大學(xué)物理：自旋的態(tài)矢量

1、1空間任意方向自旋本征態(tài)如何表示？（2）自旋的態(tài)矢量2連串實(shí)驗(yàn)Oven SGzSGz+z-zNo signal+z-zOven SGzSG+-+z-z想象偏振測(cè)量實(shí)驗(yàn)。這里磁場(chǎng)方是測(cè)量基！處于+z的態(tài)，發(fā)現(xiàn)它是+x態(tài)或-x的概率是1/2添加其他實(shí)驗(yàn)還可證明，處于某個(gè)方向正向的態(tài)，在一個(gè)與其夾角為 的方向測(cè)分量值。獲得正值概率為 ，獲得負(fù)值概率為 。3物理量: Sz（z向自旋）可觀測(cè)結(jié)果： ，算符本征值 ， 本征矢，算符：Sx（x向自旋）（Y向自旋）Sy4對(duì)自旋態(tài)的數(shù)學(xué)描述必須與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符并且自洽。基本任務(wù)：對(duì)空間任何方位（ ）的正方向與負(fù)方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學(xué)描述。5實(shí)驗(yàn)事實(shí)1：任何方位的正

2、負(fù)方向的本征態(tài)正交。此即要求在任何方位，事實(shí)2：任何兩個(gè)方位，若其正向夾角為 那發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)方位的正向本征態(tài)是另一個(gè)方位正負(fù)向本征態(tài)的概率分別為 。 6事實(shí)2：任何兩個(gè)方位，若其正向夾角為 那發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)方位的正向本征態(tài)是另一個(gè)方位正負(fù)向本征態(tài)的概率分別為 。 若選定則必然要求以便滿足事實(shí)2，即7若選定以便滿足事實(shí)2，即則必然要求以及8若選定則必然要求或者Bloch 球面電子自旋任何一個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)于Bloch面上一個(gè)點(diǎn)9任意態(tài)可以采用兩維矢量表述特別的103. 自旋角動(dòng)量算符與泡利矩陣 任何物理量都對(duì)應(yīng)與一個(gè)線性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。 A有一套本征矢量 ， 對(duì)

3、應(yīng)本征值 回顧 公設(shè)該物理量算符為：113. 自旋算符與泡利矩陣 什么樣的算符能有這種本征態(tài)及相應(yīng)的本征值？對(duì)于任意方位 的自旋角動(dòng)量分量，有本征值 及對(duì)應(yīng)的本征態(tài)12對(duì)于自旋角動(dòng)量算符拋棄公因子 即得泡利算子對(duì)于特殊方位軸3. 自旋算符與泡利矩陣 13 上述矩陣定義為泡利自旋矩陣3. 自旋算符與泡利矩陣 自旋角動(dòng)量分量算符注：一般教科書(shū)上采用先給出泡利自旋矩陣，再去算本征態(tài)。然而，給出泡利自旋矩陣是基于假定自旋算符與軌道角動(dòng)量算符具有同樣對(duì)易法則。（這個(gè)假定不屬于量子力學(xué)公設(shè)。）然而，我們的課件在這里既不需要這個(gè)假定，也不需要先行了解軌道角動(dòng)量算符及其對(duì)易關(guān)系，我們只用到兩個(gè)東西：實(shí)驗(yàn)事實(shí)與

4、算符公設(shè)。請(qǐng)同學(xué)們注意品味課件這部分內(nèi)容。14 單位矩陣加上泡利自旋矩陣可以構(gòu)成任何2乘2矩陣3. 自旋算符與泡利矩陣 任何2乘2矩陣可改寫(xiě)為例如：所有泡利矩陣的本征值都是 15 不同的泡利自旋矩陣是不對(duì)易的，任何不同方位的自旋角動(dòng)量分量值不能同時(shí)精確測(cè)量。3. 自旋算符與泡利矩陣 定義自旋平方算符為 ：平方算符的本征值是唯一的，又稱(chēng)為常數(shù)算符 163. 自旋算符與泡利矩陣 可以證明，對(duì)于任何角動(dòng)量J，此處j為總角動(dòng)量量子數(shù)。 證明過(guò)程只需要對(duì)易關(guān)系對(duì)于軌道角動(dòng)量 ，以上對(duì)易關(guān)系可以驗(yàn)證174 在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)就是指在外磁場(chǎng)作用下自旋態(tài)的演化。如過(guò)去所說(shuō)，我們需要哈密頓量及其

5、本征值與本征態(tài)。184 在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)電子自旋任何一個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)于Bloch面上一個(gè)點(diǎn)，或者對(duì)應(yīng)于連接原點(diǎn)與該點(diǎn)的矢量電子自旋態(tài)的演化可以直觀的對(duì)應(yīng)于Bloch面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，或者是對(duì)應(yīng)矢量尾部的進(jìn)動(dòng)我們把自旋態(tài)在磁場(chǎng)中的演化稱(chēng)為自旋進(jìn)動(dòng)“進(jìn)動(dòng)”只是一個(gè)直觀的數(shù)學(xué)圖像，與電子位置沒(méi)有任何關(guān)系！194 在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)為方便起見(jiàn)，今后我們將統(tǒng)一采用這里，稱(chēng)為電子的回磁比（gyromagnetic ratio）聯(lián)系電子磁矩與自旋角動(dòng)量（算符）204 在靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)哈密頓量經(jīng)典電磁學(xué)，勢(shì)能實(shí)驗(yàn)表明，量子力學(xué)的哈密頓量就是把上式的磁矩?fù)Q成算符。為方便起見(jiàn)，經(jīng)常采用約

6、化磁場(chǎng)：214 在均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)（拉莫進(jìn)動(dòng)）設(shè)磁場(chǎng)方向?yàn)閦+方向，稱(chēng)為拉莫頻率(Larmor frequency) 自旋1/2粒子在均勻靜磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)叫做拉莫進(jìn)動(dòng)，Larmor precession22態(tài)演化問(wèn)題的一般方法回顧我們現(xiàn)在局限于不含時(shí)哈密頓量1）寫(xiě)出哈密頓量 2）解定態(tài)方程，獲得哈密頓量的本征態(tài) 與本征值 ，3）以上述本征態(tài)為基礎(chǔ)態(tài)， 將給定的初始態(tài) 展開(kāi)，最后得任意時(shí)刻的態(tài)。23為方便起見(jiàn)，經(jīng)常采用約化磁場(chǎng)：取磁場(chǎng)為z+方向自旋態(tài)在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)哈密頓量定態(tài)及本征值對(duì)于任意初始態(tài)在時(shí)刻t為拉莫頻率對(duì)應(yīng)Bloch面上點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，是“繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)”24對(duì)自旋態(tài)的數(shù)學(xué)描述必須與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符并且自洽?；救蝿?wù)：對(duì)空間任何方位（ ）的正方向與負(fù)方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學(xué)描述。25在時(shí)刻t若初始時(shí)刻為 在任意時(shí)刻x方向自旋平均值？26在時(shí)刻t任意時(shí)刻t發(fā)現(xiàn)它的自旋為x+的概率？例2 在x軸正向接通磁場(chǎng)