大學物理：氫原子的超精細分裂

1、12 氫原子的超精細分裂氫原子的超精細分裂簡介氫原子基態(tài)，由于電子自旋磁矩與核自旋相互作用，實際上是4個態(tài)。它們相對于無自旋時能量稍有移動。此為超精細分裂。通過對氫原子核外電子求解定態(tài)方程，可得到分裂能級基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)能量相差10eV!超精細分裂能量移動約為 eV2氫原子的超精細分裂簡介基礎(chǔ)態(tài)選?。何覀冞x取物理意義最明確的那一 套基礎(chǔ)態(tài)。它們未必是定態(tài)。我們只研究基態(tài)。我們在此不研究電子的位置，基態(tài)本身就決定了電子的位置波函數(shù)。我們只討論電子自旋與核自旋的相互作用 ！態(tài)2：電子朝上，質(zhì)子朝下態(tài)1：電子朝上，質(zhì)子朝上態(tài)3：電子朝下，質(zhì)子朝上態(tài)4：電子朝下，質(zhì)子朝下電子質(zhì)子3 氫原子基態(tài)哈密頓量

2、約定：只對電子作用只對質(zhì)子（核）作用例如經(jīng)典的磁矩相互作用能與成正比此處量子的哈密頓量為：這個不是能量，是能量算符，它由實驗證實4 氫原子基態(tài)哈密頓量由于只作用于電子，只作用于質(zhì)子用矩陣表示，H等同于矩陣直積。5 氫原子基態(tài)哈密頓量我們可以不用直積而據(jù)定義寫出哈密頓矩陣。其辦法就是根據(jù)上式計算矩陣元。例如計算完所有矩陣元我們可以得到：67 氫原子基態(tài)哈密頓量有了這個哈密頓矩陣，定態(tài)與能量本征值的求解又變成了標準線性代數(shù)問題，本征值問題！這里雖然是4乘4矩陣，可是數(shù)學上等價于2乘2矩陣。可對一四行與二三行分別求解。8 能級本征態(tài)：有兩個定態(tài)是糾纏態(tài) ！9 能級第4個態(tài)與其它3態(tài)的能級差為4A10

3、 能級第4個態(tài)與其它3態(tài)的能級差為4A由此能級差而導致的輻射頻率1420兆赫的微波。此頻率的測量精度可達， 10萬億分之一此波波長為21厘米，被稱為21厘米波，在天文學上和量子頻標上有重要應用。氫是銀河系最豐富的元素。星系空間大多數(shù)物質(zhì)處于低溫狀態(tài)，大多數(shù)原子處于基態(tài)，很少發(fā)射可見光。然而，處于基態(tài)的氫原子可以發(fā)射21厘米波。強度代表物質(zhì)密度信息，頻率移動代表運動速度信息（為什么？），頻率多普勒展寬代表溫度信息，譜線的塞曼分裂代表磁場信息。11 能級本征態(tài)：初始態(tài)t時刻的態(tài)？同往常一樣，展開成定態(tài)的線性疊加！時是最大糾纏態(tài)！12態(tài)演化問題的一般方法回顧對于不含時哈密頓量1）寫出哈密頓量 2）解

4、定態(tài)方程，獲得哈密頓量的本征態(tài) 與本征值 ，3）以上述本征態(tài)為基礎(chǔ)態(tài)， 將給定的初始態(tài) 展開，最后得任意時刻的態(tài)。涉及的物理系統(tǒng)包括：無限深勢阱中的粒子，氨分子，磁場中的電子自旋，自旋磁矩的相互作用（氫原子超精細結(jié)構(gòu)），等等可能的問題包括：直接問態(tài)的演化；問物理量在某時刻的平均值；問某時刻對某物理量測得某值得概率；等等。13 塞曼分裂由于磁場而引起的原子能級移動稱為塞曼效應。下圖中的曲線表示氫原子的塞曼分裂。若沒有磁場，我們僅得到一條譜線。態(tài)IV與其它任何態(tài)之間的躍遷吸收或發(fā)射一個光子，其頻率為1420MHz. 當原子在磁場中時，會有更多譜線。4個態(tài)中任何兩個態(tài)之間的躍遷都有可能。14 塞曼分

5、裂15 塞曼分裂原子在外磁場中能級發(fā)生分裂，為塞曼分裂。此時哈密頓量是粒子相互作用量與每個粒子單獨在外場時的哈密頓量之和。是負值是正值值是值的1000多倍16 塞曼分裂原子在外磁場中能級發(fā)生分裂，為塞曼分裂。此時哈密頓量是粒子相互作用量與每個粒子單獨在外場時的哈密頓量之和。定均勻外部靜磁場為z+方向，外場部分哈密頓量計算矩各陣元發(fā)現(xiàn)17 塞曼分裂可解得4個不同本征值，即能級進一步分裂為4個。此為氫原子基態(tài)的塞曼超精細分裂！對于矩陣18 塞曼分裂19 塞曼分裂20 塞曼分裂此時哈密頓量幾乎是對角的，故本征態(tài)幾乎就是上上，上下，下上，下下。而幾乎沒有糾纏。若21強磁場情況這幾個能量物理意義明確，即

