濾波器（從模擬濾波器（AF）設(shè)計數(shù)字濾波器（）設(shè)計數(shù)字濾波器（DF）確定需要設(shè)計的數(shù)字濾波器的H(z)指標設(shè)計相應的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)選擇合適的的數(shù)字濾波器設(shè)計方法(脈沖響應不變法、雙線性變換法)，將DF指標轉(zhuǎn)換成相應的AF指標用選擇的設(shè)計方法(脈沖響應不變法、雙線性變換法) ，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 由模擬變換到數(shù)字的映射必須滿足兩條基 本 要 求：因果穩(wěn)定的Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(

56、z).為 保 持 濾 波 器 穩(wěn) 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 須 映 射 到Z 平 面 的 單 位 圓 內(nèi)， 即Res0 |z|1H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應。S 平 面 的 虛 軸 j 必 須 映 射 到 Z 平 面 的 單 位 圓上，相應的頻率之間呈線性關(guān)系。由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器條件由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器條件0Sz- 110Sz- 11第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 轉(zhuǎn)換方法介紹兩種：脈沖響應不變法，雙線性變換法轉(zhuǎn)換方法介紹兩種：脈沖響應不變法，雙線性變換法學習這兩種轉(zhuǎn)換方法，著重分析如下幾點1.從Ha(s)到H(z)

57、的公式2.分析這種轉(zhuǎn)換方法的性能 (1)是否實現(xiàn)模擬因果穩(wěn)定到數(shù)字因果穩(wěn)定轉(zhuǎn)換 (2)模擬系統(tǒng)虛軸是否轉(zhuǎn)換到數(shù)字系統(tǒng)單位圓 (3)得到的數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應的相似程度3.優(yōu)點和缺點第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 脈沖響應不變法脈沖響應不變法第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 為了簡化推導，設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點sk(k=1, 2, , N), 且分母多項式階次高于分子多項式階次，則Ha(s)可以用如下部分分式表示：(1) 對Ha(s)拉氏逆變換，求得單位沖激響應ha(t): NkkkassAsH1)( )(

58、)kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 (2) 對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器單位脈沖響應h(n): (3) 對h(n)進行Z變換得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z): ( )()()()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nTA eu n11( )()( )kkNNs Tnnkks TnkkAH zA eu n zez 1111111( )( )1(kNNkkas TkkkAAHssH zssezz平面）（ 平面）NkkkassAsH1)( )( )kNs takkh tA e u t1第六章第六章 IIRII

59、R數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 nnTtthth)()()(aa nsnTstnstnThtnTtthdtthsHe )(de)()(e )()(aaaasTsTznznnsnTzHznhnhsHeea| )(|)(e )()(上式表明理想采樣信號的拉氏變換與相應的采樣序列上式表明理想采樣信號的拉氏變換與相應的采樣序列h(n)的的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：sTez )(ath設(shè)s=+j, z=rej, 則rej=e (+j)T= eT ejT所以r=eT =T表明，數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應不變法的優(yōu)點之一。 =0時，r=1，s平

60、面的虛軸映射為z平面的單位圓；0時，r1, s平面的左半映射為z平面的單位圓內(nèi)； 0時，r1，s平面的右半映射為z平面的單位圓外。sTze分析脈沖響應不變法的性能分析脈沖響應不變法的性能第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 () ()aakkHjHjTT 12kajTkjHTeH)2(1)()()jM TsTjTTj TTTzeeeeeeM 2為整數(shù)第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 數(shù)字濾波器的頻率響應增益隨T變化，特別是T很小時增益很大，容易造成溢出，所以，工程實際中采用以下實用公式： h(n)=Tha(nT)這時 NkTskzeTAzHk11