6、它們就是電子質(zhì)子自旋為上上，下下，上下，下上的情況。22 塞曼分裂極弱磁場情況下：本征態(tài)幾乎就是無外場時的態(tài)。23 在磁場中的態(tài)極弱磁場情況24 在磁場中的態(tài)極弱磁場情況能量在-3A處的能級幾乎不變，在A處的能級分裂成3個能級。253 自旋為1的角動量角動量并不只限于自旋1/2。它可以是整數(shù)或半整數(shù)。對于任何量子系統(tǒng)，角動量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zjz對于單粒子的軌道角動量或自旋角動量， 就是角量子數(shù)或者自旋。對于兩粒子自旋， 就是總自旋。對于既有軌道角動量又有自旋角動量的系統(tǒng)， 是耦合后的總角動量263 自旋為1的

7、角動量角動量并不只限于自旋1/2。它可以是整數(shù)或半整數(shù)。對于任何量子系統(tǒng)，角動量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總角動量量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zjz因此，若總角動量為0，則在任何方向的投影都是0。因此，總角動量為0的態(tài)只有一個。若在任何方向投影都是0，則總角動量必為0。273 自旋為1的角動量稱為磁量子數(shù)，它可以是中的任何一個Z向投影值可寫成現(xiàn)在考慮兩個自旋為1/2的粒子組成的物理系統(tǒng)。我們用j代表總自旋即總角動量量子數(shù)，用m代表磁量子數(shù)。首先我們要找到以總自旋S及其磁量子數(shù)m為標記的基礎(chǔ)態(tài) 。283 自旋為1的角動量首先我們要找到以總自旋S及其磁量

8、子數(shù)m為標記的基礎(chǔ)態(tài) ?？傋孕孔訑?shù)可能取那些值？首先，在任何方向的自旋投影值量子數(shù)可以為1，因為只要每個粒子的自旋投影都為正，即構(gòu)成自旋投影值量子數(shù)可以為1。（顯然，總自旋投影值不能大于1。）因此，S=1是兩粒子系統(tǒng)可能的總自旋（總角動量）量子數(shù)。對于這個值，可以有3個投影值，1，0，-1。這就是說，S=1有3個正交態(tài)。兩粒子系統(tǒng)應該有4個基礎(chǔ)態(tài)。還應該存在另一個（而且只能有一個）與S=1的3個態(tài)都正交的基礎(chǔ)態(tài)，即存在一個 的態(tài)。293 自旋為1的角動量中的任何一個回顧：總自旋為S向投影值可以是：這個其實隱含了這樣的規(guī)則: 若a是可能的投影值，-a也一定是可能的投影值。而我們先在要尋找 的兩

9、粒子態(tài)，且這個S值只能有一個態(tài)。（因為我們已經(jīng)有了S=1的3個態(tài)。）滿足這個條件的，只能是S=0303 自旋為1的角動量結(jié)論：對于兩個自旋1/2的粒子系統(tǒng)，總自旋有兩個可能值：S=1，0在后續(xù)課程里，我們能夠證明一個更廣泛的結(jié)論：兩個角動量分別為 和 的體系的總角動量量子數(shù)的可能值為：31對于兩個自旋為1/2的體系，可能的總自旋角動量量子數(shù)為1，0注意：對于在Z向投影為確定值0的態(tài)，我們并不唯一確定其狀態(tài)。因為其總自旋不確定，可能是1，0?？傋孕秊?的態(tài)并不唯一確定，因為磁量子數(shù)未定。但是總自旋為0的態(tài)則是唯一確定的態(tài)?，F(xiàn)在的問題是：S=1的3個態(tài)，S=0的態(tài)具體形式是什么？它們?nèi)绾螌懗?的線

10、性疊加形式？32能量為A的粒子氫原子是自旋為1的粒子。能量為-3A的氫原子自旋為零。為什么？33態(tài)是在Z向投影為確定值0的態(tài)：角標1的算符只作用于粒子1，角標2的算符只作用于粒子234態(tài)是在X向投影為確定值0的態(tài)：類似地還有：在Y方向投影為確定值0；在任何方向投影都是確定值0。因此，對于這個態(tài)，其總角動量，也就是總自旋S=0！35態(tài)總自旋S=0。由于現(xiàn)在所有可能的總自旋值只可能是1或者0，因此任何與此態(tài)正交的態(tài)總自旋必為1！都是自旋為1的態(tài)！容易驗證，它們在Z軸的投影量子數(shù)分別為1，-1，036我們可以用角動量符號標記每個態(tài)：三重態(tài)獨態(tài)將來，的態(tài)簡寫為三重態(tài)：獨態(tài)：37singlettriplet38表示總角動量量子數(shù)為j,磁量子數(shù)為m的態(tài)39 自旋為1的粒子的投影矩陣自旋為1的粒子的Stern-Gerlach實驗自旋為1的粒子在不均勻磁場中分裂為3束擋住兩束，剩下的一束被送到第二臺同樣裝置，不分裂40 自旋為1的粒子的投影矩陣自旋為1的粒子的Stern-Gerlach實驗在設(shè)備S出口擋住兩束，剩下的一束進